四年级数学试题-四年级数学找规律练习题 最新
湖北工业大学研究生院-个人工作鉴定范文
第8讲 找规律（二）
整数a与它本身的乘积，即a×a叫做这
个数的平方，记作a
2
，即a
2
＝a×a；同样，三个a的乘积叫做a的三次
方，记作a
3
，即a
3
＝a×a×a。
一般地，n个a相乘，叫做a
的n次方，记作a
n
，即
本讲主要讲a
n
的个位数
的变化规律，以及a
n
除以某数所得余数的变
化规律。
因为积的个位数
只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以a
n
的个位数只与a的个位数有关，而a的个位
数只有0，1，2，…，9共十
种情况，故我们只需讨论这十种情况。
为了找出一个整数
a自乘n次后，乘积的个位数字的变化规律，我们
列出下页的表格，看看a，a
2
，a
3
，a
4
，…的个位数字各是什么。
从表看出，a
n
的个位数字的变化规律可分为三类：
（1）当a的个位数是0，1，5，6时，a
n
的个位数仍然是0，1，5，6。
（2）当a的个位数是4，9时，随着n的增大，a
n
的个位数按每两个
数为一周期循
环出现。其中a的个位数是4时，按4，6的顺序循环出现；
a的个位数是9时，按9，1的顺序循环出
现。
（3）当a的个位数是2，3，7，8时，随着n的增大，a
n
的个位数按
每四个数为一周期循环出现。其中a的个位数是2时，按2，4，8，6的
顺序循环出现；a的
个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现；当a
的个位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环
出现；当a的个位数是8时，
按8，4，2，6的顺序循环出现。
例1 求67
999
的个位数字。
分析与解：因为67的个位数是7，所以67
n
的个位数随着n的增大，
按7，9，3，1四个数的顺序循环出现。
999÷4＝249……3，
所以67
999
的个位数字与7
3
的个位数字相同，即67
999
的
个位数字是3。
例2 求2
91
+3
291
的个位数字。
分析与解：因为2
n
的个位数字按2，4，8，6四个数的顺序循环出现，91
÷4
＝22……3，所以，2
91
的个位数字与2
3
的个位数字相同，等于8。
类似地，3
n
的个位数字按3，9，7，1四个数的顺序循环出现，
291÷4＝72……3，
所以3
291
与3
3
的个位数相同，等于7。
最后得到2
91
+3
291
的个位数字与8+7的个位数字相同，等于5。
例3 求28
128
-29
29
的个位数字。
解：由12
8÷4＝32知，28
128
的个位数与8
4
的个位数相同，等于6。由29
÷2＝14……1知，29
29
的个位数与9
1
的个位数相同，等于
9。因为6＜9，
在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7。
例4
求下列各除法运算所得的余数：
（1）78
55
÷5；
（2）5
55
÷3。
分析与
解：（1）由55÷4＝13……3知，78
55
的个位数与8
3
的个位数相
同，
等于2，所以78
55
可分解为10×a＋2。因为10×a能被5整除，所以7
8
55
除以5的余数是2。
（2）因为a÷3的余数不仅仅与a的个位数有关，
所以不能用求5
55
的个位数的方法求解。为了寻找5
n
÷3的余数的规律，
先将5的各次方除
以3的余数列表如下：
注意：表中除以3的余数并不需要计
算出5
n
，然后再除以3去求，而
是用上次的余数乘以5后，再除以3去求。比如，5
2
除以3的余数是1，
5
3
除以3的余数与1×5=5除以3的余数
相同。这是因为5
2
＝3×8+1，其
中3×8能被3整除，而
5
3
=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，
（3×8）×5能被3整除，所以5
3
除以3的余数与1×5除以3的余
数相同。
由上表看出，5
n
除以3的余数，随着n的增大，按2，1的顺序循环
出
现。由55÷2=27……1知，5
55
÷3的余数与5
1
÷3的余数相同，
等于2。
例5 某种细菌每小时分裂一次，每次1个细茵分裂成3个细菌。20时后，
将这些
细菌每7个分为一组，还剩下几个细菌？
分析与解：1时后有1×3=3
1
（个）细
菌，2时后有3
1
×3=3
2
（个）细菌……
20时后，有3
20
个细菌，所以本题相当于“求3
20
÷7的余数”。
由例4（2）的方法，将3的各次方除以7的余数列表如下：
由上表看出，3
n
÷7的余数以六个数为周期循环出现。由20÷6＝3……
2知，3
20
÷7的余数与
3
2
÷7的余数相同，等于2。所以最后还剩2个细菌。
最后再说明一点，a<
br>n
÷b所得余数，随着n的增大，必然会出现周期
性变化规律，因为所得余数必然小于b
，所以在b个数以内必会重复出现。
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