陈公弼传-结婚典礼

初二数学课本答案


1. 如图5—19，已知CE、CB分别是△ABC和△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．


分析 用加倍法．为了证明CD=2CE，考虑CE是△ABC底边AB上的中 线，故把CE延长
到F，使CF=2CE，把原来证CD=2CE转化为证明CD=CF，如此把线段“ 倍半”的数量关系转
化为证两条线段的相等关系．
证明 如图5—20，延长CE至F，使EF=CE，连结BF，可证△EBF≌△EAC．
∴BF＝AC＝AB＝BD．
又∠CBF＝∠CBA+∠ABF＝∠BCA+∠CAB＝∠CBD，BC公用，
∴△CBF≌△CBD．（SAS）
∴CF＝CD，即2CE＝CD．

3. 如图5—22，在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求证：BE＋CF＞EF．


分析 本题算延长FD到G，使FD=DG，构造新△EDG，通过证明△BDG≌△CD F，达到转
移线段位置的目的（如图5-22将BE+CF转移为BE+BG，将EF转移为EG）
证明 延长FD到G，使DG=DF，连结BG．
∵∠BDG=∠CDF，BD=DC．
∴△BDG≌△CDF

∴BG=CF
连结EG
∵ED⊥DF，又DG=DF
∴EG=EF
在△EBG中，BE+BG>EG，
∴BE+CF>EF.

5．（本题8分）如图,直线y = kx+6与x轴y轴分别相交于点E,F.
点E的坐标为(- 8, 0), 点A的坐标为(- 6,0). 点P（x,y）是第二象限内的直线上的一个
动点。
(1).求K的值； (2).当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值
范 围；
(3).探究：当P运动到什么位置（求P的坐标）时，△OPA的面积为27／8，并说明理由


y


F



E
x

A O






6、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15
0
．
A
求证：△PBC是正三角形．（初二）
P




B


7、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初二）
A D


F




B
P C E
D
C

8、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：∠APB的度数．（初二）



9.如图，在△ABC中， ∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD.
A
E
O
B
C
D

10.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C，∠1=∠C，
点E在AC上．
求证：AC=AB+BD．


B
1
A
E
D
C
.证明：
∵∠4=∠1+∠C，∠1=∠C，

∴∠4=2∠C．
∵∠B=2∠C，
∴∠B=∠4． „„„„„„„„ 1分
∵AD
是
△ABC
的角平分线，
∴∠2=∠3．
∵AD=AD，
∴
△
ABD
≌△
AED． „„„„„„„„ 3分
∴AB=AE，BD=ED． „„„„„„„„ 4分
∵∠1=∠C，
∴ED=EC． „„„„„„„„ 5分
∴EC=BD．
∴AC=AE+EC=AB+BD． „„„„„„„„ 6分



00
11、△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90,D、E在BC上，且∠DAE=45, 若BD=3,CE=4
求DE的长。
A

B
1
A
2
3
4
E
C
D
B
D E
C

解：作点B关于AD的对称点，连结OD、OE、OA
∴∠BAD＝∠OAD，AB＝AO，BD＝OD
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°
∴∠BAD＋∠CAE＝∠OAD＋∠OAE
∴∠CAE＝∠OAE
∵AB＝AC，∴AC＝AO
在△OAE与△CAE中，

AO＝AC
∠OAE＝∠CAE
AE＝AE
∴△OAE≌△CAE（SAS）
∴∠AOE＝∠C 又∵∠B＝∠AOD
OE＝CE
∴∠DOE＝∠B＋∠C＝90°
∴DE＝
ODOE
＝
BDCE
＝5

12．已知：如 图，且
B△ABC
中，
ABC45°
，
CDAB
于< br>D
，
EAC
BE
平分
ABC
，
于
E
，与
CD
相交于点
F，H
是
BC
边的中点，连 结
DH
与
BE
相交于点
G
．
（1）求证：
BFAC
；
（2）求证：
CE
2222
1
BF
；
2
（3）
CE
与
BG
的大小关系如何？试证明你的结论．





（1）证明：
∵CDAB
，
ABC45°
，
∴△BCD
是等腰直角三角形．
∴BDCD< br>．
在
Rt△DFB
和
Rt△DAC
中，
∵DB F90°BFD
，
DCA90°EFC
，且
BFDEF C
，
∴DBFDCA
．又
∵BDFCDA90°
，
BDCD
，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC
．
∴BFAC
．
（2）证明：在
Rt△BEA
和
Rt△BEC
中
∵BE
平分
ABC
，
∴ABECBE
．又
∵BEBE，BEABEC90°
，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC
．
∴CEAE
∴CE
1
AC
．又由（1），知
BFAC
，
2
11
ACBF< br>．
22
（3）
CEBG
．证明：连结
CG
．
又
H
是
BC
边的中点，
∵△BCD
是等腰直角三 角形，
∴BDCD
．
∴DH
垂直平分
BC
．

∵CG
是斜边，
CE
是直角边，
∴BGCG
．在
Rt△CEG
中，
∴CECG
．
∴CEBG


13.（10分）
(1)如图①，A、B、C三点在同一直线上，分别以AC,BC 为边在AB的同侧作等边△ACD
和等边△BCE,连接AE、BD，M、N分别为AE、BD的中点， 连接CM、CN、MN.则△CMN的形状
是________三角形；


(2)如图②，A、B、C三点在同一直线上，分别以AC,BC为边在AB的同侧作等腰Rt△A CD
和等腰Rt△BCE．∠ACD=∠BCE=90°，连接AE、BD，M、N分别为AE、BD的 中点，连接
CM、CN,MN.则△CMN的形状是______三角形；
(3) 如图③，在图②的基础上，将△BCE绕点C旋转一定的角度，其它条件不变，请将
图形补充完整．试判 断△CMN的形状，并说明理由．


14.（12分）一次函数y=x+ 4与x轴、y轴分别交于A、B两点，E为OA上一动点，D为OB
的延长线上一动点，且AE=BD
(1)当E为OA中点时，求C点坐标．
(2)当E运动到x轴正半轴上，仍有A E=BD，过E作EF⊥AB于F,
化？若不变，请求出其值；若变化，请求其变化范围．
FC
的值是否变
AB

15、已知：以△ABC的两边AB、AC为边向外作等腰△ADB和等腰△AEC，且AB =AD，AC=AE，
∠BAD=∠EAC，DC、BE交于O .
（1）求证：DC=BE (2)若△ADB与△ACE均为等边三角形，求∠BOC的度数
（3）若∠BOC=150°，AD=10，求△ABD的面积.
A

D E



O
C
B

（1）证明：∵∠BAD＝∠EAC
∴∠DAC＝∠BAE
在△DAC与△BAE中， AD＝AB
∠DAC＝∠BAE
AC＝AE

∴△DAC≌△BAE（SAS）
∴DC＝BE
（2）∵△DAC≌△BAE
∴∠1＝∠2
∴∠BOC＝∠OCE+∠OEC=∠ACE+∠AEC
又∵△ACE是正△，∴∠ACE＝∠AEC＝60° ∴∠BOC＝120°
（3）过点B作BP⊥AD，垂足为P
∵△DAC≌△BAE，∴∠3＝∠4
∴∠BOC＝∠OBD+∠BDO＝∠ABD+∠ADB＝150°
∴∠DAB＝30° 又∵BP⊥AD
1
AB 又∵AB＝AD＝10
2
1
∴BP＝5 ∴S
△

ABD


＝BP×AD＝25
2
∴BP＝

16．已知：如图，平面直角 坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，－
4），P为y轴上B点下方一点，P B=m（m>0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中
PM=PA，点M落在第四象限。
（1）求直线AB的解析式；
（2）用m的代数式表示点M的坐标；
（3）若直线 MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的
结论并说明理由。

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）．
则


4kb0
，解得

k1

b4

< br>b4

∴直线AB的解析式为y=x－4
（2）作MN⊥y轴于点N．（见图5）

图5
∵△APM为等腰直角三角形，PM=PA，
∴∠APM=90°
∴∠OPA+∠NPM=90°
∵∠NMP+NPM=90°
∴∠OPA=∠NMP
又∵∠AOP=∠PNM=90°，
∴△AOP≌△PNM。（AAS）
∴OP=NM，OA=NP
∵PB=m（m>0），
∴NM=m+4，ON=OP+NP=m+8．
∵点M在第四象限，
∴点M的坐标为（m+4，－m－8）
（3）答：点Q的坐标不变．
解法一：由（2）得NM=m+4，NB=NP+PB=m+4．
∴NB=NM
∵∠BNM=90°
∴∠MBN=45°
∴∠QBO=45°，∠OQB=90°－∠QBO=45°
∴OQ=OB=4
∵点M在第四象限，点B在y轴的负半轴上，
∴点Q在x轴的负半轴上
∴无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（－4，0）
解法二：设直线MB的解析式为y=nx－4（n≠0）
2分
3分
4分
5分
6分

∵点M（m+4，－m－8）在直线MB上，
∴
m8n(m4)4

整理，得
(m4)nm4

∵m>0
∴
m40

解得
n1

∴直线MB的解析式为
yx4


5分
6分 ∴无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（－4，0）
17．如图，等腰直角三角 形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，
AD=AE，AF⊥BE交BC于 点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M。
（1）求证：△EGM为等腰三角形；
（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论。


解：（1）∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，（见图6）

图6
∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°．
又∵AD=AE，∠CAD=∠BAE．
∴△ACD≌△ABE．（SAS）
∴∠1=∠2
∵∠BAC=90°，∴∠3+∠2=90°．
∵FG⊥CD，∴∠1+∠4=90°．
∴∠3=∠4．
∴∠GEM=∠GME
1分

∴EG=MG，△EGM为等腰三角形． 2分
（2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG 3分
证法一：过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N（见图6）
∵BN⊥AB，∠ABC=45°．
∴∠FBN=45°=∠FBA
∵FG⊥CD
∴∠BFN=∠CFM=90°－∠DCB
∵AF⊥BE
∴∠BFA=90°－∠EBC，∠5+∠2=90°
由（1）可得∠DCB=∠EBC，
∴∠BFN=∠BFA．
又∵BF=BF．
∴△BFN≌△BFA．（ASA）
∴NF=AF，，∠N=∠5．
又∵∠GBN+∠2=90°
∴∠GBN=∠5=∠N
∴BG=NG
又∵NG=NF+FG，
∴BG=AF+FG

证法二：设CD、BE的交点为N，连结AN（见图7），先证AF=BN，再证FG=NG。

6分
5分
4分

图7
证法三：过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H（见图8）。先证AH=BE，再证
FM=FH。

图8






18．如图，已知直线OA的解析式为y=x，直线AC垂直x轴
于点C，点C的坐标为（2，0），直线OA关于直线AC的
对称直线为AB交x轴于点B．
（1）写出点A及点B的坐标；
（2）如图，直线AD交x轴与点D，且△ADB的面积为1，
求点D的坐标；
（3）作OE⊥AD于点E，交AC于点H，作BF⊥AD于点F，
求证：OE=AF，并直接写出点H的坐标．



解：（1）A(2,2),B(4,0) „„„„„„„„2分
（2）∵AC⊥BD于点C，AC=2，S
△
ADB
=1，
∴S
△
ADB
=
H
OC
A
E
D
F
B
x
y
11
BD·AC =BD×2=1．
22
∴BD=1． „„„„„„„„3分
∴OD=O
B－
BD=4－1=3．
∴D(3，0) „„„„„„„„4分
（3）由直线OA的解析式为y=x，可知
OC=AC．
又∠ACO=90°，
∴∠OAC=∠AOC=45°．
∵直线OA关于直线AC的对称直线为AB，
∴∠BAC=∠OAC=45°，OA=BA．
∴∠OAB=90°．
∴∠2=90°－∠OAE．
A
y
在△AOE中，∠OEA=90°，
1
2
H
C
E
D
F
B
xO

∴∠1=90°-∠OAE．
∴∠1=∠2．

在△AOE≌△ABF中，


∠1=∠2
∠OEA=∠AFB=90°
OA=BA
∴△AOE≌△ABF． „„„„„„„„5分
∴OE=AF． „„„„„„„„6分
H(2,1) „„„„„„„„7分


19 .如图，在
△ABC
中，
B60

．
（1）请你用直 尺和圆规分别作出
BAC
和
BCA
的平分线
AD
和CE
，
分别交BC和AB于点D、E，
AD
与
CE
相 交于点
F
．
（2）请你判断并写出
FE
与
FD
之间的数量关系，
然后证明关系成立．





B

AC
解:（1）作图，必须用圆规。否则扣分„„„„„„4分
（2）
F E
与
FD
之间的数量关系为
FEFD
．„„„„„5分
证法一：过点
F
分别作
FG⊥AB
于点
G
，
FH⊥ BC
于点
H
．„„„„„6分
∵
B60

， 且
AD
，
CE
分别是
BAC
，
BCA
的平分线，
∴
FGFH
． „„„8分
B
E
∴
GEF601
，
又
HDFB1
601
，
∴
GEFHDF
．„„„„„11分


2360

，„„„„„10分
Ｇ

F
4
3
D
H
A
１
2
图
C

∴
△EGF≌△DHF
．
∴
FEFD
．„„„„„12分

证法二： 如图，在
AC
上截取
AGAE
，连结
FG
．„„„„„6分
∵
12
，
AF
为公共边，可证
△AEF≌△AGF
．
∴
AFEAFG
，
FEFG
．„„„„„7分
由
B60

，
AD，CE
分别是
BAC ，BCA
的平分线，
可得
2360

．„„„„„9分
∴
AFECFDAFG60

．
∴
CFG60

．„„„„„10分
由
34< br>及
FC
为公共边，可得
△CFG≌△CFD
． „„„„„11分
∴
FGFD
．
∴
FEFD
．„„„„„12分
20.

图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形.
(1) 如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；
(2) 如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你
的结论.






B
E
F
１
2
A

G
4
3
D
C

图1 图2


21．如图，直线O C、BC的函数关系式分别是y
1
=x和y
2
=-2x+6，动点P（x，0 ）在OB上运动
（0 （1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y
1
>y
2
？
（2）设△COB中 位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式．
（3）当x为何值时，直线m平分△COB的面积？（10分）

21题:（1）解方程组


yx

x2
得



y2x6

y2
∴C点坐标为（2，2）； „„3分
（2）作CD⊥x轴于点D，则D（2，0）．
①s=
2
1
x（02
2
②s=-x+6x-6（2（3）直线m平分△AOB的面积，
则点P只能在线段OD，即0又△COB•的面积等于3，
故
11
x=3×，解之得x=
3
.„„4分
22
2

22.已知如图AE=AC，EFBC交AB于E交AC于F，EC平分∠FED，求证：AD⊥CE。






23.
（10分）

08年5月12，四川省汶川等地发生强烈地震。在抗震救灾中，
甲、 乙两重灾区急需一批大型挖掘机，甲地需25台，乙地需23台；A、B两省
获知情况后慷慨相助，分别 捐赠挖掘机26台和22台并将其全部调往灾区．若从
A省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.4万元，到 乙地要耗资0.3万元；从B省调
运一台挖掘机到甲地要耗资0.5万元，到乙地要耗资0.2万元．设 从A省调往甲
地
x
台，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资
y万元．
（1）求出
y
与
x
之间的函数关系式及自变量
x
的取值范围；
（2）若要使总耗资不超过15万元，有哪几种调运方案？
（3）怎样设计调运方案能使总耗资最少？最少耗资是多少万元？

A省捐赠
26台
甲灾区
需25台
B省捐赠
22台
乙灾区
需23台


23．
⑴ y＝0.4X＋0.3(26-X) ＋0.5(25－X) ＋0.2〔23－(26-X)〕
=19.7－0.2X (1≤X≤25)
⑵ 19.7－0.2X≤15
解得:X≥23.5 ∵ 1≤X≤25
∴ 24≤X≤25
即有2种方案，方案如下：
方案1：A省调运24台到甲灾区，调运2台到乙灾区,
B省调运1台到甲灾区，调运21台到乙灾区；
方案2：A省调运25台到甲灾区，调运1台到乙灾区,
B省调运0台到甲灾区，调运22台到乙灾区；
⑶ y
＝19.7－0.2X, y是关于x的一次函数，且y随x的增大而减小，要使耗资
最少，则x取最大值25。
即：
y
最小
=19.7－0.2×25=14.7(万元)



24某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和 D县分
别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县．已知C，D两县运化肥到A，B两县的< br>运费（元／吨）如下表所示．

（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元 ）与x（吨）的函数关系式，并写
出自变量x的取值范围；

（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．
［分析］ 利用表格来分析C，D两县运到A，B两县的化肥情况如下表．

则总运费W（元）与x（吨）的函数关系式为
W=35x+40（90-x）+30（100 -x）+45[60-（100-x）]=10x+4800．
自变量x的取值范围是40≤x≤90．
解：（1）由C县运往A县的化肥为x吨，则C县运往B县的化肥为（100-x）吨．
D县运往A县的化肥为（90-x）吨，D县运往B县的化肥为（x-40）吨．
由题意可知
W＝35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40）＝10x+4800．
自变量x的取值范围为40≤x≤90．
∴总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式为
w＝1Ox+480O（40≤x≤9O）．
（2）∵10＞0，
∴W随x的增大而增大．
∴当x=40时，
W
最小值
=10×40+4800=5200（元）．
运费最低时，x=40，90-x=50（吨），x-40=0（吨）．
∴当总运费最低时， 运送方案是：C县的100吨化肥40吨运往A县，60吨运往B县，D
县的50吨化肥全部运往A县．


25.(2009年河北)某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm×30
cm，B型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标
准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一 的裁剪示意

裁法一 裁法二 裁法三
A
60
单位：cm
30
150
B
40

A型板材块数
B型板材块数

1
2
2
m
0
n

设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y
张、按裁法三裁z张，且所裁出的A.B两种型号的板材刚好够用．
（1）上表中，m = ，n = ；
（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；
（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，
并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材
多少张？
【关键词】函数的运用
【答案】解：（1）0 ，3．
1
（2）由题意，得
x2y240
， ∴
y120x
．
2

2x3z180
，∴
z60
2
x
．
3
12
（3）由题意，得
Qxyzx120x60x
．
23
1
整理，得
Q180x
．
6
1

120x


2
由题意，得


2

60x

3

解得 x≤90．
【注：事实上，0≤x≤90 且x是6的整数倍】
由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小．

此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．
26、南方A市欲将一批容易变质的水果运往 B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方
式，现只可选其中一种，这三种运输方式的主要参考数据如 下表所示：
运输工具 图中速度（kmh）
飞机
火车
汽车
200
100
50
途中费用（元km） 装卸费用（元）
16
4
8
1000
2000
1000
装卸时间（h）
2
4
2
若这批水果在运输（包括装卸）过程 中的损耗为200元h，记A、B之间的距离为
x
km。
（1）如果用W
1
、W
2
、W
3
分别表示使用飞机、火车、汽车的运输时的总支出费用 （包
括损耗），求出W
1
、W
2
、W
3
与
x
之间的函数关系式；
（2）应采用哪种运输方式，才能使运输时的总支出最少？


27．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠ BAC的平分线于E，EF⊥ AB，

交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？ 证明你的
结论。

、答：相等。 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1分
证明：∵AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G
∴EF＝EC „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 4分
连EB、EC，∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，∴EB＝EC „„„„ 8分
∴Rt△EFB≌Rt△EGC，∴BF=CG „„„„„„„„„„„„„„ 10分




28. （本题8分）已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0） ，B（0，1），C（－1，0），
过点C的直线l绕点C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E.
（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；
（2）若△OCD 与△BDE的面积相等，
① 求直线CE的解析式；
y
② 若y轴上一点P满足∠APE=45°，请直接写出P点的坐标.


D
1
B
E
A
1
x




28．解：（1）见图23，∵
A
（1，0），
B
（0，1），

C
O

∴
OA=OB=
1．
∵ ∠
AOB=
90°，
∴ ∠
OAB=
45°．- - - - -- - - - - - - - - - 1分
设直线
AB
的解析式为
ykxb
．
∵
A
（1，0），
B
（0，1），

则


kb0,

b1.

解得
k1,b1.

∴ 直线
AB
的解析式为
yx1
.- - - - - - - - - - - - - - - - 2分

（2）①解：设直线
CE
的函数解析式为
ymxn
.
则
D
（0，
n
），且0＜
n
＜1，
BD
= 1－
n
.
∵
C
（－1，0），
∴
mn0
，直线
CE
的函数解析式可化为
ynx n
.- - - -4分
∵ 点
E
为直线
CE
与线段
AB
的交点，
∴ 点
E
的坐标是方程组

解得
E(

ynxn ，
的解.
yx1

1n2n
,)
.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
n1n1
∵
S
OCD
S
BDE
，点
E
在第一象限，
11
∴
OCODBDx
E
.
22
111n
∴
1n(1n)
.
22n1
整理，得
n(n1)(n1)
2
.

1
解得
n.
- - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - 6分
3
1
经检验，
n
是原方程的解.
3
11
∴直线
CE
的解析式为
yx.
- - - - - - - - - - - - - - -- - - 7分

33
②
P
点的坐标为（0，0）. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -8分