潍坊医学院教务系统-难忘的教师节

最新版六年级数学上册第八单元《数学广角──数与形》教材分析
数形结合是一种非常 重要的数学思想，把数和形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单，
使抽象的问题变得更直观 。
数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中随处可见。有些情况下，是图形中隐含着数的规律，可
利用数的规律来解决图形的问题。本单元的例1以及相关练习就属于这种情况。例如，第109页第2题 （如
下图），使学生通过观察，发现第2个图比第1个图增加2个小圆，第3个图比第2个图增加3个小 圆，
第4个图比第3个图增加4个小圆……这样依次下去，各个图形中的小圆个数分别是1，3，6，1 0，…，
即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…如果是第个图，小圆的个数是。等学生将来学 习了等
差数列的有关知识，就知道第个图形中小圆的个数是。

而有些情况下，是利 用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。尤其是对
于小学生，其思维的抽象 程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解。例如，利用长方形模型来教
学分数乘法的算理，利用 线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的
算理、乘法分配律、完全 平方公式等。

还有的时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问 题，也可用“形”来解决“数”的问题。
例如，解析几何中，函数图象与方程、方程组互为工具，互为解 释，有机融合。小学中的正比例关系和反
比例关系图象也很好地反映了这样的思想。

本单元教材以“”“”为例，引导
学生认识利用数和形的结合解决一些有趣的数学问题。
一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》，下同）的主要区别
新教材把 《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》上册的“鸡兔同笼”问题移至四年级下册，新
编“数形结合 ”的内容。本册的数学广角，编排了一个新的内容──数与形。
二、教材例题分析
例1：连续奇数的等差数列之和等于某平方数。
本例让学生计算从1开始的连续若干奇数之和 。在计算时，即使不借助图形，也可以通过
，
，
…发现规律：从1开始，连续个奇数之 和，就是的平方。但把图形与
算式对应起来，更具直观性，更能让学生体会到数学之美。图中有的规律显 而易见（每个图都是一个大的
正方形，第个图形中，大正方形的每行、每列都有个小正方形，因此，小正 方形的总数是）,有的
规律相对比较隐蔽(从左下角到右上角，每个“┓”形的小正方形的个数分别是1 ，3，5，7，…)。每个图
中都“隐藏”着一个等式，如第个图中的等式就是。从图形的角度直观理解“正方形数”或“平方数”的特点，显然，使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点得到关于数的规律。
例2：等比数列之和等于1。
本例让学生计算的得数。学生在计算的过程中发现
，，，…
加数有规律，即后一个加数是前一个加数的
个加数；加数的项数越多，和越接近1。
；和也有规律，每次相加所得的和都等于1减去最后一

这些加数无限地加下去，最后的和 无限接近于1。但这个无限接近于1的数到底是多少呢？教材利用
“分数的认识”中的面积模型和长度模 型，在圆上和线段上表示出这些加数，使学生借助图理解：无限加
下去，最终的得数为1。由此，教材借 助图形解决了比较抽象的、复杂的、不好解决的问题。
但在实际教学中，即使有了图形的直观支持，仍 有学生对最终结果为1这一事实不能理解，这也是非
常正常的。可以有两种解释的方法：第一种，如果学 生认为和为，教师可以追问：如果再加上一项
呢？加上，和就变成了。不管找到一个多么接近1的数，总 还能再加一项，得到一个比它更接
近1的和，这恰恰是极限思想的精髓所在。第二种，可以利用反推的方 法来使学生明白其中的道理：

……
本单元的教学重点是自主探索图形中隐藏着的 数的规律，会利用图形来解决一些有关数的问题，并学
会应用所发现的规律。教学难点是体会和掌握数形 结合、归纳推理、极限等基本数学思想。
基于上述内容和要求，教师在实际教学时需注意以下方面问题：
（一）引导学生自主探索规律、应用规律，培养学生合作交流、抽象概括的能力
“形”的问题 中包含着“数”的规律，“数”的问题也可以用“形”来帮助解决。教师教学
时，通过学生的自主探究、 合作交流，既要让学生充分利用图形的直观、形象特点，用图形
来表示数的规律性，感受化数为形的简捷 性；同时，又要让学生寻找图形中所包含的数的规
律，用数（或代数式）来表示图形，建立模式，感受用 数或者代数式表示的概括性。总之，
要让学生在解决问题的过程体会到数与形的完美结合，并逐步培养学 生的抽象概括能力。
（二）引导学生从多角度探索数与形的通用模式，培养学生的数学思想