四年级举一反三—完整版
厦门湖里区财政局-自我介绍作文600字
第1讲 找 规 律（一）
一、知识要点
观察是解决问题
的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况
下，我们可以从以下几个方面来找规
律：
1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；
2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；
3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；
4．数之间的联系往往可以从
不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可
以认为是正确的。
二、精讲精练
【例题1】 先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（ ），16，19
【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差
都是3，即每一个数加上3都等于后面
的数。根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16
－3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（ ），22，26
（2）3，6，9，12，（
），18，21
（3）33，28，23，（ ），13，（ ），3
（4）55，49，43，（ ），31，（ ），19
（5）3，6，12，（ ），48，（ ），192
（6）2，6，18，（
），162，（ ）
（7）128，64，32，（ ），8，（ ），2
（8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，3..
【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。1，2，4，7，
（
），16，22
【思路导航】在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1，2，3。由此可以
推算7比括号里的数少4，括号里应填：7+4=11。经验证，所填的数是正确的。
应填的数为：7+4=11或16-5=11。
练习2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）10，11，13，16，20，（ ），31
（2）1，4，9，16，25，（ ），49，64
（3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），11，2
（4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8
（5）81，64，49，36，（ ），16，（ ），4，1，0
（6）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），20，1
（7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），14，2
（8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，14
【例题3】先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
23，4，20，6，17，8，（
），（ ），11，12
- 1 -
【思路导航】在这列数中，第一
个数减去3的差是第三个数，第二个数加上2的和是
第四个数，第三个数减去3的差是第五个数，第四个
数加上2的和是第六个数……依此规
律，8后面的一个数为：17-3=14，11前面的数为：8+2
=10
练习3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）
（2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ）
（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14
（4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ）
（5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12
（6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，486
（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ）
（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ）
【例题4】在数列1，1，2，3，5，8，13，（
），34，55……中，括号里应填
什么数？
【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：从
第三个数开始，每一个数都等于它前
面两个数的和。根据这一规律，括号里应填的数为：8+13=21
或34－13=21
上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。
练习4：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，2，4，6，10，16，（
），（ ）
（2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ）
（3）0，1，3，8，21，（ ），144
（4）3，7，15，31，63，（
），（ ）
（5）33，17，9，5，3，（ ）
（6）0，1，4，15，56，（ ）
（7）1，3，6，8，16，18，（
），（ ），76，78
（8）0，1，2，4，7，12，20，（ ）
【例题5】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（8，4）（5，7）（10，2）（□，9）
【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：
每个括号里的两个数相加的和都是12。
根据这一规律，□里所填的数应为：12－9=3
练习5：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（1）（6，9）（7，8）（10，5）（□，）
（2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□）
（3）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5）
（4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，□）
（5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□）
（6）（64，62）（48，46）（29，27）（15，□）
（7）（100，50）（86，43）（64，32）（□，21）
（8）（8，6）（16，3）（24，2）（12，□）
- 2 -
第2讲 找 规 律（二）
一、知识要点
对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：
1.对于几列数组成的一
组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的
方法，有时需要综合运用其他知识，一种方
法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分
析；
2.对于那些分布在某些图中的数，它们之
间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊
位置有关，这是我们解这类题的突破口。
3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。
二、精讲精练
【例题1】根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。
【思路导航】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15，即每一横
行中
间的数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。
练习1：找规律，在空格里填上适当的数。
【例题2】根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？
【思路导航】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：
5
×12÷10=6 4×20÷10=8
根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：8×30÷10=24.
练习2：根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。
（1）
（2）
- 3 -
（3）
【例题3】先计算下面一组算式的第一
题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写
出后几题的得数。12345679×9=
12345679×18=12345679×
54=
12345679×81=
【思路导航】题中每个算式的第一个因数都是12345679，它是有趣
的“缺8数”，与
9相乘，结果是由九个1组成的九位数，即：111111111。不难发现，这组题
得数的规律是：
只要看每道算式的第二个因数中包含几个9，乘积中就包含几个111111111。
因为：12345679×9=111111111
所以：12345679×18=12345679×9×2=222222222
12345679×54=12345679×9×6=666666666
12345679×81=12345679×9×
9=999999999.
练习3：找规律，写得数。
（1） 1+0×9= 2+1×9=
3+12×9= 4+123×9= 9+12345678×9=
（2） 1×1=
11×11= 111×111= 111111111×111111111=
（3）19+9×9= 118+98×9= 1117+987×9=
11116+9876×9= 111115+98765×9=
【例题4】找规律计算。（1） 81－18=（8－1）×9=7×9=63
（2）
72—27=（7－2）×9=5×9=45 （3） 63－36=（□－□）×9=□×9=□
【思路导航】经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个位数字位
置后的两位数相减
，只要用十位与个位数字的差乘9，所得的积就是这两个数的差。
练习4：
1．利用规律计算。
（1）53－35 （2）82－28 （3）92－29
（4）61－16 （5）95－59
2．找规律计算。（1）
62+26=（6+2）×11=8×11=88（2）
87+78=（8+7）×11=15
×11=165（3）
54+45=（□+□）×11=□×11=□
【例题5】计算（1）26×11
（2）38×11
【思路导航】一个两位数与11相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个
数字中间，就是所求的积。（1） 26×11=2（2+6）6=286（2）
38×11=3（3+8）8=418
注意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。
练习5：计算下面各题。
（1）27×11= （2）32×11= （3）
39×11=
（4）46×11= （5）92×11= （6）98×11=
- 4 -
第3讲 简 单 推 理
一、知识要点
解答推理问题，要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口。推理要有条
理地进
行，要充分利用已经得出的结论，作为进一步推理的依据。
二、精讲精练
【例题1】 一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量，4袋牛肉干的重等于一包巧克
力的重量
，一袋饼干等于几袋牛肉干的重量？
【思路导航】根据“一包巧克力的重量=两袋饼干的重量”与“4
袋牛肉干的重量=一
包巧克力的重量”可推出：两袋饼干的重量=4袋牛肉干的重量。因此，一袋饼干的
重量=
两袋牛肉干的重量。
练习1：
（1）一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量，
两只梨子的重量等于一只菠萝的重量，
一只梨子的重量等于几根香蕉的重量？
（2）3包巧
克力的重量等于两袋糖的的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的
重量，一袋糖的重量等于几袋牛
肉干的重量？
（3）一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量。一只小猪
的重量等于几只鸭的重量？
【例题2】一头象的重量等于4头牛的重量，一头牛的重量等于
3匹小马的重量，一
匹小马的重量等于3头小猪的重量。一头象的重量等于几头小猪的重量？
【思路导航】根据“一头象的重量等于4头牛的重量”与“一头牛的重量等于3匹小
马的重量”可推出：
“一头象的重量等于12匹小马的重量”，而“一匹小马的重量等于3
头小猪的重量”，因此，一头象的
重量等于36头小猪的重量。
练习2：
（1）一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量，1个菠
萝的重量等于4个苹果的重量，1
个苹果的重量等于两个橘子的重量。1只西瓜的重量等于几个橘子的重
量？
（2）一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草
的
重量相等。已知一头牛每天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？
（3）一只
小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量，两只鸭的
重量等于6条鱼的重量。问：
两只小猪的重量等于几条鱼的重量？
【例题3】根据下面两个算式，求○与□各代表多少？○＋○＋○=18
○＋
□=10
【思路导航】在第一个算式中，3个○相加的和是18，所以○代表的数是：1
8÷3=6，
又由第二个算式可求出□代表的数是：10－6=4.
练习3：
-
5 -
（1）根据下面两个算式，求□与△各代表多少？
□＋□＋□＋□=32 △ －□=20
（2）根据下面两个算式，求○与□各代表多少？
○＋○＋○=15
○＋○＋□＋□＋□=40
（3）根据下面两个算式，求○与△各代表多少？
○－△=8
△＋△＋△=○
【例题4】根据下面两个算式，求○与△各代表多少？
△－○=2
○＋○＋△＋△＋△=56
【思路导航】由第一个算式可知，△比○多2；如果将第二个算式的○都换
成△，那
么5个△=56＋2×2，△=12，再由第一个算式可知，○=12－2=10.
练习4：
（1）根据下面两个算式求□与○各代表多少？
□－○=8
□＋□＋○＋○=20
（2）根据下面两个算式，求△与○各代表多少？
△＋△＋△＋○＋○=78 △＋△＋○＋○＋○=72
（3）根据下面两个算式，求△与□各代表多少？
△＋△＋△－□－□=12
□＋□＋□－△－△=2
【例题5】甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三小的学生，在区运动会上他
们分别
获得跳高、跳远和垒球冠军。已知：二小的是跳远冠军；一小的不是垒球冠军，甲不是跳
高冠军；乙既不是二小的也不是跳高冠军。问：他们三个人分别是哪个学校的？获得哪项
冠军？
【思路导航】由“二小的是跳远冠军”可知垒球、跳高冠军是一小或三小的；因为“一
小的不是垒球冠
军”，所以一小一定是跳高冠军，三小的是垒球冠军；由“甲不是跳远冠
军”，“乙既不是二小的也不是
跳高冠军”可知，一小的甲是跳高冠军，二小的丙是跳远
冠军，三小的乙是垒球冠军。
练习5：
（1）有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。一个穿花的，一个穿白的，一个
穿红的。但不知哪一个姓王、哪一个姓李、哪一个姓刘。只知道姓刘的不喜欢穿红的，姓
王的既
不是穿红裙子，也不是穿花裙子。你能猜出这三个女孩各姓什么吗？
（2）小兔、小猫、小狗、小猴和
小鹿参加100米比赛，比赛结束后小猴说：“我比
小猫跑得快。”小狗说：“小鹿在我前面冲过终点线
。”小兔说：“我们的名次排在小猴
前面，小狗在后面。”请根据它们的回答排出名次。
（3
）五个女孩并排坐着，甲坐在离乙、丙距离相等的座位上，丁坐在离甲、丙距离
相等的座位上，戌坐在她
两个姐姐之间。请问谁是戌的姐姐？
- 6 -
第4讲
应用题（一）
一、知识要点
解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致
地分析题目中数量间的关系，通
过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从
而使问题得以顺
利解决。
二、精讲精练
【例题1】 某玩具厂把630件玩具分
别装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱
与3个纸箱装的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件
玩具？
【思路导航】如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里，那么可以求出一个纸箱或
一
个塑料箱装多少件。因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多，所以6个纸箱与2个塑料
箱装的同样多。这
样，5个塑料箱装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多。由此，可求
出一个塑料箱装多少件。
练习1：
（1）百货商店运来300双球鞋分别装在2个木箱和6个纸箱里。如果两个纸箱同
一
个木箱装的球鞋同样多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？
（2）新华小学买了两张桌
子和5把椅子，共付款195元。已知每张桌子的价钱是每
把椅子的4倍，每张桌子多少元？
（3）王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆，共付款156元。已知5千克荔枝的价钱
等于2千克桂圆的
价钱。每千克荔枝和每千克桂圆各多少元？
【例题2】一桶油，连桶重180千克，用去一半油后，连
桶还有100千克。问：油和
桶各重多少千克？
【思路导航】原来油和桶共重180千克，用
去一半油后，连桶还有100千克，说明用
去的一半油的重是180－100=80（千克），一桶油的
重量就是80×2=160（千克），油桶
的重量就是180－160=20（千克）。
练习2：
（1）一筐梨，连筐重38千克，吃去一半后，连筐还有20千克。问：梨和筐各重多
少千克？
（2）一筐苹果，连筐共重35千克，先拿一半送给幼儿园小朋友，再拿剩下的一半送
给一年级
小朋友，余下的苹果连筐重11千克。这筐苹果重多少千克？
（3）一只油桶里有一些油，如果把油加
到原来的2倍，油桶连油重38千克；如果把
油加到原来的4倍，这里油和桶共重46千克。原来油桶里
有油多少千克？
【例题3】有5盒茶叶，如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶叶正好和原来
4盒茶叶的重量相等。原来每盒茶叶有多少克？
【思路导航】由条件“每盒取出200克，5
盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶重量相
等”可以推出，拿出的200×5=1000（克）茶叶正好等
于原来的5－4=1（盒）茶叶的重量。
练习3：
- 7 -
（
1）有6筐梨子，每筐梨子个数相等，如果从每筐中拿出40个，6筐梨子剩下的个
数总和正好和原来两
筐的个数相等。原来每筐有多少个？
（2）在5个木箱中放着同样多的橘子。如果从每个木箱中拿出6
0个橘子，那么5个
木箱中剩下的橘子的个数的总和等于原来两个木箱里橘子个数的和。原来每个木箱中
有多
少个橘子？
（3）某食品店有5箱饼干，如果从每个箱子里取出20千克，那么5个箱子
里剩下的
饼干正好等于原来3箱饼干的重量。原来每个箱子里装多少千克饼干？
【例题4】一
个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60张，实际每天比原计划多
生产4张，结果提前一天完成任
务。原计划要生产多少张课桌？
【思路导航】这道题的关键是要求出工作时间。因为实际比原计划提前
1天完成任务，
这就相当于把原计划最后1天的任务平均分到前面的几天去做，正好分完。实际比原计划
每天多生产4张，所以实际生产的天数是60÷4=15天，原计划生产的天数是15＋1=16天。<
br>所以原计划要生产60×16=960张。
练习4：
（1）电视机厂接到一批生产任
务，计划每天生产90台，可以按期完成。实际每天多
生产5台，结果提前1天完成任务。这批电视机共
有多少台？
（2）小明看一本故事书，计划每天看12页，实际每天多看8页，结果提前2天看完。<
br>这本故事书有多少页？
（3）修一条公路，计划每天修60米，实际每天比计划多修15米，结
果提前4天修
完。一共修了多少米？
【例题5】有两盒图钉，甲盒有72只，乙盒有48只，
从甲盒拿出多少只放入乙盒，
才能使两盒中的图钉相等？
【思路导航】由条件可知，甲盒比乙
盒多72－48=24只。要盒两盒中的图钉相等，只
要把甲盒比乙盒多的24只图钉平均分成2份，取
其中的1份放入乙盒就行了。所以应拿
出24÷2=12只。
练习5：
（1）有两
袋面粉，第一袋面粉有24千克，第二袋面粉有18千克。从第一袋中取出
几千克放入第二袋，才能使两
袋中的面粉重量相等？
（2）有两盒图钉，甲盒有72只，乙盒有48只。每次从甲盒中拿4只放到乙
盒，拿
几次才能使两盒相等？
（3）有两袋糖，一袋是68粒，另一袋是20粒。每次从多的
一袋中拿出6粒放到少
的一袋里，拿几次才能使两袋糖同样多？
- 8 -
第5讲 算式谜（一）
一、知识要点
“算式谜”
一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可以
根据已学过的知识，运用正确的
分析推理方法，确定算式中的未知数字和运用符号。由于
这类题目的解答过程类似全平时进行的猜谜语游
戏，所以，我们把这类题目称为“算式谜
题”。
解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数据
之间的关系，找到突破口，逐步试验，
分析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估值法等。
二、精讲精练
【例题1】 在下面算式的括号里填上合适的数。
【思路导航】根据题目特点，先看个位：7＋5=12，在和的个位（
）中填2，并向十
位进一；再看十位，（ ）+4+1的和个位是1，因此，第一个加数的（
）中只能填6，并
向百位进1；最后来看百位、千位，6+（ ）+1的和的个位是2，第二个加数的（
）中只
能填5，并向千位进1；因此，和的千位（ ）中应填8。
练习1：（1）在括号里填上合适的数。 （2）在方框里填上合适的数。
（3）下面的竖式里，有4个数字被遮住了，求竖式中被盖住的4个数
字的和。
【例题2】下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代
表不同的数字，相同
的汉字代表相同的数字。当它们各代表什么数字
时，下列的算式成立。
【思路导航
】先看个位，3个“飞”相加的和的个位数字是1，可推知“飞”代表7；
再看十位，3个“腾”相加，
再加上个位进来的2，所得的和的个位是0，可推知“腾”代
表6；再看百位，两个“龙”相加，加上十
位进上来的2，所得和的个位是0，“龙”可能
是4或9，考虑到千位上的“巨”不可能为0，所以“龙
”只能代表4，“巨”只能代表1。
练习2：
- 9 -
【例题3】下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表
0—9这十个数字中的某一个，相同的汉字代表相同的数字。这些汉字
各代表哪些数字？ 【思路导航】这道题应以“卒”入手来分析。“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然
是“卒”，这个
数字只能是0。确定“卒”是0后，所有是“卒”的地方，都是0。注意
到百位上是“兵”+“兵”=“
卒”，容易知道“兵”是5，“车”是1；再由十位上的情
况可推知“马”是4，进而推得“炮”是2。
练习3：
【例题4】将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆
圈和方格内，每个数字恰好出
现一次，组成一个整数算式。 ○×○=□=○÷○ 【思路导航】要求用七个数字组成五个数，这五个数有三个是一位数，有两个是两位
数。显然，方格
中的数和被除数是两位数，其他是一位数。
0和1不能填入乘法算式，也不能做除数。由于2×6=1
2（2将出现两次），2×5=10
（经试验不合题意），2×4=8（7个数字中没有8），2×3=
6（6不能成为商）。因此，0、
1、2只能用来组成两位数。经试验可得：3×4=12=6=÷5.
练习4：（1）将0、1、3、5、6、8、9这七个数字填在圆圈和方筐里，每个数字恰好
出
现一次组成一个整数算式。 ○×○=□=○÷○
（2）填入1、2、3、4、7、9，使等式成立。 □÷□=□÷□
（3）
用1、2、3、7、8这五个数字可以列成一个算式：（1+3）×7=28。请你用0、1、
2、3、
4、6这六个数字列成一个算式。
【例题5】把“＋、－、×、÷”分别放在适当的圆圈中（运算符号
只能用一次），
并在方框中填上适当的数，使下面的两个等式成立。36○0○15=15
21○3○5=□
【思路导航】先从第一个等式入手，等式右边是15，与等式左边最后一个数15相
同，
因为0+15=15，所以，只要使36与0的运算结果为0就行。显然，36×0+15=15
因为第一个等式已填“×”、“+”，在第二个等式中只有“－”、“÷”可以填，
题目要求在
方框中填整数，已知3不能被5整除，所以“÷”只能填在21与3之间，而3
与5之间填“－”。 <
br>练习5：（1）把“＋、－、×、÷”分别填入下面的圆圈中，并在方框中填上适当的
整数，使下
面每组的两个等式成立。 ① 9○13○7=100 14○2○5=□
②
17○6○2=100 5○14○7=□
（2）将1～9这九个数字填入□中（每个数字只能用一次），组成三个等式。
□＋□=□
□－□=□ □×□=□
- 10 -
第6讲
算式谜（二）
一、知识要点
解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：
1．认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部
判断；
2．利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；
3．试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目
的；
4．算式谜解出后，要验算一遍。
二、精讲精练
【例题1】
在下面的方框中填上合适的数字。
【思路导航】由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由<
br>第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，
可推出第一人个因数的百位
是3；由第一个因数为376与积为31□□0，
可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易
填了。
练习1：
在□里填上适当的数。
【例题2】在下面方框中填上适合的数字。
【思路导航】由商的十位是1，以及1
与除数的乘积的最高位是1可推知除数的十位
是1。由第一次除后余下的数是1，可推知被除数的十位只
可能是7、8、9。如果是7，除
数的个位是0，那么最后必有余数；如果被除数是8，除数的个位就是
1，也不能除尽；只
有当被除数的十位是9时，除数的个位是2时，商的个位为6，正好除尽。完整的竖
式是：
练习2：在□内填入适当的数字，使下列除法竖式成立。
【例题3】下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？
- 11
-
【思路导航】因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1；d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b
相乘的积不能进位
，所以b只能是0（1已经用过）；再由b=0，可推知c=8。
练习3：
求下列各题中每个汉字所代表的数字。
花= 红 =
柳 = 绿 =
盼 = 望 = 祖
= 国 = 早 = 日 = 统 = 一 =
【例题
4】在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种运算
符号，使其结果等
于100（数字的顺序不能改变）。 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100
【思路导航】先凑出与100比较接近的数，再根据需要把相邻的几个数组成一个数。
比如：
123与100比较接近，所以把前三个数字组成123，后面的数字凑出23就行。
因为45与67相
差22，8与9相差1，所以得到一种解法：123＋45－67＋8－9=100
再比如：89与1
00比较接近，78与67正好相差11，所此可得另一种解法：123＋45
－67＋8－9=100
.
练习4：：（1）在下面等号左边的数字之间添上一些加号，使其结果等于99（数字
的顺
序不能改变）。 8 7 6 5 4 3 2 1 = 99
（2）一个乘号
和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使其结果等于100（数字的
顺序不能改变）。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100
（3）添上适当的运算符号和括号，使下列等式成立。 1 2 3 4 5 = 100
【例题5】在下面的式子里添上括号，使等式成立。 7×9＋12÷3－2 = 23
【思路导航】采用逆推法，从最后一步运算开始考虑。假如最后一步是用前面计算的
结果减2，那么前面
式子的运算结果应等25，又因为25×3=75，而前面7×9＋12又正好
等于75，所以，应给前
面两步运算加括号。 （7×9＋12）÷3－2 = 23
练习5：
1.在下面的式子里添上括号，使等式成立。
（1）7×9＋12÷3－2 =
75（2）7×9＋12÷3－2 = 47（3）88＋33－11÷11×2 = 5
2.在1、
2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符号，使
其结果等于100（
数字的顺序不能改变）。
华 = 罗 = 庚 = 金 = 杯 =
- 12 -
第7讲 最优化问题
一、知识要点
在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才
能做到用的时间最
少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用
最省”、“面积最大”、“损耗最
小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它
的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题
。以上的问题实际上都是“最优化问题”。
二、精讲精练
【例题1】 用一只平底锅煎饼
，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反
面各需要1分钟）。问煎3个饼至少需要多少分钟？
【思路导航】先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可
将一个取出
，另一个翻过去，再放入第三个。又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把
第三个翻过去，再将第一个
放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。所以，煎3个饼至少需要
3分钟。
练习1：
1
.烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。
小丽用来烤面包的架
子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分
钟？
2.用一只平底锅烙
大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要
烙3个大饼，最少要用几分钟？ 3.小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放4个大饼，烙一个要用4分钟（每面各需要2
分钟）。可小
华烙6个大饼只用了6分钟，他是怎样烙的？
【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分
钟，烧开水需要15分钟，洗
茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟
？
【思路导航】经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。水壶不洗，
不能
烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水
可以同时进行。 <
br>根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时
洗茶壶、洗茶
杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要16分钟。
练习2：
1.小虎早晨要完成这样几件事：
烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2
分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。他完
成这几件事最少需要多少分钟？
2.小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶
要8分钟，放茶
叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？
3.在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，
读外语3
0分钟，吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。最少需要多少分
钟？
【例题
3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。
赵明打针需要5分钟，
孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一
- 13 -
位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最
短？
【思路导航】校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三
位同学在卫生室的时
间总和最短。这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，
赵1+3=4分钟，赵明1+3+
5=9分钟。时间总和是1+4+9=14分钟。
练习3：
1．甲、乙、丙三人分别拿着2
个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。热
水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以
使他们打热水所花的总时间最少？
2．甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的
时间分别是10分
钟、16分钟和8分钟。怎样安排，使3人所花的时间最少？最少时间是多少？ 3．甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水，甲洗托把需要3分钟，乙洗抹布需
要2分钟，丙洗
衣服需要10分钟，丁用桶注水需要1分钟。怎样安排四人用水的次序，
使他们所花的总时间最少？最少
时间是多少？
【例题4】用18厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。围<
br>成的长方形的面积最大是多少？
【思路导航】根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是
18÷2=9厘米。显然，
当长与宽的差越小，围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘
米数，因此，
当长是5厘米，宽是4厘米时，围成的长方形的面积最大：5×4=20平方厘米。
练习4：
1.用长26厘米的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数，围成的
长
方形的面积最大是多少？
2.一个长方形的周长是20分米，它的面积最大是多少？ 3.一个长方形的面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形
的周长最长是
多少厘米？
【例题5】用3～6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。 【思路导航】解决这个问题应考虑两点：（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能
使两个数的差
最小。所以应把6和5这两个数字放在十位，4和3放在个位。根据“两个
因数的差越小，积越大”的规
律，3应放在6的后面，4应放在5的后面。63×54=3402.
练习5：
1.用1～4这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。
2.用5～8这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。
3.用3～8这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大。
- 14 -
第8讲 巧妙求和（一）
一、知识要点
若干个数排成一列
称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最
后一项称为末项，数列中项的个数称为
项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的
差
称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
二、精讲精练
【例题1】
有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？
【思路导航】容易看出这是一
个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，
可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习1：
1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？
2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？
3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？
【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？
【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根
据“末项=首
项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.
练习2：
1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则<
br>得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括
号内的两个
数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以
2.
就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
- 15 -
这个公式也叫做等差数列求和公式。
练习3：
计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50
（2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60
【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项
数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－
2）÷2+1=25
首项=2.末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.
练习4：
计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22
（2）5+10+15+20+…+195+200
（3）9+18+27+36+…+261+270
【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
【思路导航】容易
发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它
们各自的和，然后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶
数两
个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分
别对应相减，可得到
50个差，再求出所有差的和。
（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）
=1+1+1+…+1
=50
练习5：
用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）
（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）
（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）
- 16 -
第9讲 变化规律（一）
一、知识要点
和、差的规律见下表（m≠0）
一个加数（a）
±m
不变
±m
被减数（a）
±m
不变
±m
二、精讲精练
【例题1】
两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？
【思路导航】一个加数增加9，
假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不
变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，
接着又减少9，所以不发生变化。
练习1：
1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？
2.两个数相加，一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化？
3.两个数相加，一个数减6，另一个数减2.和起什么变化？
【例题2】两个数
相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有
什么变化？
【思路导航】
一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。现在要使和增
加6，那么另一个加数应减少1
0－6=4。
练习2：
1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？
2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？
3.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？
【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？
【思路导航】被减
数增加8，假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增
加8，差就减少8。两个数的差先增加
8，接着又减少8，所以不起什么变化。
练习3：
- 17 -
另一个加数（b）
不变
±m
和（c）
±m
±m
不变
m
m
减数（b）
不变
±m
±m
差（c）
±m
m
m
不变
1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？
2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？
3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？
【例题4】两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变
化？ 【思路导航】如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变，积将扩大8倍；如果一个因
数不变，另一个
因数缩小2倍，积将缩小2倍。积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大
了8÷2=4倍。
练习4：
1.两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，和是否起变化？
2.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？
3.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化？
【例题5】两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
【思路导航】如
果被除数扩大4倍，除数不变，商就扩大4倍；如果被除数不变，除
数缩小2倍，商就扩大2倍。商先扩
大4倍，接着又扩大2倍，商将扩大4×2=8倍。
练习5：
1.两数相除，被除数扩大30倍，除数缩小5倍，商将怎样变化？
2.两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
3.两数相除，除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化？
- 18 -
第10讲 变化规律
一、知识要点
乘、除变化规律见下表（m≠0）
被乘数（a）
×÷m
不变
×÷m
被除数（a）
×÷m
不变
×÷m
除数（b）
不变
×÷m
×÷m
商（c）
×÷m
÷×m
不变
乘数（b）
不变
×÷m
÷×m
积（c）
×÷m
×÷m
不变
我们学习了和、差、积、商的变化规律，这一周，我们利用这些规律来解决一些较简
单的问题。
二、精讲精练
【例题1】
两数相减，被减数减少8，要使差减少12.减数应有什么变化？
【思路导航】被减数减少8，假如减
数不变，差也减少8；现在要使差减少12.减数应
增加12－8=4。
练习1：
1.两数相减，如果被减数增加6，要使差增加15，减数应有什么变化？
2.两数相减，如果被减数增加20，要使差减少12.减数应有什么变化？
3.两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有什么变化？
【例题2】两个数相除
，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是
多少？余数是多少？
【思路
导航】两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同
的倍数。所以商是8，余数
是20×10=200。
练习2：
1.两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数
同时扩大10倍，商是多少？余
数是多少？
2.两个数相除，商是9，余数是3。如果被除数
和除数同时扩大120倍，商是多少？
余数是多少？
3.两个数相除，商是8，余数是600
。如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少？
余数是多少？
- 19 -
【例题3】两数相乘，积是48。如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么
积是 多少？
【思路导航】一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。
所 以最后的积是48×2÷3=32。
练习3：
1.两数相乘，积是20。如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小4倍，那么积是多少？
2.两数相除，商是19。如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？
3.两数相除，商是27。如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少？
【例题4 】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一
个加数十位上的3错误地写成 8，所得的和是1996。原来两个数相加的正确答案是多少？
【思路导航】根据题意，一个加数个位 上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来
增加了6；另一个加数十位上的3写成8，增加了50。这 样，所得的结果就比原来增加了
6+50=56。所以，原来两数相加的正确答案是：1996－（6＋ 56）=1940。
练习4：
1.小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8，把 另一个加数个位上的6错
写成9，所得的和是532。正确的和是多少？
2.小强在计算加法 时，把一个加数十位上的7错写成1.把个位上的8错写成0，所得
的和是285。正确的和是多少？
3.小亮在计算加法时，把一个加数个位上的5错写成3.把另一个加数十位上的3错写
成8， 所得的和是650。正确的和是多少？
【例题5】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的 3错写成5，把十位
上的6错写成0，这样算得差是189。正确的差是多少？
【思路导航】 根据题意，被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位上的6写成0，
因此减少60。这样错写的被 减数比原来减少了60－2=58。因为减数不变，根据差的变化
规律，正确的差要比错误的差多50。 正确的差是：189＋58=247。
练习5：
1.小军在做题时，把被减数个位上的3错 写成8，把十位上的0错写成6，这样算得
的差是198。正确的差是多少？
2.小刚在做题 时，把减数个位上的9错写成6，把十位上的3错写成8，这样算得的
差是268。正确的差是多少？
3.小红在做题时，把被减数十位上的0错写成8，把减数个位上的8错写成3.这样算
得的差 是632。正确的差是多少？
- 20 -
第11讲 错中求解
一、知识要点
在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄
错，就
会导致计算结果发生错误。这一周，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。
二、精讲精练
【例题1】小玲在计算除法时，把除数65写成56，结果得到的商是13.还
余52。正
确的商是多少？
【思路导航】要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。我们可
以先抓住错误的得
数，求出被除数：13×56＋52=780。所以，正确的商是：780÷65=1
2。
练习1：
1.小星在计算除法时，把除数87错写成78，结果得到的商是5，余数是
45。正确的
商应该是多少？
2.甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。甜甜用12去除，蜜蜜
用15去除，甜甜得到的
商是32还余6，蜜蜜计算的结果应该是多少？
3.小虎在计算除法
时，把被除数1250写成1205，结果得到的商是48，余数是5。正
确的商应该是多少？
【例题2】小芳在计算除法时，把除数32错写成320，结果得到商是48。正确的商应
该是多少？
【思路导航】根据题意，把除数32改成320扩大到原来的10倍，又因为被除数不变，
根据
商的变化规律，正确的商应该是错误商的10倍。所以正确的商应该是48×10=480。
练习2：
1.小丽在计算除法时，把除数530末尾的0漏写了，得到的商是40。正确的商应该是
多少
？
2.小马在计算除法时，把被除数1280误写成12800，得到的商是32。正确的商应该是多少？
3.小欣在计算除法时，把被除数420错写成240，结果得到商是48。正确的商应
该是
多少？
【例题3】小冬在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173.这样商比
原来多了
3.而余数正好相同。正确的商和余数是多少？
【思路导航】因为被除数137被错
写成了173.被除数比原来多了173－137=36，又因
为商比原来多了3.而且余数相同，所以
除数是36÷3=12。又由137÷12=11……5，所以余
数是5。
练习3：
- 21 -
1.小军在计算有余数的除法时，把被除数208错写成268
，结果商增加了5，而余数
正好相同。正确的除数和余数是多少？
2.李明在计算有余数的除
法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少了3.而余
数正好相同。求这道除法算式正确的商
和余数。
3.刘强在计算有余数的除法时，把被除数137错写成174，结果商比原来多3.余数比
原来多1。求这道除法算式的除数和余数。
【例题4】小龙在做两位数乘两位数的题时，把一
个因数的个位数字4错当作1.乘得
的结果是525，实际应为600。这两个两位数各是多少？ 【思路导航】一个因数的个位4错当作1.所得的结果比原来少了（4－1）个另一个因
数；实际的
结果与错误的结果相差600－525=75，75÷3=25，600÷25=24。所以一个因数
是
24，另一个因数是25。
练习4：
1.小锋在计算乘法时，把一个因数的个位数8错当作
3.得345，实际应为420。这两
个因数各是多少？
2.小菊做两位数乘两位数的乘法时
，把一个因数的个位数字1误写成7，结果得646，
实际应为418。这两个两位数各是多少？ 3.李晓在计算两位数乘两位数的题目时，把一个因数十位上的3误当作8，结果得
2150，这道
题的正确积应是900。这两个两位数各是多少？
【例题5】方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将一
个因数增加14，计算的积增加了
84，圆圆误将另一个因数增加14，积增加了168。那么，正确的
积应是多少？
【思路导航】由“方方将一个因数增加14，计算结果增加了84”可知另一个因数是<
br>84÷14=6；又由“圆圆误将另一个因数增加14，积增加了168”可知，这个因数是168÷14=12。所以正确的积应是12×6=72。
练习5：
1.两个数相乘，如果一个
因数增加10，另一个因数不变，那么积增加80；如果一个
因数不变，另一个因数增加6，那么积增加
72。原来的积是多少？
2.两个数相乘，如果一个因数增加3.另一个因数不变，那么积增加18；
如果一个因
数不变，另一个因数减少4，那么积减少200。原来的积是多少？
3.小敏在做
两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字5误写成3.得出的乘积是
552；另一个学生却把这个
5写成8，得出的乘积是672。正确的乘积是多少？
- 22 -
第12讲 简单列举
一、知识要点
有些题目，因其所求问
题的答案有多种，直接列式解答比较困难，在这种情况下，我
们不妨采用一一列举的方法解决。这种根据
题目的要求，通过一一列举各种情况最终达到
解答整个问题的方法叫做列举法。
二、精讲精练
【例题1】从南通到上海有两条路可走，从上海到南京有
3条路可走。王叔叔从南通经过上海到
南京去，有几种走法？
【思路导航】为了帮助理解，先画一个线路示意图，并用①、
②、③、④
、⑤表示其中的5条路。
我们把王叔叔的各种走法一一列举如下：
根据以上列举可以发现，
从南通经过①到
上海再到南京有3种方法，从南通经过②到上
海再到南京也有3种方法，共有两
个3种方法，
即3×2=6（种）。
练习1：
1.小明从家到学校有3条路可走，
从学校到少年宫有两条路，小明从家经过学校到少
年宫有几种走法？
2.从甲地到乙地，有两条走达铁路和4条直达公路，那么从甲地到乙地有多少种不同
走法？
3.从甲地到乙地，有两条直达铁路，从乙地到丙地，有4条直达公路。那么，从甲地
到丙地有
多少种不同的走法？
【例题2】用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？
【思路导航】要使信号不同，就要求每一种信号颜色
的顺序不同，我们把这些不同的信号一一列
举如下：
从上面的排列中可以发现，红色信号灯排在第一位置
时，有两种不同的信号，黄色信
号灯排在第一位置时，也有两种不同的信号，蓝色信号灯
排在第一位置时，也有两种不同的信号。因此，
共有2×3=6种不同的排法。
练习2：1．甲、乙、丙三个同学排成一排，有几种不同的排法？
2．小红有3种不同颜色的上衣，4种不同颜色的裙子，问她共有多少种不同的穿法？
3．用3、4、5、6四个数字可以组成多少个不同的四位数？
【例题3】有三张数字卡片，
分别为3、6、0。从中挑出两张排成一个两位数，一共
可以排成多少个两位数？【思路导航】排成时要
注意“0”不能排在最高位，下面我们进
行分类考虑。（1）十位上排6，个位上有两个数字可选，这样
的数共有两个：60，63；（2）
- 23 -
十位上排3.个位上也有两
个数字可选，这样的数也有两个：30，60。从以上列举容易发现，
一共可以排成2×2=4（个）两
位数。
【例题3】有三张数字卡片，分别为3、6、0。从中挑出两张排成一个两位数，一共
可以排成多少个两位数？【思路导航】排成时要注意“0”不能排在最高位，下面我们进
行分类考虑。（
1）十位上排6，个位上有两个数字可选，这样的数共有两个：60，63；（2）
十位上排3.个位上
也有两个数字可选，这样的数也有两个：30，60。从以上列举容易发现，
一共可以排成2×2=4（
个）两位数。
练习3：1.用0、2、9这三个数字，可以组成多少个不同的两位数？
2.用8、6、3、0这四个数字，可以组成多少个不同的三位数？最大的一个是多少？
3.
用0、1、5、6这四个数字，可以组成多少个不同的四位数？从小到大排列，1650
是第几个？ <
br>【例题4】从1～～8这八个数字中，每次取出两个数字，要使它们的和大于8，有多
少种取法？
【思路导航】为了既不重复，又不遗漏地统计出结果，应该按一定的顺序来分
类列举，可以按“几＋8、
几＋7、几＋5、几＋6、几＋5”的顺序来思考。
1＋8、2＋8、3＋8、……7＋8，共7个；
2＋7、3＋7、4＋7、……6＋7，共5个；3
＋6、4＋6、5＋6，共3个；4＋5共1个。这
样，两个数的和大于8的算式共有7＋5＋3
＋1=16（个），所以，共有16种不同的取法。
练习4：1.从1～6这六个数中，每次取两个数，要使它们的和大于6，有多少种取法？
2.从1～9这九个数中，每次取两个数，要使它们的和大于10，有多少种取法？
3.营业员有一个伍分币，4个贰分币，8个壹分币，他要找给顾客9分钱，有几种找
法？
【例题5】在一次足球比赛中，4个队进行循环赛，需要比赛多少场？（两个队之间
比赛一次称
为1场）
【思路导航】4个队进行循环赛，也就是说4个队每两个队都要赛一场，设4个队分
别为A、B、C、D，我们可以用图表示4个队进行循环赛的情况。
A队和其他3个队各比赛1次，要
赛3场；B队和其他两个队还要各比赛1次，要赛2
场；C队还要和D队比赛1次，要赛1场。这样，一
共需要比赛3＋2＋1=6（场）。
练习5：
1.在一次羽毛球赛中，8个队进行循环赛，需要比赛多少场？
2.在一次乒乓球赛中，参加比赛的队进行循环赛，一共赛了15场。问有几个队参加
比赛？
3.某学区举行“苗苗杯”小学生足球赛，共有6所学校的足球队比赛，比赛采取循环
制，每个
队都要和其他各队赛一场，根据积分排名次。这些比赛分别安排在3个学校的球
场上进行，平均每个学校
要安排几场比赛？
- 24 -
第13讲 和倍问题
一、知识要点
已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和
倍问题。
解答和倍应用题的基本数量关系是：
和÷（倍数＋1）=小数
小数×倍数=大数
（和－小数=大数）
二、精讲精练
【例题1】
学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。两种
书各有多少本？
【思路导航】为了便于理解题意，我们画图来分析：
由图可知，如果把故事书的本数看作一份
，那么科
技书的本数就是这样的3份，两种书的总本数就是这样
的1＋3=4份。把480本书
平均分成4份，1份是故事书的本数，3份是科技书的本数。
480÷（1＋3）=120（本）
120×3=360（本）.
练习1：
1.用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。铝和锡各用了多少千
克？
2.甲、乙两数的和是112.甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？
3.一块长方
形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各是
多少分米？
【例题2
】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，
桃树的棵数是苹果树的
4倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？
【思路导航】如果把苹果树的棵数看作1份，三种树的总棵
数是这样的1+3+4=8份。
所以，苹果树有1200÷8=150（棵），梨树有150×3=45
0（棵），桃树有150×4=600（棵）.
练习2：
1.李大伯养鸡、鸭、鹅共960
只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。
鸡、鸭、鹅各养了多少只？
2.甲、乙
、丙三数之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各
是多少。
3.商
店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数与
圆珠笔的支数同样多。
铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支？
【例题3】有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一
个的2倍，第三个
书橱里的书是第二个的4倍。每个书橱里各放了多少本书？
- 25 -
【思路导航】把第一个书橱里的本数看作1份，那么第二个书橱里的本数是这样的2份，第三个就是这样的2×4=8份，三个书橱里的总本数就是这样的1+2+8=11份。所以，
第一个书橱里放了
330÷11=30（本），第二个书橱里放了30×2=60（本），第三个书橱
里放了60×4=240
（本）。
练习3：
1．甲、乙、丙三个数之和是400，
已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求甲、乙、丙
各是多少。
2．三块钢板共重621千克，
第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块
的2倍。三块钢板各重多少千克？
3．
甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的数
数是丙队的3倍。三
个队各修了多少米？
【例题4】少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵
，两种
树各种了多少棵？
【思路导航】如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的总棵数是21
6－20=196（棵），
这里杨树的棵数恰好是柳树的3倍。所以，柳树的棵数是196÷（1＋3）
=49（棵），杨树
的棵数是216－49=167（棵）。
练习4：1.粮站有大米和面粉
共6300千克，大米的重量比面粉的4倍还多300千克，
大米和面粉各有多少千克？
2.
小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42
分。两人各得多少分
？
3.学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的3倍多
8
本，中年级分得的比低年级的2倍多4本。高、中、低年级各分得图书多少本？
【例题5】三个筑路队
共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多
240米。三个队各筑多少米？
【思路导航】把乙队的米数看作1份，甲队筑的米数是这样的2份。假设丙队多筑240
米，那么三个
队共筑了1360＋240=1600米，正好是乙队的2＋1＋1=4倍。所以，乙队筑
了1600÷
4=400米，甲队筑了400×2=800米，丙队筑了400－240=160米。
练习5：1.
三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少
植300棵。三个队各植树
多少棵？
2.三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40。三个数各是多少？ <
br>3.城东小学共有篮球、足球和排球共95个，其中足球比排球少5个，排球的个数是
篮球个数的
2倍。篮球、足球、排球各有多少个？
- 26 -
第14讲
植树问题
一、知识要点
1．线段上的植树问题可以分为以下三种情形：
（1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1.即：
棵数=段数＋1；
（2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：棵数=段数；
（3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1.即：
棵数=段数－1。
2．在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即：
棵数=段数。
二、精讲精练
【例题1】
城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵。这条路长
多少米？
【思路导航
】题中已知栽树28棵，28棵树之间有28－1=27段，每隔6米为一段，所
以这条大路长6×27
=162米。
练习1：
1.在一条马路一边从头至尾植树36棵，每相邻两棵树之间隔8米，这长马路有多长？
2.
同学们做早操，21个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到
最后一个人的距离是
40米，相邻两个人隔多少米？
3.一条路长200米，在路的一旁从头至尾每隔5米植一棵树，一共要植多少棵？
【例题2】在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少
棵树？
【思路导航】这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等。240÷5=48
（棵
）
练习2：
1.一个鱼塘的周长是1500米，沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树，需要种多少棵杨树？
2.在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米？
3.在一块长80米，宽60米的长方形地的周围种树，每隔4米种一棵，一共要种多少
棵？
【例题3】在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。
- 27 -
【思路导航】大桥两边一共挂了202盏彩灯，每边各挂202÷2=101盏，101盏彩灯把
80
0米长的大桥分成101－1=100段，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100=8米。
练习3：
1.在一条长100米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽52棵，相
邻的
两棵树之间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离。
2.一座长400米的大桥两旁挂彩灯，每两个相隔4米，从桥头到桥尾一共装了多少盏
灯？
3.六年级学生参加广播操比赛，排了5路纵队，队伍长20米，前后两排相距1米。
六年级有
学生多少人？
【例题4】一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏部分锯下来1米，
然后锯了
5次，锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米？
【思路导航】根据题意，把长1
9－1=18米的木条锯了5次，可以锯成5＋1=6段，所
以每根短木条长18÷6=3米。
练习4：
1.一个木工锯一根长17米的木料，他先把一头损坏的部分锯下来2米，然后锯了
4
次，锯成同样长的短木条，每根短木条长几米？
2.有一根圆钢长22米，先锯下2米，剩下的锯成每根都是4米的小段，又锯了几次？
3.有一个工人把长12米的圆钢锯成了3米长的小段，锯断一次要5分钟。共需要多
少分钟？
【例题5】有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10需要多少秒？
【思路导航】把每一层楼所需要的时间看作一个间隔
，1层至3层有两个时间间隔，
所以每个间隔用去的时间是30÷（3－1）=15秒，3层到10层经
过了10－3=7个时间间隔，
所以，他从3层到10层需要15×7=105秒。
练习5：
1.把6米长的木料平均锯成3段要6分钟，照这样计算，如果锯成6段，需要多少分
钟？
2.时钟4点敲4下，6秒钟敲完。那么12点钟敲12下，多少秒钟敲完？
3.一游人以等
速在一条小路上散步，路边相邻两棵树的距离都相等，他从第一棵树走
到第10棵树用了11分钟，如果
这个游人走22分钟，应走到第几棵树？
- 28 -
第15讲
图形问题
一、知识要点
解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点：
1.细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决；
2.从整体上
观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数
量关系明朗化。
二、精讲精练
【例题1】 人民路小学操场长90米，宽45米。改造后，长增加10米，
宽增加5米。
现在操场面积比原来增加了多少平方米？【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的<
br>面积，就得到增加的面积。操场现在的面积是（90+10）×（45+5）=5000平方米，操场原<
br>来的面积是90×45=4050平方米。所以，现在的面积比原来增加5000－4050=950平方
米。
练习1：1.有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米。如果长和宽分别减少10分
米、3分米，面积比原来减少多少平方分米？
2.一块长方形铁板，长18分米，宽13分米。如果长
和宽各减少2分米，面积比原来
减少多少平方分米？
3.一块长方形地，长是80米，宽是4
5米。如果把宽增加5米，要使面积不变，长应
减少多少米？
【例题2】一个长方形，如果宽
不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米；如
果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平
方米。这个长方形原来的面积是多少平
方米？【思路导航】由“宽不变，长增加6米，面积增加54平方
米”可知，它的宽为54
÷6=9米；由“长不变，宽减少3米，面积减少36平方米”可知，它的长为
36÷3=12米。
所以，这个长方形原来的面积是12×9=108平方米。
练习2：1.
一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米；如
果长不变，宽增加4米，那么
它的面积增加60平方米。这个长方形原来的面积是多少平
方米？
2.一个长方形，如果宽不
变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米；如果长不
变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方
米。这个长方形原来的面积是多少平方米？
3.一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米
，那么它的面积都减少36平
方米。求这个长方形原来的面积。
【例题3】下图是一个养禽专
业户用一段16米的篱笆围成的
一个长方形养鸡场，求它的占地面积。
【思路导航】根据题意
，因为一面利用着墙，所以两条长加
一条宽等于16米。而宽是4米，那么长是（16－4）÷2=6米
，
占地面积是6×4=24平方米。
- 29 -
练习3：1.右
图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的
一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积。
2.用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形，其中一边利
用围墙，怎样才能使围成的面积最大？
3.用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃，其
中一面利用着墙。如果每边的
长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大？
【例题4】街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的
水泥路，
如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？【思
路导航】把水
泥路分成四个同样大小的长方形（如下图）。因此，一个
长方形的面积是12÷4=3平方米。因为水泥
路宽1米，所以小长方形的
长是3÷1=3米。从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差，所以小正方形的边长是3－1=2米。中间花坛的面积是2×2=4平方米。
练习4：1.
有一个正方形的水池，如下图的阴影部分，在它的周围修一个
宽8米的花池，花池的面积是480平方米
，求水池的边长。
2.四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如
图）
，大正方形的面积是64平方米，小正方形的面积是4平方米，长方形
的短边是多少米？
3.
已知大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比小正方
形面积大96平方厘米（如下图）。
问大小正方形的面积各是多少？
【例题5】一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截去宽8
分米的长方形（如图），面积比原来的正方形减少181平方分米。原正方
形的边长是多少？
【思路导航】把阴影部分剪下来，并把剪下的两个小长方形拼起来（如图），再被上
长、宽分别
是8分米、5分米的小长方形，这个拼
合成的长方形的面积是181+8×5=221平方分米，
长是原来正方形的边长，宽是8+5=13分米。所以，
原来正方形的边长是221÷13=17分米
。
练习5：
1.一个正方形一条边减少6分米，另一条边减少10分米后变为一个长方形，
这个长
方形的面积比正方形的面积少260平方米，求原来正方形的边长。
2.一个长方形的
木板，如果长减少5分米，宽减少2分米，那么它的面积就减少66
平方分米，这时剩下的部分恰好是一
个正方形。求原来长方形的面积。
3.一块正方形的的玻璃，长、宽都截去8厘米后，剩下的正方形比
原来少448平方厘
米，这块正方形玻璃原来的面积是多大？
- 30 -
第16讲 巧妙求和
一、知识要点
某些问题，可以转化为
求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某
个等差数列的和。如果是等差数列求和，才
可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数
适当分
组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
二、精讲精练
【例题1】 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数
都前一
天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？
【思路导航】根据条件“他每天读的
页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页
数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……5
7、60。要求这本书共多少页也就是求出
这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=6
0，项数=11.因此可以很快得解：
（30＋60）×11÷2=495（页）
想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？
练习1：
1.刘师傅
做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做
了48个，正好做完。这批
零件共有多少个？
2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一
天
多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？
3.丽丽学英语单词，第一天
学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学
会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语
单词？
【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？
【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就
一定能把它打开，
即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开
第三把锁至多需试27次……等
打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所
以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1
=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习2：
1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
2.有一
些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了
？
3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的
羽毛球只数不相等？
【例题3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多
少次手？
- 31 -
【思路导航】假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人
握手，一共握了50次，
第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次。依次类推，
第50个人
和剩下的一人握了1次手，这样，他们握手的次数和为：
50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）.
练习3： <
br>1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比
赛，一共要
进行多少场比赛？
2.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其
他
同学握一次手。那么一共握了多少次手？
3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他
们一共打了78次电话，问有多少位
同学相约互通电话？
【例题4】求1 ～ 99
这99个连续自然数的所有数字之和。
【思路导航】首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字
之和，而不是求这99
个数之和。为了能方便地解决问题，我们不妨把0算进来（它不影响我们计算数字
之和）
计算0～99这100个数的数字之和。这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，
是9+9=18，一共有100÷2=50对，所以，1～99这99个连续自然数的所有数字之和是1
8
×50=900。
练习4：
1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。
2.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。
3.求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
.
【例题5】求1～209这209个连续自然数的全部数字之和。
【思路导航】不妨先求0～
199的所有数字之和，再求200～209的所有数字之和，然
后把它们合起来。0～199的所有数
字之和为（1+9×2）×（200÷2）=1900，200～209的
所有数字之和为2×10+1
+2+…+9=65。所以，1～209这209个连续自然数的全部数字之和
为1900+65=19
65。
练习5：
1.求1～308连续自然数的全部数字之和。
2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。
3.求连续自然数2000～5000的全部数字之和。
- 32 -
第17讲 数数图形
一、知识要点
我们已经认识了线段、
角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错
在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准
确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形
的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考
方法，掌握数图形的规律，才
能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：
1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
二、精讲精练
【例题1】
数出下面图中有多少条线段。
【思路导航】要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不
遗漏。 <
br>从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线
段有2
条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。因此，图中共有3+2+1=6条线段。
练习1：：数出下列图中有多少条线段。
（2）
（3）
【例题2】数一数下图中有多少个锐角。
【思路
导航】数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个
点，因此，要求图中有多少
个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：1+2+3+4=10
（个）.
- 33 -
练习2：：下列各图中各有多少个锐角？
【例题3】数一数下图中共有多少个三角形。
【
思路导航】图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形，也就是说，AD边
上有几条线段，就构
成了几个三角形，因为AD上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以
图中有6个三角形。
练习3：：数一数下面图中各有多少个三角形。
【例题4】数一数下图中共有多少个三角形。
【
思路导航】与前一个例子相比，图中多了一条线段EF，因此三角形的个数应是AD
和EF上面的线段与
点O所围成的三角形个数的和。显然，以AD上的线段为底边的三角形
也是1+2+3=6个，所以图中
共有6×2=12个三角形。
练习4：：数一数下面各图中各有多少个三角形。
- 34 -
【例题5】数一数下图中有多少个长方形。
【思路导航】数长方形与数线段的方法类似。可以这样思考，图中的长方形的个数取
决于AB或CD边上
的线段，AB边上的线段条数是1+2+3=6条，所以图中有6个长方形。
练习5：：数一数下面各图中分别有多少个长方形。
-
35 -
第18讲 数数图形
一、知识要点
在解决数图
形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方
法，既可以逐个计数，也可以把
图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数
出图形的个数，再把他们的个数合起来。
二、精讲精练
【例题1】 数一数下图中有多少个长方形？
【思路导航】图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，A
D
边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×
3=
18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：
长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数
练习1：：数一数，下面各图中分别有几个长方形？
【例题2】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）
【思路导航】图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度
单位
的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的
正方形其中所含
的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。
练习2：：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正
方形）
- 36 -
【例题3】
数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单
位的正方形）
【思路导航】边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正
方形有2×1=2个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。
经进一步分析可以发现，一般情
况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成
n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的
总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n
－2)＋…＋(m－n＋1)n.
练习3：
1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。
2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？
【例题4】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备
多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？
【思路导航】这道题是数线段的方法在实际生
活中的应用，连同广州、北京在内，这
条铁路上共有10个站，共有1+2+3+…+9=45条线段，
因此要准备45种不同的车票。由于
这些车站之间的距离各不相等，因此，有多少种不同的车票，就有多
少种不同的票价，所
以共有45种不同的票价。
练习4：
1.从上海到武汉的航运
线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种
不同的船票？
2.从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？
3.从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不同的票价？
【例题5】求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米）
-
37 -
【思路导航】要求图中的线段长度总和，可以这样计算：
AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
=1+（1+4）+（1+
4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352厘米
从
上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长1厘米的基本线段（我们把不能再
划分的线段称为基本线
段）出现了4次，长4厘米的线段出现了（3×2）次，长2厘米的
线段出现了（2×3）次，长3厘米
的线段出现了（1×4）次，所以，各线段长度的总和还
可以这样算：1×4+4×（3×2）+2×（
2×3）+3×（1×4）
=1×（5－1）+4×（5－2）×2+2×（5－3）×3+3×（5－4）×4=52厘米 上式中的5是线段上的5个点，如果设线段上的点数为n，基本线段分别为a1、a2、…
a(n－
1)。以上各线段长度的总和为L，那么L= a1×(n－1)×1+ a2×(n－2)×2+
a3×(n
－3)×3+…+ a(n－1)×1×(n－1)。
练习5：
1.一
条线段上有21个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是4厘米，所有线段长
度的总和是多少？
2.求下图中所有线段的总和。（单位：米）
3.求下图中所有线段的总和。（单位：厘米）
- 38 -
第19讲 应用题
一、知识要点
解答复合应用题时一般有如下四个步骤：
1.弄清题意，找出已知条件和所求问题；
2.分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；
3.拟定解答计划，列出算式，算出得数；
4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。
二、精讲精练
【例题1】 某发电厂有10200吨煤，前10天每天烧煤300吨，后来改进炉灶，每天
烧煤240吨。这堆煤还能烧多少天？
【思路导航】条件摘录
综合法思路：
前10天每天烧煤300吨，可以求出10天烧的吨数；
已知煤的总吨数和前10天烧的吨数，可以求出还有多少吨没有烧；
根据还剩的吨数和后来每天烧煤240吨，可以求出这堆煤还能烧多少天。
分析法思路：
要求还能烧多少天，要知道还有的吨数和后来每天烧的吨数（240吨）；
要求还有多少吨煤，要知道这堆煤有多少吨（10200吨）和已经烧了多少吨。
要求已经烧了多少吨，要知道已经烧了多少天（10天）和每天烧多少吨（300吨）。
（10200－300×10）÷240=30（天）.
练习1：
1.某电冰箱厂
要生产1560台冰箱，已经生产了8天，每天生产120台。剩下的每天
生产150台，还要多少天才
能完成任务？
2.某工厂计划生产36500套轴承，前5天平均每天生产2100套，后来改进操作
方法，
平均每天可以生产2600套。这样完成这批轴承生产任务共需多少天？
3.某机床厂
计划每天生产机床40台，30天完成任务。现在要提前10天完成任务，每
天要生产多少台？
【例题2】师傅和徒弟同时开始加工200个零件，师傅每小时加工25个，完成任务时，
徒弟还要做
2小时才能完成任务。徒弟每小时加工多少个？
【思路导航】由条件可知，师傅完成任务用了200÷
25=8小时，徒弟完成任务用了
8+2=10小时。所以，徒弟每小时加工200÷10=20个。
- 39 -
练习2：
1.张师傅和李师傅同时开始各做90个玩
具，张师傅每天做10个，完成任务时，李师
傅还要做1天才能完成任务。李师傅每天做多少个？ 2.小华和小明同时开始写192个大字，小华每天写24个，完成任务时，小明还要写4
天才能完
成。小明每天写多少个字？
3.丰华农具厂计划20天制造农具2400件，实际每天多制造30件，
这样可提前几天
完成任务？
【例题3】甲、乙两地相距200千米，汽车行完全程要5小时，
步行要40小时。张强
从甲地出发，先步行8小时后改乘汽车，还需要几小时到达乙地？
【思
路导航】根据题意，汽车5小时行200千米，每小时行200÷5=40千米；步行200
千米要40
小时，平均每小时行200÷40=5千米，8小时行了5×8=40千米；全程有200千
米，乘汽车
行了200－40=160千米，所以，还需160÷40=4小时到达乙地。
练习3：
1
.玩具厂一车间要生产900个玩具，如果用手工做要20小时才能完成，用机器只需
要4小时。一车间
工人先用手工做了5小时，后改用机器生产，还需要几小时才能完成任
务？
2.甲、乙两地相
距200千米，汽车行完全程要5小时，步行要40小时。张强从甲地
出发，先乘汽车4小时，后改步行
，他从甲地到乙地共用了多少小时？
3.A、B两城相距300千米，摩托车行完全程要5小时，自行
车要25小时。王亮从A
城出发，先骑自行车5小时，后改骑摩托车。他从A城到B城共用了多少小时？
【例题4】某筑路队修一条长4200米的公路，原计划每人每天修4米，派21人来完
成；实
际修筑时增加了4人，可以提前几天完成任务？
【思路导航】要求可以提前几天完成任务，要知道原计
划多少天完成和实际多少天完
成。原计划21人每天修4×21=84米，修4200米需要4200÷
84=50天。实际增加了4人，
每天修4×（21+4）=100米，修同样长的公路需要4200÷
100=42天。所以可提前50－42=8
天完成任务。
练习4：
1.羊毛衫厂
要生产378件羊毛衫，原计划每人每天生产3件，派18人来完成。实际
增加了3人，可以提前几天完
成任务？
2.某筑路队修一条长8400米的公路，原计划每人每天修4米，派42人来完成。如果<
br>每人的工作效率不变，要提前8天完成任务，需要多少人参加？
3.友谊服装厂要加工192套
服装，原计划每人每天加工2套，8人可以按时完成。如
果每人工作效率不变，要提前4天完成任务，需
要增加多少人加工？
- 40 -
【例题5】自行车厂计划每天生产自行车
100辆，可按期完成任务，实际每天生产120
辆，结果提前8天完成任务。这批自行车有多少辆？
【思路导航】假如以计划生产的时间为准，那么实际完成任务后，再生产8天可多生
产120×
8=960辆。实际每天多生产120－100=20辆，可以求出多生产960辆所用的时间，
这个时
间就是原计划所需要的时间，960÷20=48天。所以，这批自行车有100×48=4800
辆。
练习5：
1.农机厂生产柴油机，原计划每天生产40台，可以在预定的时间内完成任务。实
际
每天生产50台，结果提前6天完成，这批柴油机有多少台？
2.一辆汽车运一堆黄沙，计
划每天运15吨，可以在预定时间内完成任务。实际每天
运20吨，结果提前3天运完。这批黄沙有多少
吨？
3.新兴机械厂原计划30天生产一批机器，实际每天比原计划多生产80台，结果提前
25天就完成了任务。这批机器有多少台？
第20讲 速算与巧算
一、知识要点
速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助
于提高
我们的计算能力和思维能力。这一周我们学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根据加、
减法的运算定律和运算性质，通过对算式适当变形从而使计算简便。
在巧算方法里，蕴含着一种重要
的解决问题的策略。转化问题法即把所给的算式，根
据运算定律和运算性质，或改变它的运算顺序，或减
整从而变成一个易于算出结果的算式。
二、精讲精练
【例题1】
计算9+99+999+9999
【思路导航】这四个加数分别接近10、100、1000、100
00。在计算这类题目时，常使
用减整法，例如将99转化为100－1。这是小学数学计算中常用的一
种技巧。
9+99+999+9999
=（10－1）+（100－1）+（1000－1）+（10000－1）
=10+100+1000+10000－4
=11106
练习1：
1.计算99999+9999+999+99+9
2.计算9+98+996+9997
3.计算1999+2998+396+497
4.计算198+297+396+495
5.计算1998+2997+4995+5994
6.计算19998+39996+49995+69996.
【例题2】计算489+487+483+485+484+486+488
- 41 -
【思路导航】认真观察每个加数，发现它们都和整数490接近，所以选490为基准数
。
489+487+483+485+484+486+488
=490×7－1－3－7－5－6－4－2
=3430－28
=3402
想一想：如果选480为基准数，可以怎样计算？.
练习2：
1.50+52+53+54+51
2.262+266+270+268+264
3.89+94+92+95+93+94+88+96+87
4.381+378+382+383+379
5.1032+1028+1033+1029+1031+1030
6.2451+2452+2446+2453.
【例题3】计算下面各题。
（1）632－156－232 （2）128+186+72－86
【思路导航】在
一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算，计算时可以根据运算
定律和性质调换加数或减数的位置。
（1）632－156－232
=632－232－156
=400－156
=244
练习3：
计算下面各题1.1208－569－
2082.283+69－1833.132－85+684，2318+625－1318+375
【例题4】计算下面各题。
1. 248+（152－127） 2.
324－（124－97） 3. 283+（358－183）
【思路导航】在计算有
括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号，如
果括号前面是“+”号，去括号时，括号内
的符号不变；如果括号前面是“－”号，去括
号时，括号内的加号就要变成减号，减号就要变成加号。
我们可以把上面的计算方法概括为：括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是
减号，去掉
括号要变号。
1.248+（152－127）
=248+152－127
=400－127
=273
练习4：
计算下面各题
- 42
-
（2）128+186+72－86
=128+72+186－86
=（128+72）+（186－86）
=200+100=300
2.324－（124－97）
=324－124+97
=200+97
=297
3.283+（358－183）
=283+358－183
=283－183+358
=100+358=458
1.348+（252－166）
2.629+（320－129）
3. 462－(262－129)
4. 662－(315－238)
5.5623－(623－289)+452－(352－211)
6.736+678+2386－(336+278)－186
【例题5】计算下面各题。
（1）286+879－679 （2）812－593+193 <
br>【思路导航】在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点，
采用添括号的
方法使计算简便，与前面去括号的方法类似，我们可以把这种方法概括为：
括号前面是加号，添上括号不
变号；括号前面是减号，添上括号要变号。
练习5：
计算下面各题。
1.368+1859－859
2.582+393－293
3.632－385+285
4.2756－2748+1748+244
5.612－375+275+（388+286）
6.756+1478+346－（256+278）－246
（1）286+879－679
=286+（879－679）
=286+200
=868
（2）812－593+193
=812－（593－193）
=812－400
=412
第二十一周 速算与巧算（二）
专题简析：
乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、
商的变
化规律，通过对算式适当变形，将其中的数转化成整十、整百、整千…的数，或者使这道
题计算中的一些数变得易于口算，从而使计算简便。
例1：计算325÷25
分析与解答：
在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。利用这
一性质，可以使这道计算题简便。
325÷25
=（325×4）÷（25×4）
=1300÷100
=13
练 习 一
计算下面各题。
1，450÷25
2，525÷25
3，3500÷125 4，10000÷625
5，49500÷900 6，9000÷225
- 43 -
例2：计算25×125×4×8
分析与解答：经过仔细观察可以发现：在这
道连乘算式中，如果先把25与4相乘，
可以得到100；同时把125与8相乘，可以得到1000；
再把100与1000相乘就简便了。
这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便。
25×125×4×8
=（25×4）×（125×8）
=100×1000
=100000
练 习 二
计算下面各题。
125×15×8×4 25×24 25×5×64×125
125×25×32 75×16 125×16
例3：计算（1）（360+108）÷36 （2）（450－75）÷15
分析与解答
：两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再
求出两个商的和（或差）。利用
这一性质，可以使这道题计算简便。
（1）（360+108）÷36
（2）（450－75）÷15
=360÷36+108÷36
=450÷15－75÷15
=10+3
=30－5
=13 =25
练
习 三
计算下面各题。
1．（720+96）÷24
2．（4500－90）÷45
3．6342÷21
4．8811÷89
5．73÷36+105÷36+146÷36
6．（10000－1000－100－10）÷10
例4：计算158×61÷79×3
分析与解答：在乘除法混合运算中，如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律
和性质调换
因数或除数的位置。
158×61÷79×3
=158÷79×61×3
=2×61×3
=366
练 习 四
计算下面各题。
1，238×36÷119×5
2，624×48÷312÷8
3，138×27÷69×50
4，406×312÷104÷203
- 44
-
例5：计算下面各题。
（1）123×96÷16
（2）200÷（25÷4）
分析与解答：这两道题都是乘除混合运算式题，我们可以根据这两道题的
特点，采用
加括号或去括号的方法，使计算简便。其方法与加减混合运算添、去括号的方法类似，可以概括为：括号前是乘号，添、去括号不变号；括号前是除号，添、去括号要变号。
（1）123×96÷16 （2）200÷（25÷4）
=123×（96÷16） =200÷25×4
=123×6
=8×4
=738 =32
练 习 五
计算下面各题。
1，612×366÷183
2，1000÷（125÷4）
3，（13×8×5×6）÷（4×5×6）
4，241×345÷678÷345×（678÷241）
第二十二周
平均数问题
专题简析：
我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之
间成绩的高低，求出各科成
绩的平均数就是求平均数。
平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均气
温等。
求平均数问题的基本数量关系是：
总数量÷总份数=平均数
解答平均数问
题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，
然后用总数量除以总份数求出平均
数。
例1：二（1）班学生分三组植树，第一组有8人，共植树80棵；第二组有6人，共
植
树66棵；第三组有6人，共植树54棵。平均每人植树多少棵？
分析与解答：因为二（1）班学生分
三组植树，由问题可知“平均范围”是三个组，
是按人数平均，因此所需条件是三个组植树的总棵数和三
个组的总人数。三个组植树的总
棵数为：80+66+54=200棵，总人数为：8+6+6=20人
，所以平均每人植树200÷20=10棵。
练 习 一
1，电视机厂四月份前10天
共生产电视机3300台，后20天共生产电视机6300台。
这个月平均每天生产电视机多少台？ <
br>2，小明参加数学考试，前两次的平均分是85分，后三次的总分是270分。求小明这
五次考试
的平均分数是多少。
3，二（1）班学生分三组植树，第一组有8人，平均每人植树10棵；第二组有
6人，
平均每人植树11棵；第三组有6人，平均每人植树9棵。二（1）班平均每人植树多少棵？
- 45 -
例2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学
身高153厘米，一个
同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米
。求四年级羽
毛球队同学的平均身高。
分析与解答：这道题可以按照一般思路解，即用身高总
和除以总人数。这道题还可以
采用假设平均数的方法求解，容易发现，同学们的身高都在150厘米左右
，可以假设平均
身高为150厘米，把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之和÷份数=平均数”
。
（153×2＋152＋149×2＋147×2）÷（2＋1＋2＋2）=150厘米
或：150＋（3×2＋2－1×2－3×2）÷（2＋1＋2＋2）=150厘米
练 习
二
1，五（1）班有7个同学参加数学竞赛，其中有两个同学得了99分，还有三个同学
得了
96分，另外两个同学分别得了97、89分。这7个同学的平均成绩是多少？
2，气象小组每天早上
8点测得的一周气温如下：13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、
14℃、16℃。求一周的平均
气温。
3，敬老院有8个老人，他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78岁
、
76岁、80岁。求这8个老人的平均年龄。
例3：从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽
车上山，需要4小时到达山顶，下山沿原
路返回，只用2小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。
分析与解答：求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是36
×2=7
2千米，往返的时间是4+2=6小时。所以，这辆汽车往返的平均速度是每小时行72
÷6=12千米
。
练 习 三
1，小强家离学校有1200米，早上上学，他家到学校用了15分钟，
从学校到家用了
10分钟。求小强往返的平均速度。
2，李大伯上山采药，上山时他每分钟走
50米，18分钟到达山顶；下山时，他沿原路
返回，每分钟走75米。求李大伯上下山的平均速度。
3，小亮上山时的速度是每小时走2千米，下山时的速度是每小时走6千米。那么，
他在上、下
山全过程中的平均速度是多少千米？
例4：李华参加体育达标测试，五项平均成绩是85分，如果投掷
成绩不算在内，平均
成绩是83分。李华投掷得了多少他？
分析与解答：先求出五项的总得分
：85×5=425分，再算出四项的总分：83×4=332
分，最后用五项总分减去四项总分，就等
于李华投掷的成绩：425－332=93分。
练 习 四
1，小军参加了3次数学竞
赛，平均分是84分。已知前两次平均分是82分，他第三
次得了多少分？
2，小丽在期末考
试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分；数学成绩公
布后，她的平均成绩下降了1分。小
丽的数学考了多少分？
3，某班一次外语考试，李星因病没有参加。其他同学的平均分是95分，第二
天他的
补考成绩是65分，如果加上李星的成绩后，全班的平均分是94分。这个班有多少人？
例5：如果四个人的平均年龄是23岁，四个人中没有小于18岁的。那么年龄最大的
人可能是多少岁
？
- 46 -
分析与解答：因为四个人的平均年龄是23岁，那么四个人
的年龄和是23×4=92岁；
又知道四个人中没有小于18岁的，如果四个人中三个人的年龄都是18
岁，就可去求另一
个人的年龄最大可能是92－18×3=38岁。
练 习 五
1，如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的，那么三个人中年龄最大的
可能是多少岁？
2，如果四个人的平均年龄是28岁，且没有大于30岁的。那么最小的人的年龄可能
是多少岁
？
3，如果四个人的平均年龄是25岁，四个人中没有小于16岁的，且这四个人的年龄
互不
相等。那么年龄最大的可能是多少岁？
第二十三周 定义新运算
专题简析：
我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12
等。都是2和6，为什
么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一
种运算
实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对
应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。
这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不
相同的。
例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b =
a×3
－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。
分析与解答：解这类题的关键是抓
住定义的本质。这道题规定的运算本质是：运算符
号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。
5△6=5×3－6×2=3
6△5=6×3－5×2=8
显然，本例定义的运算不满足交换律，计算中不能将△前后的数交换。
练 习 一
1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。
2，设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算：
（1）（5*6）*7
（2）5*（6*7）
3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17，求A。
例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。
分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。
6⊕2=6×2＋6＋2=20
练 习 二
1，对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。计算3⊕5。
2，对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。试算6☆4。
- 47 -
3，对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。
例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。
分析与解
答：这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起，每次加的数都比前
面的一个数多1，加数的个数
为运算符号后面的数。所以，3△5=3＋4＋5＋6＋7=25
练 习 三
1，如果5▽2=2×6，2▽3=2×3×4，计算：3。
2，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。
3，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。
例4：对
于两个数a与b，规定a□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6=27，求x。 <
br>分析与解答：经仔细分析，可以发现这道题规定运算的本质仍然是：从运算符号前面
的数加起，每
次加的数都比它相邻的前一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数，原
式即x+(x+1)+(x+
2)+…+(x+5)=27，解这个方程，即可求出x=2。
练 习 四
1，如果2
□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。
2，
对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，
求
x。
3，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算5！。
例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：。
分析
与解答：仔细观察和分析这几个算式，可以发现下面的规律：a▽b=2a+b，依此
规律：
7▽3=7×2＋3=17。
练 习 五
1，有一个数学运算符号“▽”，使
下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5
1235164711
▽1=
8。按此规律计算：8▽4。
267425945
。
36<
br>32
2，有一个数学运算符号“□”使下列算式成立：□，□，□
按此规律计算：
8
□
11
。
3，对于两个数a、b，规定a▽b=b×x－a×2，并且
已知82▽65=31，计算：29▽57。
第二十四周 差倍问题
专题简析：
解答差倍问题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。在一般财政部下，它们往
往
不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出。当题中出现三个或三
个以
上的数量时，一般把题中有关数量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量。
解答差倍应用题的基本数量关系是：
差÷（倍数－1）=小数
小数×倍数=大数 或：小数+差=大数
例1：光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是
踺子人数的3倍，比踢踺
子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？
- 48 -
分析与解答：如果把踢踺子的人数看作1份，那么跳绳的人数是这样的3份。36人是<
br>这样的3－1=2份。这样，把36人平均分成2份，1份就是踢踺子的人数：36÷2=18人，
跳绳的有18×3=54人。
练 习 一
1，城南小学三年级的人数是一年级人数的
2倍，三年级的人数比一年级多130人。
三年级和一年级各有多少人？
2，一种钢笔的价钱
是一种圆珠笔的4倍，这种钢笔比圆珠笔贵12元。这种钢笔和圆
珠笔的单价各是多少元？
3
，农业科技小组有两块小麦试验田，第二块比第一块少6公顷，第一块的面积是第
二块的3倍。两块试验
田各是多少公顷？
例2：仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数
比大
米的2倍还多100千克。仓库有大米和面粉各多少千克？
分析与解答：如果面粉减少1
00千克，那么面粉的千克数就是大米的2倍，3900－
100=3800千克，就是大米的2－1=
1倍。所以，大米有3800÷1=3800千克，面粉有3800
＋3900=7700千克。
练 习 二
1，三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的3倍多2人，已知
做游戏
的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人？
2，学校今年参加科技兴趣小组的
人数比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35
人。今年有多少人参加？
3，果园里种
了一批苹果树和桃树，已知苹果树比桃树多1600棵，苹果树的棵数比桃
树的3倍多100棵。苹果树
和桃树各种了多少棵？
例3：育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球多7只，排球比篮
球多
11只，足球的只数是篮球的3倍。足球、排球和篮球各买了多少只？
分析与解答：由题
意可知，足球比篮球多买了7+11=18只，它是篮球的3－1=2倍。
所以，买篮球18÷2=9只
，买排球9+11=20只，买足球20+7=27只。
练 习 三
1，玩具厂二月份
比一月份多生产玩具2000个，三月份比二月份多生产3000个，三
月份生产的玩具个数是一月份的
2倍。每个月各生产多少个？
2，某农具厂第三季度比第二季度多生产2800套轴承，第一季度比第
二季度少生产1200
套。第三季度生产的是第一季度的3倍。求每季度各生产多少？
3，三
个小朋友们折纸飞机，小晶比小亮多折12架，小强比小亮少折8架，小晶折的
是小强的3倍。三个人各
折纸飞机多少架？
例4：商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克，
白
糖110千克后，红糖和白糖重量相等。商店原有红糖和白商各多少千克？
分析与解答：由
“红糖卖出380千克，白糖卖出110千克后，红糖和白糖重量相等”
可知原来红糖比白糖多380－
110=270千克，它是白糖的3－1=2倍。所以，白糖原有270
÷2=135千克，红糖原有1
35×3=405千克。
练 习 四
- 49 -
1．甲、
乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋是乙仓库的3倍，从甲仓
库运走720千克，从乙仓库
运走120千克后，两个仓库所剩的面粉相等。两个仓库原来各
有面粉多少千克？
2．有两筐
橘子，第二筐中橘子的个数是第一筐中的2倍。如果第一筐中再放入48个，
第二筐中再放入18个，那
么两筐的橘子个数相等。原来两筐各有橘子多少个？
3．甲桶的酒是乙桶的4倍，如果从甲桶中取出1
5千克倒入乙桶，那么两桶酒的重量
相等。原来两桶酒各有多少千克？
例5：甲、乙两个书架
原有图书本数相等，如果从甲书架取出2本，从乙书架取出60
本后，乙书架的本数是甲书架的3倍。原
来两个书架各有图书多少本？
分析与解答：由“甲、乙两个书架原有图书相等，从甲书架取240本，
从乙书架取出
60本”可知乙书架余下的书比甲书架多240－60=180本，它是甲书架余下的2倍
，所以甲
书架余下180÷2=90本。甲书架原有90＋240=330本。
练 习
五
1，两筐同样的苹果，甲筐卖出8千克，乙筐卖出20千克以后，甲筐剩下的是乙筐的
3倍
。两筐苹果原来各有多少千克？
2，甲、乙两个人的存款数相等，甲取出60元，乙存入20元，乙的
存款是甲的3倍。
两人原来各有存款多少元？
3，甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从
甲书架取出120本放到乙书架，乙书
架的本数是甲书架的4倍。原来两个书架各有图书多少本？
第二十五周 和差问题
专题简析：
已知两个数的和与差，求
出这两个数各是多少的应用题，叫和差应用题。解答和差应
用题的基本数量关系是：
（和－差）÷2=小数
小数＋差=大数（和－小数=大数）
或：（和＋差）÷2=大数
大数－差=小数（和－大数=小数）
解答和差应用题的关键
是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等
的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们
两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与
差，再按照和差问题的解法来解答。
例1：三、
四年级同学共植树128棵，四年级比三年级多植树20棵，求三、四年级各
植树多少棵？
分
析与解答：假如把三、四年级植的128棵加上20棵，得到的和就是四年级植树的2
倍，所以，四年级
植树的棵数是（128+20）÷2=74棵，三年级植树的棵数是74－20=54棵。
这道题还可
以这样解答：假如从128棵中减去20棵，那么得到的差就是三年级植树
棵数的2倍，由出，先求出三
年级植树的棵数（128－20）÷2=54棵，再求出四年级植树
的棵数：54＋20=74棵。
练 习 一
- 50 -
1，两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨。两堆各有多少吨？
2，用锡和铝混合制成600千克的合金，铝的重量比锡多400千克。锡和铝各是多少
千克？
3，甲、乙两人年龄的和是35岁，甲比乙小5岁。甲、乙两人各多少岁？
例2：两筐梨子共
有120个，如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子
个数相等。两筐原来各有多少个梨
？
分析与解答：根据题意，第一筐减少10个，第二筐增加10个后，则两筐梨子个数相
等，
可知原来第一筐比第二筐多10×2=20个。假如从120个中减去20个，那么得到的差
就是第二筐
梨子个数的2倍，所以，第二筐原来有（120－20）÷2=50个，第一筐原来有
50＋20=70
个。
练 习 二
1，红星小学三（1）班和三（2）班共有学生108人，从三（1）
班转3人到三（2）
班，则两班人数同样多。两个班原来各有学生多少人？
2，某汽车公司两
个车队共有汽车80辆，如果从第一车队调10辆到第二车队，两个
车队的汽车辆数就相等。两个车队原
来各有汽车多少辆？
3，甲、乙两笨共有水果60千克，如果从甲箱中取出5千克放到乙箱中，则两箱
水果
一样重。两箱原来各有水果多少千克？
例3：今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3
年前，小勇比妈妈小26岁。今年妈
妈和小勇各多少岁？
分析与解答：3年前，小勇比妈妈小
26岁，这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈
妈小26岁。显然，这属于和差问题。所以妈妈今年（
38+26）÷2=32岁，小勇（38－26）
÷2=6岁。
练 习 三
1
，今年小刚和小强俩人的年龄和是21岁，1年前，小刚比小强小3岁。今年小刚和
小强各多少岁？ <
br>2，黄茜和胡敏两人今年的年龄和是23岁，4年后，黄茜将比胡敏大3岁。黄茜和胡
敏今年各多
少岁？
3，两年前，胡炜比陆飞大10岁；3年后，两人的年龄和将是42岁。求胡炜和陆飞今
年各多少岁。
例4：甲乙两个仓库共有大米800袋，如果从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则
甲
仓库比乙仓库还多8袋。两个仓库原来各有多少袋大米？
分析与解答：先求甲、乙两仓库大
米的袋数差，由“从甲仓库中取出25袋放到乙仓
库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋”可知甲仓库原来比
乙仓库多25×2＋8=58袋。由此可
求出甲仓库原来有（800＋58）÷2=429袋，乙仓库原
来有800－429=371袋。
练 习 四
1．甲、乙两箱洗衣粉共有90袋，如果
从甲箱中取出4袋放到乙箱中，则甲箱比乙箱
还多6袋。两箱原来各有多少袋？
2．甲、乙两
筐香蕉共重60千克，从甲筐中取5千克放到乙筐，结果甲筐比乙筐还多
2千克。两筐原来各有多少千克
香蕉？
- 51 -
3．两笼鸡蛋共19只，若甲笼再放入4只，乙笼中取
出2只，这时乙笼比甲笼还多1
只。甲、乙两笼原来各有鸡蛋多少只？
例5：把长108厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多12厘米，长和宽各是多少厘
米？
分析与解答：根据题意可知围成的长方形的周长是108厘米，因此，这个长方形长与
宽的和是
108÷2=54厘米，由此可以求出长方形的长为（54+12）÷2=33厘米，宽为54－
33=
21厘米。
练 习 五
1，把长84厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少6厘米。长和宽各是多少厘米？
2，赵
叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的准备活动，共跑1080米。
游泳池的长和宽各是
多少米？
3，刘晓每天早晨沿长和宽相差40米的操场跑步，每天跑6圈，共跑2400米。这个操场的面积是多少平方米？
第二十六周 巧算年龄
专题简析：
年龄问题是一类与计算有关的问题，它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现。
有些年龄问
题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要灵活地加以解决。
解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：
1，无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；
2，随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量；
3，随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。
例1：爸爸今年43岁，儿子今年11岁。几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？
分析与解答：儿
子出生后，无论在哪一年，爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年
龄差是43－11=32岁。所以，
当爸爸的年龄是儿子3倍时，儿子是32÷（3－1）=16岁，
因此16－11=5年后，爸爸的年龄
是儿子的3倍。
练 习 一
1，妈妈今年36岁，儿子今年12岁。几年后妈妈年龄是儿子的2倍？
2，小强今年15岁，小亮今年9岁。几年前小强的年龄是小亮的3倍？
3，爷爷今年60岁，孙子今年6岁。再过多少年爷爷的年龄比孙子大2倍？
例2：妈妈今年
的年龄是女儿的4倍，3年前，妈妈和女儿的年龄和是39岁。妈妈和
女儿今年各多少岁？
分
析与解答：从3年前到今年，妈妈和女儿都长了3岁，她们今年的年龄和是：39+3
×2=45岁。于
是，这个问题可转化为和倍问题来解决。所以，今年女儿的年龄是45÷（1+4）
=9岁，妈妈今年是
9×4=36岁。
练 习 二
1，今年爸爸的年龄是儿子的4倍，3年前，爸爸和儿子
的年龄和是44岁。爸爸和儿
子今年各是多少岁？
- 52 -
2
，今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁，4年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍。小丽
和爸爸今年各是多
少岁？
3，今年小芳和她妈妈的年龄和是38岁，3年前妈妈的年龄比小芳的9倍多2岁。小
芳和妈妈今年各多少岁？
例3：今年小红的年龄是小梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍。小红
和小梅
今年各多少岁？
分析与解答：小红和小梅的年龄差是不变的，因此两人的年龄差是小梅
今年的5－1=4
倍，也是3年后小梅年龄的2－1=1倍，即：小梅今年的年龄＋3=小梅今年的年龄
×4。所
以，小梅今年的年龄为：3÷（4－1）=1岁，小红今年的年龄为：1×5=5岁。
练 习 三
1，今年小明的年龄是小娟的3倍，3年后小明的年龄是小娟的2倍。小明和
小娟今年
各多少岁？
2，今年小亮的年龄是小英的2倍，6年前小亮的年龄是小英的5倍。小
英和小亮今年
各多少岁？
3，10年前父亲的年龄是儿子的7倍，15年后父亲的年龄是儿子
的2倍。父亲和儿子
今年各多少岁？
例4：甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁。再过多
少年，她的爸爸和妈妈的年龄
和为80岁？
分析与解答：两人的年龄和每年增加2岁，先求今
年爸爸和妈妈的年龄和：28＋26=54
岁，再求80比54多80－54=26岁。26里面包含多
少个2，就是经过的年数。所以，再过
26÷2=13年爸爸和妈妈的年龄和为80岁。
练
习 四
1，蜜蜜的爸爸今年27岁，她的妈妈今年26岁。再过多少年，她爸爸和妈妈的年龄
和为73岁？
2，林星今年8岁，爸爸今年34岁。当他们的年龄和为72岁时，爸爸和林星各多少
岁？
3，今年爸爸56岁，儿子30岁。当父子的年龄和为46岁时，爸爸和儿子各是多少岁？
例
5：小英一家由小英和她的父母组成。小英的父亲比母亲大3岁，今年全家年龄总
和是71岁，8年前这
个家的年龄总和是49岁。今年三人各多少岁？
分析与解答：已知8年前这个家的年龄总和是49岁，
这个条件中8年与49岁看上去
有一个是多余的，有的同学可能认为8年前这个家的年龄总和应该是71
－（1+1+1）×8=47
岁，但这与题中所给的条件49不一致。为什么呢？这说明8年前小英还没
有出生。这相
差的2岁就是8年前与小英年龄的差。由此可以求出小英今年是8－2=6岁。今年父母的
年龄和为71－6=65岁。已知小英的父亲比母亲大3岁，所以今年父亲（65+3）÷2=34岁，
母亲34－3=31岁。
练 习 五
1，父、母、子三人今年的年龄和为70
岁，而10年前三人的年龄和为46岁，父亲比
母亲大4岁。求三人今年各多少岁。
2，全家
四口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。4年前他们的年龄和为58
岁，现在全家的年龄和是7
3岁。现在每个人各多少岁？
- 53 -
3，吴琪一家由吴琪和他的孪生
姐姐吴林还有他们的父母组成，其中父亲比母亲大2
岁。今年全家的年龄和是64岁，5年前全家的年龄
和是52岁。求今年每人的年龄。
第二十七周 较复杂的和差倍问题
专题简析：
前面我们学习了和倍、差倍、和差三种应用题，有的题目需要通过转化而成为和倍
、
差倍、和差问题，这类问题叫做复杂的和差倍问题。
解答较复杂的和差倍问题，需要我们从
整体上把握住问题的本质，将题目进行合理的
转化，从而将较复杂的问题转化为一般和倍、差倍、和差应
用题来解决。
例1：两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克数<
br>是甲箱的3倍。两箱原来各有茶叶多少千克？
分析与解答：由“两箱茶叶共重96千克，如果从
甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙
箱的千克数是甲箱的3倍”可求出现在甲箱中有茶叶96÷（1＋3
）=24千克。由此可求出
甲箱原来有茶叶24＋12=36千克，乙箱原来有茶叶96－36=60千
克。
练 习 一
1，书架的上、下两层共有书180本，如果从上层取下15本放入下
层，那么下层的本
数正好是上层的2倍。两层原来各有书多少本？
2，甲、乙两人共储蓄20
00元，甲取出160元，乙又存入240元，这时甲储蓄的钱数
比乙的2倍少20元。甲、乙两人原来
各储蓄多少元？
3，某畜牧场共有绵羊和山羊3561只，后来卖了60只绵羊，又买来山羊100只
，现
在绵羊的只数比山羊的2倍多1只。原来绵羊和山羊各有多少只？
例2：甲、乙、丙三个
同学做数学题，已知甲比乙多做5道，丙做的是甲的2倍，比
乙多做20道。他们一共做了多少道数学题
？
分析与解答：甲比乙多5道，丙比乙多20道，丙做的是甲的2倍，因此，20－5=1
5
道是丙的一半，也就是甲做的道数。丙做了15×2=30道，乙做了15－5=10道。他们共做<
br>了：（20－5）×（1＋2）＋[（20－5）－5]=55道。
练 习 二
1，某厂一季度创产值比三季度多2万元，二季度的产值是一季度产值的2倍，比三
季度产值多42万元
。三个季度共创产值多少万元？
2，甲、乙、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做12个，丙做的比甲
的2倍少20个，
比乙做的多38个。这批零件共有多少个？
3，果园里的苹果树是桃树的3
倍，管理员每天能给25棵苹果树和15棵桃树洒农药。
几天后，当桃树喷完农药时，苹果树还有140
棵没有喷药。果园里共有多少棵树？
例3：某工厂一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二
车间多10人，第二车
间比第三车间多15人。三个车间各有工人多少人？
分析与解答：这是
多量的和差问题，解题的时候确定的标准不同，解法也就不同。如
果以第二车间的人数为标准，第一车间
减少10人，第三车间增加15人，那么280－10＋
- 54 -
15=
285人是第二车间人数的3倍，由此可以求出第二车间有285÷3=95人，第一车间有
95＋10
=105人，第三车间有95－15=80人。
练 习 三
1，一个三层书架共放书1
68本，上层比中层多12本，下层比中层少6本。三层各放
书多少本？
2，一个三层柜台共
放皮鞋120双，第一层比第二层多放4双，第二层比第三层多7
双，三层各多皮鞋多少双？
3，四个数的和是152，第一个数比第二个数多16，比第三个数多20，比第四个数少
12。第一个
数和第四个数是多少？
例4：两个数相除，商是4，被除数、除数、商的和是124。被除数和除数各是多少？
分析
与解答：从124里去掉商，是124－4=120，它是除数的1＋4=5倍，除数是120
÷5=2
4，被除数是24×4=94。
练 习 四
1，在一个除法算式中，被除数、除数、商
的和是123。已知商是3，被除数和除数各
是多少？
2，两个数相除，商是5，余数是7，被除数、除数、商、余数的和是187，求被除数。
3
，两个数相除，商是17，余数是8，被除数、除数、商和余数的和是501，求被除数
和除数是多少。
例5：甲的存款是乙的4倍，如果甲取出110元，乙存入110元，那么乙的存款是甲
的3倍
。甲、乙原来各有存款多少元？
分析与解答：由“乙存入110元，甲取出110元”，可知乙存入1
10元后相当于甲存
款数的3倍，取出110×3=330元；而由甲的存款是乙的4倍，可知甲原有存
款的3倍相
当于乙原有存款的4×3=12倍，乙现在存入110元后相当于甲原有的12倍，取110
×3=330
元，所以，330＋110=440元，相当于乙原有的12－1=11倍。所以，乙原有
存款440÷11=40
元，甲原有存款40×4=160元。
练 习 五
1
，甲的存款是乙的5倍，如果甲取出60元，乙存入60元，那么乙的存款是甲的2
倍。甲、乙原来各有
存款多少元？
2，刘叔叔的存款是李叔叔的6倍，如果刘叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元
，
那么刘叔叔的存款是李叔叔的2倍。刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少元？
3，有大、中、
小三筐菠萝，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克，大筐
装的是小筐的4倍。大、中、小三
筐各装菠萝多少千克？
第二十八周 周期问题
专题简析：
在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，例如，人的生肖、每周的
七天等等。我们把这
种特殊的规律性问题称为周期问题。
- 55 -
解答周期问题的关键是找
规律，找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好
有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如
果比整数个周期多n个，那么为下个周期里
的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不
是特球的个数后，再继续算。
例1：你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组
第20个图形
分别是什么。
（1）□△□△□△□△……
（2）□△△□△△□△△……
分析与解答：第（1）题排列规律是“□△”两个图形重复出
现，20÷2=10，即“□
△”重复出现10次，所以第20个图形是△。第（2）题的排列规律是“
□△△”三个图
形重复出现，20÷3=6…2，即“□△△”重复出现6次后又出现了两个图形“□△
”，所
以第20个图形是△。
练 习 一
（1）□□△△□□△△□□△△……第28个图形是什么？
（2）盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么
字？ <
br>（3）公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列，第63只灯泡是什么颜
色？第11
2只呢？
例2：有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。
（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？
分析与解答：（1）从排
列可以看出，这组数是按“5、6、4、2”一个循环依次重复
出现进行排列，那么一个循环就是4个数
，则129÷4=32…1，可知有32个“5、6、4、2”
还剩一个。所以第129个数是5。（2
）每组四个数之和是5+6+4+2=17，所以，这129个
数相加的和是17×32＋5=549。
练 习 二
1，有一列数：1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7…
（1）第58个数是多少？（2）这58个数的和是多少？
2，小青把积存下来的硬币按先四
个1分，再三个2分，最后两个5分这样的顺序一
直往下排。（1）他排到第111个是几分硬币？（2
）这111个硬币加起来是多少元钱？
3，河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃，后面两棵是水蜜
桃，再后面三棵是大青
桃。接下去一直这样排列。问：第100棵是什么桃树？三种树各有多少棵？ <
br>例3：假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排
在哪个字母
下面？
A B C D
1 2 3 4
5 6 7 8
9…
分析与解答：从排列情况可以知道，这
些自然数是按从小到大4个数一个循环，我们
可以根据这些数除以4所得的余数来分析。
39÷4=9…3 88÷4=22
- 56 -
a
7
所以，39应排在第10
4
个循环的第三个字母C下面，88应排在第22个循环
的第四个
字母D下面。
1
练 习 三
3
6
2
1，有a、b、c三条直线，从a线开始，从1起依次在三条直线上写数（如下图），
9
5<
br>22、59、2001各在哪一条线上？
8
c
b
2，假设所有自然数如下图排列起来，36、43、78、2000应分别排在哪个字母下面？
A B C D
1 2 3 4
8 7 6 5
9 10 11 12
…
3，2001个学生按下列方法编号排成五列：
一 二 三 四
五
1 2 3 4 5
9 8
7 6
10 11 12 13
17 16
15 14
…
问：最后一个学生应该排在第几列？
例4：1
991年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期几？该月28日是星期几？
（2）1994年1
月1日是星期几？
分析与解答：（1）一个星期是7天，因此，7天为一个循环，这类题在计算天数时
，
可以采用“算尾不算头”的方法。（22－1）÷7=3，没有余数，该月22日仍是星期二；
（28－1）÷7=3…6，从星期三开始（包括星期三）往后数6天，28日是星期一。
（2）1
991年、1993年是平年，1992年是闰年，从1991年1月2日到1994年1月1
日共10
96天，1096÷7=156…4，从星期三开始往后数4天，1994年1月1日是星期六。
练
习 四
1，1990年9月22日是星期六，1991年元旦是星期几？
2，1989年12月5日是星期二，那么再过10年的12月5日是星期几？
3，1996年8月1日是星期四，1996年的元旦是星期几？
例5：我国农历用鼠、牛、
虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺
序轮流代表年号，例如，第一年如果属鼠年，
第二年就属牛年，第三年就是虎年…。如果
公元1年属鸡年，那么公元2001年属什么年？
分析与解答：一共有12种动物，因此12为一个循环，为了便于思考，我们把“狗、
猪、鼠、牛、虎、
兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环，从公元2年到公元2001
年共经历了2000年（算头
不算尾），2000÷12=166…8，从狗年开始往后数8年，公元2001
年是蛇年。
练 习 五
- 57 -
我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇
、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮
流代表年号。
1，如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年？
2，如果公元6年属虎年，那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？
3，公元2001年属蛇年，公元2年属什么年？
第二十九周 行程问题（一）
专题简析：
我们把研究路程、速度、时间
这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主要包
括相遇问题、相背问题和追及问题。这一周我们来
学习一些常用的、基本的行程问题。
解答行程问题时，要理清路程、速度和时间之间的关系，紧扣基本
数关系“路程=速
度×时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动结果。 <
br>例1：甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙
每小时走4
千米。两人几小时后相遇？
分析与解答：这是一道相遇问题。所谓相遇问题就是指两个运动物体以不同
的地点作
为出发地作相向运动的问题。根据题意，出发时甲乙两人相距20千米，以后两人的距离
每小时缩短6＋4=10千米，这也是两人的速度和。所以，求两人几小时相遇，就是求20
千米里面
有几个10千米。因此，两人20÷（6＋4）=2小时后相遇。
练 习 一
1，甲乙
两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18千米，乙
船每小时行驶15千米，经
过6小时两船在途中相遇。两地间的水路长多少千米？
2，一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距90
0千米的甲、乙两地出发，汽车每小时
行40千米，摩托车每小时行50千米。8小时后两车相距多少千
米？
3，甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车从A城
到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时。两车出发后多少小时相遇？
例2：王欣和陆亮两人同
时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆
亮每分钟行90米。如果一只狗与王欣
同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立
即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去。
这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇
为止，狗共行了多少米？
分析与解答：要求狗共行了多少
米，一般要知道狗的速度和狗所行的时间。根据题意
可知，狗的速度是每分钟行500米，关键是要求出
狗所行的时间，根据题意可知：狗与主
人是同时行走的，狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发
到两人相遇的时间，即
2000÷（110＋90）=10分钟。所以狗共行了500×10=5000
米。
练 习 二
1，甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行。一个同学
骑自行车以每小
时15千米的速度在两队之间不停地往返联络。甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千
米。两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？
- 58 -
2
，A、B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行38千米，
乙车每小时行
42千米。一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇
到乙车又折回向甲车飞去。
这样一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才能相遇？
3，甲、乙两个车队同时从相隔330千米的两
地相向而行，甲队每小时行60千米，乙
队每小时行50千米。一个人骑摩托车以每小时行80千米的速
度在两车队中间往返联络，
问两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米？
例3：甲每小时行7千
米，乙每小时行5千米，两人于相隔18千米的两地同时相背而
行，几小时后两人相隔54千米？ 分析与解答：这是一道相背问题。所谓相背问题是指两个运动的物体作背向运动的问
题。在相背问题
中，相遇问题的基本数量关系仍然成立，根据题意，甲乙两人共行的路程
应该是54－18=36千米，
而两人每小时共行7＋5=12千米。要求几小时能行完36千米，
就是求36千米里面有几个12千米
。所以，36÷12=3小时。
练 习 三
1，甲车每小时行6千米，乙车每小时行5
千米，两车于相隔10千米的两地同时相背
而行，几小时后两人相隔65千米？
2，甲每小时
行9千米，乙每小时行7千米，甲从南庄向南行，同时乙从北庄向北行。
经过3小时后，两人相隔60千
米。南北两庄相距多少千米？
3，东西两镇相距20千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行，
甲每小时的路
程是乙的2倍，3小时后两人相距56千米。两人的速度各是多少？
例4：甲乙
两人分别从相距24千米的两地同时向东而行，甲骑自行车每小时行13千
米，乙步行每小时走5千米。
几小时后甲可以追上乙？
分析与解答：这是一道追及问题。根据题意，甲追上乙时，比乙多行了24千
米（路
程差）。甲骑自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米，甲每小时比乙多行13－
5=8千米（速度差），即甲每小时可以追上乙8千米，所以要求追上乙所用的时间，就是
求24千米
里面有几个8千米。因此，24÷8=3小时甲可以追上乙。
练 习 四
1，甲乙两人
同时从相距36千米的A、B两城同向而行，乙在前甲在后，甲每小时行
15千米，乙每小时行6千米。
几小时后甲可追上乙？
2，解放军某部从营地出发，以每小时6千米的速度向目的地前进，8小时后部
队有急
事，派通讯员骑摩托车以每小时54千米的速度前去联络。多长时间后，通讯员能赶上队
伍？
3，小华和小亮的家相距380米，两人同时从家中出发，在同一条笔直的路上行走，
小
华每分钟走65米，小亮每分钟走55米。3分钟后两人相距多少米？
例5：甲、乙两沿运动场的跑道
跑步，甲每分钟跑290米，乙每分钟跑270米，跑道
一圈长400米。如果两人同时从起跑线上同方
向跑，那么甲经过多长时间才能第一次追上
乙？
分析与解答：这是一道封闭线路上的追及问题
。甲和乙同时同地起跑，方向一致。因
此，当甲第一次追上乙时，比乙多跑了一圈，也就是甲与乙的路程
差是400米。根据“路
程差÷速度差=追及时间”即可求出甲追上乙所需的时间：400÷（290－
270）=20分钟。
练 习 五
- 59 -
1，一条环
形跑道长400米，小强每分钟跑300米，小星每分钟跑250米，两人同时
同地同向出发，经过多长
时间小强第一次追上小星？
2，光明小学有一条长200米的环形跑道，亮亮和晶晶同时从起跑线起跑
。亮亮每秒
跑6米，晶晶每秒跑4米，问：亮亮第一次追上晶晶时两人各跑了多少米？
3，甲
、乙两人绕周长1000米的环形广场竞走，已知甲每分钟走125米，乙的速度是
甲的2倍。现在甲在
乙后面250米，乙追上甲需要多少分钟？
第三十周 用假设法解题
专题简析：
假设法是一种常用的解题方法。“假设法”就是根据题目中的已知条件
或结论作出某
种假设，然后按已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾作适当调整，从而找到正确答<
br>案。
运用假设法的思路解应用题，先要根据题意假设未知的两个量是同一种量，或者假设
要求的两个未知量相等；其次，要根据所作的假设，注意到数量关系发生了什么变化并作
出适当的调整
。
例1：今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只。问鸡、
兔各
有多少只？
分析与解答：鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数
必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。
假设全是鸡，那么相应的脚
的总数应是2×35=70只，与实际相比，减少了94－70=24
只。减少的原因是把一只兔当作一
只鸡时，要减少4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只，
鸡有35－12=23只。
练
习 一
1，鸡与兔共有30只，共有脚70只。鸡与兔各有多少只？
2，鸡与兔共有20只，共有脚50只。鸡与兔各有多少只？
3，鸡与兔共有100只，鸡脚比兔脚多80只。鸡与兔各有多少只？
例2：面值是2元、5
元的人民币共27张，全计99元。面值是2元、5元的人民币各
有多少张？
分析与解答：这
道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么27
张人民币是2×27=54元，与
实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把一张面值2
元的人民币当作一张面5元的人民币
，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有
45÷3=15张，面值2元的人民币有27－1
5=12张。
练 习 二
1，孙佳有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。两种硬币各有多少枚？
2，50名同
学去划船，一共乘坐11只船，其中每条大船坐6人，每条小船坐4人。问
大船和小船各几只？
- 60 -
3，小明参加猜谜比赛，共20道题，规定猜对一道得5分，猜
错一道倒扣3分（不猜
按错算）。小明共得60分，他猜对了几道？
例3：一批水泥，用小车
装载，要用45辆；用大车装载，只要36辆。每辆大车比小
车多装4吨，这批水泥有多少吨？
分析与解答：求出大车每辆各装多少吨，是解题关键。如果用36辆小车来运，则剩4
×36=144
吨，需45－36=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨，
所以，这批
水泥共有16×45=720吨。
练 习 三
1，一批货物用大卡车装要16辆，如果
用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每
辆多装4吨，问这批货物有多少吨？
2，有一堆
黄沙，用大汽车运需运50次，如果用小汽车运，要运80次。每辆大汽车
比小汽车多运3吨，这堆黄沙
有多少吨？
3，一批钢材，用小车装，要用35辆，用大车装只用30辆，每辆小车比大车少装3吨，这批钢材有多少吨？
例4：某玻璃杯厂要为商场运送1000个玻璃杯，双方商定每个运费为
1元，如果打碎
一个，这个不但不给运费，而且要赔偿3元。结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运
费920元。求打碎了几个玻璃杯？
分析与解答：假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损
，应得运费1×1000=1000元，
实际上少得1000－920=80元，这说明运输过程中打碎
了玻璃杯。每打碎一个，不但不给
运费还要赔偿3元，这样玻璃杯厂就少收入1＋3=4元。又已求出共
少收入80元，所以打
碎的玻璃杯数为80÷4=20个。
练 习 四
1，搬
运1000玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3角。但打碎一只，不仅不给搬
运费还要赔5角。如果
运完后共得运费260元，那么，搬运中打碎了多少只？
2，某次数学竞赛共20道题，评分标准是每
做对一题得5分，每做错一题倒扣1分。
刘亮参加了这次竞赛，得了64分。刘亮做对了多少道题？ <
br>3，某校举行化学竞赛共有15道题，规定每做对一题得10分，每做错一道或不做倒
扣4分。小
华在这次竞赛中共得66分，他做对了几道题？
例5：某场乒乓球比赛售出30元、40元、50元的
门票共200张，收入7800元。其中
40元和50元的张数相等，每种票各售出多少张？
分析与解答：因为“40元和50元的张数相等”，所以可以把40元和50元的门票都
看作45元的门
票，假设这200张门票都是45元的，应收入45×200=9000元，比实际多
收入9000－7
800=1200元，这是因为把30元的门票都当作45元来计算了。因此30元的
门票有1200÷
（45－30）=80张，40元和50元的门票各有（200－80）÷2=60张。
练 习
五
1，某场球赛售出40元、30元、50元的门票共400张，收入15600元。其中40元和<
br>50元的张数相等，每种门票各售出多少张？
2，数学测试卷有20道题，做对一题得7分，做
错一题倒扣4分，不做得0分。红红
得了100分，她几道题没做？
- 61 -
3，有甲、乙、丙三种练习簿，价钱分别为7角、3角和2角，三种练习簿一共买了
47
本，付了21元2角。买乙种练习簿的本数是丙种练习簿的2倍，三种练习簿各买了多
少本？
第三十一周 还原问题
专题简析：
已知某个数经过加、减、乘、除运算
后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问
题，还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒
推法。
遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。
例1：小刚的奶奶
今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是
100岁。小刚的奶奶今年多少岁？
分析与解答：从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有
扩大1
0倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；
没有缩
小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁，没有减去7前应是72＋7=79岁。
所以，小
刚的奶奶今年是79岁。
练 习 一
1，在□里填上适当的数。
20×□÷8＋16=26
2，一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘上2，结果得60。这个数是多少？
3，小红问
王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9，除以4，减去2，
再乘上3，恰好是30岁。”
王老师今年多少岁？
例2：某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多
20
台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台？
分析与解答：从“下午售出
剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图
中可以看出，剩下的95台和下午多卖的20
台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后
剩下的一半，那么115×2=230台就是上午售
出后剩下的台数。而230台和10台合起来，
即230＋10=240台又正好是总数的一半。那么，
240×2=480台就是原有洗衣机的台数。
练 习 二
1，粮库内有一批大米，第
一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5
吨，还剩下4吨。粮库原有大米多少吨？ 2，爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下
的一半多1个，
第三天又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下1个。爸爸买了多少个橘子？
3，某水果店卖菠萝，第一次
卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1
个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个，这
时只剩下一外菠萝。三次共卖得48元，
求每个菠萝多少元？
例3：小明、小强和小勇三个人
共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给
小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等
。这三个人原来各有故事书多少本？
- 62 -
分析与解答：不管这三个
人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个
人故事书本数相同，可以求最后三个人每人都
有故事书60÷3=20本。如果小强不借给小
勇5本，那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5
=15本；如果小强不向小明借3本，那么
小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本。
练 习 三
1，甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张。如果甲给乙3张后，乙又送给
丙5张，
那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张？
2，小红、小丽
、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给小丽13张，小丽给小敏
23张，小敏给小红3张，那么他
们每人各有40张。原来三个人各有年历片多少张？
3，甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃弹子1
0颗，甲给乙13颗，乙给丙18颗，
丙给丁16颗，四人的个数相等。他们原来各有弹子多少颗？ <
br>例4：甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，
再从乙桶倒出
和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油原来
各有多少千克？
分
析与解答：如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，甲桶内应有油36÷
2=18千克，乙桶应
有油36＋18=54千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙
桶，乙桶原有油应为54÷
2=27千克，甲桶原有油18＋27=45千克。
练 习 四
1，王亮和李强各有画
片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强
再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两
个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片
多少张？
2，甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球
若干个，如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，
再按丙现有的个数给丙之后，乙也按甲、丙现有的个数分别
给甲、丙。最后，丙也按同样
的方法给甲、乙，这时，他们三个人都有32个玻璃球。原来每人各有多少
个？
3，书架上分上、中、下三层，共放192本书。现从上层出与中层同样多的书放到中
层
，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书
放到上层，这时三
书架所放的书本数相等。这个书架上中下各层原来各放多少本书？
例5：两只猴子拿26个桃，甲猴眼
急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一
半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲
猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲
猴多5个。问甲猴最初准备拿几个？
分析与解答：先求出两
个猴现在各拿多少，根据“有26个桃”和“这时乙猴比甲猴
多2个”，可知乙猴现在拿（26＋2）÷
2=14个，甲猴现在拿26－14=12个。甲猴从乙猴
那儿抢走一半，又还给乙猴5个后有12个，
如果甲猴不还给乙猴，那么甲猴有12＋5=17
个；如果甲猴不抢乙猴一半，那么乙猴现在有（26－
17）×2=18个。乙猴看甲猴拿得太多，
抢去甲猴的一半后有18个，如果不抢，那么甲猴最初准备
拿（26－18）×2=16个。
练 习 五
1，学校运来36棵树苗，小强和小萍两
人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵，小萍看
到小强拿太多了就抢了10棵，小强不肯，又从小萍那里抢
了6棵，这时小强拿的棵数是
小萍的2倍。问最初小强准备拿多少棵？
- 63 -
2，李辉和张新各搬60本图书，李辉抢先拿了若干本，张新看李辉拿了太多，就抢了
一半；李辉不肯，张新就给了他10本。这时李辉比张新多4本。问最初李辉拿了多少本？
3，有甲、
乙、丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数，再从乙数中拿出18加到丙数，
最后从丙数拿出12加到甲
数，这时三个数都是180。问甲、乙、丙三个数原来各是多少？
第三十二周 逻辑推理
专题简析：
解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从以下几方面考虑：
1，选准突破口，分析时综合几个条件进行判断；
2，根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论；
3，对可
能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛
盾，说明假设是正确的；
4，遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。
例1：有三个小朋友们在谈论谁做的
好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多。”兰兰说：
“冬冬做的比静静多。”静静说：“兰兰做的比冬冬
少。”这三位小朋友中，谁做的好事最
多？谁做的好事最少？
分析与解答：我们用“＞”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系。
兰兰＞静静
冬冬＞静静 冬冬＞兰兰
所以，冬冬＞兰兰＞静静，冬冬做的好事最多，静静做的最少。
练 习 一
1，卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师，一位是医生，一位是飞行员。现在只知道：
卢刚和医生
不同岁；医生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大。问：谁是工程
师、谁是医生、谁是飞行员？
2，小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师、数学家和工程师。
小张年龄比工程师大；小李和数学家不同岁；数学家比小徐年龄小。谁是教师、
谁是数学家、谁是工程师
？
3，江波、刘晓、吴萌三个老师，其中一位教语文，一位教数学，一位教英语。已知：
江
波和语文老师是邻居；吴萌和语文老师不是邻居；吴萌和数学老师是同学。请问：
三个老师分别教什么科
目？
例2：有一个正方体，每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结
果如下图所示。这个正方体的每个汉字的对面各是什么字？
林
匹
奥
学
奥
（2）
数
克
数
（3）
林
分析与解答：如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难，可以换一种思维方式，
想想某个
汉字的对面不是什么字。
从图（1）可知，“奥”的对面不是“林”、“匹”，从图（2）可知，“奥
”的对面不是
“数”、“学”。所以，“奥”的对面一定是“克”。
从图（2）可知，“数”
的对面不是“奥”、“学”；从图（3）可知，“数”的对面不是
“克”、“林”，所以“数”的对面一
定是“匹”，剩下“学”的对面一定是“林”。
练 习 二
1，下面三块正方体的六个面都是按相同的规律涂有红、黄、蓝、白、绿、黑六种颜
- 64
-
（1）
色。请判断黄色的对面是什么颜色？白色的对面是什么颜色？红色的
对面是什么颜色？
白
黑
黄
绿
白
红
黄
蓝<
br>红
（C）
（B）
（A）
2，一个正方体，六个面分别写上A、B、C、D、E、F，你能根据这个正方体不同的摆
法，求出相
对的两个面的字母是什么吗？
F
A
D
B
C
A
E
D
C
3，五个相同的正方体木块，按相同的顺序在上面写上数字1~6，把木块叠成下图，那
么，2
的对面是几？4的对面是几？5的对面是几？
4
2
6
5
3
6
6
4
3
5
例3：甲、乙、丙三个孩子踢球打
碎了玻璃，甲说：“是丙打碎的。”乙说：“我没有打碎破
璃。”丙说：“是乙打碎的。”他们当中有一
个人说了谎话，到底是谁打碎了玻璃？
分析与解答：由题意推出结论，必须符合他们中只有一个人说了
谎，推理时可先假设，
看结论和条件是否矛盾。
如果是甲打碎的，那么甲说谎话，乙说的是真
话，丙说的是谎话。这样两人说的是谎
话，与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是甲打碎的。
如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是谎话，丙说的是真话，与他们中只有
一人说谎相矛盾，
所以不是乙打碎的。
如果是丙打碎的，那么甲说的是真话，乙说的是真话，而丙说的是谎话。这样有两
个
说的是真话，符合条件中只有一个人说的是谎话，所以玻璃是丙打碎的。
练 习 三
1，已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车。甲说：“我会开汽车。”乙说：“我不
会开。
”丙说：“甲不会开汽车。”如果三人中只有一人讲的是真话，那么谁会开汽车？
2，某学校为表扬好
人好事核实一件事，老师找了A、B、C三个学生。A说：“是B做
的。”B说：“不是我做的。”C说
：“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话，这件
好事是谁做的？
3，A、B、C、D四个孩子踢球打碎了玻璃。A说：“是C或D打碎的。”B说：“是D打
-
65 -
5
碎的。”C说：“我没有打碎玻璃。”D说：“不是我打碎的。”
他们中只有一个人说了谎，到
底是谁打碎了玻璃？
例4：甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛。最后：
甲说：“丙是第一名，我是第三名。
”乙说：“我是第一名，丁是第四名。”丙说：“丁是第
一名，我是第三名。”丁没有说话。成绩揭晓时
，大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一
半。你能说出他们的名次吗？
分析与解答：推理时，
必须以“他们都只说对了一半”为前提。为了帮助分析，我们可以
借助图表进行分析。
甲 √ 丙（1） × 甲（3）
乙 × 乙（1） √ 丁（4）
丙 × 丁（2） √ 丙（3）
（1）乙说“我是第一名”也是错的，而乙说“丁是第四名”是对的。
（2）由丁是第四名推出丙说“丁是第二名”是错的，根据条件，丙说“我是第三名”
是对的。
（3）这样，丙既是第一名，又是第三名，自然是错的。
重新推理：
（
1）由甲说的“我是第一名”推出丙说的“我是第三名”是错的，而丙说的“我是
第一名”是对的。
（2）由“丁第二名”推出乙说的“丁是第四名”是错的，而乙说的“我是第一名”
是对的。
（3）从表中我们可看出：乙是第一名，丁是第二名，甲是第三名，丙是第四名。
甲 × 丙（1） √ 甲（3）
乙 √ 乙（1） × 丁（4）
丙 √ 丁（2） × 丙（3）
练 习 四
1．甲
、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛，赛前名次众说不一。有的说：“甲是第二名，
丁是第三名。”有的说
：“甲是第一名，丁是第二名。”有的说：“丙是第二名，丁是第四名。”
实际上，上面三种说法各说对
了一半。甲、乙、丙、丁各是第几名？
2，红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着放在
桌子上一排。甲、乙、
丙、丁、戌五个人猜各包里的珠子的颜色。甲猜：“第二包紫色，第三包黄色。”
乙猜：“第
二名蓝色，第四包红色。”丙猜：“第三包蓝色，第五包白色。”丁猜：“第三包蓝色，第五
包白色。”戌猜：“第二包黄色，第五包紫色。”结果每个人都猜对了一半，他们各猜对了
哪种
颜色的珠子？
3，张老师要五个同学给鄱阳湖、洞庭湖、太湖、巢湖和洪泽湖每个湖泊写上号码，这五个同学只认对了一半。他们是这样回答的：
甲：2是巢湖，3是洞庭湖；乙：4是鄱阳湖，2
是洪泽湖；丙：1是鄱阳湖，5是
太湖；丁：4是太湖，3是洪泽湖；戌：2是洞庭湖，5是巢湖。请写
出各个号码所
代表的湖泊。
例5：A、B、C、D与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人
都赛一盘，比赛一段时间后
统计：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了一盘。问小强已经赛了
几盘？
- 66 -
分析与解答：用五个点表示这5个人，如果某两个之间
已经进行了比赛，就在表示这两个
人的点之间画一条线。现在A赛4盘，所以A应该与其余4个点都连线
。B赛了3盘，由
于D只赛了1盘，是和A赛的，所以B应该与C连。（B、A已连线）C已连了2条线
，小
强也连了2条线，所以小强已赛了2盘。
练 习 五
1，上海、辽宁、北京、山东四个足球队进行循环赛，到现在为止，上海队赛
了3场，
辽宁队赛了2场，山东队赛了1场。问北京队赛了几场？
2，明明、冬冬、兰兰、静
静、思思和毛毛六人参加一次会议，见面时每两个人都要
握一次手。明明已握了5次手，冬冬握了4次手
，兰兰握了5次手，静静握了2次，思思
握了1次手。问毛毛握了几次手？
3，甲、乙、丙、
丁比赛乒乓球，每两人都要赛一场。结果甲胜了丁，并且甲、乙、
丙三人胜的场数相同。问丁胜了几场？
第三十三周 速算与巧算（三）
专题简析：
这一周，我们来学习一些比
较复杂的用凑整法和分解法等方法进行的乘除的巧算。这
些计算从表面上看似乎不能巧算，而如果把已知
数适当分解或转化就可以使计算简便。
对于一些较复杂的计算题我们要善于从整体上把握特征，通过对
已知数适当的分解和
变形，找出数据及算式间的联系，灵活地运用相关的运算定律和性质，从而使复杂的
计算
过程简化。
例1：计算236×37×27
分析与解答：在乘除法的计算过程
中，除了常常要将因数和除数“凑整”，有时为了便于
口算，还要将一些算式凑成特殊的数。例如，可以
将27变为“3×9”，将37乘3得111，
这是一个特殊的数，这样就便于计算了。
236×37×27
=236×（37×3×9）
=236×（111×9）
=236×999
=236×（1000－1）
=236000－236
=235764
练 习 一
计算下面各题：
132×37×27
315×77×13 6666×6666
例2：计算333×334＋999×222 分析与解答：表面上，这道题不能用乘除法的运算定律、性质进行简便计算，但只要对数
据作适当变
形即可简算。
- 67 -
333×334＋999×222
=333×334＋333×（3×222）
=333×（334＋666）
=333×1000
=333000
练 习 二
计算下面各题：
9999×2222＋3333×3334 37×18＋27×42 46×28＋24×63
例3：计算20012001×2002－20022002×2001
分析与解答：这道题
如果直接计算，显得比较麻烦。根据题中的数的特点，如果把20012001
变形为2001×100
01，把20022002变形为2002×10001，那么计算起来就非常方便。
20012001×2002－20022002×2001
=2001×10001×2002－2002×10001×2001
=0
练
习 三
计算下面各题：
1，192192×368－368368×192
2，19931993×1994－19941994×1993
3，9990999×3998－59975997×666
例4：不用笔算，请你指出下面哪个得数大。
163×167 164×166 分析与解答：仔细观察可以发现，第二个算式中的两个因数分别与第一个算式中的两
个因数相差1，
根据这个特点，可以把题中的数据作适当变形，再利用乘法分配律，然后
进行比较就方便了。
163×167 164×166
=163×（166＋1） =（163＋1）×166
=163×166＋163 =163×166＋166
所以，163×167＜164×166
练 习 四
1，不用笔算，比较下面每道题中两个积的大小。
（1） 242×248与243×247
（2） A=987654321×123456789
B=987654322×123456788
2，计算：8353×363－8354×362
例5：888…88[1993个8]×999…99[1993个9]的积是多少？
分析
将999…99[1993个9]变形为“100…0[1993个0]－1”，然后利用乘法分配律
来
进行简便计算。
888…88[1993个8]×999…99[1993个9]
=888…88[1993个8]×（100…0[1993个0]－1）
=888…88[1993个8]000…0[1993个0]－888…88[1993个8]
=888…88[1993个8]111…1[1992个1]2
练习五
1，666…6[2001个6]999…9[2001个9]的积是多少？
2，999…9
[1988个9]×999…9[1988个9]＋1999…9[1988个9]的末尾有多少个0？
3，999…9[1992个9]×999…9[1992个9]＋1999…9[1992个9]的末尾有多
少个0？
第三十四周 行程问题（二）
- 68 -
专题简析：
行船问题是指在流水中的一种特殊的行程问题，它也有路程、速度与时间之间的数
量
关系。因此，它比一般行程问题多了一个水速。在静水中行船，单位时间内所行的路程叫
船速
，逆水的速度叫逆水速度，顺水下行的速度叫顺水速度。船在水中漂流，不借助其他
外力只顺水而行，单
位时间内所走的路程叫水流速度，简称水速。
行船问题与一般行程问题相比，除了用速度、时间和路程
之间的关系外，还有如下的
特殊数量关系：
顺水速度=船速＋水速
逆水速度=船速－水速
（顺水速度＋逆水速度）÷2=船速
（顺水速度－逆水速度）÷2=水速
例1：货车和客车同时从东西两地相向而行，货车每小时
行48千米，客车每小时行42千
米，两车在距中点18千米处相遇。东西两地相距多少千米？
分析与解答：由条件“货车每小时行48千米，客车每小时行42千米”可知货、客车
的速度和是48
＋42=90千米。由于货车比客车速度快，当货车过中点18千米时，客车距
中点还有18千米，因此
货车比客车多行18×2=36千米。因为货车每小时比客车多行48
－42=6千米，这样货车多行3
6千米需要36÷6=6小时，即两车相遇的时间。所以，两地
相距90×6=540千米。
练 习 一
1，甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小
时行18
千米。两人相遇时距全程中点3千米，求全程长多少千米。
2，甲、乙两辆汽车同时
从东西两城相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行
56千米，两车在距中点16千米处相遇。
东西两城相距多少千米？
3，快车和慢车同时从南北两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过
3小时后，
快车已驶过中点25千米，这时慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米？
例2
：甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟30米、40米、50米，甲、乙在A地，而
丙在B地同时出
发相向而行，丙遇乙后10分钟和甲相遇。A、B两地间的路长多少米？
分析与解答：从图
中可以看出，丙和乙相遇后又经过10分钟和甲相遇，10分钟内甲
丙两人共行（30＋50）×10=
800米。这800米就是乙、丙相遇比甲多行的路程。乙每分钟
比甲多行40－30=10米，现在乙
比甲多行800米，也就是行了80÷10=80分钟。因此，AB
两地间的路程为（50＋40）×8
0=7200米。
练 习 二
1，甲每分钟走75米，乙每分钟走80米，丙每分钟走
100米，甲、乙从东镇，丙人
西镇，同时相向出发，丙遇到乙后3分钟再遇到甲。求两镇之间相距多少
米？
2，有三辆客车，甲、乙两车从东站，丙车从西站同时相向而行，甲车每分钟行1000
米，乙车每分钟行800米，丙车每分钟行700米。丙车遇到甲车后20分钟又遇到乙车。
求东西两站
的距离。
3，甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走67米，丙每分钟走73米。甲、乙从南镇，丙从北镇同时相向而行，丙遇乙后10分钟遇到甲。求两镇相距多少千米。
例3：甲、
乙两港间的水路长286千米，一只船从甲港开往乙港顺水11小时到达；从乙港
返回甲港，逆水13小
时到达。求船在静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）。
分析与解答：要求船速和水速，要先
求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度可按行程
问题的一般数量关系求，即：路程÷顺水时间=顺水速度
，路程÷逆水时间=逆水速度。因
此，顺水速度是286÷11=26千米，逆水速度是286÷13=
22千米。所以，船在静水中每小
- 69 -
时行（26＋22）÷2=24千米，水流速度是每小时（26－22）÷2=2千米。
练 习 三
1，A、B两港间的水路长208千米。一只船从A港开往B港，顺水8小时
到达；从B
港返回A港，逆水13小时到达。求船在静水中的速度和水流速度。
2，甲、乙两
港间水路长432千米，一只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小时，
从乙港返回甲港，需要24小
时到达。求船在静水中的速度和水流速度。
3，甲、乙两城相距6000千米，一架飞机从甲城飞往乙
城，顺风4小时到达；从乙城
返回甲城，逆风5小时到达。求这架飞机的速度和风速。
例4：
一只轮船从上海港开往武汉港，顺流而下每小时行25千米，返回时逆流而上用了
75小时。已知这段航
道的水流是每小时5千米，求上海港与武汉港相距多少千米？
分析与解答：先根据顺水速度和水速，可
求船速为每小时25－5=20千米；再根据船
速和水速，可求出逆水速度为每小时行20－5=15千
米。又已知“逆流而上用了75小时”，
所以，上海港与武汉港相距15×75=1125千米。
练 习 四
1，一只轮船从A港开往Ｂ港，顺流而下每小时行20千米，返回时逆流而上
用了60
小时。已知这段航道的水流是每小时4千米，求A港到B港相距多少千米？
2，一只
轮船从甲码头开往乙码头，逆流每小时行15千米，返回时顺流而下用了18
小时。已知这段航道的水流
是每小时3千米，求甲、乙两个码头间水路长多少千米？
3，某轮船在相距216千米的两个港口间往
返运送货物，已知轮船在静水中每小时行
21千米，两个港口间的水流速度是每小时3千米，那么，这只
轮船往返一次需要多少时间？
例5：A、B两个码头之间的水路长80千米，甲船顺流而下需要4小时
，逆流而上需要10
小时。如果乙船顺流而行需要5小时，那么乙船在静水中的速度是多少？
分析与解答：虽然甲、乙两船的船速不同，但都在同一条水路上行驶，所以水速相同。
根据题意，甲船顺
水每小时行80÷4=20千米，逆水每小时行80÷10=8千米，因此，水速
为每小时（20－8）
÷2=6千米。又由“乙船顺流而行80千米需要5小时”，可求乙船在顺
水中每小时行80÷5=16
千米。所以，乙船在静水中每小时行16－6=10千米。
练 习 五
1，甲乙两个码
头间的水路长288千米，货船顺流而下需要8小时，逆流而上需要16
小时。如果客船顺流而下需要1
2小时，那么客船在静水中的速度是多少？
2，A、B两个码头间的水路全长80千米，甲船顺流而下
需要4小时，逆流而上需要
10小时。如果乙船逆流而上需要20小时，那么乙船在静水中的速度是多少
？
3，一条长160千米的水路，甲船顺流而下需要8小时，逆流而上需要20小时。如果
乙
船顺流而下要10小时，那么乙船逆流而上需要多少小时？
第三十五周 容斥原理
专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数
部
分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物
，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如
图），那么具有性质a或性质b的事物的个
数=N
a
＋N
b
－N
ab
。
- 70 -
Na
Nab
Nb
例1：一个班有48人，班主任在
班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42
人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做
完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人
数。
分析 完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多<
br>于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一
次，在统
计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、
数作业都完成的有：79
－48=31人。
练 习 一
1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至
少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的
有多少人？
2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13<
br>人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多
少人？
3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的
有17人
，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？
例2：某班有36个同学在
一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两
题都答对的有15人。问多少个同学两
题都答得不对？
分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第
一题的有25－15=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答
对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答得不对的
有36－
33=3人。
练 习 二
1，五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，2
3人参加科技小组，有19人
两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？
2，
一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的
有29人，两种报纸都
订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？
3，某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比
赛，结果3人两项比赛都获奖了，有
27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人，问数学
比赛获奖的有多少人？
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如
果两科都没有
参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
分析与解答：
要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56
－25=31人，再求两科竞赛
同时参加的人数：28＋27－31=24人。
练 习 三
1，一个旅行社有36人，
其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有
4人。两样都会的有多少人？
2
，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，
这两种棋都不会下
的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？
- 71 -
3，三年级一班
参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加
舞蹈队的有14人。这两队都没有
参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人？
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
分析与解答
：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然
数中，5的倍数有100÷
5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍
数又是6的倍数（即5和
6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此，是6或5
的倍数的个数是16＋20－
3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－
33=67个。
练
习 四
1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？
3，五（
1）班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等。小华排的位置是：从前面
数第5个，从后面数第8个
。这个班共有多少个学生？
例5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书
法作品，其中
有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，
其他年级参展的书法作品共有多少幅？
分析与解答：由题意知，24幅作品是一、二、三、四
、六年级参展作品的总数，22
幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24＋22=46幅，这
是一个五、六年级和两
个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅
作品，
即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品
的总数。（24＋22－10）÷2=18幅。
练 习 五
1，科技节那天，学校的科
技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不
是一年级的，有100件不是二年级的，一、
二年级参展的作品共有32件。其他年级参展
的作品共有多少件？
2，六（1）儿童节那天，
学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25
幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的
，三、四两个年级参展的画共有8幅。其他
年级参展的画共有多少幅？
3，实验小学举办学生
书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有
28幅不是五年级的，有24幅不是六年级
的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、
二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少
4幅。一、二年级参展的书法作品
共有多少幅？
第三十六周 二进制
专题简析：
二进制就是只用0和1两数字，在计数与计算时必须“满二进一”，即每两个相同
的
单位组成一个和它相邻的最高的单位。
二进制的最大特点是：每个数的各个数位上只有0或只有1两种状态。
二进制与十进制之间可以互相转化。
1，将一个二进制数写成十进制数的步骤是：（1）将二
进制数的各数位上数字改写成
相应的十进制数；（2）将各数位上对应的十进制数求和，所得结果就是相
应的十进制
数。将十进制数改写成二进制数的过程，正好相反。
2，十进制数改写成二进制数的常用方法是：除以二倒取余数。
3，二进制数的计算法则：
（1）加法法则：0＋0=0 0＋1=1 1＋0=1 1＋1=10
- 72 -
（2）乘法法则：0×0=0 0×1=0 1×0=0 1×1=1
例1：把二进制数110
（2）
改写成十进制数。
分析与解答：十进制有两
个特点：（1）它有十个不同的数字符号；（2）满十进1。二
进制有两个特点：（1）它的数值部分，
只需用两个数码0和1来表示；（2）它是“满二进
一”。
把二进制数110
（2）
改写成十进制数，只要把它写成2的幂之和的形式，然后按通常的
方法进行计算即可。
110
（2）
=1×2
2
＋1×2
1
＋0×2
0
=1×4＋1×2＋0×1
=4＋2＋0
=6
练 习 一：把下列二进制数分别改写成十进制数。
（1）100
（2）
（2）1001
（2）
（3）1110
（2）
例2：把十进制数38改写成二进制数。
分析与解
答：把十进制数改写成二进制数，可以根据二进制数“满二进一”的原则，
用2连续去除这个十进制数，
直到商为零为止，把每次所得的余数按相反的顺序写出来，
就是所化成的二进制数，这种方法叫做“除以
二倒取余数”。
2 38 ……0
2 19
……1
2 9 ……1
2 4 ……0
2 2 ……0
1 ……1
即：38
（10）
=100110
（2）
练 习 二
把下列十进制数分别改写成二进制数。
（1）12
（10）
（2）15
（10）
（3）78
（10）
例3：计算1011
（2）
＋11
（2）
分析与解答：任
何进位制数的运算，都可以根据十进制数的运算法则来进行，做一位
数的运算需要有加法表（即加法口诀
）。二进制的加法口诀只有一句：1
（2）
＋1
（2）
=10
（2）
1011
（2）
＋11
（2）
=1110
（2）
1011
（2）
＋ 11
（2）
1110
（2）
你能用十进制计算来检验上面的计算吗？
练 习 三
1，计算101
（2）
＋10
（2）
2，计算1110
（2）
＋11
（2）
3，计算11010
（2）
－1111
（2）
例4：计算1101
（2）
×11
（2）
分析与解答：二
进制的乘法口诀只有一句：1
（2）
×1
（2）
=1
（2
1101
（2）
× 11
（2）
1101
（2）
1101
（2）
-
73 -
100111
（2）
你能用十进制计算来检验上面的计算吗？
练 习 四
1，计算110
（2）
×10
（2）
2，计算1011
（2）
×11
（2）
3，计算101
（2）
×110
（2）
例5：计算1111
（2）
÷101
（2）
分析与解答：二进制数的除法运算与十进制的除法运算一样，是乘法的逆运算。
11
（2）
101
（2）
1111
（2）
101
101
101
0
练 习 五
1，计算11100
（2）
÷100
（2）
2，计算10010
（2）
÷11
（2）
3，计算10000111
（2）
÷11
（2）
第三十七周 应用题（三）
专题简析：
这一周，我们来学习一
些较复杂的典型问题，如平均数问题、和倍问题、差倍问题等。
这些问题的数量关系比较隐蔽，往往需要
通过适当的转化，使数量关系明朗化，从而找到
解题思路。
例1：甲、乙、丙三个
公司到汽车制造厂订购了18辆汽车，按合同三个公司平均分配，付
款时丙没有带钱，甲公司付出10的
钱，乙公司付出8辆的钱，丙公司应付款90万元。甲、
乙两公司应收回多少万元？
分析与解
答：根据题意，把18辆汽车平均分给三个公司，每个公司应得18÷3=6辆。
丙公司6辆汽车付款9
0万元，每辆汽车应是90÷6=15万元。因为甲公司多付出10－6=4
辆的钱，所以，甲公司应收
回15×4=60万元；乙公司多付8－6=2辆的钱，应收回15×2=30
万元。
练
习 一
1，甲、乙、丙三人一起买了12个面包平分着吃，甲拿出7个面包的钱，乙付了5个
面包的钱，丙没有带钱。等吃完后一算，丙应该拿出4元钱。甲应收回多少钱？
2，王叔叔和李叔叔
去江边钓钱，王叔叔钓了7条鱼，李叔叔钓了11条鱼。中午来了
位游客，王叔叔和李叔叔把钓得的鱼烧
熟后平均分成3份。餐后，游客付了6元钱给王叔
叔和李叔叔两人。问：王叔叔和李叔叔各应得多少元？
3，小华、小明和小强三人合用一些练习本，小华带来8本，小明带来7本，小强没
有练习本，
他付出了10元。小华应得几元钱？
例2：两个数的和是94，有人计算时将其中一个加数个位上的0
漏掉了，结果算出的和是
31。求这两个数。
分析与解答：根据题意，正确算式中的一个加数
是错误算式中的一个加数的10倍，
即比它多9倍。而两个结果相差94－31=63，因此，误加上的
数是63÷9=7，应该加的数
是7×10=70，另一个加数为94－70=24，所以，这两个数分
别是24和70。
练 习 二
- 74 -
1，楠楠和锋锋
同算两数之和，楠楠得982，计算正确；锋锋得577，计算错误。锋锋
算错的原因是将其中一个加数
个位的0漏掉了。两个加数各是多少？
2，小龙和小虎同算两数之和。小龙得2467，计算正确；小
虎得388，计算错误。小
虎算错的原因是将其中一个加数十位和个位上的两个0漏掉了。两个加数各是
多少？
3，小梅把6×（□＋8）错看成6×□＋8，她得到的结果与正确的答案相差多少？
例3：学校三个兴趣小组共有学生180人，数学兴趣小组的人数比科技兴趣小组和美术兴
趣小组人数
的总和还多12人，科技兴趣小组的人数比美术兴趣小组多4人。三个兴趣小
组各有多少人？
分析与解答：根据前两个已知条件，可求数学兴趣小组有（180＋12）÷2=96人，科
技兴趣小组
和美术兴趣小组的人数的和是180－96=84人；又由“科技兴趣小组和美术兴
趣小组的人数的和是
84人”和“科技兴趣小组的人数比美术兴趣小组多4人”，可求科技
兴趣小组有（84＋4）÷2=4
4人，美术兴趣小组有84－44=40人。
练 习 三
1，三只船运木板9800块
，第一只船比其余两只船共运的少1800块，第二只船比第
三只船多运200块。三只船各运木板多少
块？
2，红花、绿花和黄花共有78朵，红花和绿花的总朵数比黄花多6朵，红花比绿花少
6
朵。三种花各有多少朵？
3，甲、乙、丙三个数的和是120，其中甲、乙两个数的和是丙的3倍，甲
比乙多10。
三个数各是多少？
例4：有甲、乙、丙三袋化肥，甲、乙两袋共重32千克，乙
、丙两袋共重30千克，甲、
丙两袋共重22千克。甲、乙、丙三袋各重多少千克？
分析与解
答：根据“甲、乙两袋共重32千克”与“乙、丙两袋共重30千克”，可知
甲袋比丙袋重32－30=
2千克，又已知“甲、丙两袋共重22千克”，于是，这道题目可以
转化为和差问题来解。所以甲袋化肥
重（22＋2）÷2=12千克，丙袋化肥重22－12=10千
克，乙袋化肥重32－12=20千克
。
练 习 四
1，某工厂一车间和二车间共有100人，二车间和三车间共有97人，
一车间和三车间
共有93人。三个车间各有多少人？
2，某校一年级有四个班，共有138人
，其中一（1）班和一（2）班共有70名学生，
一（1）班和一（3）班共有65名学生，一（2）班
和一（3）班共有59名学生。一（4）
有多少名学生？
3，甲、乙、丙三个数，甲、乙两数
的和比丙多59，乙、丙两数的和比甲多49，甲、
丙两数的和比乙多85。甲、乙、丙三个数各是多少
？
例5：小龙有故事书的本数是小虎的6倍，如果两人再各买2本，那么小龙有故事书的本
数
是小虎的4倍。两人原来各有故事书多少本？
分析与解答：如果小虎再买2本，小龙再买2×6=12
本，那么现在小龙的本数仍是小
虎的6倍，而现在小龙的本数是小虎的4倍，因此，2×6－2=10本
就是小虎现有本数的6
－2=4倍。所以，小虎现在有10÷2=5本，小虎原来有5－3=2本，小龙
原来有3×6=18本。
练 习 五
1，城南小学有红皮球的只数是黄皮球的5倍，如
果这两种皮球再各买4只，那么红
皮球的只数是黄皮球的4倍。原来红皮球和黄皮球各有多少只？ 2，学校有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔的盒数是彩色粉笔的3倍，后来，白粉
笔和彩色粉笔各
用去12盒，现在白粉笔的盒数是彩色粉笔的7倍。学校原来有彩色粉笔
和白粉笔各多少盒？
3，某小队队员提一篮苹果和梨子到敬老院去慰问，每次从篮里取出2个梨子、5个苹
果送给老人，最后
剩下11个苹果，梨子正好分完，这时他们才想起来原来苹果是梨子的3
- 75 -
倍。敬老院有多少个老人？
第三十八周 应用题（四）
专题简析：
大家都希望自己成为一个“小高斯”。这一周，我们来学习一些需要较高
解题技巧的
应用题，它们的解题思路往往比较独特，并且容易做错。如：书本的页码问题，较复杂的植树问题，以及其他智巧问题。这些智巧问题正是训练你成为“小高斯”的好题目。
例1：第七册数学课本共153页，编印这本书的页码共要用多少个数字？
分析与解答：从1
到153按数的位数分，可以分为：一位数、两位数、三位数，它们分别
由1个、2个、3个数字组成。
从第1页到第9页，要用9个数字；从第10页到第99页，
要用2×90=180个数字；从第100
页到153页，要用3×54=162个数字，所以，一共要用
9＋180＋162=351个数字。
练 习 一
1，一本故事书共131页，编印这本故事书的页码共要用多少个数字？
2，一本辞典共1008页，编印这本辞典的页码共要用多少个数字？
3，一本小说共320页，数字0在页码中共出现了多少次？
例2：排一本辞典的页码共用了2886个数字，这本辞典共有多少页？
分析与解答：排这本
辞典的第1页到第9页的页码，要用9个数字；排第10页到99
页的页码，要用2×90=180个数
字；这样，剩下的页码要用2886－9－180=2697个数字。
2697÷3=899页，即页码
是三位数的排了899页。这样，这本辞典共有9＋90＋899=998页。
练 习 二
1，排一本科幻小说的页码共用了270个数字，这本科幻小说共有多少页？
2，排一本学生词典的页码，共用了3829个数字。这本词典共有多少页？
3，一本故事书的页码，用了39个0，这本书共有多少页？
例3：两棵杨树相距
75米，在中间又等距离地栽了14棵白玉兰树。第9棵与第1棵
之间相距多少米？
分析与解
答：根据题意，两棵杨树之间又增加了14棵白玉兰树，可知75米内共栽树
14＋2=16棵，共有1
6－1=15段，每段长75÷15=5米。而第1棵到第9棵之间有9－1=8
段，所以，第9棵到第
1棵之间相距5×8=40棵。
练 习 三
1，两棵树相隔45米，在中间以相等距离增加8棵树后，第8棵与第1棵相隔多少米？
2，两棵树相隔92米，在中间以相等距离增加22棵后，第10棵与第1棵间相隔多少
米？
3，两盆花相隔12米，在中间以相等距离增加11盆花后，第9盆与第3盆花之间相
隔多少米
？
例4：一个圆形花坛，绕着它走一圈是90米，如果沿着它的周围每隔6米栽一株丁香花，
再在每相邻两株丁香花之间等距离地栽两株月季花。问丁香花和月季花各栽了多少株？
分析与解答：在
圆形花坛的周围栽花，栽丁香花的株数正好等于分成的段数，所以，
丁香花栽了90÷6=15株。由于
每相邻的两株丁香花之间等距离地栽两株月季花，所以月
季花栽了2×15=30株。
练
习 四
1，一个圆形花坛的周长是60米，沿着它的周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中
间插一面绿旗。红旗和绿旗各插了多少面？
2，有一个圆形花圃，周长是120米，每隔6米栽一棵黄杨树，每两棵黄杨树之间等
- 76
-
距离地栽3棵月季花。花圃周围栽了多少棵黄杨树？栽了多少棵月季花？
3，有一条公路长450米，在两旁栽树，两端各栽一棵，每隔18米栽一棵柳树，每两
棵柳树之间以相
等的距离栽了3棵槐树。柳树、槐树各栽了多少棵？
例5：有80个零件，分装成8袋，每袋装10个
。在其中的7袋里面装的零件每个都是50
克，有一袋里面的每个零件都是49克。这8袋混在一起，你
能用秤称一次，就把装49克
重的零件的那一袋找出来吗？
分析与解答：将8袋零件依次编上
序号：1、2、3、4、5、6、7、8。从第1袋中取出
1个零件，从第2袋中取出2个零件，…，从
第8袋中取出8个零件，共取出1＋2＋3＋…
＋8=36个零件，总重量应少于50×36=1800
克。将这些零件放在秤上称一下，总重量比
1800克少几克，第几号袋中装的零件就是49克的。
练 习 五
1，60只橘子分装6袋，每袋装10只，其中5袋里装的橘子的重量都是5
0克，另一
袋装的每只的重量都是40克。这6袋橘子混在一起，你能用秤称一次，就把装40克重的<
br>那一袋找出来吗？
2，袋装的洗衣粉共有10堆（每堆不少于10袋），已知9堆是合格产品，
每袋1千克，
1堆是不合格产品，每袋0.9千克，从外形看不出。能否只称一次找出不合格产品？ <
br>3，有9只外形完全相同的乒乓球，其中8只是正品，另一只是次品，且正品与次品
重量不相同。
如果用天平（无砝码）称，至少几次可把次品找出来？
第三十九周 盈亏问题
专题简析：
在日常生活中常有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，
物
品就不够；每人少一些，物品就有余。盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数
和参
加分配的人数。
解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。
盈亏问题的数量关系是：
（1）（盈＋亏）÷两次分配差=份数
（大盈－小盈）÷两次分配差=份数
（大亏－小亏）÷两次分配差=份数
（2）每次分得的数量×份数＋盈=总数量
每次分得的数量×份数－亏=总数量
例1：一个植树小组植树。如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。这
个植
树小组有多少人？一共有多少棵树？
由题意可知，植树的人数和树的棵数是不变的。比较两种分配方案
，结果相差14＋
4=18棵，即第一种方案的结果比第二种多18棵。这是因为两种分配方案每人植树
的棵数
相差7－5=2棵。所以植树小组有18÷2=9人，一共有5×9＋14=59棵树。
练 习 一
1，幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每
人分3个，
则差40个。幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个积木？
2，某校安排宿舍，如
果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个
床位。问宿舍多少间？学生多少人？ <
br>3，有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；
如果减少一条
船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少学生？
例2：学校将一批铅笔奖给三好学生。如果每人奖
9支，则缺45支；如果每人奖7支，则
缺7支。三好学生有多少人？铅笔有多少支？
-
77 -
分析与解答：这是两亏的问题。由题意可知：三好学生人数和铅笔支数是不变
的。比
较两种分配方案，结果相差45－7=38支。这是因为两种分配方案每人得到的铅笔相差9－7=2支。所以，三好学生有38÷2=19人，铅笔有9×19－45=126支。
练 习
二
1，将月季花插入一些花瓶中。如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶改为插6朵，
则
缺少1朵。求花瓶的只数和月季花的朵数。
2，王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发
5张，则少32张；如果每
人发3张，则少2张。美术兴趣小组有多少名同学？王老师一共有多少张图画
纸？
3，老师将一些练习本发给班上的学生。如果每人发10本，则有两个学生没分到；如
果
每人发8本，则正好发完。有多少个学生？多少本练习本？
例3：有一些少先队员到山上去种一批树。
如果每人种16棵，还有24棵没种；如果每人
种19棵，还有6棵没有种。问有多少名少先队员？有多
少棵树？
分析与解答：这是两盈的问题。由题意可知：少先队员的人数和树的棵数是不变的。
比较两种分配方案，结果相差24－6=18棵，这是因为两种分配方案每人种的树相差19－
16=3
棵。所以，少先队员有18÷3=6名，树有16×6＋24=120棵。
练 习 三
1，小虎在敌人窗外听里边在分子弹：一人说每人背45发还多260发；另一人说每人
背50发还多2
00发。有多少敌人？多少发子弹？
2，杨老师将一叠练习本分给第一小组的同学。如果每人分7本，
还多7本；如果每
人分8本则正好分完。请算一算，第一小组有几个学生？这叠练习本一共有多少本？
3，崔老师给美术兴趣小组的同学分若干支彩色笔。如果每人分5支则多12支；如果
每人分8
支还多3支。请问每人分多少支刚好把彩色笔分完？
例4：学校给一批新入学的学生分配宿
舍。如果每个房间住12人，则34人没有位置；
如果每个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍
有多少间？住宿学生有多少人？
分析与解答：把“每间住14人，则空出4个房间”转化为“每间住1
4人，则少14
×4=56人”。比较两种分配方案，结果相差34＋56=90人，而每个房间相差1
4－12=2人。
所房间数为90÷2=45间，学生人数为12×45＋34=574人。
练 习 四
1，某校有若干个学生寄宿宿舍，若每一间宿舍住6人，则多出34人；若每
间宿舍住
7人，则多出4间宿舍。问宿舍有多少间？寄宿学生有多少人？
2，育才小学学生乘
汽车去春游。如果每车坐65人，则有15人不能乘车；如果每车
多坐5人，恰好多余了一辆车。问一共
有几辆汽车？有多少学生？
3，学校分配学生宿舍。如果每个房间住6人，则少2间宿舍；如果每个房
间住9人，
则空出2个房间。问学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？
例5：少先队员去植
树，如果每人挖5个树坑，还有3个坑没人挖；如果其中2人各挖4
个，其余的人各挖6个树坑，就恰好
挖完所有树坑。少先队员一共挖多少树坑？
分析与解答：如果每人都挖6个树坑，那么少（6－4）×
2=4个树坑，两次相差4＋
3=7个树坑。这是因为两种分配方案每人挖的相差6－5=1个树坑。所
以，少先队员一共有
7÷1=7人，一共挖5×7＋3=38个树坑。
练 习 五 1，老师给幼儿园的小朋友分苹果。如果每个小朋友分2个，还多30个；如果其中的
12个小朋友
每人分3个，剩下的每人分4个，则正好分完。一共有多少个苹果？
2，在一次大扫除中，老师分配若
干人擦玻璃。如果其中2人各擦4块，其余每人擦5
块，则余22块；如果每人擦7块，则正好擦完。求
擦玻璃的人数和玻璃的块数。
3，小红家买来一篮橘子分给全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，
- 78
-
则多出4只；如果其中一人分6只，其余每人分4只，则又缺12只。小红家买来多
少只
橘子？小红家一共有多少人？
第四十周 数学开放题
专题简析：
数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种题型。由于客观世界复杂
多变，数学问
题也必然复杂多变，往往不可能得到唯一答案。
一般而言，数学开放题具有以下三个特征：
1，条件不足或多余；
2，没有确定的结论或结论不唯一；
3，解题的策略、思路多种多样。
解答数学开
放题，需要我们从不同角度分析和思考问题，紧密联系实际，具体问题具
体分析。我们一般可以从以下几
方面考虑：
1，以问题为指向，对现有条件进行筛选、补充和组合，促进问题的顺利解决；
2，根据知识之间的不同联系途径对给定的条件进行不同的组合，采用不同的方法求
解；
3，避免“答案唯一”的僵化思维模式，联系实际考虑可能出现的多种情况，得出不
同的答案。
例1：A、B都是自然数，且A＋B=10，那么A×B的积可能是多少？其中最大的值是<
br>多少？
分析与解答：由条件“A、B都是自然数，且A＋B=10”，可知A的取值范围是0
~ 10，
B的取值范围的10 ~ 0。不妨将符合题意的情形一一列举出来：
0×10=0 1×9=9 2×8=16 3×7=21 4×6=24 5×5=25
A×B的积可能是0、9、16、21、24、25。当A=B=5时，A×B的积的最大值是25。
从以上过程发现，当两个数的和一定时，两个数的差越小，积越大。
练 习 一
1．甲、乙两数都是自然数，且甲＋乙=32，那么，甲×乙的积的最大值是多少？
2．A、B两个自然数的积是24，当A和B各等于多少时，它们的和最小？
3．A、B、C三个数都是自然数，且A＋B＋C=18，那么A×B×C的积的最大值是多少？
例2：把1 ~ 5五个数分别填 图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和是9。
分析与解答：每条直线上三个圆圈内各数的
和是9，两条直线上数的和等于9×2=18
（其中中间圈内的数重复加了一次）。而1、2、3、4、
5的和为15，18－15=3。所以，中
间圈内应填3。这样，两条直线上的圆圈中可以分别填1、3
、5与2、3、4。
这个解我们也叫做基本解，由这个基本解很容易得出其余的七个解。
练
习 二
- 79 -
1，把1 ~
5五个数分别填入图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和
是10。
2，把3 ~
7五个数分别填入图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和
相等而且最大。
3，把1 ~
7七个数分别填入图中的七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和
相等。
例3：把1 ~ 6六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都等于9。
分析与解答：每边上三个数的和都等于9，三条边上数的和等于9×3=27，27－（1
＋2
＋3＋4＋5＋6）=6。所以，三个顶点处被重复加了一次的三个数的和为6。在1 ~ 6，
只有1
＋2＋3=6，故三个顶点只能填1、2、3。这样就得到一组解：1、5、3；1、6、2；3、
4、
2。
练 习 三
- 80 -
1，把1 ~
6六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都等于12。
2，把1 ~ 8八个数分别填入图中的八个圆圈中，使每个圆圈上五个数的和都等于21。
3，把1 ~ 9这九个数分别填入图中的九个圆圈中，使每条边上四个数的和相等而且
最小。
例4：在一次羽毛球比赛中，8名运动员进行淘汰赛
，最后决出冠军。共打了多少场比赛？
（两名运动员之间比赛一次称为一场）
分析与解答：8
名运动员进行淘汰赛，第一轮赛4场后，剩下4名运动员；第二轮赛
2场后，剩下2名运动员；第三轮只
需再赛1场，就能决出冠军。所以，共打了4＋2＋1=7
场球。
还可以这样想：8名运动员
进行淘汰赛，每淘汰1名运动员，需要进行1场比赛，整
个比赛共需要淘汰8－1=7名运动员，所以共
打了7场比赛。
练 习 四
1，在一次乒乓球比赛中，32名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军，共打了多少场球？
2，
在一次足球比赛中，采取淘汰制，共打了11场球，最后决出冠军。共有多少支足
球队参加了这次比赛？
- 81 -
3，有13个队参加篮球赛，比赛分两个组。第一组7个队，第
二组6个队。各组先进
行单循环赛（即每队都要与其他各队比赛一场），然后由各组的前两名共4个队再
分成两
组进行淘汰赛，最后决出冠、亚军。共需比赛多少场？
例5：一个学生从家到学校，如
果以每分钟50米的速度行走，就要迟到8分钟；如果以每
分钟60米的速度前进，就可以提前5分钟到
校。这个学生出发时离上学时间有多少分？
分析与解答：解答这道题，可以以不同的时间为标准，选择
的标准不同，解答方法也
有所不同。例如，如果直接以这个学生出发时离上学的时间为标准。可这样分析
：由“每
分钟行50米，要迟到8分钟”，可知学校上课时，这个学生还离学校50×8=400米；由
“每
分钟行60米，可以提前5分钟到校”，可知距学校上课时，他还可走60×5=300米。两种<
br>不同的速度，在相同的时间内路程相差400＋300=700米，而两种速度每分钟相差60－50=1
0
米。因此，这个学生出发时离上课时间为：700÷10=70分钟。
解法一：（50×8＋60×5）÷（60－50）=70分；
解法二：60×（5＋8）÷（60－50）－8=70分；
解法三：50×（8＋5）÷（60－50）＋5=70分。
练 习 五
1，
李老师从家到学校上班，出发时他看看表，发现如果步行，每分钟80米，他将迟
到5分钟；如果骑自行
车，每分钟行200米，他可以提前7分钟到校。李老师出发时离上
班时间有多少分？
2，一
位小学生从家到学校，如果以每分50米的速度行走，就迟到3分钟；如果以每
分70米的速度行走，就
可以提前5分到校。求他家到学校的距离。
3，一个学生从家到学校上课，先用每分钟80米的速度走
了3分钟，发现这样走下去
将迟到3分钟；于是他就改用每分钟110米的速度前进，结果比上课提前了
3分钟。这个
学生家离学校有多远？
- 82 -