随州市职业技术学院-对偶诗句

个性化教学辅导教案
学生姓名
上课时间
课 题
教学目标
年 级

五年级 学 科
教师姓名
第3讲 长方体（一）
1、掌握长方体的组成及其展开图；
2、理解长方体表面积公式的推导；
3、能根据公式正确计算长方体的表面积。

数学

教学过程
教师活动

用你喜欢的方法计算.
学生活动

31191113134
（+）8+（+）12

82727346145145






知识点一：长方体的认识
1、下列关于长方体的说法错误的是 （ ）
A．长方体中棱与棱的位置关系只有相交和异面
B．长方体中相对的两个面的面积相等
C．长方体中任何一条棱都与两个面平行
D．长方体中任何一个面都与四个面垂直

知识点二：长方体的展开与折叠
2、下列四个平面图形中，不能折叠成无盖的长方体盒子的是（ ）．

A． B． C．

知识点三：长方体的表面积
3、棱长为5cm的正方体的表面积是（ ）
A．75cm
2
B．100cm
2
C．150cm
2
D.200cm
2

D．
4、从由8个棱长是1厘米的小正方体拼成的大正方体中，拿走一个小正方体，如图，
这 时它的表面积是（ ）平方厘米．

A．18

知识点四：露在外面的面
5．如图，4个棱长都是15厘米的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是多少？
B．21 C．24 D.27




知识点一：长方体的认识
1．认识长方体、正方体，了解各部分的名称．
（1）表面平平的部分称为面；两面相交便形成了一条棱；而三条棱又交于一点，这个
点叫作顶点．
顶点

个数 个数
面
形 状 大小关系 条数
棱
长度关系

都是长方形，特殊
的有两个相对的面


8

是正方形，其余四
6
个面是完全一样的
长方形．



8

6

每个面是正
都是正方形．
方形．
12


长度都相等．

长方形．
完全一样的
12
平行且相等．
相对的面是

组，相对的 棱
可以分为三
（2）左面的面叫左面，右面的面叫右面，上面的面叫上面，下面的面叫下面（或 叫底
面），前面的面叫前面，后面的面叫后面．

（3）长方体有12条棱，这12 条棱中有4条长、4条宽和4条高．正方体的12条棱
的长度都相等．
2．长方体、正方体各自的特点．
3．正方体是特殊的长方体．
4．长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4或者是长×4+宽×4+高×4；
正方体的棱长总和=棱长×12．
例题精讲：
【例1】长、宽、高相等的长方体叫做( )．正方体有( )个面，每个面都是( )
形，( )的面积都相等， 有( )条棱，它们的长度( )
【例2】长方体长6厘米，宽4厘米，高3厘米，则这个长方体的棱长之和是（ ）
厘米．
【例3】一个正方体的棱长之和是60厘米，则它的一条棱长是( )厘米．
【例4】一个长方体的棱长总和是48厘米，长是6厘米，宽是4厘米，高是多少厘米？



变式训练：
1．正方体是由（ ）个完全相同的（ ）围成的立体图形，正方体有（ ）

条棱，它们的长度都（ ），正方体有（ ）个顶点．
2．因为正方体是长、宽、高都（ ）的长方体，所以正方体是（ ）的长方
体．
3．一个正方体的棱长为A，棱长之和是（ ），当
A6
厘米时，这个正方体的
棱长总和是（ ）厘米．
4．相交于一个顶点的（ ）条棱，分别叫做长方体的（ ）、（ ）、（ ）
5．一根长96厘米的铁丝围成一个正方体，这个正方体的棱长是（ ）厘米．

知识点二、展开与折叠
1．正方体展开共11种
1—4—1 型 6个
前
前
图(1)图(2)
前
前
图(3)图(4)图( 5)图(6)
前

2—3—1 型 3个 （一个“探头”）
前
前
图(7)图(8)
前
图(9)

2—2—2 型 1个 楼梯形 3-3型 1个 两个“探头”
前
图(10)
前
图(11)

注意：（1）田字型与凹字型的全错．
（2）正方体展开至少和最多都只剪开7条棱．


例题精讲：
【例1】下图中能围成正方体的是（ ）号图形．

① ② ③ ④
【例2】笑笑制作了一个如下图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同 ，那么这个
正方体的平面展开图可能是（ ）．

【例3】下图是一个正方 体展开图，正方体的六个面分别写上“祝你学习进步”六个字，
请你说出每个字相对的面上的字是哪个字 ？

变式训练：
1．如图，共有12个大小相同的小正方形,其中阴影部分的 5个小正方形是一个正方体
的表面展开图的一部分,现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影,能构成这 个正方体
的表面展开图有（ ）种

2．如图，是每个面上都有一个汉字的正 方体的一种展开图，那么在原正方体的表面上，
与“看”相对的面上的汉
字是( )
A．南 B．世 C．界 D．杯

3．如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字和最小的是( )．
A． 4 B． 6 C． 7 D．8

知识点三、长方体的表面积
1．表面积的意义：是指六个面的面积之和．
2．长方体和正方体表面积的计算方法：
S
长方形
=
（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；
S
正方形
=
棱长×棱长×6．
例题精讲：
【例1】长方体或正方体（ ）叫做它的表面积．
【例2】看图填空．（单位：厘米）

（1）左、右的面积和是（ ）平方厘米．
（2）上、下两个面的面积和是（ ）平方厘米．
（3）前、后两个面的面积和是（ ）平方厘米．
（4）这个长方体的表面积是（ ）平方厘米．
【例3】正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积扩大到原来的( )．
A．3倍 B．6倍儿 C．9倍 D．27倍
【例4】填表
长厘米
长方体 12
4.1
宽厘米
8
3
棱长厘米
正方体 9
1.3

【例5】一个长2分米、宽3分米、高是的1分米的长方体，它的占地面积最小是
（ ）平方分米，最多是（ ）平方分米．




高厘米
3
2
表面积平方厘米


表面积平方厘米

【例6】求下面各图的表面积．(单位：分米)




变式训练：
1．一个棱长是1分米的正方体木块被纵向截成三个相同的小长方体后，表面积增加了
( )平方分米．
A．2 B．4 C．6 D．8
2．长方体的表面积是52平方米，底面积是12平方米，宽是3米，求长方体的高？



3．一个底面是正方形的长方体的纸盒，将它的侧面展开正好是一个边 长为12分米的
正方形，做这个纸盒至少要多少纸板？



4． 做一个长方体的浴缸（无盖），长8分米，宽4分米，高6分米，至少需要多少平
方分米的玻璃？如果每 平方分米玻璃4元钱，至少需要多少钱买玻璃？




5．一个 房间的长6米，宽3．5米，高3米，门窗面积是8平方米．现在要把这个房
间的四壁和顶面粉刷水泥， 粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥4

千克，一共要水泥多少千克？





6．请你做两个如下图所示的不同的硬纸盒．做前先算一算，每个硬纸盒至少需要多少
平方厘米的硬 纸板？









知识点四、露在外面的面
在观察中，通过不同的观察策略进行观察．
如：一种是看 每个纸箱露在外面的面，再加到一起；另一种是分别从正面、上面、
侧面进行不同角度的观察，看每个角 度都能看到多少个面，再加到一起．
发现并找出堆放的正方体的个数与露在外面的面的面数的变化规律．




例题精讲：
【例1】 观察图形，找出规律，完成下表．

图1 图2 图3

小正方体个数
露在外面面数图1
露在外面面数图2
露在外面面数图3
变式训练： < br>1．将3个棱长为3分米的正方体拼成一个长方体后，长方体的表面积比原来三个正方
体的表面积 之和减少了多少？






1、长方体里最多有（ ）个面是正方形．
A．2 B．4 C．6 D．5
1



2



3



4



5



6



7



8



2、有一个长方体的棱长总和为96厘米．它的长是10厘米，宽是5厘米，高是（ ）
厘米．
A．7 B．9 C．5 D．3
3、一个长方体所有棱长之和是36厘米，则相交于一个顶点的所有棱长之和是（ ）
A．9厘米 B．12厘米 C．18厘米 D．20厘米
4、一个正方体的底面周长是12cm，它的棱长和是（ ）cm．
A．24

5、下面的4个展开图中，（ ）是图中所示的正方体展开图．
B．27 C．36 D．64

A． B． C． D．
6、如图上画了长方体的长、宽、高，这个长方体左面的面积是（ ）

A．15平方厘米 B．12平方厘米 C．20平方厘米 D．无法确定
7、把两个棱长都是2分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比两个正方
体的表面积的和 减少了（ ）平方分米．
A．4 B．8 C．16 D．24 < br>8、一个无盖的铁箱，它的底面是周长为16分米的正方形，高是5分米，
做100个这样的铁箱 至少需要多少平方分米的铁皮？





9、把一个横 放着的长40厘米、宽15厘米、高10厘米的长方体木块沿水平方向平均
分成三块后，木块的表面积增 加了多少平方厘米？





10、用2个长7厘米、 宽3厘米、高4厘米的长方体拼成一个长方体，拼成的长方体
表面积最大是多少？最小是多少？

一、长方体的认识
1、两面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点；相较于一个顶点的三条棱的长度
分别叫做 长方体的长、宽、高.
2、长方体有8个顶点；6个面，每个面都是长方形（也有可能有2个相对的面 积正方
形），相对的面的面积相等；长方体有12条棱，可以分为3组，每组的4条棱长度相
等 .
3、长方体有8个顶点；6个面，每个面都是正方形，6个面的面积相等；正方体有12
条 棱，所有的棱都相等.
4、正方体是特殊的长方体.
二、长方体的表面积
1、长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积.
2、
长方体的面积长高正方形的面积边长边长

3、
长方形的表面积=长宽长宽长高长高宽高宽高

长宽2长高2宽高2（长宽长高宽高）2



1、生活中常见的堤坝、沟渠的横截面的形状都是（ ）．
A．长方形 B．三角形 C．梯形 D．平行四边形
2、一个长方体（正方体除外）最多有（ ）棱相等．
A．4

3、将如图折成一个长方体，1号面应与（ ）号面相对．
B．8 C．12 D．不确定

A．1 B．3 C．4 D．5
4、如图中两个物体的表面积比较，结果是（ ）

A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲=乙 D．不确定
5、一个正方体的棱长总和是12厘米，这个正方体的表面积是（ ）
A．1平方厘米 B．6平方厘米 C．12平方厘米 D.15平方厘米
6、如图是一个长3厘米，宽与高都是 2厘米的长方体，在它的上面挖掉一个棱长为1
厘米的小正方体，这时它的表面积是（ ）平方厘米．

A．32 B．34 C．36 D.38
7、做一个无盖、棱长是4dm的正方体玻璃鱼缸，制作这个 鱼缸至少需要用玻璃多少
dm
2
？



8、用铁丝做一个长10厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体框架，至少需要多长的铁
丝？在这个长 方体框架外面，糊一层纸，至少需要多少平方厘米的纸？




9、丁丁家要做一个长5分米，宽4分米，高6分米的无盖玻璃鱼缸．丁丁最少要准备
多少平方分米玻璃 ？




10、将一个长12厘米，宽9厘米，高5厘米的长方 体，切成两个长方体，两个长方体

表面积的总和最多是多少平方厘米？最少是多少平方厘米？





一、填空
1．至少需要（ ）厘米长的铁丝，才能做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方
体框架．
2．一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的表面积就扩大（ ）倍．
3．一个长方体最多可以有（ ）个面是正方形，最多可以有（ ）条棱长度相等．
二、应用题．
1．一个面的面积是36平方米的正方体，它所有的棱长的和是多少厘米？





2．用一根铁丝刚好焊成一个棱长8厘米的正方 体框架，如果用这根铁丝焊成一个长
10厘米、宽7厘米的长方体框架，它的高应该是多少厘米？






3．天天游泳池，长25米，宽1 0米，深1．6米，在游泳池的四周和池底砌瓷砖，如
果瓷砖的边长是1分米的正方形，那么至少需要这 种瓷砖多少块？





4．把棱长12厘米的正方体切割成棱长是3厘米的小正方体，可以切割成多少块？

5．一种长方体硬纸 盒，长10厘米，宽6厘米，高5厘米，有2平方米的硬纸板210
张，可以做这样的硬纸盒多少个？（ 不计接口）





6．一个长方体的棱长和是72 厘米，它的长是9厘米，宽6厘米，它的表面积是多少
平方厘米？





7．做两个大小相同的正方体纸盒，一个有盖，一个无盖．那么有盖纸盒的纸板面 积是
无盖纸板的几倍?






个性化教学辅导教案
学生姓名
上课时间
课 题
年 级

五年级 学 科
教师姓名
数学

第4讲 长方体的表面积的拓展

1、掌握长方体的组成及其展开图；
教学目标
2、理解长方体表面积公式的推导；
3、能根据公式正确计算长方体的表面积。

教学过程
教师活动

1、用彩带捆扎一种礼品盒（如图），结头处需要24cm彩带，捆扎好这个礼品盒需
要 米的彩带．
学生活动


2、一根铁丝围成的长方体框架长8米，宽6米 ，高4米，这根铁丝长________米。如
果在这个长方体外围糊一层纸，最少需要_______ _米
2
纸。这个长方体的体积是
________米
3
。如果用这根 铁丝围成正方体，这个正方体的表面积和体积分别是
________米
2
和____ ____米
3
。
3、用6根8厘米长、6根4厘米长的小棒（不能折断）和橡皮泥，可搭成一个长方
体． ．
4、李叔叔做一个长、宽、高分别是30厘米、15厘米和20厘米的长方体鸟笼，至少
需要 长的铁丝（不计接口处）．
5、用一根32厘米长的铁丝做一个长方体框架，使它的长、宽、高的比是 5：2：1．这
个长方体框架的长是 厘米．

6、一本书长18厘米，宽 10厘米，高3厘米，把两本书包装在一起最少需要用包装纸
多少平方厘米？



7、有4个长方体都是长10厘米，宽8厘米，高4厘米。

⑴怎样拼成一个表面积最大的长方体（画出示意图）？表面积最大是多少？
⑵怎样拼成一个表面积最小的长方体（画出示意图）？表面积最小是多少？




知识点一：长方体的表面积
1、两个完全相同的长方体，每个长方体长 5分米，宽4分米，高6分米，把它们拼成
一个表面积最小的长方体后，表面积比原来两个长方体表面积 之和减少了 平方分
米。
2、一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加80立方 厘米；如果宽增加3厘米，
则体积增加180立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加192立方厘米 。原长方体
的表面积是多少平方厘米?



3、一个长方体礼品 盒，长20厘米，宽12厘米，高6厘米．如果把2个这样的礼品盒
包成一包．准备用包装纸包成一包． 估一估，右面两种包装方法哪种方法更节省包装
纸？需要多少平方厘米包装纸？


4、一块长方形铁皮如图所示，剪掉四个角上所有阴影部分的正方形（每个正方形都相
同）后， 沿虚线折起来，做成没有盖子的长方体铁盒，该铁盒的表面积是多少平方厘
米？（铁皮厚度不计）

知识点二：几何图形的知识点
1、如图中，棱AE与平面DCGH的关系是 ．
（第1题图）（第2题图）
2、右图等边三角形的周长比正方形的周长少8厘米，三角形[的周长是（ ）厘米。
正方形的周长是（ ）厘米。
3、棱长为1分米的正方体可以切成 个棱长为2厘米的正方体；如果切出的所有正
方体紧紧排成一排，总共能排 分米长。


1、已知长方体的长、宽、高分别为a、b、h，而且a＞b＞h，这个长方体最大面的面
积是 ，最小面的面积是 ．
2、（1）图1中，∠1= °，∠2= °．
（2）观察图2，在括号内填字母，使等式成立．上面的面积=（ ）；前面的面积=
（ ）．

3、有一房间，长6米，宽4米，高3.5 米，要粉刷房子的顶面和四周墙壁，除去门窗
的面积是21.4平方米，要粉刷的面积是多少平方米？如 果平均每平方米用石灰0.2千
克，一共需要石灰多少千克？

1、淘气将4盒礼品包成一包，下面（ ）种方案最省纸。


2、把两个棱长10厘米的正方体拼成一个长方体后,表面积减少了（ ）
A．100平方米 B．200平方米 C．80平方米
3、用一根长（ ）铁丝正好可以做一个长6厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体框架。
A．28厘米B．126平方厘米C．56厘米D．90立方厘米
4、一个长2分米、宽3分米、高是的1分米的长方体，至少要用铁丝（ ）分米,它的
占地面积最大是（ ）平方分米。
5、把一个正方体方木块锯成两个完全一样 的长方体，结果表面积增加了32平方厘米，
原正方体方木块的表面积是________，体积是__ ______。
6、一个正方体的底面周长是24平方厘米，正方体的表面积是 。 7、一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加80立方厘米；如果宽增加3厘米，
则体积增加1 80立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加192立方厘米。原长方体
的表面积是多少平方厘米?




8、用12个拼长方体，画出草图。
（1）拼出表面积最大的长方体。
（2）拼出表面积最小的长方体。

9、现有长宽高分别为8cm， 5cm，3cm的小药盒四个．请你设计一个大的包装盒，使
它正好装入这4个小药盒．请计算这个盒子 至少需要多少平方厘米？





一、长方形与正方形的异同
1、长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积.
2、
长方体的面积长高正方形的面积边长边长

一、长方体的体积和表面积

1、
长方形的表面积=长宽长宽长高长高宽高宽高

长宽2长高2宽高2（长宽长高宽高）2

2，长方体的棱长之和=（长＋宽＋高）×4
二、正方体的体积和表面面积
1、正方形的表面积=棱长×棱长×6
2、正方形的棱长之和=棱长×12




1、把一个棱长为a的正方体，任意截成两个长方体，这两个长方体的表面积之和是
（ ）
A．a
3
+2a
2
B．7a
2
C．8a
2
D．无法确定

2、下面是编号①～⑩的纸板（每种各一张），从中 选出一些做成一个有盖的长方体盒
子。你选择编号是( )的纸板。（单位：厘米）

3、把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小长方体，其中
只有两个面是红色的小长方体恰好是12块，那么至少要把这个大长方体分割
成 个小长方体．
4、现有长宽高分别为8cm，5cm，3cm的小药盒四个．请你设计一个大的包装盒 ，使
它正好装入这4个小药盒．请计算这个盒子至少需要多少平方厘米？


5、用两个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体，拼成一个表面积最小的长方体，
这个长方体的表 面积是多少平方厘米？


6、如图是一盒巧克力，如果将这样的三盒巧克力包装成 一个礼包，怎样包装才能最节
省包装纸？用这种包装方法包装成的礼包至少要用多少包装纸？（重叠处不 计）（图：
一个长20厘米、宽15厘米、高6厘米的长方体）


7、在 一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的
小正方体，问剩下的立体 图形的表面积是多少？

8、已知一个正方 体木块能分割成若干个棱长为l厘米的小正方体木块，并且在这个大
的正方体木块的5个面上涂上红色， 把它分割成若干个棱长1厘米的小正方体木块后，
有两面涂上红色的共有108块．那么只有一面涂上红 色的有多少块?




9、如图，一个棱长为5的正方体，在它 的上下、左右、前后各面中心挖去一个底面是
1的正方形，高为2的长方体洞，求挖后此形体的表面积是 多少？

10、如果1个小正方体木块的表面积是24平方厘米，那么由512个这样的小正 方体木
块所组成的一个大正方体的体积是多少立方厘米？










1、一个长5厘米、宽1厘米、高3 厘米的长方体，被切去一块后（如吐下所示），剩
下部分的表面积是多少？

2、有一个长方体的零件，中间挖了一个正方体的孔（如图所示），你能算出它的 表面
积吗？（单位：厘米）


3、有一个形状如下图所示的零件，求它的表面积。（单位：厘米）


4 、把两个完全相同的长方形木块拼成一个正方形，表面积比原来两个长方形的表面积
的和减少了40平方 厘米。求原来每个长方体的面积是多少平方厘米？

5、用2100个棱长是1厘米的正方体 木块堆成一个实心的长方体。已知长方体的高是
10厘米，并且长和宽都大于高。这个长方体的长和宽各 是多少厘米？


个性化教学辅导教案
学生姓名
上课时间
课 题
年 级

五年级 学 科
教师姓名
第1讲 分数乘法
数学

使学生掌握分数乘法的基本方法；引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主掌握
教学目标
概念；并掌握解决实际应用的方法，使学生掌握数形结合的思想，培养学生发现、分
析并解决问 题的能力．
教学过程
教师活动

1．用钢筋做一个长和宽都是4分米，高是10分米的长方体框架，需多少分米的钢筋？



2．两根同样长的铁丝，一根做成长方体框架，长8厘米，宽6厘米，高4厘米； 另一
根做成正方体框架，棱长是多少厘米？



3．如图，有一 个长6分米、宽和高都是2分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横
着捆两道，长着捆一道，打结处共 用2分米．一共要用绳多长？
学生活动






知识点一：分数乘法的意义
下面（ ）幅图表示
11

的意义。
23

知识点二：分数乘整数、分数乘分数的意义及计算方法
2
2
71
千米的是多少，36的的又是多少？
5
3
84


知识点三：分数乘法应用题
校园里有杨树20棵，柳树是杨树的




一、分数乘整数的意义同整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算．
【例题1】填空：
92
，槐树是柳树的，槐树有多少棵？
103
5
×3表示（ ）
9
22222
（2）

（ ）×（ ）
77777
（1）

变式训练：

3333

=（ ）×（ ）=（ ）
8888
52
2、12个是（ ）；24的 是（ ）
63
1、


二、分数乘整数的计算方法
（1）理解分数 乘整数的意义：数乘整数的意义同整数乘法的意义相同，就是求几个相
同加数的和的简便运算．
（2）分数乘整数的计算方法：分母不变，分子和整数相乘的积作分子．能约分的要约
成最简分数．
（3）计算时，应该先约分再计算．
方法总结：整数与分数相乘：
a

【例题2】计算：
（1）
11

（4）


变式训练：
nan


mm
13718
（2）
20
（3）
15

221635
959
13
（5）
24
（6）
10

261280
240



187191135
547

2311891616
三、分数乘分数的计算方法
（1）分子相乘做分子，分母相乘做分母，能约分的可以先约分；
（2）计算结果要求是最简分数．
方法总结：分数乘分数

anan


bmbm

【例题3】计算：
943144373
2018

2


变式训练：
179893351
7

3




四、比较积与乘数的大小关系
（1）积与乘数的关系：一个数（0除外）乘小于1 的数，积小于这个数；一个数（0
除外）乘1，积等于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于 这个数；一个数
乘0，积等于0．
（2）比较分数乘分数的积与每一个乘数的大小：真分数乘 真分数，积小于任何一个乘
数；真分数乘假分数，积大于真分数小于假分数；假分数乘假分数，积大于任 何一个
乘数．

【例题4】比较大小：
51

825
（3）
1
8
（1）

554
（2）

883
55
（4）
0
88
5

8
5

8
五、分数乘法简便运算
分数混合运算法则：先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．
乘法分配律：
(ab)cacbcacbc(ab)c


【例题5】用分配率计算：

3215331
()24()15()

5536845




变式训练：
1．用简便方法计算．
①




六、解决问题
考点一：求一个数的几分之几是多少的应用题
【例6】（一步计算）一头鲸鱼长28m，一个人身高是鲸体长的
米？



【例7】（两步计算）海象的寿命大约是40年，海狮的寿命是海象的
是海狮的




思路：找出关键句：
①海狮的寿命是海象的
23
26
23334

②（＋）×12 ③-×
3
4
913
97887
2
．这个人身高多少
35
3
，海豹的寿命
4
2
，海豹的寿命大约是多少年？
3
3
单位“1”：海象 已知量：海象 涉及量：海象、海狮
4

②海豹的寿命是海狮的
2
单位“1”：海狮 无已知量 涉及量：海狮、海豹
3
从两个关键句可知只能先 求第一个关键句，要求的是海豹，所以第二步求第二个关键
句
由此可知求取步骤：海象（已知，单位“1”）→海狮（单位“1”）→海豹（要求）

变式训练：
1．蜂鸟是目前发现的世界上最小的鸟，也是唯一能倒飞的鸟．蜂鸟每分钟可飞行
32
km，分钟飞行多少千米？
103



2．朝阳小学有学生840人，其中一年级学生人数占全校总人数的
少先队员占


3．有三筐苹果，第一筐重50千克，第二筐的重量是第一筐的
二筐的


考点二：已知总量和部分量对应的分率，求另一部分量
【例8】一桶汽油重75kg，用去


【例9】一根钢筋长20米，第一次用去6米，第二次用去全长的


变式训练：
1
，一年级学生中
6
4
，一年级有少先队员多少人？
7< br>4
，第三筐的重量比第
5
5
多8千克，第三筐重多少千克？
8
2
后，还剩下几分之几？还剩多少千克？
3
3
，还剩多少米？
5

1．要挖一条长
没挖？




2．一根铁棒长


41
千米的水渠，第一天挖了全长的，挖了多少 千米？还剩多少千米
58
23
米，截取了全长的，还剩多少米？
54
考点三：已知一个数比另一个数多（少）几分之几，求这个数
【例10】长超小学502班有男生28人，女生人数比男生人数多


变式训练：
小云有漫画书40本，故事书的本数比漫画书少



1
．女生有多少人？
7
3
．小云有故事书多少本？
5
33
米= （）厘米， 吨=（ ）千克
54
53
2
2．12米的是（ ）米， 吨的是（ ）千克
3
64
1．
3．在
（1）80×
（4）40
里面填上“<”“ >” 或 “=”。
1
2
31
×
45
354
×40 （5）×
485
80 （2）
3
2
（3）×1
3
4
5314
×（6）1×1
6515
2

3
4．我是小小数学家，能简算的要简算．
831313
1
7
××75 （+）×36×0．49+×0．51
9433
75
18

11713111
××75×102×（+-）×48
51045252312



5．某房共有具名240人，其中少年儿童占
年儿童、中青年、老年人各有多少人？



6．六年级（1）班有48人，体育达标的人数占全班人数的
人数的




1．分数乘整数的意义同整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算．

2．分数乘整数的计算方法：
a

3．分数乘分数的计算方法：

4．比较积与乘数的大小关系
（1）积与乘数的关系：一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；
一个数（0除外）乘1，积等于这个数；
一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；
一个数乘0，积等于0．
（2）比较分数乘分数的积与每一个乘数的大小：
11< br>，中青年占，其余的是老年人，求少
42
5
，女生达标人数占总达标
8
1
，求女生达标人数．
3
nan
注意：计算时，应该先约分再计算

mm
anan
注意：计算结果要求是最简分数

bmbm

真分数乘真分数，积小于任何一个乘数；
真分数乘假分数，积大于真分数小于假分数；
假分数乘假分数，积大于任何一个乘数．
5．分数乘法简便运算
乘法分配律：
(ab)cacbcacbc(ab)c

6．解决问题
方法总结：解决稍微复杂的分数应用题的步骤：
一读：读懂题意；
二找：找准单位“1”；
三写：写数量关系；
四做：列正确的算式并解答；
五检：检查并验算．


一、看一看，填一填
1
分米的正方形的周长是（ ）分米。
2
2
2．六（1）班有50人，女生占全班人数的 ，女生有（ ）人，男生有（ ）
5
1．边长
人。
3．一根绳子长10米，用去了
4．男生人数占全班的
5．

二、计算：
4
米，还剩下（）米。
5
3
，把（）看成单位“1”。
4
13
×（ ）= ×（ ）=0.5×（ ）
25
1111335143


245125111521

921178353
21

78




三、解答下列应用题
2
1．一个等边三角形的一条边长 米，它的周长是多少米？
9


9
2．一个正方形的边长是 分米，它的周长是多少分米？
28


3．120千米的


5
4．一个鸡蛋重 千克，60个鸡蛋共重多少千克？
36




一、我是聪明小法官
7
是多少千米？
45
11
和4吨的相等 ．（）
48
11
2．若甲数的和乙数的相等，则甲数大于乙数．（）
23
1
3．15米长的电线，用去全长的，还剩下12米．（）
5
1．8吨的

二、看一看，选一选
1．a，b，c是自然数，a×
1314
=×b=c×1（）
1215

A．a>b>c B．b>c> a C．b>a> c D．无法确定
2．两根同样长的绳子，如果从第一根上截取它的
根绳子余下的部分（ ）
A．同样长 B．第一根长 C．第二根长 D．无法确定

3．对于
22
，从第二根上截去米，那么两
55
66
×a，当（ ）时，积小于。
77
A． a<1 B．a=1 C．a>1 D．无法确定

三、填空
31
与（）米的相等。
510
2
2、（1）
5
（ ）＝
1
×（ ）＝
1.2
（ ）＝1
3
123
（2）
( )( )( )1

234
1、1米的

四、应用题
1．一筐香蕉连筐重42千克，卖出


2．淘气和笑 笑帮助老师搬书，他们两个各搬整堆书的一半，10分钟后，淘气完成了
自己任务的


3．妈妈给姐姐和弟弟分蛋糕，姐姐吃了整个蛋糕的
的



1
后，剩下的连筐重29千克．筐重多少千克？
3
3
2
，笑笑完成了自己任务的，淘气和笑笑分别搬了整堆书的几分之几？
4
3
1
，弟弟吃了姐姐剩下那部分蛋糕
3
1
，最后 余下的给了妈妈，谁吃到的蛋糕比较多？
2

4．一个长方形，长20厘米，宽是长的



1
，这个长方形的周长是多少厘米？
4

个性化教学辅导教案
学生姓名
上课时间
课 题
教学目标
年 级
年 月 日
五年级 学 科
教师姓名
数学

第6讲 分数乘法应用
使学生掌握分数乘法的基本方法；引导学生通过观察、归纳、抽象、概 括，自主掌握
概念；并掌握解决实际应用的方法，使学生掌握数形结合的思想，培养学生发现、分
析并解决问题的能力．
教学过程
教师活动 学生活动

一、计算题
21

53
21

33
13

34

二、选择题
315313
2

4261044
1327173
12

6539494
2389
22

246944
1、下列说法中正确的有（ ）
A.1吨棉花的
31
和3000千克钢铁的一样重
44
B.两个数相乘，积一定大于乘数
C.因为0.25+0.75=1，所以0.25和0.75互为倒数
D.以上三个选项都不正确
2、修一条长2000米的路，计划8天修完，5天修了全长的（ ）
A．

3、下面（ ）幅图表示
5811
B．C．D．
8585
11

的意义。
23
A．


一、填空题
B． C． D．
1、张师傅要烤60个面包，星期一烤了
包才能完成任务。
13
，星期二烤了余下的，还需烤（ ）个面
38
2
，第二天应从第（ ）页读起。
5
2
3、爸爸身高是177厘米，小红的身高是爸爸的，小红身高 厘米。
3
2、一本书共80页，张阳第一天读了全书的

4
、

5、

22
7
和
7
，它们的( )相同，( )不同．
55
二、判断题
33
米，另一根用去，则剩下的一样长．（ ）
55
55
2、男生人数占全班人数的，男生人数相当于女生人数的．（ ）
127
1、两根同样长的彩带，一根用去

三、计算题
8

3

71


447214
99








455315
9

4

164







一、选择题
1、有两根同样长的绳子，第一根先用去
去余下的
111
，再用去米；第二根先用去米，再用
333
1
，都仍有剩余， 这时两根绳子所剩部分相比（） 。
3
A．第一根长B．第二根长C．一样长D．无法比较
2、六（1）班、六（2）班和六（3）班同学在学校操场上打扫卫生，每班负责打扫整
134
，10分钟后，六（1）班已完成本班任务的，六（2）班完成了本班的，
345
5< br>六（3）班完成了本班的．现在，（）完成的慢一些．
6
个操场的
A．六（1）班B．六（2）班 C．六（3）班D．无法确定
3、一个自然数（0除外）乘真分数，所得的积（）这个数；乘假分数，所得的积（）

< br>
这个数。
A.大于 B.小于 C.等于 D.大于或等于

二、填空题
1、找规律，填一填：
0.01a、0.04a、0.09a、 、0.25a．
1111
，改写成乘法算式是 ，当
a33
时，算式的结
 ......
（一共
a
个）
3333
果是 ．
2、
40
2
的意义是 ．
5
2
，第二天应从第（ ）页读起。
5
12
4、小 明看一本书，第一天看了全书的，第二天看的是第一天的，第二天看了全
73
3、一本书共80 页，张阳第一天读了全书的
书的



。

1323
的和是 ；的2倍是 ；的是 。
6834
5、5个


三、计算题
（1）





四、解答题
1、甲、乙两地相距30千米，小明从甲地出发走了全程的
112

（2）
17

1795
2
。
5

（1）在图中用“△”标出此时小明的大概位置。

（2）这时小明走了多少千米？


（3）这时小明距离乙地还有多少千米？


2、叔叔的今年的年龄是42岁，小红的年龄是叔叔年龄的
龄的


3、从甲地去乙地，第一天行了全程的
千米，行了两天后还剩下多少千米？




一、在□里填上＞、＜或=
1
，小刚的年龄是小红的年
3
1
，小红、小刚今年各几岁？
2
33
，第二天行了剩下的，甲、乙两地相距100
54
3575515< br>5
□
3

□


□

56116727
33
5
4
98
□
8
×
□
1－
55
7
9
28
二、等待着你发现。
先计算下面各题，再写出你的发现．（写出3点）．
15×1=15 15×=5 15×=3
1×6=6
1
3
1
5
11
×6=3 ×6=2
23
发现：一个数 乘小于1的数，积比这个数 ；
一个数 乘等于1的数，积 这个数；

一个数 乘大于1的数，积比这个数 。
三、解答题
1、垃圾分类，六年级同学收集了180个易拉罐，其中
集的．两班共收集了多少个？



2、已知
0.5a



3、妈妈给姐姐和弟弟分蛋糕，姐姐吃了整个蛋糕的
的



4、一个长方形，长20厘米，宽是长的




一、填空题
12
是一班收集的，是二班收
35
b53
c d
，请把
a
、
b
、
c
、
d
按从大到小的顺序排列．
1842
1
，弟弟吃了姐姐剩下那部分蛋糕
31
，最后余下的给了妈妈，谁吃到的蛋糕比较多？
2
1
，这个长方形的周长是多少厘米？
4
1
分米的正方形的面积是（ ）分米。
2
13
2、×（ ）= ×（ ）=0.5×（ ）
25
4
3、舞蹈班有60人，女生占全班人数的 ，女生有（ ）人，男生有（ ）人。
5
41
4、甲数的和乙数相等，那么甲数比乙数大． （判断对错）
54
1、边长

二、计算
3




437444
36
47×+52×+
11711555
43152314
3636

4422115225



三、解决问题
1、水果店有45千克苹果，第一天卖出它的



2、学校图书馆拥有的科技书是美术书的
20本，美术书和故事书各有多少本．



3、一条路长35米，小明跑了全长的



4、希望小学去年有毕业生150人，今年比去年毕业生人数多
人？
4
，第一天卖出苹果多少千克？
9
23
，故事书的本数是美术书的 ，科技书是
35
32
多米，还剩下多少米？
73
1
。今年有毕业生多少
50

1、小欣读一本150页的书，8天读了全书的
这本书一共用了多少天?



2、食堂准备了一批煤，原计划每天烧
4
。此后他每天比原来多 读4页。读完
15
4
吨，45天烧完，实际每天比原汁划节约吨，
5
这样比原计划多烧了5天。实际每天烧多少吨?





3、有一段木头，不知它的长度。用一根绳子来量它，绳子多
以后再来量，绳子短了




4、有一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘米；然后将竹竿倒转过来插 入水底，这时竹
竿湿的部分比它的



3
米；如果将绳子对折
2
2
米。问这段绳子长多少米?
5
1
长13厘米，求竹竿的长。
2

5、找规律，然后填空．
我国古代著名哲学著作《庄子天下》中有这样一段话：“一尺之棰， 日取其半，万
世不竭．”意思是说：“一尺长的木锤每天截一半，永远也截不完．”
第一次截去后剩下的 第二次截去后剩下的 第三次截去后剩下的 …
1
11111111



…
22224428
第五次截去后剩下



，第

次截去后剩下
1
．
256

个性化教学辅导教案
学生姓名
上课时间
课 题
年 级

五年级 学 科
教师姓名
第7讲 长方体（二）
知识与技能：通过对长方体和立方体体积计算的学 习，掌握应用公式计算长方体和立
方体体积的方法．
情感态度与价值观：要使学生体验数学的 科学价值观，培养学生善于观察、勇于探索
的良好习惯和严谨的科学态度，同时能利用长方体和立方体体 积的计算方法解决一些
简单的实际问题．

数学

教学目标
教学过程
教师活动 学生活动

1.长方体或正方体（ ）叫做它的表面积．
2.一种无盖的长方体 水桶，长是5分米，宽是4分米，高是6分米，做这样一对水桶，
至少需要铁皮多少平方分米？（接口处 忽略不计）



3.如果一个长方体正好可以切成两个棱长为3cm的正方体，这个长方体的表面积是多
少？

4.一个长方体，长5分米，宽3分米，高4分米，求它的所有棱长的和．




知识点一：容积与体积基本概念
一个体积为120立方厘米的长方体，长是6厘米，宽是5厘米，那么长方体的表面积
是多少？



知识点二：单位换算
1200毫升=（）立方厘米 1．24立方米=（）升=（）毫升
50立方米=（ ）升 100立方厘米=（ ）升

知识点三：体积大小的比较

1、有一个正方体水箱，从里面量棱长是5
dm
，如果把这 一满水箱的水倒入一个长
8
dm
、宽7
dm
、深2.5
dm
的长方体水池内，是否可以装下？



2、一个包装盒，如果从 里面量长2.8
dm
，宽2
dm
，体积为11.76
dm
3
．妈妈想用它
包装一件长2.5
dm
，宽1.6
dm
，高2
dm
的玻璃器皿，是否可以装下？这个玻璃器皿
的表面积是多少？



知识点四、切割组合对体积的影响
1、如果把一个长方体切割成两个小长方体，表面积的总和比原来表面积（ ）
A.增加B.减少 C.不变
2、把一个长方体切割成两个小长方体，体积（ ），表面积（ ）
A.变大 B.变小 C.不变


知识点一、容积与体积基本概念
1．体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积 ；一个物体的容积一般都比
它的体积小．当容器壁厚度忽略不计时：体积=容积；否则体积<容积．
比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积．（容器壁忽略
不计）
2．体积计算方法： 长方体的体积=长×宽×高
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
长方体和正方体的体积=底面积×高=右面面积×长=前面面积×宽
3．体积相等的两个长 方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和
也不一定相等．
4．体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等．

5．体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体
积比长方体的 体积大．

例题精讲：
【例1】一个长方体框架长8厘米，宽6厘米，高4厘米， 做这个框架共要（）厘米
铁丝，是求长方体（），在表面贴上塑料板，共要（）塑料板是求（），在里面 能盛（）
升水是 求（），这个盒子有（）立方米是求（）．

【例2】表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（）．
①正方体体积大 ②长方体体积大 ③相等

【例3】一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长3米，宽1 .5米，深2米，每立方米
沙子重1400千克，这个沙坑里共装沙子多少吨？




【例4】一个长方形的底面是一个周长为16分米的正方形，它的表面 积是96平方分
米，则长方体体积是多少？



变式训练：
1．长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是 （）厘米，六
个面中最大的面积是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米，体积是（ ）立方厘米．
2．将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体（ ）．
①体积相等，表面积不相等 ②体积和表面积都不相等 ③表面积相等，体积不相等
3．有一块面 积为96平方分米的铁皮，将其制作成可以容纳最多物体的形状，其棱长
是多少？可以容纳多少立方分米 的物体？

4．一个长方体， 其中三个面的面积分别是15平方厘米，20平方厘米，12平方厘米，
这个长方体的体积是多少立方厘 米？




知识点二、单位换算
1．长度单位：
mm、cm、dm、m
相邻两个单位进率为10
2．面积单位：
mm
2
、cm
2
、dm
2
、m2
相邻两个单位进率为100
3．体积单位：
mm
3
、c m
3
、dm
3
、m
3
相邻两个单位进率为1000
4．容积单位：
ml、l
相邻两个单位进率为1000 特别的：
1ml1cm
3
；
1l1dm
3
；
1000l1m
3
．

5．不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的
单位大． 大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率．

例题精讲：
【例1】单位换算
32立方厘米=（ ）立方分米 3.06升=（）升（ ）毫升
0.85升＝（）毫升 4.25立方米=（）立方分米=（ ）升
2.7立方米=（ ）升 2100毫升＝（）立方厘米＝（ ）立方分米
【例2】一个水池能装水400立方米，这是指（ ），占地2公顷指的是（ ）．
变式训练：
1．单位换算
40立方米＝（）立方分米 0.3升＝（）毫升＝ （）立方厘米
30立方分米＝（ ）立方米 4立方分米5立方厘米＝（ ）立方分米

2．一块橡皮擦的体积约是8( )； 一支钢笔长18( )；一台录音机的体积约是20( )．

知识点三、体积大小的比较
1．对于液体可以直接比较体积的大小，如果液体体积小于容器既可以装得下，如果大
于容器体积则装不 下．
2．对于固体而言，在体积小于容器体积的前提下，还需要比较物体的长宽高于容器的
长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器．

例题精讲：
【例1】有一个长为8分米，高位5分米，体积为240平方分米的硬纸盒，有一 件陶
瓷长为7．4分米，高位4分米，宽为6．5分米，是否可以放入该容器？





变式训练：
1．有一个长方形玻璃鱼缸长为5分米，宽为 3分米，高为3分米里面装有2．5分米
高的水，现在需要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为3．5分米 的正方体鱼缸中，请问
是否可以装得下这么多水？如果装得下正方体鱼缸内的水有多高？



知识点四、切割组合对体积的影响
1．将一个长方体或正方体任意的切割，切开后各部分的体积之和都等于原来长方体的
体积． 将几个长方体或正方体随机的组合，组合起来后的立体图形的体积都等于原来
各部分的体积之和． 也即切割和组合不会改变原来各部分的体积，只是各部分体积的
相加．
2．根据切割组合对表面的影响来确定体积的变化．

例题精讲：
【例1】将一块体积为30立方米的石头，切割成相同大小的石块刚好可以切出1 0块，
每块石头的体积是多少？



【例2】把一个正方体 木块截成两个相同的长方体后，表面积增加了32平方分米，原
来正方体的表面积是（）平方分米，体积 是（）立方分米．


变式训练：
1．将棱长为5厘米的20块小正方体拼成一个长方体，其体积最大是多少？



2．一个长方体，如果高增加3厘米，就成为一个正方体．这时表面积比原来增加 了
96平方厘米．原来的长方体的体积是多少立方厘米？


3．一个长方体正好可以分成三个完全一样的正方体，如果切割下一个正方体，剩下的
表面积比原来 少了36平方厘米，求原来长方体的表面积是多少？



知识点五、砌墙类问题
例题精讲：
【例1】养殖场需要砌一堵长为30米，宽为 24厘米，高位2．5米得墙，需要用长为
30厘米，宽为15厘米，厚为5厘米的砖大约多少块？

变式训练：
1．一块钢材体积为 2．7立方米，现在将其融化后重新铸成长为1米，底面积为225
平方厘米的钢锭，一共可以铸多少块 ？



知识点六、不规则物体体积计算方法
1.不规则 物体的体积由于无法确定其长、宽、高因此无法直接使用体积计算公式来计
算其体积．一般不规则物体体 积的测定方法采用排水法，也就是将物体放入盛满水的
容器中，其排开水的体积就等于该物体的体积．
2.液面上升或下降类问题 ．

例题精讲：
【例1】一个长方体的水槽 长18厘米，宽12厘米，高10厘米，里面水深6厘米，将
一个不规则的土豆放入后，水面上升到8厘 米处，这个土豆的体积是多少？



【例2】一个长方体鱼缸，长80 厘米，宽60厘米，深40厘米，把一块长30厘米，
宽24厘米，高16厘米的铁块浸入在水中，水面 将上升多少厘米?



变式训练：
1．在一个长 60厘米，宽54厘米，深45厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中
浸入一块长12厘米，宽18 厘米，高15厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面将下降
多少厘米？

知识点七、展开图形拼长方体或正方体
【 例1】用一张长60厘米，宽40厘米的长方形铁皮，做成一个无盖长方体盒子，做
成盒子的容积是多少 ？
思路一：从四个角上分别剪去一个边长为10厘米的正方形后，观察思考做成的长
方体长是（ ），宽是（ ），高是多少？求出它的容积．
思路二：从左边剪下两个边长为10厘米的正方形 ，然后把这两个正方形焊接到
右边，做成一个无盖的长方体，观察思考做成的长方体长是（ ），宽是（ ），高是
多少？求出它的容积．
思路三：从这个长方体上先剪下一个连长 为40厘米的正方形做底面，然后把剩下
的长方体平均分成四个长方形做前后左右面，这样做成一个无盖 长方体，观察思考做
成的长方体长、宽、高是多少？求出它的容积．

1.一个正方体的表面展开图是与A相对的面是（ ）。
A.B B.C C.D D.E
2.一个长方体体积是100立方厘米，现知它的长是10厘米，宽是2厘米，高是（ ）
A．8厘米 B．5厘米 C．5平方厘米
3．把50本书摆成长为18cm，宽为13cm ，高为25cm的长方体，平均每本书的体积
是（ ）。
A.117立方厘米 B.127立方厘米 C.5850立方厘米
4.实验室有一个长方体的容器，长 5dm，宽4dm，高4dm，现水深3分米，如果往容
器里面放一个长3dm，宽4dm，高2dm的 长方体铁块，这时容器中的水会不会溢出来？



5．一块长方体钢件， 长6cm，宽5cm，高4cm．如果每立方厘米重7.8克，那么这块

钢件重多少克？



6.计算下列长方体和正方体的体积各是多少立方米。(单位：米)






知识点一、容积与体积基本概念
1．体积是指所占空间的 大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比
它的体积小．当容器壁厚度忽略不计时：体 积=容积；否则体积<容积．
比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积．（容器壁忽略
不计）
2．体积计算方法： 长方体的体积=长×宽×高
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
长方体和正方体的体积=底面积×高=右面面积×长=前面面积×宽
3．体积相等的两个长 方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和
也不一定相等．
4．体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等．
5．体积相等的情况下 正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体
积比长方体的体积大．
知识点二、单位换算
1．长度单位：
mm、cm、dm、m
相邻两个单位进率为10

2．面积单位：
mm
2
、cm
2
、dm
2
、m
2
相邻两个单位进率为100
3．体积单位：
mm
3
、cm
3
、dm
3
、m
3
相邻两个单位进率为1000
4．容积单位：
ml、l
相邻两个单位进率为1000 特别的：
1ml1cm
3
；
1l1dm
3
；
1000l1m
3
．
5．不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的
单位大． 大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率．

知识点三、体积大小的比较
1．对于液体可以直接比较体积的大小，如果液体体积小于容器 既可以装得下，如果大
于容器体积则装不下．
2．对于固体而言，在体积小于容器体积的前 提下，还需要比较物体的长宽高于容器的
长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以 将物体装入容器．
知识点四、切割组合对体积的影响
1．将一个长方体或正方体任意的切割，切开后各部分的体积之和都等于原来长方体的
体积． 将几个长方体或正方体随机的组合，组合起来后的立体图形的体积都等于原来
各部分的体积之和． 也即切割和组合不会改变原来各部分的体积，只是各部分体积的
相加．
2.根据切割组合对表面的影响来确定体积的变化．
知识点五、砌墙类问题
知识点六、不规则物体体积计算方法
2.不规则物体的体积由于无法确定其长、宽、高因此 无法直接使用体积计算公式来计
算其体积．一般不规则物体体积的测定方法采用排水法，也就是将物体放 入盛满水的
容器中，其排开水的体积就等于该物体的体积．
2．液面上升或下降类问题 ．
知识点七、展开图形拼长方体或正方体


1.一个长方体的长宽高分别 是6、5、4厘米，两个这样的长方体拼成一个大长方体，

大长方体的表面积最小是（ ）平方厘米。
2．一个长方体截去一个棱长为5厘米的正方体后，所剩 下的长方体的体积是75立方
厘米，则原长方体的最长的棱是 厘米．
3．从一个 长方体上截下一个棱长为3厘米的正方体，剩下部分是一个长方体，它的体
积是45立方厘米，原来这个 长方体长 厘米．
4．甲长方体的长6dm、宽4dm、高5dm；乙长方体的长5dm、 宽4dm．把甲、乙两
个长方体拼成一个新的长方体，新的长方体的体积是160dm
3
，乙长方体的高是．
5.一个正方体油箱的容积是216立方分米，把这一整箱油倒入另一个容积更
大的长方体油箱内，已知长方体油箱长9分米，宽6分米，则这个长方体
油箱中油深多少分米？



6.列式解答：
（1）一个长方体汽油桶，从里面量长是0 .8米，宽是0.5米，高是0.25米，这个汽油
桶的容积是多少升？装满一桶汽油重多少千克？（每 升汽油重0.73千克）



（2）100根方木，堆成一个长3米，宽 40分米，高2.5米的长方体．平均每根方木的
体积是多少立方米？



（3）一个无盖的正方体玻璃缸，棱长是4分米，水面距鱼缸口0.5分米，这个鱼缸装
了多少 水？

（4）新挖的一条排水渠 ，挖土9立方米．水渠的横截面是梯形，上底宽0.5米，下底
宽0.4米，深0.4米．这条排水渠长 多少米？




（5）把棱长是50厘米的正方体钢坯，锻造成 宽是25厘米，高是20厘米的长方体钢
材，这长方体钢材的长是多少米？





1.一个长方体的棱长之和是48dm，已知长方体的长是8dm，宽 是3dm，求长方体的体
积和表面积．



2.应用题：
（1）一个正方体的棱长是3厘米，求它的体积




（2）一种长方体木料，体积是2100立方分米．长是20分米，宽是15分米，高是多
少分米？

（3）一块方钢，长2米，横截面是一个边长为4厘米的正方形． 如果1立方厘米钢
重7.8克，这块方钢有多重？




（4）一个长方体的底面积是0.85平方米，高是0.9米，体积是多少？





3.如右图，从长为13厘米，宽为9厘米的正方形硬纸板的四角剪掉 边长为3厘米的正
方形，然后沿虚线折叠成长方体无盖纸盒，这个纸盒的体积是多少？


4.有甲乙两个玻璃容器，甲容器长8分米，宽6分米，里面装满5分米高的水，乙容
器的长是12分米，宽是5分米，高是10分米，将甲容器中的水倒入乙容器中，水面
距离容器口多少 分米？





5.有384立方厘米的水倒入甲、乙 两个长方体玻璃容器中，已知甲长方体玻璃容器的
长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，乙容器的长 是8厘米，宽是6厘米，高是5
厘米，要使两个容器中的水面同样高，这个高是多少厘米？

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第8讲 长方体、正方体综合
1、回顾复习长方体的表面积和体积的公式，熟练应用公式计算长方体和立方体表面
教学目标 积和体积的方法，灵活解决实际应用问题；
2、提升学生数形结合、抽象思维能力等综合解题能力
教学过程
教师活动

一、计算下列各题
（1）



（3）




（5）


学生活动

2112692

（2）
2

324513263
12995322
（4）


25102091075
3143555

（6）


81058484

二、应用题
11
，再用去米，这时还余（ ）米．
55
15
2.小光 喝了一杯橙汁的，然后加满水，又喝了这杯水的，再加满水，又喝了这杯
412
1
水的 ，再加满水，最后把这杯都喝光了．小光喝的橙汁多还是水多？
3
1. 一根绳子长5米，先用去




3.
一条长





1.一.学校有一幢长方体形状的教学楼（如图）．现准备 买彩灯线装饰教学楼的地面外的
8条棱，学校至少应买几捆彩灯线？
91
千米的公路，修路队每天修千米，几天可以修完？
102

2 .做一个不带盖的长方体水桶，底面是边长为3分米的正方形，高是4分米，问至少
需要多少平方分米的 铁皮？

3.一个长方体纸箱，长和宽都是 0.6米，高是0.4米，它的容积是多少立方米？要做这
样的一个纸箱至少需要纸板多少平方米？



4.正方体的棱长为1cm在下列图中加入一个小正方体，体积和表面积怎么变化？


5.把一个长12分米的长方体，切成三段，表面积增加了24平方分米，这个长方体的体积是多少？




6.一只长方体的玻璃缸，长8dm， 宽6dm，高4dm，水深2．8dm，如果投入一块棱长
为4dm的正方体铁块，缸里的水会溢出多少 ？



7.一根长方体木料长是5米，宽是0.4米，厚是0.15米， 它的体积是多少立方米？合
多少立方分米？

1.长方体最多只能有4个面是正方形．同样的最多只能有8条棱相等．
2.正方体的棱长扩大2倍，表面积会扩大4倍，体积会扩大8倍．
表面积=棱长×棱长×6
体积=棱长×棱长×棱长
3．长方体的高扩大2倍，表面积不会成倍增加，体积会扩大2倍．
表面积=长×宽×2 + 宽×高×2 + 长×高×2；体积=长×宽×高
4.棱长为6的正方体表面和体积 不能比较．单位不同，没有比较的意义．就类似1千
米和1千克不能比较．
体积和容积的计算 方式相同．但是体积和容积不是一样的意义．体积是占用的空间大
小，容积是容纳的空间大小．简单的说 是体积是从物体的外面测量，容积是从物体的
内部测量．在有些计算题目中，体积可以等于容积．
注意：1．关于棱长的几个考点
2．长方体正方体的表面积问题（基础)；关于做成一个无盖纸盒子的问题
3．长、正方体切割、拼合引起的表面积体积问题
4．容器里面加石块引起的问题

例题精讲：
知识点一．关于棱长的问题
12条棱，分成3组，每组4个．
【例1】一个长方体的12条棱长总和是68厘米，侧面是一个周长为18厘米的长方形，
它的长是多 少？

【例2】为迎接校庆，学 校要在舞台四周拉彩带（地面的四边不拉）．已知舞台长15m，
宽10m，高4.5m，学校至少需要 买多少米彩带？




【例3】把一个正方形棱长扩大三倍，体积会扩大多少倍？表面积呢？




知识点二.表面积和体积的求解
1.长方体正方体的表面积问题（基础）
1．正方体：表面积=棱长×棱长×6；体积=棱长×棱长×棱长．
长方体：表面积=（长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2；体积=长×宽×高= 底面积×高；高=
体积÷底面积=体积÷长÷高．

2．什么是求表面积？比如说需 要贴瓷砖、贴红纸、粉刷墙面、看单位为平方．（长、
宽、高、表面积知3求1；知道长宽高要联系实际 注意有没底面积或上面积）
3．什么是求体积、容积？比如说占有空间大小、能装多少或者所求单位为 立方．（长
宽高体积知3求1；底面积、高、体积知2求1）

1、求表面积 【例1】一个带盖的长方体木箱,体积是0．576立方米,它的长是12分米,宽是8分米,
做这 样一个木箱至少要用木板多少平方分米?

【例2】有一房间，长5米，宽4米，高3．5米，要粉刷房子的顶面和四周墙壁，除
去门窗的 面积是18平方米，要粉刷的面积是多少平方米？




【例3 】右图为一餐巾盒子，长15cm，高0．5dm，宽10cm，在箱子的正上方开了一
个长10cm， 宽3cm的长方体开口．如果在盒子的表面包括里面图上红纸，至少需要
多少平方厘米？



2、关于做成一个无盖纸盒子的问题（求无盖盒子的体积和求长方形的长或者宽）
【例1】一 个无盖的长方体金鱼缸，长8分米，宽6分米，高7分米。制作这个鱼缸
共需玻璃多少平方分米？这个鱼 缸能装水多少升？（玻璃厚度忽略不计）




【例2】（知道 体积求长方体的长宽）在一个长10分米的长方形纸的四个角剪去四个
边长为5厘米小正方形，做成一个 没有盖子体积为18立方分米的纸盒子，求长方形纸
原来的面积．

2、长、正方体切割、拼合引起的表面积体积问题
（正方体拼合）正方体的拼合
【例1】．在下列图中拿掉一个小正方体（棱长为1cm），体积和表面积怎么变化？


【例2】（1）为两个相同的正方体（棱长4cm），（2）（3）（4）为拼和体，则其体 积和
表面积怎么变化，各为多少？

（1） （2）

（3） （4）




3、长方体切割

【例1】（切 割)沿虚线把长为15cm的长方体分成2段，表面积增加了160cm
2
，求原
来长 方体的体积是多少？

4、容器里面加石块引起的问题
1．常用公式：
正方体：体积=棱长×棱长×棱长；长方体：体积=长×宽×高=底面积×高 ；高=体积÷底
面积=体积÷长÷高
2．关于石块放入水里的问题
石块体积+原有水的体积＞容积---水会溢出；石块体积+原有水的体积≤容积--- 水不会
溢出
※ 底面积×水面升高的高度=石块的体积；※ 水面升高的高度=石块的体积÷底面积
【例1】一个体积为64立方厘米的正方体，表面积是多少？




【例2】一个装着水的、棱长为4dm正方形玻璃容器，把 一块长2dm、宽1dm、高1dm
的小长方体放入水中且不会溢出，水面会上升吗？上升多少厘米？




【例3】数学小组的同学为弄清一个不规则物体的体积，先 给一个长6分米，宽4分
米、高5分米的长方体容器中装了一些水，然后将此物体沉没在水中，通过测量 ，水
面比原来升高了2.5厘米．你能求出这个物体的体积吗？体积是多少？

1．一个正方体的棱长之和是48分米，它的体积是多少立方分米？



2.要挖一个长方形储水池，长为6米，宽为3.5米，要使这个储水池的容积为42立方
米， 应挖多深？



3.制作一个如图的长方体灯箱框架，至少需要多少厘米的木条？


4. 用两个正方体木块拼成一个长方体，棱长之和减少了24cm，这两个正方体木块原来
棱长总和是多少？




5．一块石头浸没在长50厘米，宽45厘米的玻璃水缸中 ，把石头从水中取出，水面下
降了4厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？

6．下图是长方体的展开图，量出有关数据，求出这个长方体的表面积和体积。



7. 一张长方形纸长25厘米，宽20厘米．在这张长方形纸四个角上分别剪掉一个边长< br>5厘米的正方形（如图），然后折成一个无盖的纸盒。这个无盖纸盒的容积是多少？



8．把一个长方体和一个正方体拼成一个新的长方体，这个新长方体的表面积比原来的
长方体的表面积增加了80平方厘米，求正方体的表面积．





1．天天游泳池，长25米，宽10米，深1.6米，在游泳池的四周和池底砌瓷砖，需要< br>贴瓷砖多少平方米？如果瓷砖的边长是1分米的正方形，那么至少需要这种瓷砖多少
块？

2．将一个长8厘米，宽5厘米 ，高3厘米的长方体截成一个体积最大的正方体，这个
正方体的体积是多少？



3．有一根9dm长的长方体木料，沿着地面垂直的方向锯成2段，这两段木料总的表
面积比原来多3dm
2
．求原来这根长方体木料的体积．




4.求下图立体图形的体积

5．一个游泳池长50米，宽25米，高2 米，如果要使游泳池的水深达1.5米，需放水
多少立方米？ 合多少升？




6．有一个长16厘米的长方形纸板，在四角各切除一个边长为2cm的正方形， 做成一

个无盖的盒子，体积是120cm
2
求原来的这个长方体纸板的面积．





7.一个长方体玻璃缸，从里面量长40厘米，宽25厘米 ，缸内水深12厘米．把一块石
头浸入水中后，水面升到16厘米，求石块的体积.


1．如果1个小正方体木块的表面积是24平方厘米，那么由512个这样的小正方体木块所组成的一个大正方体的体积是多少立方厘米？

2．王叔叔用铁皮做了一个无盖的长方体冰箱，长为80厘米，宽为50厘米，高为30
厘米
(1)制作这个水箱至少用了多少平方厘米的铁皮？
(2)现在往做成的水箱中倒入一些水，水面高20厘米，此时水箱中装了多少升的水？
(3 )如果将一块石头放入水箱中，石头完全被水浸没，此时水面上升了2厘米，这块石
头的体积是多少？

3.购买哪种包装的牛奶比较合算？

，



4.用三个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是120cm，原来
一个 正方体的棱长之和是多少？

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教学目标
型，查漏补缺。

年 级
2018年 月 日
五年级 学 科
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数学

第9讲 期中复习（一）
总体复习五年级下册第一二单元中对分数加减、长方体和正方体表面积的知识点和题
教学过程
学生活动

1．一个工艺品盒子长30cm ，宽20cm，高10cm，现将3个这样折包装盒包装在一起。
至少要用多少包装纸？（包装纸重叠处 忽略不计）



2.做一个无盖长方体纸盒，长10厘米，宽6厘米，高 12厘米，做这个纸盒至少用多
少平方厘米的硬纸板？



3． 有一房间，长6米，宽4米，高3.5米，要粉刷房子的顶面和四周墙壁，除去门窗
的面积是21.4平 方米，要粉刷的面积是多少平方米？如果平均每平方米用石灰0.2千
克，一共需要石灰多少千克？





一、填一填
（1）分母是12的最简真分数有（ ），他们的和是（ ）。
（2）一根铁丝长4米，平均分成5份，每份是（ ）米，每份是（ ）。
31< br>
（3）

=
46



< br>2
1


-

=

5
+
2
=

+

=


（4）同学们参加跑步比赛。在相同的时间内，笑笑跑了2.3千米，淘气跑了2千米，
( )跑得快。

二、解决问题

（1）一堆3吨的货物，第一次用去



31
，第二次用去，还剩下货物的几分之几?
54
（2）一根4米的绳子，第一次用去了



21
米，第二次用去米，还剩下多少米?
53
（3）一个长方体的棱长之和是60厘米，从一个顶点引出的三条棱长的和是多少？



（4） 一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长、 宽、高分别是3
厘米、2厘米、1厘米，那么正方体的棱长是多少？





知识点一：分数加减法
例题精讲：
题型一、选择题
1、如果a是自然数（a＞1），下列算式结果最大的是（ ）
A.
a
3222
B.
a
C.
a
D.
a

4333
2、下面的算式中，得数大于1的是哪一个？（ ）
A．

题型二、填空题
329141

B．

C．


7510853

1、异分母分数相加减，要先（ ），化成（ ），再加减。
2、分母是12的最简真分数有（ ）个，它们的和是（ ）。
3、一批化肥，第一天运走它的
有运。
4、在

题型三、计算
①



③
2




变式训练：
（1）




题型四、判断题
1、
12
，第二天运走它的，还剩这批化肥的（ ）没
3
1< br>5
2
112171
、、、、、中能化为有限小数的是（ ）。
3654152
372
7

32


②





5105
8
85

15461156

④


5
11

31

8331114

（2）




（3）


10

42

58534127
1561

（ ）
66122
31
，还剩
1
米。（ ）
44
2、2米的彩带，用去

3、
36
和这两个分数的大小相等，但分数单位不同。（ ）
48
4、分数加减法混合运算顺序和整数加减法混合运算顺序相同。（ ）
5、整数的运算定律不适用于分数。（ ）
学_科_网Z_X_X_K]
题型五、解方程
（1）
x




（3）





变式训练：
（1）
x



（3）
3.5x1.5x4
（4）




题型六、解应用题
51

（2）
3xx0.9

69
2313
x
（4）
2x

7415
5312

（2）
x

8473
41
x

54

【例 1】一个建筑队原计划八月份筑路
134
千米，结果上半月筑路千米，下半月筑路
10 5
13
千米。实际超过计划多少千米？
20






【变式训练1】万家水果批发市场第一天卖出水果
天卖出水果多少吨？两天共卖出水果多少吨？






【例2】如图是一些圆片，如果将其 中的
41
吨，比第二天多卖出吨。第二
510
11
涂上红色，涂上黄 色．涂红色的部分和
43
涂黄色的部分一共占这些圆片的几分之几？

【变式训练2】两人共吃了这块蛋糕的几分之几？

知识点二：长方体（一）
1．对应数量÷对应分率=单位“1”．
2．求一个数的几分之几是多少，用乘法计算．
3．已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，还可以用方程解答．

例题精讲：
题型一：展开折叠
【典型例题1】下面各图中，（）不是长方体表面的展开图。

A B C
【变式训练1】下面图形中能折成正方体的是（ ）
A．
B． C．
D．
【变式训练2】如图，则与2号面相对的面是第（）号面．

A．6

题型二：求表面积
【典型例题1】用3个棱长都是10厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面
积是（ ）平方厘米．
A．1800 B．1400 C．1600 D．1500
B．5 C．4 D．3
【变式训练1】一个长方体的底面是周长20厘米的正方形，高4厘米,这个长方体的表
面积( )平方厘米。
A．13
C．130
B．1300
D．80

【典型例题2】如图是一个长3厘米，宽和高都是2厘米的长方体，若将它挖 掉1个
棱长为1厘米的小正方体后（如图），它的表面积（ ）

A．比原来大 B．比原来小 C．和原来相等 D．无法确定
【变式训练2】从由8个棱长是1厘米的小正方体拼成 的大正方体中，拿走一个小正
方体，如图，这时它的表面积是（ ）平方厘米。
A．18 B．21 C．24

题型三：露在外面的面
【典型例题1】如图，两个棱长4分米的正方体纸箱放在墙角处，有 个面路在外面，
露在外面的面积是 平方分米。

【变式训练1】如图，两个棱长4分米的正方体纸箱放在墙角处，有 个面路在外面，
露在外面的面积是 平方分米。
（变式1图）（变式2图）
【变式训练2】如图，两个棱长4分米的正方体纸箱放在墙角处，有 个面路在外面，
露在外面的面积是 平方分米。

题型四：判断题
1.一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体．将它的前面挖掉一个棱长为1厘米的
小正方体，它的 表面积比原来大． （判断对错）
2.一个长方体或正方体，它们的体积总比表面积大． （判断对错）
3.用8个小正方体拼成一个大正方体，任意拿走一个小正方体后，表面积不

变． （判断对错）
4.正方体的棱长扩大3倍，则它的体积就扩大9倍． （判断对错）
5.一个棱长为6cm的正方体的表面积与它的体积相等． （判断对错）

题型五：解应用题（综合）
【典型例题1】一只长方体的玻璃缸，长8dm，宽6dm，高4dm，水深3dm，如果投
入一块棱长为4dm的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？



【典型例题2】有一个木箱长2米，宽1.5米，高0.6米．放置这个木箱最少要占地多
少平方米？这 个木箱的体积是多少？




【典型例题3】做一个无盖长方体 纸盒，长10厘米，宽6厘米，高12厘米，做这个
纸盒至少用多少平方厘米的硬纸板？



【变式训练1】用36厘米的铁丝围成一个正方体，如果用彩纸把它围起来，至少 需要
多少平方厘米的彩纸？



【变式训练2】一个无盖的长方 体金鱼缸，长8分米，宽6分米，高7分米。制作这
个鱼缸共需玻璃多少平方分米？这个鱼缸能装水多少 升？（玻璃厚度忽略不计）

【 变式训练3】一种礼品盒长5厘米，宽4厘米，高3厘米．乐乐想把这样的四个礼
品盒包装成一个长方体 ．请算一算：怎样包装才能最省包装纸？最少需要多少平方厘
米的包装纸？




【变式训练4】用两个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体，拼成一个表面积 最
小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？



< br>【变式训练5】一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的
正方体．表 面积和体积各增加了多少？



一、选择题
1．一块蛋糕，小 红第一天吃了一半，第二天吃了剩下的一半，第三天又吃了剩下的一
半，则小红三天共吃了这块蛋糕的（ ）。
111
C． D．
1

1688
22
2 ．有两根铁丝，第一根用去米，第二根用去，剩下的一样长，两根铁丝原来相
55
A．B．1
比（ ）
1

16

A．第一根长
3．甲绳比乙绳长
B．第二根长 C．一样长 D．无法确定
2
米，乙绳比甲绳短（ ）
7
252
A．米 B．米 C．
777
4.一个棱长是4分米的正方体，棱长总和是（ ）分米．
A．16 B．24 C．32 D．48
5．加工一个长方体油箱要用多少铁皮，是求这个油箱的（ ）
A．表面积 B．体积 C．容积
6.一个无盖的正方体的底面积是它的表面积的（ ）
A．

二、填空题
1．三个分数的和是
是 ．
2．有3吨化肥，第一天运走它的
1

12
B．
1

5
C．
1

6
D．
1

4
15
，它们的分母相同，分子是相邻的三个自然数，这三个分数
11
12
， 第二天运走它的，还剩这批化肥的 没有运．
45
3．两个棱长为6厘米的小正方体木块，拼成一个长方体，这个长方体的表面积是 ．
4．一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米，高是4厘米，它的棱长总和是 ，表面
积是 ．

三、判断题
1．正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就扩大9倍．（）
2．棱长2分米的正方体，它的棱长总和与它的表面积相等．（）
3.和
．（）
都是由棱长相同的正方体积木搭成，它们的表面积相比，大于
53
，还剩吨．（）
88
151
5．5个是，再加上4个就等于1．（）
999
4.一 堆沙重8吨，运走了
6．
2
21

21

2 



211
．（）
33

33


四、计算题
（1）



（3）





五、解决问题
1．一个长、宽、高分别为40厘米、30厘米、20厘米的小纸箱 ，在所有的棱上粘上一
圈胶带，至少需要多长的胶带？



2.食堂运来一些煤，计划每天烧
烧多少天？



3. 用50平方米的木料做一个长4米，宽2米，高0.4米的长方体木箱，至少可以做多
少个木箱？



131351

（2）

< br>482464
5

11

951

（4）





8

24

1088
91
吨，可以烧15天，实际每一天烧吨，实际可以
102

< br>
4. 五年级的同学手收集废纸，五年级一班收集
61
吨，比五年级二班少收 集吨，五
255
年级三班收集了0.6吨。哪个班同学收集的废纸多？



5.测得一盒磁带的长是11厘米，宽7厘米，高2厘米，求这盒磁带的体积和表面积；现有4盒磁带，用两种方式包装，哪一种方式更省包装钱？






一、分数的意义
1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
2、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
二、分数与除法的关系，真分数和假分数
1、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。
2、真分数和假分数：
① 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。
② 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。 ③ 由
整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。
2、假分数与带分数的互化：
① 把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不
变。
② 把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。

三、分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变， 这叫做分数的
基本性质。
2、分数的大小比较：
① 同分母分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小；
② 同分子分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。
③ 异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。（依据分数的基本
性质进行变化）
四、约分（最简分数）
1、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
2、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 （并
不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分；但一般要约到最简分数为止）
注意：分数加减法中，计算结果能约分的，一般要约分成最简分数。
五、分数和小数的互化：
1、小数化分数：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分
之几„„ ，能约分的必须约成最简分数；
2、分数化小数：用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。（一般保留三位小
数。）
3、分数和小数比较大小：一般把分数变成小数后比较更简便。
六、分数的加法和减法
1、真分数加减法
（1） 同分母分数加、减法 （分母不变，分子相加减）
（2） 异分母分数加、减法 （通分后再加减）
（3） 分数加减混合运算：同整数。
（4） 结果要是最简分数

2、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果
合并起来。
3、（1）同分母分数加、减法
①同分母分数加、减法：
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。
②计算的结果，能约分的要约成最简分数。
（2）异分母分数加、减法
①分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。
②异分母分数的加减法：
异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。
（3）分数加减混合运算
①分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。
在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一
级运算，应 从左到右依次计算。
②整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
长方体（一）
长方体的认识
知识点：1、认识长方体、正方体，了解各部分的名称。
表面平平的部分称为面；两面相交便形成了一条棱；而三条棱又交于一点，这个点叫
作顶点。
左面的面叫左面，右面的面叫右面，上面的面叫上面，下面的面叫下面（或叫底面），
前面的面 叫前面，后面的面叫后面。
长方体有12条棱，这12条棱中有4条长、4条宽和4条高。正方体的1 2条棱的长度
都相等。

4、长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4或者是长×4+宽×4+高×4 正方体的棱长总和=
棱长×12

展开与折叠
知识点：正方体展开共11种
1—4—1 型 6个


2—3—1 型 3个 （一个“探头”）

2—2—2 型 1个 楼梯形

型 1个 两个“探头” 注意：（1）田字型与凹字型的全错。
（2）正方体展开至少和最多都只剪开7条棱。
长方体的表面积
知识点：

1、表面积的意义：是指六个面的面积之和。
长方体和正方体表面积的计算方法：
S长=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；
S正=棱长×棱长×6。
露在外面的面
知识点：1、在观察中，通过不同的观察策略进行观察。
如:一种是看每个纸箱露在外面的面 ，再加到一起；另一种是分别从正面、上面、侧面
进行不同角度的观察，看每个角度都能看到多少个面， 再加到一起。 2发现并找出堆
放的正方体的个数与露在外面的面的面数的变化规律。


一、选择题
1．已知
222
（ ）的倒

，a、b、c是大于2的自然数，在a、b、c三个数中，
abc
数最大．
A．a B．b C．c D．无法确定
2．下列算式中，得数最小的是（ ）
A．
22


99
B．
22


99
C．
22


99
D．
22


99
3．异分母分数不能直接相加减，这是因为它们的（ ）
A．分子不同 B．分数单位不同 C．分数值不同
4．在一个正方体表面涂上颜色，然后锯成64个大小相同的小正 方体。两面涂上颜色
的小正方体（）个，三面涂上颜色的小正方体有（）个。
A．4 B．8 C．24 D．16
5．一个长6分米，宽4分米，高5分米的长方体盒子，最多能放（ ）个棱长是2分
米的正方体木块。
A．5个 B．14个 C．12个

6．一个长方体的长宽高分别是a米、b米、h米，如果高增加2米后，新的长 方体体

积比原来增加（ ）立方米．
A．2ab B．2abh C．ah（h+2）

二、填空题
1、一个数由8个1和2个
2、三个分数的和是
是 ．
3、一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米，高是4厘米，它的棱长总和是 ，表面
积是 ．
4、至少用 个棱长为1厘米的小正方体，能拼成一个较大的正方体
5、做一个长方体水桶需要多少铁皮，是求这个水桶的（）
A．表面积 B．体积 C．容积 D．不能确定
1
组成，这个数是 ，它的倒数是 ．
3
15
， 它们的分母相同，分子是相邻的三个自然数，这三个分数
11
6、两个一样的正方体可拼成一个 体，它有 个面是正方形，共有 个面是长方形．
7、如图，两个棱长4分米的正方体纸箱放在墙角处，有 个面路在外面，露在外面的
面积是 平方分米。

8、一根长方体木料长2米，横截面是边长8厘米的正方形。它的表面积是 平方分
米。

三、解决问题
1、用12个拼长方体，画出草图。
（1）拼出表面积最大的长方体。
（2）拼出表面积最小的长方体。



2、已知一个正方体木块能分割成若干个棱长为l厘米的小正方体木块，并且在这个大

的正方体木块的5个面上涂上红色，把它分割成若干个棱长1厘米的小正方体木块后 ，
有两面涂上红色的共有108块．那么只有一面涂上红色的有多少块?




3、用两个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体，拼成一个表面积最小的长方 体，
这个长方体的表面积是多少平方厘米？




4、 一个长方体的棱长总和是48厘米，并且它的长、宽、高是三个连续的自然数，这
个长方体的表面积是多 少平方厘米？





5、如图是一个棱长4厘米的正 方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正
方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱 长是1厘米正方体小洞，最后得到
的立方体图形的表面积是多少平方厘米？

1．电视机厂四月上旬完成计划的
月完成计划的情况是（ ）
A．正好完成 B．超额完成 C．没有完成
2、
111
，中旬完成计划的，下 旬完成计划的．这个
432
8528

52




是运用了（）
7777

77

A．加法交换律 B．加法结合律 C．减法的运算性质
3．有a，b两个数，已知a+b=6，b=
8
1111
﹣6 B．8﹣+6
33
1717
4．

的结果是（ ）
8888
7
B．
A．0
8
A．8+
11
，那么求a的算式是（ ）
3
1111
C．6﹣（8﹣） D．8﹣﹣6
33
C．1
D．
1
3

4
5．把一个棱长为a的正方体，任意截成两个 长方体，这两个长方体的表面积之和是
（ ）
A．a
3
+2a
2
B．7a
2
C．8a
2
D．无法确定
6．在下面形状的硬纸片中，有3个可以折成一个正方体．不能折成正方体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字和最小的是（ ）。

A．4
8．
B．6 C．7 D．8
42

等于 ，得数的分数单位是 ，它有 个这样的分数单位．
53
12
9．有3吨化肥，第一天运走它的，第二天运走它的，还剩这批化肥的 没有运．
45
10．一个长方体，长6米，宽5米，高4米，它的棱长之和是 米．
11．长方体有 面，每个面都是 ，也有可能一组相对的面是 ．

12．做一个长为5分米、宽为4分米、高为2分米的长方形框架，要用铁丝 分
米，如果做一个同样大的无盖铁盒需铁皮 平方分米，那么该铁盒最多可
装 升水．
13．李师傅做一个长6dm，宽5dm，高4dm的长方体框架，至少需要铁丝 dm．
14．用一根长24分米的铝丝做一个长3分米，宽2分米的长方体框架，做成的长方体
框架的高是 分米．
15．用一根长84厘米的铁丝做一个长方体的框架，长是9厘米，宽是5厘米，它的高
应该是 厘米．

二、判断题。
1．一个长方体展开后，只能得到一种展开图．（）
2．如果一个正方体棱长扩大2倍，它的体积就扩大6倍．（）
3．正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就扩大9倍．（）
4．根据三个方向观察到的形状摆小正方体，结果只有只一种。（ ）
5．棱长2分米的正方体，它的棱长总和与它的表面积相等．（）
6．分数加减混合运算的运算顺序和整数加减混合运算的运算顺序不同．（）
7．5个

三、解决问题。
1、已知一个正方体木块能分割成若干个棱长为 l厘米的小正方体木块，并且在这个大
的正方体木块的5个面上涂上红色，把它分割成若干个棱长1厘米 的小正方体木块后，
有两面涂上红色的共有108块．那么只有一面涂上红色的有多少块?



2、在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘 米的
小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？


151
是，再加上4个就等于1．（）
999

3 、一种礼品盒长5厘米，宽4厘米，高3厘米．乐乐想把这样的四个礼品盒包装成一
个长方体．请算一算 ：怎样包装才能最省包装纸？最少需要多少平方厘米的包装纸？



4、 用两个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体，拼成一个表面积最小的长方体，
这个长方体的表面积是 多少平方厘米？




5、—个长方体玻璃容器，从里面量底面 积是300平方厘米，容器里装有水。把一个底
面周长是31.4厘米的的圆柱全部沉人水中后，水面升 高了2厘米，圆柱的髙约是多少
厘米？（得数保留一位小数）



6、一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能
退，并且同一条 棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米?




7、一个底面 是正方形的长方体纸盒，底面边长为5分米，侧面展开是一个正方形，这
个长方体的表面积是多少平方分 米？

个性化教学辅导教案
学生姓名
上课时间
课 题
教学目标
年 级 五年级 学 科
教师姓名
数学
2018年 月 日
第11讲 期中复习（二）
总体复习五年级下册第 三四单元中对分数乘法、长方体体积的知识点和题型，查漏补
缺。

教学过程
教师活动


1、计算下列分数。
学生活动
3
742
3
5
+= — =+ =
15
5189
8
12
11
3
7945
+= + = － =
14
7
101458
2、计算下面各题，能简便计算的要简便计算．
5521162711315
+++－－－

－
28128




3、小明看一本故事书，第一天看了全书的
二天看了全书的



4
，还剩下几分之几没有看？若第
9
5
，还剩下几分之几没有看？
12

4、一个工厂要做200个长4米，宽6 0厘米，高1米的柜台，要在这些柜台的各
边都安上角铁，共需要多少米角铁？



5、在一个练功房里铺设了1600块长50cm，宽10cm，厚3cm的木质地板。这个
练功房的面积有多大？铺设地板至少要用木材多少立方米？




1、计算下面长方体的体积


2、在一块长45米、宽28米的长方形地上铺一层4厘米厚的沙土．
（1）需要多少立方米沙土？
（2）一辆车每次运送1.5立方米的沙土，至少需要运多少次？




3、花花过生日，小姨送给她一个蛋糕，蛋糕盒（如图）用丝带捆扎，打结处的丝
带 长30厘米，捆扎这个蛋糕盒至少需要多长的丝带？

分数乘法：
题型一：计算
知识点一：分数乘法的意义
【例1】下面（ ）幅图表示
11

的意义。
24

A B C
知识点二：分数乘整数、分数乘分数的意义及计算方法
【例2】计算
（1）直接计算
3417
28413

7539
274777


785844
（2）简便运算
17



< br>9
16
5351

35



< br>32


9494

48

【例3】列式计算
2
535

1

的是多少?

2

32的的又是多少？
5
956

知识点三：分数乘法应用题
【例4】小明录入一份3600字的稿件，录入了
稿件还剩多少字？




【例5】李叔叔原来体重80千克，坚持体育锻炼后，体重减轻了
体重多少千克？




长方体体积
知识点一：计算公式
正方体：体积=棱长×棱长×棱长；
长方体：体积=长×宽×高=底面积×高； 高=体积÷底面积=体积÷长÷高
【例1】计算下面长方体的体积。
2
，这份稿件 还剩几分之几？这份
9
1
，现在李叔叔
5