广东省食品药品学院-北科大研究生院

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第一单元 图形的变换
一、平移
物体或图形平移后本身的形状、大小和方向都不会改变。
二、轴对称
1、轴对称图形： < br>把一个图形沿着某一条直线对折，两边能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条
直线叫做 对称轴。
2、轴对称图形的特征和性质：
①对应点到对称轴的距离相等；
②对应点的连线与对称轴垂直；
③对称轴两边的图形大小、形状完全相同。
3、对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。平行四边形（除棱形）属于中心对称图形
三、旋转
1、物体旋转时应抓住三点：
① 旋转中心；
② 旋转方向；
③ 旋转角度。
2、旋转只改变物体的位置（旋转中心位置不会变），不改变物体的形状、大小。











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第二单元 因数和倍数
1、像0、1、2、3、4、5、6……这样的数是自然数。
2、像-3、-2、-1、0、1、2、3……这样的数是整数。
3、整数与自然数的关系：整数包括自然数。
一、
因数和倍数

所指的是整数，不包括0。因为0和任何数相乘都等于0；0除以任何数都等于0。
1、如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
2、因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
二、因数
1、一个数的因数的个数是有限的。一个数的最小因数是1，最大的因数是它本身。
2、一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
三、倍数
1、一个数的倍数的个数是无限的。一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。
2、一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
四、2、5、3的倍数的特征
1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
2、偶数与奇数：
①自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）；最小的偶数是0。
②不是2的倍数的数叫做奇数；最小的奇数是1。
3、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。
4、3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。
五、质数和合数 1、质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），最小的质
数是2 。
2、合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，最小的合数是4。
3、1既不是质数，也不是合数。
4、质数只有两个因数；而合数至少有三个因数。
六、
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1、 按是否是2的倍数来分：分为奇数和偶数两类；
自然数分类
按因数的个数来分：分为质数、合数和1三类。
2、奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数
奇数×奇数=奇数 质数×质数=合数
3、100以内的质数表：（共 25 个）
2、3、5、7
53、59
11、13、17、19 23、29
61、67 71、73、79
31、37
83、89
41、43、47
97

















第三单元 长方体和正方体
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一、长方体和正方体的认识
1、长方体和正方体都是立体图形。正方体也叫立方体。
2、相交于一个顶点的三条棱的长度 分别叫做长方体的长、宽、高。（长、宽、高都各有4条，
分别平行并且相等）
3、长方体的特征：
① 面：有6个面，都是长方形（特殊情况下最多有两个相对的面是正方形）。相对的面完全
相同。
② 棱：有12条棱。相对的棱长度相等。
③ 顶点：有8个顶点。
4、正方体的特征：
① 面：有6个面都是正方形，6个面完全相同。
② 棱：有12条棱。12条棱的长度相等。
③ 顶点：有8个顶点。


相同点
长方体
面
不同点
棱
相对的棱的长度都相等 都有6个面， 6个面都是长方形。
12条棱， （有可能有两个相对的面是正方形）。
正方体

8个顶点。
6个面都是正方形。 12条棱都相等。
5、正方体是特殊的长方体。




6、长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4
7、正方体的棱长总和=棱长×12
8、少要8个小正方体才能拼成一个稍大的正方体。
长方体
正方体
二、长方体和正方体的表面积
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1、表面积：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积
2、长方体的表面积：
①长方体有“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”6个面。
②长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示： S=（ab＋ah＋bh）
×2
③特殊长方体的表面积（有两个面是正方形）
正方形的两个面完全相同，其余四个面完全相同。
3、正方体的表面积
正方体的表面积=棱长×棱长×6 用字母表示： S= 6a
2
4、表面积的常用单位有： 平方米、 平方分米、 平方厘米
相邻两个面积单位之间的进率是100 1m
2
=100dm
2
1 dm
2
=100 cm
2

5、生活实际
油箱、罐头盒等都是6个面；游泳池、鱼缸等都只有5个面；水管、烟囱等都只有4个面。
6、长方体 或正方体每截断一次会增加两个截面，所以这时的两个物体的表面积大于原来物体
的表面积。
7、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。
三、长方体和正方体的体积
1、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。（就是看物体含有多少个体积单位）
2、常用的体积单位有： 立方米（m
3
）、 立方分米（dm
3
）、 立方厘米（cm
3
）
① 棱长是1 cm的正方体，体积是1 cm
3

② 棱长是1 dm的正方体，体积是1 dm
3

③ 棱长是1 m的正方体，体积是1 m
3

相邻两个体积单位之间的进率是1000 1 m
3
=1000 dm
3
1 dm
3
=1000 cm
3

3、长方体的体积
长方体的体积=长×宽×高 用字母表示：V=abh
4、正方体的体积

正方体的体积=棱长×棱长×棱长 用字母表示：V= a
3
（读作：a的立方，表示3个a相乘）
5、底面积： 长方体或正方体底面的面积叫做底面积。

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6、长方体和正方体的体积统一公式：
长方体或正方体的体积 = 底面积 × 高 用字母表示： V=Sh
7、容积： 容器所能容纳物体的体积，叫做它的容积。
8、容积单位有： 升（L）、 毫升（ml） 1 L = 1000 ml
9、容积单位和体积单位的关系： 1 L = 1 dm
3
1 ml = 1 cm
3

10、容积的计算：
长方体和正方体容器容积 的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从里面量长、宽、高。
（所以物体的体积大于它的容积）。
11、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。
12、排水法：（计算不规则物体的体积）

被浸没物体的体积等于

上升那部分水的体积



13、把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。





① 容器的底面积×上升那部分水的高度。
计算方法
② 放入物体后的体积—原来水的体积







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第四单元 分数的意义和性质
一、分数的意义
1、分数的意义：
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
2、分数单位：
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
3、分数与除法的关系：
除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。
被除数÷除数 =
被除数
a
用字母表示：a÷b= （b≠0）。
除 数
b
4、分数未带单位表示两个量之间的倍数关系；分数带有单位表示一个具体的数量。
二、真分数和假分数
1、真分数和假分数：
① 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。
② 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。
③ 由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。
2、假分数与带分数的互化：
① 把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。
② 把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。
三、分数的基本性质
1、分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变 ，这叫做分数的基
本性质。
四、约分
1、最大公因数：
几个数共有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。
2、两个数的公因数和它们最大公因数之间的关系：
所有的公因数都是最大公因数的因数，最大公因数是它们的倍数。
3、互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。
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4、两个数互质的特殊判断方法：
① 1和任何大于1的自然数互质。
② 2和任何奇数都是互质数。
③ 相邻的两个自然数是互质数。
④ 相邻的两个奇数互质。
⑤ 不相同的两个质数互质。 < br>⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两
个数也 都是互质数。
5、求最大公因数的方法：
① 倍数关系： 最大公因数就是较小数。
② 互质关系： 最大公因数就是1
③ 一般关系： 从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。
6、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
7、约分：
把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
（并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分；但一般要约到最简分数为止）
五、通分
1、最小公倍数：几个数共有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫最小公倍数。
2、两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间的关系：
几个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数。
3、通分：
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
（通分时，公分母一般为几个数的最小公倍数）。
4、求最小公倍数的方法：
① 倍数关系： 最小公倍数就是较大数。
② 互质关系： 最小公倍数就是它们的乘积。
③ 一般关系： 大数翻倍（从小到大看较大数的倍数是否是较小数的倍数）。
5、分数的大小比较：
① 同分母分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小；
② 同分子分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。
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③ 异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。
6、约分和通分的依据都是分数的基本性质。
六、分数和小数的互化：
1、小数化分数：
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……，
去掉小数点作分子，能约分的必须约成最简分数；
2、 分数化小数：
用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。（一般保留两位小数。）
3、判断分数是否能化成有限小数的方法：
① 判断分数是否是最简分数；如果不是最简分数，先把它化成最简分数；
② 把分数的分母分解质因数:
如果分母中除了2和5以外，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数；
如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
4、

1357111
0.125

0.375

0.625

0.875

0.0625

0.04

0.02

8888162550
1131234
= 0.5
0.25

0.75

0.2

0.4

0.6

0.8

2445555













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第五单元 分数的加法和减法

一、同分母分数加、减法
1、同分母分数加、减法：
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。
2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。
二、异分母分数加、减法
1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。

2、异分母分数的加减法：
异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。
三、分数加减混合运算
1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。

在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。
2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。

3、











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1-

-

-

-

2262312342045

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第六单元 统计


1、
2、 众数：
一组数据中出现次数最多的数，就是这组数据的众数。
众数能够反映一组数据的集中情况。它一定是这组数据中的某一个数。
2、在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。
3、平均数、中位数和众数的联系与区别:
① 平均数：
一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
容易受极端数据的影响，表示一组数据的平均情况。
② 中位数：
将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。
它不受极端数据的影响，表示一组数据的一般情况。
③ 众数：
在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
它不受极端数据的影响，表示一组数据的集中情况。
4、复式折线统计图
① 画图时注意：一“点”（描点）、 二“连”（连线） 三“标”（标数据）、
② 要用不同的线段分别连接两组数据中的数。
5、打电话
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已知人数依次 × 2



第七单元 数学广角（找次品）

优化策略：
把物品平均 分成3份，（如余1则放入到最后一份中；如余2则分别放入到前两份中），
保证找出次品而且称的次数 一定最少。


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