石文中-彼得潘读后感

【课题】 6．1 数列的概念
【教学目标】
知识目标：
（1）了解数列的有关概念；
（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式．
能力目标：
通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．
【教学重点】
利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．
【教学难点】
根据数列的前若干项写出它的一个通项公式．
【教学设计】
通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解
数列的通项（一般 项）和通项公式．
从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往 往不
易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次
序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一
样，因此 是不同的数列．
例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判
断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．
例2是巩固性题目,指导学生分析完成 .要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,
采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接 受.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】

2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
6．1 数列的概念．
*创设情境 兴趣导入
将正整数从小到大排成一列数为
1，2，3，4，5，…． (1 )
将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为
2,2
2
,2
3
,2
4
,2
5
,L
． (2 )
教师
行为
介绍
播放
课件
质疑
引导
分析
学生
行为
了解
观看
课件
思考
自我
分析
教学
意图
从实
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点
时
间
0
5
当
n
从小到大依次取正整数时，
cosn
的值排成一列数为
-1，1，-1，1，…． (3 )
取无理数

的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个
数，排成一列数为
3，，，，，…． (4)
*动脑思考 探索新知
【新知识】
象上面的实例那样，按照一定的次序排成的一列数叫做数
飞机1
列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自
飞机2
火车1
左至右的排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或
火车2
中国
火车3
首项），第2项，第3项，…，第
n
项，…，其中反映各项在
货船1
数列中位置的数字1，2，3，…，
n
，分别叫做对应的项的项
货船2
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
比利时
词语
思考
理解
记忆
带领
学生
分析
引导
式启
发学
生得
出结
10

教 学
过 程
数．
只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做
无穷数列．
【小提示】
数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念．如
教师
行为
学生
行为
教学
意图
果
时
间
数列（2）中，第3项为
2
3
，这一项的项数为3.
【想一想】
上面的4个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列
【新知识】
由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对
应，所以无穷数列的一般形式可以写作
a
1
,a
2
,a
3
,L,a
n
， L
．
(nN
g
)

简记作{
a
n
}．其中，下角码中的数为项数，
a
1
表示第1项，
a
2
表示第2项，…．当
n
由小至大依次取正整数值时，
a
n
依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第
n
项
a
n
叫做数列{a
n
}
的通项或一般项．
*运用知识 强化练习
1.说出生活中的一个数列实例．
2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ”
是否为同一个数列
提问
巡视
指导
思考
口答
及时
了解
学生
知识
掌握
15

教 学
过 程
3.设数列
{
a
n
}
为“-5,-3,-1,1,3, 5，…” ，指出其中
a
3
、
a
6
各是什么数
*创设情境 兴趣导入
【观察】
6.1.1中的数列（1）中，各项是从小到大依次排列出的
正整数．

a
1
1
，
a
2
2
，
a
3
3
，…，
可以看到，每一项与这项的项数恰好相同．这个规律可以用
表示．利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如
a
11
11
，
a
20
20
．
教师
行为
学生
行为
教学
意图
得情
况
时
间
质疑
引导
分析
思考
参与
分析
引导
启发
学生
思考
25
6.1.1中的数列（2）中，各项是从小到大顺次排列出的2
的正整数指数幂．

a
1
2
，
a
2
2
2
，
a
3
2
3
，…，
可以看到，各项的底都是2，每一项的指数恰好是这项的项
数．这个规律可以用
表示 ，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如
a
11
2
11，
a
20
2
20
．
*动脑思考 探索新知
总结
归纳
思考
归纳
带领
学生
35

教 学
过 程
【新知识】
一个数列 的第
n
项
a
n
，如果能够用关于项数
n
的一个式< br>1
教师
行为
仔细
分析
讲解
学生
行为
理解
记忆
教学
意图
总结
时
间
子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
数列（1）的通 项公式为
a
n
n
，可以将数列（1）记为
数列{
n
}；数列（2）的通项公式为
a
n

2
n
，可以将数列（ 2）
记为数列
{2
n
}
.
*巩固知识 典型例题
例1 设数列{
a
n
}的通项公式为
关键
词语
说明
强调
引领
讲解
说明
引领
分析
观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
领会
思考
求解
通过
例题
进一
步领
会
注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
反复
强调
50
a
n

写出数列的前5项．

1
，
n
2
分析 知道数列的通项公式，求数列中的某 一项时，只需
将通项公式中的
n
换成该项的项数，并计算出结果．
解
a
1

11111111
；；；；
强调
a aa
234
1234
24816
2222
含义
说明
a
5


11
．

2
5
32
例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项
公式.

1111
(1)5,10,15,20，…； (2)
,,,,
…； （3）
2468
1，1，1，1，…．
分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系，探求用式

教 学
过 程
子表示这种关系．
解 （1）数列的前4项与其项数的关系如下表：
项数
n

项
a
n

关系

1
5

2
10

3
15

4
20
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
由此得到，该数列的一个通项公式为
a
n
5n
．
（2）数列前4项与其项数的关系如下表：
序号
项
a
n

关系


1


2


3


4
由此得到，该数列的一个通项公式为
a
n

1
．
2n
（3）数列前4项与其项数的关系如下表：
序号
项
a
n

关系

1
1

2
1

3
1

4
1
由此得到，该数列的一个通项公式为
a
n
(1)
n
．
【注意】

教 学
过 程
由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
的．例如，
a
n
< br>(

1)
n
与
a
n
cosn
都 是例2（3）中数列“1，
1，1，1，…．”的通项公式．
【知识巩固】
例3 判断16和45是否为数列{3
n
+1}中的项,如果是,请指
出是第几项.
分析 如果数
a
是数列中的第
k
项，那么
k
必须是 正整数，
并且
a3k1
.
解 数列的通项公式为
a
n

3
n
1
.
将16代入数列的通项公式有
163n1
，
解得
n5N
*
．
所以，16是数列
{3n1}
中的第5项．
将45代入数列的通项公式有
453n1
，
解得
n
44
N
*
，
3
所以，45不是数列
{3n1}
中的项．
*运用知识 强化练习 启发 思考 可以 65

教 学
过 程
1. 根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4项：
（1）
a
n
32
； （2）
a
n
(1)n
．
nn
教师
行为
引导
提问
巡视
学生
行为
了解
动手
求解
教学
意图
交给
学生
自我
发现
归纳
时
间
2. 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公
式：
指导
1111
（1）1，1，3，5，…； (2)

,
,

,
，…； (3)
36912
1357
,,,，….
2468
3. 判断12和56 是否为数列
{n
2
n}
中的项，如果是，请
指出是第几项．
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
数列、项、项数分别是如何定义的
结论：
按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个
数叫做数列的项．从 开始的项起，按照自左至右排序，各项按
照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第< br>3项，…，第
n
项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1，
2，3，…，< br>n
，分别叫做各项的项数．
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容重点和难点各是什么
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的
提问
巡视
反思
动手
检验
学生
85
引导 回忆

质疑
归纳
强调
回答 及时
了解
学生
知识
掌握
情况
75

教 学
过 程
学习效果如何
判断2 2是否为数列
{n
2
n20}
中的项，如果是,请指出是
第几项 ．
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题6．1 A组（必做）；6．1 B组
（选做）
(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的数列实例

【教师教学后记】
项目
教师
行为
指导
学生
行为
求解
教学
意图
学习
效果
时
间
说明 记录 分层
次要
求
90
反思点
学生是否真正理解有关知识；
学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生是否参与有关活动；
学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；

学生是否善于与人合作；
学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
学生实践的情况
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面．
【课题】 6．2 等差数列（一）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解等差数列的定义；
（2）理解等差数列通项公式．
能力目标：
通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等差数列的通项公式．
【教学难点】
等差数列通项公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定 义、等
差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特
点:
a
n1

a
n

d
(常数).例 1是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义.
教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上 是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方
法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加 以证明.例2是求等差数列的

通项公式及其中任一项的巩固性题目,注意求公差的方法. 等差数列的通项公式中含有四个
量：只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
6．2 等差数列．
*创设情境 兴趣导入
【观察】
将正整数中5的倍数从小到大列出，组成数列：
5，10，15，20，…． （1）
将正奇数从小到大列出，组成数列：
1，3，5，7，9，…． （2）
观察数列中相邻两项之间的关系，
发现：从第2项开始，数列(1)中的每一项与它 前一项的差
都是5；数列（2）中的每一项与它前一项的差都是2．这两个
数列的一个共同特点 就是从第2项开始，数列中的每一项与它
前一项的差都等于相同的常数．
*动脑思考 探索新知
总结
归纳
思考
理解
带领
学生
10
教师
行为
介绍
播放
课件
质疑
引导
分析
学生
行为
了解
观看
课件
思考
自我
分析
教学
意图
从实
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点
引导
式启
发学
生得
出结
果
时
间
0
5

教 学
过 程
如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等
于同一个常数，那么，这个数列叫 做等差数列．这个常数叫做
等差数列的公差，一般用字母
d
表示．
由定义知 ，若数列

a
n

为等差数列，
d
为公差，则a
n1
a
n
d
,即
教师
行为
仔细
分析
讲解
关键
词语
学生
行为
记忆
教学
意图
分析
时
间

*巩固知识 典型例题
（）
说明
强调
引领
讲解
说明
观察
思考
主动
求解
通过
例题
进一
步领
会等
差数
列通
项公
式
*运用知识 强化练习
1.
提问
巡视
指导
动手
求解
及时
了解
学生
知识
2. 写出等差数列11,8,5,2,…的第10项.
掌握
得情
况
25
45
例１ 已知等差数列的首项为12，公差为5，试写出这个
数列的第2项到第5项．
解 由于
a
1

12,
d
5
，因此

a
2
a
1
d
12


< br>5


7
；
a
3
a
2
d7

5

2
；
已知

a< br>n

为等差数列，
a
5
8
，公差
d2
，试写出
这个数列的第8项
a
8
．

教 学
过 程
*创设情境 兴趣导入
你能很快地写出例1中数列的第101项吗
显然，依照公式（）写出数列的第101项,是比 较麻烦的，
如果求出数列的通项公式，就可以方便地直接求出数列的第
101项．
教师
行为
质疑
引导
分析
学生
行为
思考
参与
分析
教学
意图
从实
际事
例使
学生
自然
的走
向知
识点
时
间
30
*动脑思考 探索新知
总结 思考
归纳
理解
记忆
带领
学生
总结
问题
得到
等差
数列
通项
公式
引导
启发
学生
思考
求解
35
归纳
设等差数列

a
n

的公差为
d
，则
仔细
a
1
a
1
,

．．．．．．
依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式
a
n
a
1

n1

d.

分析
讲解
关键
词语
知道了等差数列

a< br>n

中的
a
1
和
d
，利用公式（），可以直
接计算出数列的任意一项.
在例１的等差数列
{
a
n
}< br>中，
a
1
12
，
d5
，所以数列的
通 项公式为

a
n

12

(
n
1)(

5)

17

5
n
，
数列的第101项为

a
101
175101488
．

教 学
过 程
【想一想】
等差数列的通项公式中,共有四个量：
a
n
、
a
1
、
n
和
d
，
只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针
对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法
*巩固知识 典型例题
例2 求等差数列
．．
1,5,11,17,
．
的第50项.
解 由于
a
1

1,
da
2
a
1

5



1


6,
所以通 项公
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
说明
强调
引领
讲解
说明
引领
分析
强调
含义
观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
领会
思考
求解
通过
例题
进一
步领
会
注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
反复
45
50
式为
即
a
n
6n7.

故
例3 在等差数列
< br>a
n

中,
a
100
48,
公差
d
1
,
求首项
a
1.

3
说明
1
解 由于公差
d
,
故设等差数列的通项公式为
3
由于
a
100
48
，故
1
48a
1
(1001)
，
3
解得
【小提示】
本题目初看是知道2个条件，实际上是3个条件：
n100
，
强调
a
n
48,
d
1
．
3

教 学
过 程
例4 小明、小明 的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好
构成一个等差数列,他们三人的年龄之和为120岁,爷爷的年龄
比小明年龄的4倍还多5岁,求他们祖孙三人的年龄.
分析 知道三个数构成等差数列，并 且知道这三个数的和,
可以将这三个数设为
ad
,
a
,
a d
,这样可以方便地求出
a
,
从而解决问题.
解 设 小明、爸爸和爷爷的年龄分别为
ad
,
a
,
ad
,其中
d
为公差
则
解得
从而
答 小明、爸爸和爷爷的年龄分别为15岁、40岁和65岁.
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
【注意】
将构 成等差数列的三个数设为
ad
,
a
,
ad
,是经常使用
的方法.
*运用知识 强化练习
练习6.2.2
启发
引导
提问
巡视
指导
思考
了解
动手
求解
可以
交给
学生
自我
发现
归纳
60
2
8
1.求等差数列,1, ,…的通项公式与第15项．
5
5
2.在等差数列

a
n

中，
a
5
0
，
a
10
10
，求
a
1
与公差< br>d
.
3.在等差数列

a
n

中，
a
5
3
，
a
9
15
，判断－48是

教 学
过 程
否为数列中的项，如果是,请指出是第几项.
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
等差数列的通项公式是什么
结论：
等差数列的通项公式
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
质疑
归纳
强调
小组
讨论
回答
理解
强化
及时
了解
学生
知识
掌握
情况
以小组
讨论 师
生共同
归纳的
形式强
调重点
突破难
点
70
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容重点和难点各是什么
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的
学习效果如何
写出等差数列
引导 回忆

提问
巡视
指导
反思
动手
求解
检验
学生
学习
效果
培养
学生
总结
反思
80
13
7
，，1，，…
5
55
的通项公式，并求出数列的第11项．

教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
学习
过程
的能
力
时
间
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题6．2（必做）；学习指导6．3（选
做）
(3)实践调查：寻找生活中等差数列的实例
【教师教学后记】
项目
说明 记录 分层
次要
求
90
反思点
学生是否真正理解有关知识；
学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生是否参与有关活动；
学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；

学生是否善于与人合作；
学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
学生实践的情况
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；
【课题】 6．3 等比数列（一）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解等比数列的定义；
（2）理解等比数列通项公式．
能力目标：
通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等比数列的通项公式．
【教学难点】
等比数列通项公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定 义、等比
数列的通项公式；难点是通项公式的推导．
等比数列与等差数列在内容上相类似，要 让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄
清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式 的基础，教学中要给以足够的

重视.同时要强调“等比”的特点:
a
n 1

q
(常数).
a
n
例1是基础题目,有助于学生进 一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比
数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归 纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加
以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有 四个量：
a
1
，
q
,
n
,
a
n
, 只
有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、 例３都是这类问题.注意:例
3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法.
从例4可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是
设了以后,这三个数的积正好等于
a
,
很容易将
a
求出.
3
a
,
a,
aq
比较好,因为这样
q
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
6．3 等比数列．
*创设情境 兴趣导入
【观察】
某工厂今年的产值是1000万元，如果通过技术改造，在
今后 的5年内，每年的产值都比上一年增加10%，那么今年及
以后5年的产值构成下面的一个数列（单位： 万元）：
教师
行为
介绍
播放
课件
质疑
引导
分析
学生
行为
了解
观看
课件
思考
自我
分析
教学
意图
从实
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点
时
间
0
5

教 学
过 程
1000,10001.1,10001.1
2
,10001.1
3
,10001.1
4
,10001.1
5
.

教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
不难发现，从第2项开始，数列中的各项都是其前一项的
倍，即从第2 项开始，每一项与它的前一项的比都等于．
*动脑思考 探索新知
【新知识】
如 果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的比都等
于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个 常数叫做这
个等比数列的公比，一般用字母
q
来表示．
由定义知，若

a
n

为等比数列，
q
为公比，则
a
1
与
q
均
不为零，且有
a
n1
q
，即
a
n
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
理解
记忆
带领
学生
分析
引导
式启
发学
生得
出结
果
10

a
n1
a
n
q
．
*巩固知识 典型例题
例１ 在等比数列
{
a
n
}
中，
a
15
，
q3
，求
a
2
、
a
3
、
a
4
、
a
5
．
说明
强调
引领
讲解
观察
思考
主动
求解
通过
例题
进一
步领
会
15
解
【试一试】
你能很快地写出这个数列的第９项吗

说明
*运用知识 强化练习
练习6.3.1
提问
巡视
指导
动手
求解
及时
了解
学生
知识
25 < br>1．在等比数列

a
n

中，
a
3
6
，
q2
，试写出
a
4
、
a
6
．

教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
掌握
得情
况
时
间
2．写出等比数列
3,6,12,24,
……的第５项与第6项．
*创设情境 兴趣导入
如何写出一个等比数列的通项公式呢
质疑
引导
分析
思考
参与
分析
学生
自然
的走
向知
识点
30
*动脑思考 探索新知
与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关
系，分析、探求规律．
设等比数列

a
n

的公比为
q
，则
……
【说明】
a
1
a
1
1a
1
q
0

依此类推，得到等比数列的通项公式： （）
知道了等比数列

an

中的
a
1
和
q
，利用公式（），可以直< br>接计算出数列的任意一项.
【想一想】
等比数列的通项公式中,共有四个量：
a
n
、
a
1
、
n
和
q
，
只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针
对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
归纳
理解
记忆
带领
学生
总结
问题
得到
等差
数列
通项
公式
引导
启发
学生
思考
求解
35

教 学
过 程
*巩固知识 典型例题
例2求等比数列
教师
行为
说明
强调
引领
讲解
说明
引领
分析
学生
行为
观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
领会
思考
求解
观察
思考
求解
领会
思考
教学
意图
通过
例题
进一
步领
会
注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
反复
强调
注意
观察
学生
是否
理解
时
间
45
50
的第10项．
1
解 由于
a
1
1
，
q
，
2
故，数列的通项公式为


1
1




2

n1
an
a
1
q
n1
1(1)
n1

1




2

n1
( 1)
n

1
，
2
n1
强调
含义
说明
所以

a
10
(1)
10
1
2
101

1
．
512
引领
分析
强调
含义
说明
1
例3 在等比数列

a
n

中，
a< br>5
1
，
a
，求
a
13
．

８
8
解 由
a
5
1,a
8

有
1
8
1a
1
q
4
， （1）
1
a
1
q
7
， （2）
8
（2）式的两边分别除以(1)式的两边,得
1
q
3
,
8
由此得
q
将
q
1
．
2
知识
点
1
代人（1），得
2
a
1
2
,
4
反复
强调
所以，数列的通项公式为

教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
1
a
n
2
4
()
n1
．
2
故
1

1

．
a
13a
1
q2

2
8

25 6

2

124
12
【注意】
本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究
等比数列问题的常用方法．
【想一想】
在等比数列

a
n

中，
a
7

11
，
q
．求
a
3
时，你有没有
93
比较简单的方法
【知识巩固】
例4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数
量恰好组成 一个等比数列．已知他们三人一共钓了14条鱼，
而每个人钓鱼数量的积为64． 并且知道，小强钓的鱼最多，
小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼
分析 知道三个 数构成等比数列，并且知道这三个数的积,
可以将这三个数设为
a
,
a
,
aq
,这样可以方便地求出
a
,从而解
q
决问题.
解 设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为
a
,
a
,
aq
．则
q
解得

教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
a4,

a4,


1



或

q.

q2,

2

当
q2
时
此时三个人钓鱼的条数分别为2、4、8.
当
q
1
时
2
此时三个人钓鱼的条数分别为8、4、2.
由于小明钓的鱼最少，小强钓的鱼最多，故小明钓了2条
鱼，小刚钓了4条鱼，小强钓了8条鱼 ．
【注意】
将构成等比数列的三个数设为
a
,
a
,
aq
，是经常使用的方
q
法．
*运用知识 强化练习
1.求等比数列
启发
引导
思考
了解
动手
求解
可以
交给
学生
自我
发现
归纳
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
等比数列的通项公式是什么
结论：
质疑
归纳
强调
回答
理解
强化
及时
了解
学生
知识
掌握
70
60
提问
1
2.在等比数列

a
n

中，
a
2

,
a
5
5
, 判断
125
是否
25
巡视
为数列中的项，如果是，请指出是第几项.
指导
2
,2,6,
.的通项公式与第7项．
3

教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
情况
时
间
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容重点和难点各是什么
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的
学习效果如何
已知等比数列< br>{
a
n
}
中,
a
4
1,a
7< br>
,求
a
11
．
解答1 由已知条件得
解方程组得
a
1
8
q
引导 回忆

提问
巡视
指导
反思
动手
求解
检验
学生
学习
效果
培养
学生
80
1
8
1
，
2
总结
反思
学习
过程
的能
力
说明 记录 分层
次要
求
90
因此
11
．
a
11
8()
10

2 128
11
解答2 由
1q
3
得
q
．所以
82
111
．
a
11
()()
4

82128
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题6．3A组（必做）；教材习题6．3B
组（选做）
(3)实践调查：用等比数列的通项公式解决生活中的一个问
题
【教师教学后记】
项目 反思点

学生是否真正理解有关知识；
学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生是否参与有关活动；
学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生是否善于与人合作；
学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
学生实践的情况
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；
【课题】 平面向量的概念及线性运算
【教学目标】
知识目标：
（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；
（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．
能力目标：

通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．
【教学重点】
向量的线性运算．
【教学难点】
已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．
【教学设计】
从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．
向量不同于数量 ，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向
线段来直观的表示向量，有向线段的 长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数
量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“
a
＞
b
”没有意义，而“︱
a
︱＞︱
b
︱ ”才
是有意义的.
教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角 形法则与
平行四边形法则.
向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即< br>a
-
b
=
a
+(-
b
)，它可以
通 过几何作图的方法得到，即
a
-
b
可表示为从向量
b
的终点指向向量
a
的终点的向量.作向
量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.
实数

乘以非零向量
a
，是数乘运算，其结果记作

a
，它是一个向量，其方向与向量
a
相同，其模为
a
的

倍．由此得到
a∥ba

b
．对向量共线的充要条件，要特别注 意
“非零向量
a
、
b
”与“

0
”等条件.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】

教 学
过 程
*揭示课题
平面向量的概念及线性运算
*创设情境 兴趣导入
如图7－1所示，用100N
①
的力，按照不同的方向拉一辆
车，效果一样吗
图7－1
教师
行为
介绍
播放
课件
引导
分析
学生
行为
了解
观看
课件
思考
自我
分析
教学
意图
从实
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点
时
间
0
3
*动脑思考 探索新知
【新知识】 在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量
叫做数量（标量），例如质量、时间、温度 、面积、密度等．既
有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位
移等． 平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段
的指向就是向量的方向，线段的长度表示向 量的大小．如图
7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的
终点叫做平面向 量的终点．以
A
为起点，
B
为终点的向量记作
uuur
AB
．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作
a
；
r
手写时应 在字母上面加箭头，记作
a
．
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
理解
记忆
带领
学生
分析
引导
式启
发学
生得
出结
果
10

教 学
过 程
B
A
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间



a


图7－2
uuur
向量的大小叫做向量的模．向量
a
,
AB
的模依次记作
a
，
uuuur
AB
．
模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确
定的．
模为1的向量叫做单位向量．
*巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从
A
处向正南方向飞行200km，另一架飞
机从
A
处朝北偏东45°方向飞行2 00km， 两架飞机的位移相
同吗分别用有向线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量 ．虽然这两个向量的模相等，但是它们的
方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向< br>线段表示分别为图7-3中的有向线段
a
与
b
．
b

说明
强调
引领
讲解
说明
强调
含义
观察
思考
主动
求解
通过
例题
进一
步领
会
13
A
7-3

图
*运用知识 强化练习
a

提问
巡视
指导
思考
口答
及时
了解
学生
知识
掌握
18

教 学
过 程
说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格
为1)．
教师
行为
学生
行为
教学
意图
得情
况
时
间
N

B

E

T
A

L

Z

Q

C

D

F

P

K

G

H

M

图74
*创设情境 兴趣导入
uuuur
uuur
观察图74中的向量
AB
与
MN
，它们所在的直线平行，两
uuur
uuur
个向量的方向相同；向量< br>CD
与
PQ
所在的直线平行，两个向
播放
课件
质疑
引导
分析
观看
课件
自我
分析
从实
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点
20
量的方向相反．
*动脑思考 探索新知
【新知识】
方向 相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向
量
a
与向量
b
平 行记作
a

教 学
过 程
ruuur
uuu
ruuuur
uuuuuur
uuuu
ruuur
uuuu
r
AB
MNHG
TK
aa
 a
AB
MNGH
TK

r
uuu
r
uuu
uuur
uuur
uuu
r
uuu
ruuur
DA
DC
AB
CB
DA
BA
DC
uuuruuur< br>uu
r
uuu
r
uuuuruuur
uuu
r
uuu
r
CDDC
BA
AB
DC
AB
CD< br>AB

A

D

O
教师
行为


C

学生
行为


教学
意图


时
间


图7－5

B


A

D

B

E

（练习题
第1题图
uuur
EF
F

A

B

O
uuur
AD
E

D

C


F

C

（图－8）
第2
1
题图


uuuruuuruuur
OCOCOC

教 学
过 程
A
教师
行为

学生
行为

教学
意图

时
间



C
500
m
500
m
200
m
uuur
AC

200
m

B

图7－6

uuur
BC
B

uuur
A C
uuur
AB
uuur
AB
uuur
BC

a

b

A

a


b

C
a
+
b


ruuur< br>uuu
ruuur
uuur
uuu
r
uuu
ABBCAC
AB
BCAC

图7－7

教 学
过 程
r
uuu
ruuur
ruuuruuur< br>uuu
uuur
uuu
AD
BC
ABADAB
BCA C
uuur
uuuruuur
AC
ABAD

教师
行为

学生
行为

教学
意图

时
间

D

A

图7－9

C

B

12
r
uuuuuur
uuu
r
kmh
AB
AC
AD
uuur
AD
k mh5
uuur
2
uuur
2
ABAC
说明
D

B

观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
领会
注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
反复
62
强调
引领
12
12
2
5
2
tanCAD
CAD6723

5
2
C

A

图7－10
讲解
说明
引领
分析
讲解
1 3kmh
6723


F
1
F
2
F
1
F
2
F
1
F
2
k
解 利用平行四边形法则，可以得到

教 学
过 程
F
1
F
2
2F
1
cos

k
教师
行为
说明
学生
行为
思考
求解
教学
意图
强调
时
间
，
所以
F
2
F
1

F
1

k
2cos

k

图7－11
．
【想一想】
根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时(如图7－
12)，两臂成什么角度时，双臂受力最小
图7-12
*运用知识 强化练习
练习7.1.2
1． 如图，已知
a
，
b
，求
a
＋
b．

启发
引导
提问
巡视
b

b

a

（1）
第1题图

（图1－15）
（2）
思考
了解
动手
求解
可以
交给
学生
自我
发现
归纳
65
a

指导
2．填空（向量如图所示）：
（1）
a
＋
b
=_____________ ,
（2）
b
＋
c
=_____________ ,
（3）
a
＋
b
＋
c
=_____________ ．

教 学
过 程
3．计算：
uuuruuuruuuruuuruuur
uuur
（ 1）
AB
＋
BC
＋
CD
； （2）
OB
＋
BC
＋
CA
．
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
*创设情境 兴趣导入
在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数
的相反数．
质疑
引导
分析
思考
参与
分析
引导
启发
学生
思考
66
*动脑思考 探索新知
与数的运算相类似，可以将向量
a
与向量
b
的负向量的和
定义为向 量
a
与向量
b
的差
．
即
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
归纳
理解
记忆
带领
学生
总结
68
a b
=
a
＋(
b
)．
uuuruuur
设
a
=
OA
，
b

OB
，则
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
OAOBOA(OB)= OABOBOOABA
．
uuuruuur
uuur
即
OA
OB
=
BA

（7．2）
观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量
a
、
b
，其
差
a
－
b
仍然是一个向量，叫做
a
与
b
的差向量，其起点是减
向量
b
的终点，终点是被减向量
a
的终点．
B

b
a
-
b

a
A


*巩固知识 典型例题

图7－13

O


强调 思考 注意 70

教 学
过 程
例5 已知如图7－14（1）所示向量
a
、
b
，请画出向
量
a
－
b
．
教师
行为
含义
说明
学生
行为
求解
领会
思考
教学
意图
观察
学生
是否
理解
知识
时
间
a

b

图7－14
a
A

O

（2）
b

B

求解


（1）

点
解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O为起点，
uuuruuur< br>uuur
作
OA
=
a
，
OB
=
b< br>，连接
BA
，则向量
BA
为所求的差向量，即
uuur
BA
=
a
－
b ．

【想一想】

当
a
与
b
共线时，如何画出
a
－
b ．

*运用知识 强化练习
uuuruuur
1．填空：（1）
AB
AD
=________ _______，
uuur
uuur
（2）
BC
BA
= ______________，
uuuruuur
（3）
OD
OA=______________．
启发
引导
提问
巡视
指导
思考
了解
动手
求解
可以
交给
学生
自我
发现
归纳
72
uuuruuur
2．如图，在平行四边形
ABCD
中，设
AB
=
a
,
AD
=
b
，
uuur
uuuruuur
试用
a
,
b
表示向量
AC
、
BD
、
DB
．

*创设情境 兴趣导入
uuur
观察图7－15可以看出，向量
OC
与向量
a
共线，并且
uuur
OC
＝3
a
．
质疑
引导
分析
思考
参与
分析
引导
启发
学生
思考
74

教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
a

a

O

A

a

B

图715
*动脑思考 探索新知
一般地，实数

与向量
a
的积是一个向量，记作

a
，它
的模为

|a||||a|
（7．3）
总结
归纳
仔细
分析
讲解
思考
归纳
理解
记忆
理解
记忆
带领
学生
分析
引导
启发
学生
得出
结论
78
a

C


若
|

a|
0，则当

＞0时，

a
的方向与
a
的方向相同，
关键 当

＜0时，

a
的方向与
a
的方向相反．

由上面定义可以得到，对于非零向量
a
、
b
，当< br>
0
时，
有
a∥ba

b
（7．4）
一般地，有
0
a
= 0,
词语

0 = 0 ．
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对
于任意向量
a
, < br>b
及任意实数

、

，向量数乘运算满足如下的
法则 ：
【做一做】
请画出图形来，分别验证这些法则．
向量加法及数乘运算在形式上 与实数的有关运算规律相
类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，

教 学
过 程
可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量 的运算与数的
运算的意义是不同的
．

*巩固知识 典型例题
例6 在平行四边形
ABCD
中，
O
为两对角线交点如图7
uuuruuu r
uuuruuur
－16，
AB
＝
a
，
AD
＝
b
，试用
a
,
b
表示向量
AO
、
OD
．

教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
强调
含义
说明
思考
求解
领会
思考
求解
注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
81
uuur
1
uuuruuur
1
uuur
分析 因为AOAC
,
ODBD
，所以需要首先分别求
22
uuur< br>uuur
出向量
AC
与
BD
.

uuur
解
AC
＝
a
图7－16

uuur
＋
b
,
BD
＝
b a
，
因为
O
分别为
AC
，
BD
的中点，所以
uuur
1
uuur
111
AOAC
（
a
＋< br>b
）＝
a
＋
b
，
2222
uuur
r
11
uuu
11
OD
＝
BD
＝（
b a
）＝
a
+
b．

2222
1111
a< br>＋
b
和
a
+
b
都叫做向量
a
，b
的线性
2222
uuuruuur
组合，或者说，
AO
、
OD
可以用向量
a
，
b
线性表示
．

例6中，
一般地，

a
＋

b
叫做
a
,
b
的一个线性组合（其中

,

均为系数）．如果
l
＝

a
＋

b
，则称
l
可以用
a
，
b
线性表
示
．

向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算
．

教 学
过 程
*运用知识 强化练习
1． 计算：（1）3（
a
2
b
）－2（2
a
＋
b
）；
（2）3
a
2（3
a
4
b
）＋3（
a b
）．
教师
行为
启发
引导
提问
学生
行为
思考
了解
动手
求解
教学
意图
可以
交给
学生
自我
发现
归纳
时
间
83
uuuruuur
1
2．设
a
,
b
不共线，求作 有向线段
OA
，使
OA
＝（
a
＋
b
）．
2
指导
巡视
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
向量、向量的模、向量相等是如何定义的
结论：
当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，
这种量叫做向量（矢量）
uuur
向量的大小叫做向量的模．向量
a
,
AB
的模依次记作
a
，
uuuur
AB
．
质疑
归纳
强调
回答 及时
了解
学生
知识
掌握
情况
85
a
与 向量
b
的模相等并且方向相同时，称向量
a
与向量
b
相等， 记作
a
=
b
．

*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容重点和难点各是什么
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的
学习效果如何
计算：
提问
巡视
指导
反思
动手
求解
检验
学生
学习
效果
88
引导 回忆

教 学
过 程
uuuruuuruuuruu uruuur
uuur
（1）
AB
＋
BC
＋
CD< br>； （2）
OB
＋
BC
＋
CA
．
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题7．1 A组（必做）；7．1 B组
（选做）
(3)实践调查：试着用向量的观点解释生活中的一些问题
【教师教学后记】
项目
说明 记录 分层
次要
求
90
反思点
学生是否真正理解有关知识；
学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生是否参与有关活动；
学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生是否善于与人合作；
学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；

学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
学生实践的情况
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；
【课题】 平面向量的坐标表示
【教学目标】
知识目标：
（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；
（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.
能力目标：
培养学生应用向量知识解决问题的能力.
【教学重点】
向量线性运算的坐标表示及运算法则.
【教学难点】
向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.
【教学设计】
向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在
坐标原点（一般称 为位置向量）．设
x
轴的单位向量为
i
，轴的单位向量为
j
．如果点
A
的
坐标为（
x
，
y
）,则
uuur
OAxiyj
，
uuuruuur
将有序实数对（< br>x
，
y
）叫做向量
OA
的坐标．记作
OA
= （
x
，
y
）．
例1是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题．要 强调此时起点的位置．让学生认
识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例2 是关于“向量线

性运算的坐标表示”的知识巩固性例题．要强调与公式的对应．
在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任
意位置的向量的坐 标表示，向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量
的坐标，由此得到公式（）.数 值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例3是关
于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩 固性例题．要强调“终点的坐标减去起点的坐
标”．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
平面向量的坐标表示
*创设情境 兴趣导入
【观察】
设平面直角坐标系中，
x
轴的单位向量为
i
,
y
轴的单位向
uuur
量为
j
，
OA
为从原点出发的向量，点
A
的坐标为（2，3）(图
教师
行为
介绍
质疑
引导
分析
学生
行为
了解
思考
自我
分析
教学
意图
从实
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点
时
间
0
5
7－17)．则
图7－17
uuur
uuuur
OM2i
，
ON3
j
．
由平行四边形法则知

教 学
过 程
uuuruuuuruuur
OAOMON2
i
3
j
．

教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
【说明】
可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的
坐标是相同的．
*动脑思考 探索新知
【新知识】
设
i
,
j
分别为
x
轴、
y
轴的单位向量，
uuuur
（ 1）设点
M(x,y)
，则
OM

x
i+
y
j
（如图7－18(1)）；
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
理解
记忆
引导
式启
发学
生得
出结
果
10
（2）设点
A(x
1,y
1
)，B(x
2
,y
2
)
（如图7－18 (2)），则
y

M
(
x
,
y
j

O

i

x


(1)
y

A

j

O

i

x


(2)
图7－18
B

教 学
过 程
uuur uuuruuur
ABOBOA(x
2
i+y
2
j)(x< br>1
i+y
1
j)
(x
2
x
1
) i(y
2
y
1
)j．
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间

由此看到，对任一 个平面向量
a
，都存在着一对有序实数
(x,y)
，

使得
axiyj
．
有序实数对
(x,y)
叫做向量
a
的坐标，记作

a(x,y)
．
uuur
如图7－17所示，向量的坐标为
OA
(2,3)
．

如图7－18（1）所示，起点为原点，终点为
M(x,y)
的向
量的坐标为
如图7－18（2）所示，起点为
A(x
1
,y
1
)，终点为
B(x
2
,y
2
)
的
向量坐标为 uuur
AB(x
2
x
1
，y
2
y1
)．
（7．5）
*巩固知识 典型例题
例1 如图7－ 19所示，用
x
轴与
y
轴上的单位向量
i、j
表示向量a、b
, 并写出它们的坐标．
解 因为
说明
强调
引领
讲解
观察
思考
主动
求解
通过
例题
进一
步领
会
15
a
＝
OM
＋
MA
＝5
i
＋3
j
，

所以
a(5,3)
．
同理可得
b(4,3)
．
uuuur
uuur
说明

教 学
过 程

【想
一想】
观察
图7－
图7－19
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
uuur
OA
与
19，
uuuur
OM
的坐标之间存在什么 关系
uuuruuur
PQ，QP
例2 已知点
P(2,1)，Q(3,2)
，求
的坐标．
uuur
解
PQ
(3,2)(2,1)(1,3),

*运用知识 强化练习
uuur
1． 点
A
的坐标为（－2，3），写出向量
OA
的坐标，并
uuur
用
i
与
j
的线性组合表示向量
OA
．
提问
巡视
指导
思考
口答
及时
了解
学生
知识
20
2． 设向量
a3i4j
,写出向量
a
的坐标．
uuuruuur
BA
的坐标．
3． 已知
A
，
B
两点的坐标，求
AB，
掌握
得情
况
(1)
A(5,3),B(3,1);

(2)
A(1,2),B(2,1);

(3)
A(4,0),B(0,3)．

*创设情境 兴趣导入
【观察】
观察图7－20，向量
uuuruuuruuuuruuuruuur
OA(5, 3)
,
OP(3,0)
,
OMOAOP(8,3)
．可以看 到，
质疑
引导
分析
思考
参与
分析
引导
启发
学生
思考
27

教 学
过 程
两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．

教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
图7－20
*动脑思考 探索新知
【新知识】
设平面直角坐标系中，
a(x
1
,y
1
)
，
b (x
2
,y
2
)
，则
(x
1
x2
)i(y
1
y
2
)j
．
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
思考
归纳
理解
记忆
带领
学生
总结
35
所以 < br>ab(x
1
x
2
,y
1
y
2
)
． （7．6）
词语
类似可以得到
a b(x
1
x
2
,y
1
y
2
)． （7．7）

a(

x
1
,

y
1
)
． （7．8）
*巩固知识 典型例题
例3 设
a
＝(1,2),
b
＝(2,3)，求下列向量的坐标：
(1)
a
＋
b
， (2) 3
a
， (3) 3
a
2
b
．
解 (1)
a
＋
b
＝(1, 2)＋(2,3)＝(1,1)
(2) 3
a
＝3×(1, 2)＝(3,6)
说明
强调
引领
讲解
说明
观察
思考
主动
求解
通过
例题
进一
步领
会
45

教 学
过 程
(3) 3
a
2
b
＝3×(1, 2) 2×(2,3)＝(3, 6) (4,6)＝(7,
12)．
*运用知识 强化练习
已知向量
a
,
b
的坐标，求
a
＋
b
、
a b、
2
a
＋3
b
的坐标．
（1）
a
＝(2,3)，
b
＝(1,1)；
（2）
a
＝(1,0)，
b
＝(4, 3)；
（3）
a
＝(1,2)，
b
＝(3,0)．
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
启发
引导
提问
巡视
指导
思考
了解
动手
求解
及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
55
*创设情境 兴趣导入
【问题】
前面我们学习了公式（），知道对于非零向量a、b
，当

0
时，有
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢
*动脑思考 探索新知
【新知识】
设
a(x
1
,y
1
),b(x
2
,y
2
),
由
a

b
，有
x
1< br>

x
2
,y
1


y
2
,
于是
x
1

y
2


x
2
y
1
，即
引导
分析
观察
思考
思考
参与
分析
引导
启发
学生
思考
60
总结
归纳
仔细
分析
讲解
思考
归纳
理解
记忆
带领
学生
总结
67

x
1
y
2
x
2
y
1
0
．
由此得到，对非零向量
a、 b
，设
a(x< br>1
,y
1
),b(x
2
,y
2
),
当

0
时，有

教 学
过 程

a∥bx
1
y
2
x
2
y
1
0．
（7．9）
*巩固知识 典型例题
例4 设
a(1,3),b(2,6)
，判断向量
a、 b
是否共线．
解 由于 3×21×6＝0，
故由公式（7．9）知，
a∥b
，即向量
a、 b
共线．
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
说明
强调
引领
分析
讲解
说明
观察
思考
主动
求解
通过
例题
进一
步领
会
70
*运用知识 强化练习
判断下列各组向量是否共线：
启发
引导
提问
巡视
指导
思考
了解
动手
求解
及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
75
3
（1）
a
＝(2,3)，
b
＝(1,)；
2
（2）
a
＝(1, 1) ，
b
＝(2,2)；
（3）
a
＝(2, 1) ，
b
＝(1,2)．
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
向量坐标的概念
任意起点的向量的坐标表示
共线向量的坐标表示
结论：
一般地，设平面直角坐标系中，
x
轴的单位向量为
i
,
y
轴
的单位向量为
j
，则对于从原点出发的任意向量
a
都有唯 一一
质疑
归纳
强调
回答 及时
了解
学生
知识
掌握
情况
80

教 学
过 程
对实数
x
、< br>y
，使得
axiyj
．有序实数对
(x,y)
叫做向量< br>a
的坐标，记作

a(x,y)
．
向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起
点的向量的坐标.
对非零向量
a、 b
，设
a(x
1
,y
1
),b(x
2
,y
2
),
当

0
时 ，
有
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容重点和难点各是什么
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的
学习效果如何
已知向量
a
,
b
的坐标，求
a
＋
b
、
a

b、
2
a
＋3
b
的坐
标．
a
＝(2,3)，
b
=(1,1)；
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题 A组（必做）； B组（选做）
(3)实践调查：寻找生活中的向量坐标实例
【教师教学后记】
项目
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
引导 回忆

提问
巡视
指导
反思
动手
求解
检验
学生
学习
效果
85
说明 记录 分层
次要
求
90
反思点
学生知识、技能的掌握情况 学生是否真正理解有关知识；

是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生是否参与有关活动；
学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生是否善于与人合作；
学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
学生实践的情况
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；
【课题】 平面向量的内积
【教学目标】
知识目标：
（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.
（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.
能力目标：
通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．

【教学重点】
平面向量数量积的概念及计算公式.
【教学难点】
数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．
【教学设计】
教材从某人 拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，
而功是数量．因此，向量的内 积又叫做数量积．
在讲述向量内积时要注意：
（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量 ，它的值为两向量的模与两向量的夹角余
弦的乘积.其符号是由夹角决定；
（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.
教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：
（1）当<
a,
b
>＝0时，
a
·
b
＝|
a
||< br>b
|；当<
a
,
b
>＝
180
时，
a
·
b
＝－|
a
||
b
|．可以记忆为：
o
两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积
的 相反数．
（2）|
a
|＝
aa
显示出向量与向量的模的关系，是 得到利用向量的坐标计算向量模的
公式的基础；
（3）cos<
a
,
b
>＝
基础；
（4）“a
·
b
＝0

a

b
”经常用来研究 向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示
的重要基础．
【教学备品】
教学课件．
ab
，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的
|a||b|

【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
平面向量的内积
*创设情境 兴趣导入
F
教师
行为
介绍
质疑
引导
分析
学生
行为
了解
思考
自我
分析
教学
意图
从实
例出
发使
学生
自然
时
间
0
5
O

s

的走
向知
图7—21
识点

如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N
的力，朝着与水平线成
30
角的方向拉小车，使小车前进了100
m．那么，这个人做了多少功
*动脑思考 探索新知
【新知识】
我们知 道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离
的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为
i
，垂直
方向的单位向量为
j
，则
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
理解
记忆
带领
学生
分析
引导
式启
发学
生得
出结
果
15
F
x
i + y j
Fsin30
o
iFcos30
o
j
，
即力
F
是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有

教 学
过 程
产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为
s
，即
W＝｜
F< br>｜cos
30
·｜
s
｜＝100×
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
3
·10＝500
3
（J）
2
y

F
(
x
,
y
)
j

O

i

x


图7－22
这里，力
F
与位移
s
都是向量，而功W是一个数量，它
等于由两个向 量
F
，
s
的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫
做向量
F< br>与向量
s
的内
积,它是一个数量，又叫
O
A

a

b

图7－23
B

做数量积．
如图7－23，设有两
uuuruuur
个非零向量
a
,
b
，作
OA
＝
a
,
OB
＝
b< br>,由射线
OA
与
OB
所形
成的角叫做向量
a
与向量
b
的夹角，记作<
a
,
b>
．
两个向量< br>a
,
b
的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量
a
与
向 量
b
的内积，记作
a
·
b
, 即
a
·
b
＝｜
a
||
b
|
c
os<
a
,
b
>
上面的问题中，人所做的功可以记作W＝
F
·
s.

由内积的定义可知

教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
a
·0＝0, 0·
a
＝0．
由内积的定义可以得到下面几个重要结果：
（1） 当<
a
,
b< br>>＝0时，
a
·
b
＝|
a
||
b
| ；当<
a
,
b
>＝
180
时，
o
总结
归纳
仔细
思考
理解
记忆
带领
学生
分析
反复
强调
30
a
·
b
＝|
a
||
b
|.
（2） cos<
a
,
b
>＝
ab
.
|a||b|
分析
讲解
（3） 当
b
＝
a时，有<
a
,
a
>＝0，所以
a
·
a
＝|
a
||
a
|＝|
a
|
2
，
关 键
即|
a
|＝
aa
.
（4） 当
a,b 90
o
时，
a

b
，因此，
a
·
b
＝
abcos90
o
0,
因此对非零向量
a
，
b
，有
词语
a
·
b
＝0

a

b.

可以验证，向量的内积满足下面的运算律：
（1）
a
·
b
＝
b
·
a
．
（2） (

a
)·
b
＝

(
a
·
b
)＝
a
·(

b
)．
（3） (
a< br>＋
b
)·
c
＝
a
·
c
＋
b
·
c
．
注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即
a
·(
b
·
c
)≠（
a
·
b
）·
c
.
请结合实例进行验证.
*巩固知识 典型例题
例1 已知|
a
|＝3,|
b
|＝2, <
a
,
b
>＝
60
,求
a
·
b
．
解
a
·
b
＝|
a
||
b
| cos<
a
,
b
> ＝3×2×cos
60
＝3．
说明
强调
引领
思考
主动
求解
注意
观察
学生
是否
40

教 学
过 程
例2 已知|
a
|＝|
b
|＝
2
,
a
·
b
＝

解 cos<
a
,
b
>＝
教师
行为
学生
行为
教学
意图
理解
知识
点
时
间
2
,求<
a
,
b
>．
2
2
ab
＝＝.
|a||b|
2
22
由于 0≤<
a
,
b
>≤
180
，
所以 <
a
,
b
>＝
135
o
．
*运用知识 强化练习
1. 已知|
a
|＝7，|
b
|＝4，
a
和
b
的夹角为
60
，求
a
·
b
．
2. 已知
a
·
a
＝9,求|
a
|．
3. 已知|
a
|＝2,|
b
|＝3, <
a
,< br>b
>＝
30
，求(2
a
＋
b
)·
b．

提问
巡视
指导
思考
口答
及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
*动脑思考 探索新知
设平面向量
a
＝(
x
1
,
y
1
),
b
＝(
x
2
,
y
2
)，i
，
j
分别为
x
轴，
y
轴
上的单位向 量，由于
i
⊥
j
，故
i
·
j
＝0，又|
i
|＝|
j
|＝1，所以
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
归纳
理解
记忆
带领
学生
总结
60
45
a
·
b
＝(
x
1
i
＋
y
1
j
)· (
x
2
i
＋
y
2
j
)
＝
x
1

x
2

i

i
＋
x
1

y
2

i

j
＋
x
2

y
1
i

j
＋
y
1

y
2

j

j

＝
x
1

x
2
|
j
|
2
＋
y
1

y
2
|
j
|
2

＝
x
1

x
2
＋
y
1

y
2
．
这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，
即

教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
a
·
b
＝
x
1

x
2
＋
y
1

y
2

利用公式(7．11)可以计算向量的模．设
a
＝(
x,y
)，则
aaga
x
2
y
2
，即
a
x
2
y
2

由平面向量内积的定义可以得到，当
a
、
b
是非零向量时，

cos<
a
,
b
>＝
x
1
x
2
 y
1
y
2
ab
＝.
2222
|a||b|
x
1
y
1
x
2< br>y
2
利用公式可以方便地求出两个向量的夹角.
由于
a

b

a
·
b
＝0，由公式可知
a
·
b
＝0


x
1

x
2
＋
y
1

y
2
＝0．
因此
a

b


x
1

x
2
＋
y
1

y
2
＝0．
利用公式可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的
问题．
*巩固知识 典型例题
例3 求下列向量的内积：
（1）
a
＝ (2,3),
b
＝(1,3)；
（2）
a
＝ (2, 1),
b
＝(1,2)；
（3）
a
＝ (4,2),
b
＝(2, 3)．
解 (1)
a
·
b
＝2×1＋(3)×3＝7；
(2)
a
·
b
＝2×1＋(1)×2＝0；
说明
强调
引领
讲解
说明
引领
分析
强调
观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
领会
讲解
说明
注意
观察
学生
是否
理解
知识
70

教 学
过 程
(3)
a
·
b
＝2×(2)＋2×(3)＝14．
例4 已知
a
＝(1,2),
b
＝(3,1).求
a
·
b
, |
a
|,|
b
|, <
a
,
b
>．
解
a
·
b
＝(1)( 3)＋2×1＝5；
|
a
| ＝
aa(1)
2
2
2
5
；
|
b
|＝
bb(3)
2
1
2
10
； cos<
a
,
b
>＝
52
ab

＝
，
2
|a||b|
105
教师
行为
含义
说明
学生
行为
思考
求解
教学
意图
点
反复
强调
时
间
所以 <
a
,
b
>＝
45
o
．
例5 判断下列各组向量是否互相垂直：
(1)
a
＝(2, 3),
b
＝(6, 4)；
(2)
a
＝(0, 1),
b
＝(1, 2)．
解 (1) 因为
a
·
b
＝(2)×6＋3×4＝0，所以
a

b
．
(2) 因为
a
·
b
＝0×1＋(1)×（2)＝2，所以
a
与
b
不垂直．
*运用知识 强化练习
1． 已知
a
＝(5, 4)，
b
＝(2,3)，求
a
·
b
．
2． 已知
a
＝(1,
3
)，
b
＝(0,
启发
引导
提问
巡视
3． 已知
a
＝(2, 3)，
b
＝(3,－4)，
c
＝(1,3),求
a
·(
b
＋
c
)．
4. 判断下列各组向量是否互相垂直：
(1)
a
＝(2, 3)，
b
＝(3, 2)； (2)
a
＝(2,0)，
b
＝(0, 3)； (3)
指导
思考
了解
动手
求解
及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
80
3
)，求<
a
,
b
>．
a
＝(2,1)，
b
＝(3,4)．
5. 求下列向量的模：

教 学
过 程
(1)
a
＝(2, 3)， (2)
b
＝(8, 6 )．
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
平面向量内积的概念、几何意义
结论： 两个向量
a
,
b
的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量
a
与
向量
b
的内积，记作
a
·
b
, 即
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
质疑
归纳
强调
回答 及时
了解
学生
知识
掌握
情况
83
a·
b
＝｜
a
||
b
|
c
os<
a
,
b>

a
·
b
的几何意义就是向量
a
的模与向量
b
在向量
a< br>上的投
影的乘积．
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容重点和难点各是什么
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的
学习效果如何
1.已知
a
＝(5, 4),
b
＝(2,3),求
a
·
b
．
2.已知
a
＝(2, 3),
b
＝(3, 4),
c
＝(1,3),求
a
·(
b
＋
c
)．
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：阅读教材
(2)书面作业：教材习题 A组（必做）； B组（选做）
(3)实践调查：编写一道向量内积问题并解答．
【教师教学后记】
说明 记录 分层
次要
求
90
提问
巡视
指导
反思
动手
求解
检验
学生
学习
效果
88
引导 回忆

项目 反思点
学生是否真正理解有关知识；
学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生是否参与有关活动；
学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生是否善于与人合作；
学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
学生实践的情况
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；
【课题】8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
【教学目标】
知识目标：
掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；

能力目标：
用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．
【教学重点】
两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用
【教学难点】
两点间的距离公式的理解
【教学设计】
两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何 的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式
给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的 模的定义讲解，但讲解的重点
应放在公式的应用上．
例1是巩固性练习题．题目中，两个点的 坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调
两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况．
例2是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（），强化学生对公式的理解与运
用．
例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出 “解析法”，进
行数学思维培养．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
教师
行为
介绍
学生
行为
了解
教学
意图
启发
时
间
0

教 学
过 程
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
*创设情境 兴趣导入
【知识回顾】
平面直 角坐标系中，设
P
1
(x
1
,y
1
)
，< br>P
2
(x
2
,y
2
)
，则
教师
行为
质疑
引导
分析
学生
行为
思考
教学
意图
学生
思考
时
间
15
u uuur
PP
12
(x
2
x
1
,y
2
y
1
)
．
*动脑思考 探索新知
【新知识】
总结
归纳
思考
记忆
带领
学生
分析
25
uuuur
我们将向量
PP
1
、
P
2
之间的距离，记作
12
的模，叫做点
P
PP
12
，则
uuuuruuuuruuuur
22

|PPPP
12
|PP
12
PP
12
g
12
(x
2
x
1
)(y
2
y
1
)

（8．1）
*巩固知识 典型例题
例1 求
A
（3，1）、
B
（2，5）两点间的距离．
解
A
、
B
两点间的距离为
说明
强调
引领
讲解
说明
观察
思考
主动
求解
通过
例题
进一
步领
会
30
*运用知识 强化练习
第1题图
提问 思考 反复 38

教 学
过 程
1．请根据图形，写出
M
、
N
、< br>P
、
Q
、
R
各点的坐标．
2．在平面直角坐标系内，描出下列各点：
A(1,1)
、
B(3,4)< br>、
C(5,7)
．并计算每两点之间的距离．
教师
行为
巡视
指导
学生
行为
口答
教学
意图
强调
时
间
*创设情境 兴趣导入
【观察】
练习8．1．1第2题的计算结果显示，
质疑
引导
分析
思考
参与
分析
引导
启发
学生
思考
43
|AB||BC|
1
|AC|
．
2
这说明点
B
是线段
AB
的中点，而它们三个点的坐标之间
恰好存在关系
3
*动脑思考 探索新知
【新知识】
1517
，
4

22
总结
归纳
仔细
思考
归纳
理解
记忆
带领
学生
总结
52 < br>设线段的两个端点分别为
A(x
1
,y
1
)
和
B(x
2
,y
2
)
，线段的
uuuur
中点为< br>M(x
0
,y
0
)
（如图8－1），则
AM(x< br>0
x
1
,y
0
y
1
),

分析
讲解
uuur
MB(x
2
x
0
,y
2
y
0
),
由于
M
为线段
AB< br>的中点，则
关键
uuuuruuur
AMMB,
即
(x< br>0
x
1
,y
0
y
1
)(x
2
x
0
,y
2
y
0
)，
即
词语

x
0
x
1
x
2
x
0,
x
1
x
2
y
1
y
2
解得
．
x,y

00
22

y
0< br>y
1
y
2
y
0
,

教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
y

M
(
x
0
,
A
(
x
1
,
y
1
)
O

B
(
x
2
,
y
2
)
x


图8－1
一般地，设
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
为平面内任意两点 ，则
线段
P
1
P
2
中点
P
0
(x
0
,y
0
)
的坐标为
x
0

x
1
x
2
yy
2
,y
0

1< br>.
（8．2）
22
说明
强调
引领
讲解
观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
通过
例题
进一
步领
会
注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
65 *巩固知识 典型例题
例2 已知点
S
（0，2）、点
T
（6， 1），现将线段
ST
四
等分，试求出各分点的坐标．
分析 如图8－2所 示，首先求出线段
ST
的中点
Q
的坐
标，然后再求
SQ的中点
P
及
QT
的中点
R
的坐标．
解 设 线段
ST
的中点
Q
的坐标为
(
x
Q
,y
Q
)
，
则由点
S
（0，2）、点
T
（6，1）得
说明
引领
分析
说明
x
Q

0(6)2( 1)1
3
，
y
Q

．
222

教 学
过 程
即线段
ST
的中点为
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
1
Q
．
（3,）
2
同理，求出线段
SQ
的
35
中点
P
（,）
，线段
QT
24
91
的中点
R
．
（,）
24
图8－2
35191
故所求的分点分别为
P
、
Q
、．
（,）（3,）R（,）
24224
例3 已知
ABC
的三个顶点为
A(1,0)
、
B(2,1)
、
C(0,3)
，
试求
BC
边上的中线
AD
的长度．
解 设
BC
的中点
D
的坐标为
(
x
D
,
y
D
)
，则由
B(2,1)
、
C(0,3)
得
x
D

(2)013
1
，
y
D
2
，
22
故
|AD|(11)
2
(20)
2
22,

即
BC
边上的中线
AD
的长度为
22
．
*运用知识 强化练习
1．已知点
A(2,3)
和点
B(8, 3)
，求线段
AB
中点的坐标．
2．已知
ABC
的三个 顶点为
A(2,2)
、
B(4,6)
、
C(3,2)
，
求
AB
边上的中线
CD
的长度．
3．已知点
Q (4,n)
是点
P(m,2)
和点
R(3,8)
连线的中点，求启发
引导
提问
巡视
指导
思考
了解
动手
求解
进一
步领
会知
识点
75
m
与
n
的值．

教 学
过 程
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
两点间的距离公式、线段的中点坐标公式
结论：
设平面直角坐标系内任意两点P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
，
则
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
的距离为（证明略）
22
|PP
12
|(x
2
x
1
)(y
2y
1
)
．
教师
行为
质疑
归纳
强调
学生
行为
回答
教学
意图
及时
了解
学生
知识
掌握
情况
时
间
80
设
P
则线段
P
1
P
2
1< br>(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
为平面内任意两点，
中点
P
0
(x
0
,y
0
)
的坐标为
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容重点和难点各是什么
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的
学习效果如何
已知点
M(0,2)
，点
N(2,2)
，求线段
MN
的长度，并写出线段
MN
的中点
P
的坐标．
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题8．1 A组（必做）；教材习题8．1
B组（选做）
(3)实践调查：编写一道关于求中点坐标的问题并求解．
【教师教学后记】
说明 记录 分层
次要
求
90
提问
巡视
指导
反思
动手
求解
检验
学生
学习
效果
86
引导 回忆

项目 反思点
学生是否真正理解有关知识；
学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生是否参与有关活动；
学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生是否善于与人合作；
学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
学生实践的情况
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；
【课题】8．2 直线的方程（二）
【教学目标】
知识目标：
（1）了解直线与方程的关系；

（2）掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程．
能力目标：
培养学生解决问题的能力与计算能力．
【教学重点】
直线方程的点斜式、斜截式方程．
【教学难点】
根据已知条件，选择直线方程的适当形式求直线方程．
【教学设计】
采用“问题— —分析——联系方程”的步骤，从学生熟知的一次函数图像入手，分析
图像上的坐标与函数解析式的关系 ，把函数的解析式看作方程，图像是具有某种特征的平面
点集（轨迹）．很自然地建立直线和方程的关系 ，把函数的解析式看作方程是理解概念的关
键．
导出直线的点斜式方程过程，是从直线与方程 的关系中的两个方面进行的．首先是直线
上的任意一点的坐标都是方程的解，然后是以方程的解为坐标的 点一定在这条直线上．
直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例．直线的斜截式方程与一次函数的 解析式
具有相同的形式．要强调公式中
b
的意义．
直线的一般式方程的介绍 ，分两个层次来处理也是唯一的．首先，以问题的形式提出前
面介绍的两种直线方程都可以化成一般的二 元一次方程的形式．然后按照二元一次方程
AxByC0
的系数的不同取值，进行讨论． 对
y
CC
与
x
只是数形结合的进行说
BA
明．这种方式比较适合学生的认知特征．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】

教 学
过 程
*揭示课题
8．2 直线的方程（二）
*创设情境 兴趣导入
【问题】
我们知道，方程
xy10
的图像是一条直线，那 么方程
的解与直线上的点之间存在着怎样的关系呢
*动脑思考 探索新知
【新知识】
已知直线的倾角为
45
o
，并且经过点
P0
(0,1)
，由此可以确
定一条直线
l
．设点
P(x ,y)
为直线
l
上不与点
P
0
(0,1)
重合的< br>任意一点（图8－6）．
图8－6
教师
行为
介绍
质疑
引导
分析
学生
行为
了解
思考
教学
意图
启发
学生
思考
时
间
0
5
讲解
说明
引领
分析
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
理解
思考
理解
记忆
带领
学生
分析
引导
式启
发学
生得
出结
果
20
y1
，
ktan45
o

x0
即
xy10
．
这说明直线上任意一点的坐标都是方程
xy10
的解．
设点
P
1
(x
1
,y
1
)
的坐标为方程
xy 10
的解，即
x
1
y
1
10
，则
y
1
1
ktan45
o
，
x
1
0

教 学
过 程 已知直线的倾角为
45
o
，并且经过点
P
0
(0,1)
，只可以确定
o
一条直线
l
．这说明点
P
1
(x
1
,y
1
)
在经过点
P
0
(0,1 )
且倾角为
45
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
的直线上．
一般地，如果直线（或曲线）
L
与方程
F(x,y)0
满足下
列关系：
⑴ 直线（或曲线）
L
上的点的坐标都是二元方程
F(x,y)0
的解；
⑵ 以方程
F(x,y)0
的解为坐标的点都在直线（或曲线）
L
上．
那么，直线（或曲线）
L
叫做二元方程
F(x,y)0
的直线
（ 或曲线），方程
F(x,y)0
叫做直线（或曲线）
L
的方程. 记
作曲线
L
:
F(x,y)0
或者曲线
F(x,y)0
．
例如，直线
l
的方程为
xy10
，可以记作直线
l:xy10
，也可以记作直线
xy10
．
下面求经过点P
0
(x
0
,y
0
)
，且斜率为
k< br>的直线
l
的方程（如
图8－7）．
图8－7
在直线
l
上任取点
P(x,y)
（不同于
P
0
点），由斜率公式 可
得
k
yy
0
，
xx
0
即
yy
0
k(xx
0
)
．

教 学
过 程
显然，点
P
0
(x
0
,y
0
)
的坐标也满足上面的方程．
方程

yy
0
k(xx
0
)
， （8．4）
叫做直线的点斜式方程．其中点
P
0
(x
0
, y
0
)
为直线上的点，
k
为
直线的斜率．
【说明】
当直线经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
且斜率不存在时，直线的倾角为
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
90°，此时直线与
x
轴垂直，直线上所有的点横坐标都是
x
0
，
因此其方程为
x x
0
．
*巩固知识 典型例题
例2 在下列各条件下，分别求出直线的方程：
（1）直线经过点
P
0
( 1,2)
，倾角为
45
o
；
（2）直线经过点
P
1
(3,2)
，
P
2
(1,1)
．
解 （1）由于

45
，故斜率为
o
说明
强调
引领
讲解
说明
引领
讲解
ktan

tan45
o
1
，
观察
思考
主动
求解
思考
主动
求解
通过
例题
进一
步领
会
注意
观察
学生
是否
理解
30
说明
又因为直线经过点
P
0
(1,2)
，所以直线方程为
y21(x1)
，
知识
点
即
xy10
．

教 学
过 程 < br>（2）直线过点
P
1
(3,2)
，
P
2
( 1,1)
，由斜率公式得
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
k
故直线的方程为
123

．
134
3
y2(x3)
，
4
即
3x4y10
．
【想一想】
例2（2）题中，如果利用点
P
2
(1,1)
和
k
方程，结果是否一样，为什么
*动脑思考 探索新知
【新知识】
如图8－8所示，设直线
l
与
x
轴交于点
A(a,0)
，与
y
轴
交于点
B(0,b)
．则
a
叫做直线
l
在
x
轴上的截距（ 或横截距）；
．
b
叫做直线
l
在
y
轴上的截距（ 或纵截距）
【想一想】
直线在
x
轴及
y
轴上的截距有
可能是负数吗
图8－8
【新知识】
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
归纳
理解
记忆
带领
学生
总结
40
3
写出的直线
4

教 学
过 程
设直线在
y
轴上的截距是
b
，即直线经过点
B(0,b)< br>，且
斜率为
k
．则这条直线的方程为
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
ybk(x0)
，
即
ykxb
．
方程

ykxb

（8．5）
叫做直线的斜截式方程．其中
k
为直线的斜率，
b
为直线在
y
轴的截距．
*巩固知识 典型例题
例3 设直线
l
的倾角为60°，并且经过点
P
（2，3）．
（1）写出直线
l
的方程；
（2）求直线
l
在
y
轴的截距．
解 （1）由于直线
l
的倾角为60°，故其斜率为
ktan60
o
3
．
引领
分析
讲解
说明
观察
思考
主动
求解
通过
例题
进一
步领
会
50
又直线经过点
P
（2，3），由公式得知直线的方程为
y33(x2)
．
（2）将上面的方程整理为

教 学
过 程
y3x233
．
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
这是直线的斜 截式方程，由公式知直线
l
的在
y
轴的截距
为
323．
【想一想】
例3（2）中，求直线在
y
轴的截距还有其他的方法
吗
*运用知识 强化练习
1．作出
y
像中的点．
2．设点
P(a,1)
在直线
3xy50
上，求
a
的值．
3．根据下列各直线满足的条件，写出直线的方程：
（1）过点
(5,2)
，斜率为3； （2）在
y
轴上的截
距为5，斜率为4．
4．分别求出直线
y8 5(x1)
在
x
轴及
y
轴上的截距．
*创设情境 兴趣导入
【问题】
质疑
引导
分析
思考
参与
分析
引导
启发
学生
思考
65
提问
巡视
指导
思考
求解
及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
60
1
x
的图 像，并判断点
P(2,3)
、
Q(4,2)
是否为图
2
y y
0
k(xx
0
)
可化为
kxyy
0< br>kx
0
0
；
ykxb
可化为
kxyb 0
，由此看到，直线的点斜式方

教 学
过 程
程与斜截式方程都可化为二元一次方程的一般形式
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
AxByC0
．
那么，能不能说，一般形式的二元一次方程
AxByC0
就是直线的方程呢
*动脑思考 探索新知
【新知识】
（1）当
A0
，
B 0
时，二元一次方程
AxByC0
可
化为
y
线 ．
（2）当
A0
，
B0
时，方程为
y
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
思考
归纳
理解
记忆
带领
学生
总结
72
ACAC
x
．表示斜率为
k
，纵截距
b
的直
BB BB
C
，表示经过点
B
词语
C

P

0,

且平行于
x
轴的直线（如图8－9）．
B

（3）当
A0
，
B0
时，方程为
x
C
，表示经过点
A

C

P

,0
且平行于
y
轴的直线（如图8－10）．
A

所 以，二元一次方程
AxByC0
（其中
A
、
B
不全< br>为零）表示一条直线．
图8－9 图8－10
方程
AxByC0
（其中
A
、
B
不全为零） （）

教 学
过 程
叫做直线的一般式方程．
*巩固知识 典型例题
例4 将方程
y2
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
说明 观察
思考
主动
求解
通过
例题
进一
步领
会
74
1
强调
并分别
(x1)
化为直线的一般式方程，
2
引领
讲解
说明
求出该直线在
x
轴与
y
轴上的截距．
解 由
y2
1
(x2)
得
2
3x2y60
．
这就是直线的一般式方程．在方程中令
y 0
，则
x2
，
故直线在
x
轴上的截距为
2
；令
x0
，则
y3
，故直线在
y
轴上的截距为 3．
【说明】
本教材中，如果不作特殊说明，作为结果，直线的方程都
要求写成一般式方程．
*运用知识 强化练习
1．将下列直线方程化为一般方程：
（1）
y
启发
引导
提问
思考
了解
动手
求解
可以
交给
学生
自我
发现
归纳
质疑
归纳
回答 及时
了解
82
78
13

x2
； （2）
y2(x1)
．
24
巡视
2．已知
AB C
的三个顶点分别为
A(3,0)
，
B(2,1)
，
指 导
C(2,3)
，求
AC
边上的中线所在直线的方程．
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：