春风十里不如你辛夷-兰州交通大学教务处

高一数学课本内容

第一章 集合与简易逻辑

本章概述

1.教学要求

[1] 理解集合、子集、交集、并集、 补集的概念;了解空集和全集的意义;
了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号，并会 用它们正确表
示一些简单的集合.

[2]掌握简单的含绝对值不等式、简单的高 次不等式、分式不等式的解法;
熟练掌握一元二次不等式的解法.

[3]理解逻辑联结词或、且、非的含义;理解四种命题及其相互关系;
掌握充要条件.

2.重点难点

重点：有关集合的基本概念;一元二次不等式的解法及简单应 用;逻辑联结
词或、且、非与充要条件.

难点：有关集合的各个概念的涵义以及 这些概念相互之间的区别与联系;
四个二次之间的关系;对一些代数命题真假的判断.

3. 教学设想

利用实例帮助学生正确掌握集合的基本概念;突出一种数学方法--元素分
析法;渗透两种数学思想-- 数形结合思想与分类讨论思想;掌握三种数学语言--
文字语言、符号语言、图形语言的转译.

1.1 集合(2课时)

目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法;初步了解集
合的分类及性质。

教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法--列举法与描述法，正确表示一
些简单的集合

教学过程：

第一课时

一、引言：(实例)用到过的正数的集合、负数的集合、不等式2x-1>3
的解集

如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

集合与元素： 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象
叫元素。

指出：集合如点、直线、平面一样是不定义概念。

二、集合的表示：

用大括号表示集合 { ... }

如：{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}

用拉丁字母表示集合

如：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5}

常用数集及其记法：

1.非负整数集(即自然数集) 记作：N 2.正整数集 N*或 N+ 3.整数集 Z

4.有理数集 Q 5.实数集 R

集合的三要素： 1。元素的确定性; 2。元素的互异性; 3。元素的无序性

三、关于属于的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属
于集A 记作 a?A ，相反，a不属于集A 记作 a?A (或aA) 例： 见P4-5中例

四、练习 P5 略

五、集合的表示方法：列举法与描述法

1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来。

例：由方程x2-1=0的解集;例;所有大于0且小于10的奇数组成的集合。

2. 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

① 文字语言描述法：例{斜三角形}再见P6 ○2符号语言描述法：例不等式
x-3>2的解集 图形语言描述法(不等式的解集、用图形体现属于，不属于)。

3. 用图形表示集合(韦恩图法) P6略

六、集合的分类

1.有限集 2.无限集

七、小结：概念、符号、分类、表示法

八、作业 P7习题1.1

1.1 第二教时

一、 复习：(结合提问)

1.集合的概念 含集合三要素

2.集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法

3.集合的分类：有限集、无限集、空集、单元集、二元集

4.关于属于的概念

二、 例题

例一 用适当的方法表示下列集合：(符号语言的互译，用适当的方法表示

集合)

1. 平方后仍等于原数的数集

解：{x|x2=x}={0,1}

2. 不等式x2-x-6<0的整数解集

解：{x?Z| x2-x-6<0}={x?Z| -2

3. 方程4x2+9y2-4x+12y+5=0的解集

解：{(x,y)| 4x2+9y2-4x+12y+5=0}={(x,y)| (2x-1)2+(3y+2)2=0}={(x,y)|
(12,-23)}

4. 使函数有意义的实数x的集合

解：{x|x2+x-6?0}={x|x?2且x?3,x?R}

例二、下列表达是否正确，说明理由.

1.Z={全体实数} 2.R={实数集}={R} 3.{(1，2)}={1，2} 4.{1，2}={2，1}

例三、设集合试判断a与集合B的关系.

例四、已知

例五、已知集合，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围.

三、 作业 《教材精析精练》 P5智能达标训练

1.2子集、全集、补集

教学目的： 通过本小节的学习，使学生达到以下要求：

(1)了解集合的包含、相等关系的意义; (2)理解子集、真子集的概念;

(3)理解补集的概念; (4)了解全集的意义.

教学重点与难点：本小节的重点是子 集、补集的概念，难点是弄清元素与
子集、属于与包含之间的区别。

教学过程:

第一课时

一 提出问题:集合与集合之间的关系.

存在着两种关系:包含与相等两种关系.

二 包含关系-子集

1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.

结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的 任何一个元素都是集合B的元素,
则说:集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作A?B (或B?A);也说: 集合
A是集合B的子集.

2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?B (或B?A)

注意: ?也可写成?;?也可写成?;í 也可写成ì;?也可写成?。

3. 规定: 空集是任何集合的子集 . φ?A

三 相等关系

1. 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} 元素相同

结论：对于两个集 合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，
同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元 素，我们就说集合A等于集合B， 即：
A=B

2. ① 任何一个集合是它本身的子集。 A?A

② 真子集：如果A?B ,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作

③ 空集是任何非空集合的真子集。

④ 如果 A?B, B?C ,那么 A?C

同样;如果 A?B, B?C ,那么 A?C

⑤ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

四 例题：

例一 写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.

例二 解不等式x-3>2,并把结果用集合表示出来.

练习 课本P9

例三 已知，问集合M与集合P之间的关系是怎样的?

例四 已知集合M满足

五 小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号

几个性质： A?A

A?B, B?C ==>A?C

A?B B?A==> A=B

作业：P10 习题1.2 1,2,3

1.2 第二教时

一 复习：子集的概念及有关符号与性质。

提问：用列举法表示集合：A={6的正约数}，B={10的正约数}，C={6与10的
正公约数}，并用适当的符号表示它们之间的关系。

二 补集与全集

1.补集、实例：S是全班同学的集合，集合A是班上所有参加校运会同学的
集合，集合B 是班上所有没有参加校运动会同学的集合。

集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合。

定义：设S是一个集合 ，A是S的一个子集(即)，由S中所有不属于A的元
素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

记作： CsA 即 CsA ={x ? x?S且 x?A}

2. 全集

定义： 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就< br>可以看作一个全集。通常用U来表示。

如：把实数R看作全集U, 则有理数集Q的补集CUQ是全体无理数的集合。

例1(1)若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求CSA

(2)若A={0}，求证：CNA=N*。

(3)求证：CRQ是无理数集。

例2已知全集U=R，集合A={x|1≤2x+1<9｝，求CA。

例3 已知S={x|-1≤x+2<8｝，A={x|-2<1-x≤1｝，

B={x|5<2x-1<11｝，讨论A与CB的关系。

三 练习：P10(略)

1、已知全集U={x|-1

(A)a<9 (B)a≤9 (C)a≥9 (D)1

2、已知全集U={2，4，1-a｝，A={2，a2-a+2｝。如果CUA=

{-1｝，那么a的值为 。

3、已知全集U，A是U的子集，是空集，B=CUA，求CUB，CU，CUU。

(CUB= CU(CUA，CU=U，CUU=)

4、设U={梯形｝,A={等腰梯形｝,求CUA.

5、已知U=R，A={x|x2+3x+2<0｝, 求CUA.

6、集合U={(x，y)|x∈{1,2｝,y∈{1,2｝｝ ,

A={(x，y)|x∈N*,y∈N*,x+y=3｝，求CUA.

7、设全集U(UΦ)，已知集合M，N，P，且M=CUN，N=CUP，则M与P的关系
是( )

(A) M=CUP，(B)M=P，(C)MP，(D)MP.

四 小结：全集、补集

五 作业 P10 4，5

1.2 第三教时

一、复习：子集、补集与全集的概念，符号

二、讨论：1.补集必定是全集的子集，是否必是真子集?什么时候是真子集?

2.A?B 如果把B看成全集，则CBA是B的真子集吗?什么时候(什么条件
下)CBA是B的真子集?

3. 研究

三、例题

例一 设集合CUA={5}，求实数a的值.

例二 设集合

例三 已知集合且A中至多只有一个奇数，写出所有满足条件的集合.

例四 设全集U={2,3,},A={b,2},={b,2},求实数a和b的值.

(a=2、-4,b=3)

四、 作业

《精析精练》P9 智能达标训练

1.3 交集与并集(3课时)

教学目的： 通过实例及图形让学生理解交集与并集的概念及有关性质。

(1)结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念;

(2)掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集;

教学重点：交集和并集的概念

教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系

教学过程：

一、复习引入：

1.说出 的意义。

2.填空：若全集U={x|0≤x<6，X∈Z}，A={1，3，5}，B={1，4}，那么CUA= ,CUB= .

3.已知6的正约数的集合为A={1，2，3，6}，10的正约数为 B={1，2，5，
10}，那么6与10的正公约数的集合为C= .

4. 如果集合 A={a,b,c,d} B={a,b,e,f}用韦恩图表示(1)由集合A,B的公
共 元素组成的集合;(2)把集合A,B合并在一起所成的集合.

公共部分 A∩B 合并在一起 A∪B

二、新授

定义： 交集： A∩B ={x|x?A且x?B} 符号、读法

并集： A∪B ={x|x?A或x?B}

例题：例一 设 A={x|x>-2},B={x| x<3},求.

例二 设 A={x|是等腰三角形},B={x| 是直角三角形},求.

例三 设 A={4，5，6，7，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B.

例四 设 A={x|是锐角三角形},B={x| 是钝角三角形},求A∪B.

例五 设 A={x|-1

例六 设A={2,-1,x2-x+1}, B={2y,-4,x+4}, C={-1,7} 且A∩B=C求x,y.

解：由A∩B=C知 7?A ∴必然 x2-x+1=7 得

x1=-2, x2=3

由x=-2 得 x+4=2?C ∴x?-2

∴x=3 x+4=7?C 此时 2y=-1 ∴y=-

∴x=3 , y=-

例七 已知A={x|2x2=sx-r}, B={x|6x2+(s+2)x+r=0} 且 A∩B={}求A∪B.

解： ∵?A且 ?B ∴

解之得 s= ?2 r= ?

∴A={?} B={?}

∴A∪B={?,?}

练习P12

三、小结： 交集、并集的定义

四、作业：课本 P13习题1、3 1--5

补充：设集合A = {x | ?4≤x≤2}, B = {x | ?1≤x≤3}, C = {x |x≤0
或x≥ },

求A∩B∩C, A∪B∪C。

1.3 第二教时

复习：交集、并集的定义、符号

授课： 一、集合运算的几个性质：

研究题 设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5} B = {4，
7，8}

求：(CU A)∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B)

若全集U, A,B是U的子集，探讨 (CU A)∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B),
CU (A∩B) 之间的关系.

结合韦恩图 得出公式：(反演律)

(CUA)∩( CU B) = CU(A∪B)

(CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)

另外几个性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,

A∪A = A, A∪φ= A , A∪B = B∪A.

(注意与实数性质类比)

例8. 设 A = {x | x2?x?6 = 0} B = {x | x2+x?12 = 0}，求 A∪B

二、关于奇数集、偶数集的概念及一些性质

例9. 已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，

求A∩B，A∩Z，B∩Z，A∪B，A∪Z，B∪Z.

练习 P13

三、关于集合中元素的个数

规定：有限集合A 的元素个数记作： card (A) 作图 观察、分析得：

card (A∪B) ? card (A) + card (B)

card (A∪B) = card (A) +card (B) ?card (A∩B)

五、作业： 课本 P14 6、7、8

1.3 第三教时

例1.如图(1) U是全集，A，B是U的两个子集，图中有四个用数字标出的
区域，试填下表：

区域号 相应的集合 1 CUA∩CUB 2 A∩CUB 3 A∩B 4

CUA∩B 集合 相应的区域号 A 2，3 B 3，4 U 1，2，3，4 A∩B
3

图(1) 图(2)

例2.如图(2) U是全集，A，B，C是U的三个子集，图中有8个用数字标

出的区域，试填下表： (见右半版)

区域号 相应的集合 1 CUA∩CUB∩CUC 2 A∩CUB∩CUC 3
A∩B∩CUC 4 CUA∩B∩CUC 5 A∩CUB∩C 6 A∩B∩C 7 CUA∩B∩C 8
CUA∩CUB∩C 集合 相应的区域号 A 2，3，5，6 B 3，4，6，7 C 5，
6，7，8 ∪ 1，2，3，4，5，6，7，8 A∪B 2，3，4，5，6，7 A∪C 2，3，
5，6，7，8 B∪C 3，4，5，6，7，8 例3.已知：A={(x,y)|y=x2+1,x?R} B={(x,y)|
y=x+1,x?R }求A∩B。

例4. 设集合.

例5. 已知集合(1)判断B,C,D间的关系; (2)求A∩B.

例6. 已知集合

若.

作业： 《精析精练》P15 智能达标训练

集合 单元小结(2课时)

教学目的： 小结、复习整单元的内容，使学生对有关的知识有全面系统的
理解。

一、复习：

1.基本概念：集合的定义、元素、集合的分类、表示法、常见数集

2.含同类元素的集合间的包含关系：子集、等集、真子集

3.集合与集合间的运算关系：全集与补集、交集、并集

4. 主要性质和运算律

(1) 包含关系：

(2) 等价关系：

(3) 集合的运算律：

交换律：

结合律:

分配律:.

0-1律：

等幂律：

求补律：

反演律：(CUA)∩( CU B) = CU(A∪B)

(CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)

5.有限集的元素个数

定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为n(A). 规n(φ )=0.

基本公式：

(3)

二、例题及练习

1、用适当的符号(?，?， ， ，=，?)填空：

0 ?; 0 N; ? {0}; 2 {x|x?2=0};

{x|x2-5x+6=0} {2,3}; (0,1) {(x,y)|y=x+1};

{x|x=4k,k?Z} {y|y=2n,n?Z}; {x|x=3k,k?Z} {x|x=2k,k?Z};

{x|x=a2-4a,a?R} {y|y=b2+2b,b?R}

2、用适当的方法表示下列集合，然后说出其是有限集还是无限集。

① 由所有正奇数组成的集合; ({x=|x=2n+1,n?N} 无限集 注意自然数定
义)

② 由所有小于20的奇质数组成的集合;

③ 平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合;

④ 方程x2-x+1=0的实根组成的集合;( ? 有限集 )

⑤ 所有周长等于10cm的三角形组成的集合;

3、已知集合A={x,x2,y2-1}, B={0,|x|,y} 且 A=B求x,y。

4、求满足{1} A?{1,2,3,4,5}的所有集合A。

5、设U={x?N|x<10}, A={1,5,7,8}, B={3,4,5,6,9}, C={x?N|0≤2x-3<7}
求：

A∩B,A∪B,(CUA)∩(CUB), (CUA)∪(CUB),A∩C, [CU(C∪B)]∩(CUA)。

6、设A={x|x=12m+28n,m、n?Z}, B={x|x=4k,k?Z} 求证:1。 8?A 2。 A=B

7、设 A∩B={3}, (CUA)∩B={4,6,8}, A∩(CUB)={1,5}, (CUA)∪(CUB)

={x?N*|x<10且x?3} , 求CU(A∪B), A, B。

8、设A={x|?3≤x≤a}, B={y|y=3x+10,x?A}, C={z|z=5?x,x?A}且B∩C=C
求实数a的取值范围。

9、设集合A={x?R|x2+6x=0},B={ x?R|x2+3(a+1)x+a2?1=0}且A∪B=A求实
数a的取值范围。

10、方程x2?ax+b=0的两实根为m,n,方程x2?bx+c=0的两实根为p,q,其 中m、

n、p、q互不相等，集合A={m,n,p,q},作集合S={x|x=?+ ?,??A,??A且???}，
P={x|x=??,??A,??A且???},若已知S={1, 2,5,6,9,10},P={?7,?3,?2,6,

14,21}求a,b,c的值。

1.5一元二次不等式(4课时)

教学目的：

1.理解三个二次的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法;

2.初步掌握高次不等式、分式不等式的解法;

3.用数形结合的思想方法,处理简单的一元二次方程根的分布问题.

4.培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和
逻辑思维能力;

教学重点：图象法解一元二次不等式。

教学难点：字母系数的讨论;一元二 次方程一元二次不等式与二次函数的关
系。一元二次方程根的分布.

关键: 弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。

教学过程：

第一课时

一、复习引入：

讨论不等式3x-15>0(或<0)的解法。(分别用图象解法和代数解法)

二、讲解新课：

1. 画出函数的图象，利用图象讨论：

(1)方程=0的解是什么; (2)x取什么值时，函数值大于0;

(3)x取什么值时，函数值小于0。

2. 一般地，怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢? 关键要考虑以下两
点：

(1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况

(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号。

3.结论：

二次函数

()的图象 一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

三、讲解范例：

例1 (课本第19页例2)解不等式

例2 .

例3 (课本第19页例3)解不等式.

例4 (课本第20页)解不等式.

例5 解关于x的不等式

四、课内练习

(课本第21页)练习1-3.

五、作业:

课本第21页 习题1.5 1. 3. 5

1.5 第二课时(高次不等式、分式不等式解法)

一、复习引入：

1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。

2.一元二次不等式的解法步骤。

一元二次不等式的解.

3. 乘法(除法)运算的符号法则.

二、讲解新课：

⒈特殊的高次不等式解法

例1 解不等式.

分析：由乘法运算的符号法则结合数轴引导学生导出简单高次不等式的根
轴法.

思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数的特征图像

根轴法(零点分段法)

①将不等式化为(x-x1)(x-x2)...(x-xn)> 0(<0)形式，并将各因式x的系数
化为了统一方便)

②求根，并在数轴上表示出来;

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么?);

④若不等式(x的系数化后) 是则找线在x轴上方的区间;若不等
式是则找线在x轴下方的区间.

例2 解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0.

例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.

例4 解不等式：.

结论：分式不等式的解法

移项通分化为>0(或<0)的形式，转化为：

例5 解不等式：.

三、课堂练习：1.课本P21练习：3⑴⑵;2.解不等式.

2解不等式：.

四、作业

1. 解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.

2.若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.

1.5 第三课时(含参一元二次不等式)

一、复习引入：

1.函数、方程、不等式的关系

2.一元一次、一元二次、高次、分式不等式得解法及注意事项

二、讲解新课：

例1 解关于x的不等式：(x-+12)(x+a)<0.

例2 若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.

例3 已知关于x的二次不等式：a+(a-1)x+a-1<0的解集为R，求a的取值范
围.

例4 已知集合求实数a的取值范围

练习：已知(-1) -(a-1)x-1<0的解集为R，求实数a的取值范围.

三、作业

1.如果不等式x2-2ax+1≥(x-1)2对一切实数x都成立，a的取值范围是 。

2.如果对于任何实数x，不等式kx2-kx+1>0 (k>0)都成立，那么k的取值
范围是 。

3.对于任意实数x，代数式 (5-4a-)-2(a-1)x-3的值恒为负值，求a的取值
范围。

4.设α、β是关于方程 -2(k -1)x+k+1=0的两个实根，求 y= +关于k的
解析式，并求y的取值范围。

1.5 第四课时(一元二次方程实根的分布1零分布

教学目的：

1.掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法

2.培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力;

3.激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神。

教学重点：用韦达定理解含参二次方程的实根分布问题的基本方法。

教学难点：韦达定理的正确使用。

教学过程：

一、复习引入：

韦达定理：

方程()的二实根为、，则

二、讲解新课：

例1 当m取什么实数时，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分别有:

①两个正根; ②一正根和一负根;

③正根绝对值大于负根绝对值;④两根都大于1.

解 ：设方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根为、

①若方程4+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足：(无解)

∴此时m的集合是φ，即原方程不可能有两个正根.

②若方程4+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：

m<5.∴此时m的取值范围是m<5.

③若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：

m<2.

④错解：若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则正解： 若方程
4+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：

m∈φ.

∴此时m的取值范围是φ，即原方程不可能两根都大于1.

说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理.

例2.已知方程2(k+1)+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.

解：要原方程有两个负实根，必须:

.

∴实数k的取值范围是{k|-2

二、练习：

1.关于x的方程m+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m的取值范围是：

A.(-, +);B.(-,-);C.[-，+];D.(-,0)∪(0,+).

2.若方程-(k+2)x+4=0有两负根，求k的取值范围.

三、小结

用韦达定理解含参二次方程的实根分布问题的基本方法

四、作业(补充)：

1、若方程有两个负根，则实数的取值范围是 。

2、若方程的一个根大于4，另一个根小于4，求实数的取值范围。

3、若方程的两个实根都在和4之间，求实数的取值范围。

4、设α、β是关于方程 -2(k -1)x+k+1=0的两个实根，求 y= +关于k的
解析式，并求y的取值范围。

1.6逻辑联结词(2课时)

教学目的：了解命题的概念和含有或、且、非的复合命题的构成;理
解逻辑联结词或、且、 非的含义;理解掌握判断复合命题真假的方法;培
养学生观察、推理、归纳推理的思维能力。

教学重点(难点)：逻辑联结词或、且、非的含义及复合命题的构成、

对或的含义的理解及对命题真、假的判定.

教学过程：

第一课时

1.命题的定义：可以判断真假的语句叫命题。正确的叫真命题，错误的叫
假命题。

问题1 下列语句中哪些是命题，哪些不是命题?并说明理由：(1)12>6. (2)3
是15的约数. (3)0.2是整数. (4)3是12的约数吗?(5)x>2. (6)这是一棵大树.

命题的结构：主语- 连结词(判断词)-宾语;通常主语为条件，连结词和宾语
合为结论.

语句形式： 直言判断句和假言判断句.(把直言判断句改写成若...则...
的形式)

大前提与小前提：例 同一三角形中，等边对等角.

2.逻辑连接词

问题2(续问题1) (7)10可以被2或5整除;

(8)菱形的对角线互相垂直且平分; (9)0.5非整数。

逻辑联结词：或、且、非这些词叫做逻辑联结词。

3.简单命题与复合命题：

简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题。

复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。

复合命题构成形式的表示：常用小写拉丁字母p、q、r、s......表示命题。

如(7)构成的形式是：p或q;(8)构成的形式是：p且q;(9)构成的形式是：
非p.

例1：指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：

(1)24既是8的倍数，也是6的倍数; (2)李强是篮球运动员或跳高运动员;

(3)平行线不相交 (非平行线相交

例2 分别写出由下列命题构成的或q、且q、非p形式的复合命
题.

(1) p：方 程x2+2x+1=0有两个相等的实数根，q：方程x2+2x+1=0两根的绝
对值相等.

(2) p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和;

q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.

三、课堂练习：课本P26，1、2，

四、课时小结:(略)

五、课后作业：课本：P29，习题1.6：1 、2.;

1.6 第二课时

一、复习回顾

什么叫做命题?逻辑联结词是什么?什么叫做简单命题和复合命题?

二、讲授新课

P 非p 真 假 假 真 1、复合命题的真假判断

(1)非p形式的复合命题

例1：①如果p表示是10的约数，试判断非p的真假.

②p表示p表示什么?并判断其真假

结论 非p复合命题判断真假的方法是：当p为真时，非p为假;当p为假
时，非p为真。

(2)p且q形式的复合命题

例2：如果p表示是10的约数表示是15的约数表示是8 的约数
表示是16的约数。试写出p且q，p且r，r且s的复合命题，并判断其
真假，然后归 纳出其规律。结论如表二.

(3)p或q形式的复合命题

p q p或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 p q p且q 真 真 真 真
假 假 假 真 假 假 假 假 例3：如果p表示是12的约数表示 是15
的约数表示是8的约数表示是10的约数，试写出，p或r，q或s，
p或q的复合命题 ，并判断其真假，归纳其规律。

结论如表三.

(表二) (表三)

上述三个表示命题的真假的表叫做真值表。

2、运用举例

例4：分别指出由下列各组命题构成的或q，且q，非p形式的复
合命题的真假.

(1)p：2+2=5;q：3>2; (2)p:9是质数;q：8是12的约数;

(3)p：1∈{1，2};q：{1}{1，2};(4)p：?{0};q：?={0}。

例5：由下列各组命题构成或q、且q、非p形式的复合命题中，
或q为真，且q为假，非p为真的是( )

A、p：3是偶数，q：4为奇数; B、p：3+2=6，q：5>3;

C、p：a∈{a,b}，q：{a}{a,b} D、p：QR，q：N=Z

三、课堂练习：课本P28，1、2

四、作业：课本P29，习题1.6,3、4;

1.7四种命题(3课时)

教学目的：

1.理解四种命题的概念，掌握命题形式的表示;理解四种命题 的关系，并能
利用这个关系判断命题的真假。

2.理解反证法的基本原理;掌握运用反证法的一般步骤;并能用反证法证明
一些命题;

教学重点：四种命题的概念;理解四种命题的关系。

教学难点：逆否命题的等价性。

教学过程：

第一课时

一、复习回顾

什么叫做命题的逆命题?

二、讲授新课

1、四种命题的概念

阅读课本P29-30，思考下列问题：

(1)原命题、逆命题、否命题、逆否命题的定义分别是什么?

(2)原命题的形式表示为若p则q，则其它三种命题的形式如何表示?

如果原命题为：若p则q，则它的：

逆命题为：若q则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题;

否命题为：若┐p则┐q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题;

逆否命题为：若┐q则┐p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，
则得其逆否命题.

例 把下列三个命题改写成若p则q的形式，并写出它们的逆命题、否命
题、逆否命题：

(1)两直线平行，同位角相等;

(2)负数的平方是正数;

(3)四边相等的四边形是正方形.

三、课堂练习：课本P31：1、2

四、课时小结：

五、课后作业：

书面作业：P33，习题1.7，1、2;预习提纲：

(1)四种命题之间的关系是什么?

(2)一个命题与其它三个命题之间的真假关系如何?

1.7 第二课时

一、复习回顾

什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题?

二、讲授新课

1、四种命题之间的相互关系

请同学们讨论后回答下列问题：

(1)哪些之间是互逆关系?

(2)哪些之间是互否关系?

(3)哪些之间是互为逆否关系?

2、四种命题的真假之间的关系

例1原命题：若a=0,则ab=0.写出它的逆命题、 否命题、逆否命题，并判
断它们的真假.

原命题为真，它的逆否命题一定为真.

思考：原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何?

由上述讨论情况，归纳：

1.原命题为真，它的逆命题不一定为真.

2.原命题为真，它的否命题不一定为真.

3.原命题为真，它的逆否命题一定为真.

由上述归纳可知：两个互为逆否命题是等价命 题。若判断一个命题的真假
较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。

例2设 原命题是当c>0时，若a>b，则ac>bc.写出它的逆命题、否命题与
逆否命题，并分别判断它们 的真假。

分析：当c>0是大前提，写其它命题时应保留，原命题的条件是a>b,结< br>论是ac三、课堂练习：课本P32，1、2

四、课时小结

五、课后作业 书面作业：课本P33，3、4;预习：(课本P32-33)，预习提
纲：反证法证明 命题的一般步骤是什么?

1.7 第三课时

一、复习回顾

初中已学过反证法，什么叫做反证法?

从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方
法叫做反证法。

二、讲授新课

1、反证法证题的步骤

共分三步：( 1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立;(2)从假设
出发，经过推理，得出矛盾;(3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论
正确.

反证法是一种间接证明命题 的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运
用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证 明。

例：在ΔABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角。

在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时，必须将结论所
有反面的情况逐一驳证，才能肯 定原命题的结论正确.

2、例题讲解

例3：用反证法证明：如果a>b>0,那么。

例4：用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

已知：如图：在⊙0中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径。

求证：弦AB、CD不被P平分。

分析：假设弦AB、CD被P平分，连 结OP，由平面几何知识可推出：OP⊥AB
且OP⊥CD。又推出：在平面内过一点P有两条直线AB 和CD同时与OP垂直，这
与垂线性质矛盾，则原命题成立。

由上述两例题可看 ：利用反证法证明时，关键是从假设结论的反面出发，
经过推理论证，得出可能与命题的条件，或者与已 学过的定义、公理、定理等
相矛盾的结论，这是由假设所引起的，因此这个假设是不正确的，从而肯定了
命题结论的正确性。

例5：若p>0,q>0,p3+p3=2.试用反证法证明：p+q≤2.

证明：假设 p+q>2,∵p>0,q>0.则：(p+q)3=p3+3p2q+3pq2+q3>8.

又∵p3+q3=2。∴代入上式得：3pq(p+q)>6,即：pq(p+q)>2.(1)

又由p3+q3=2，即(p+q)(p2-pq+q2)=2代入(1)得：
pq(p+ q)>(p+q)(P2-pq+q2)，

但这与(p-q)2≥0矛盾，∴假设p+q>2不成立。故p+q≤2.

三、课堂练习：课本P33 1、2

四、课时小结

五、课后作业 ：书面作业，课本P34，习题1.7，5;预习提纲：充分条件与
必要条件的意义是什么?命题若p则 q的真假与p是q的充分条件，q是p的
必要条件的关系是什么?

1.8充分条件与必要条件(2课时)

教学目的：1.使学生正确理解充分条件、必要条 件和充要条件三个概念，
并能在判断、论证中正确运用.

2.增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基
础.

教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断。

教学难点：。充分性与必要性的推导顺序

教学过程：

第一课时

一、复习回顾： 判断下列命题的真假：

(1)若a>b,则ac>bc;(2)若a>b,则a+c>b+c;

(3)若x≥0,则x2≥0;(4)若两三角形全等，则两三角形的面积相等。

二、讲授新课

1、推断符号的含义

如果p成立，那么q一定成立，此时可记作。

如果p成立，推不出q成立，此时可记作。

2、充分条件与必要条件

定义：如果已知p==>q，那么就说：p是q的充分条件;q是p的必要条件。

应注意 条件和结论是相对而言的。由等价命题是
若q不成立，则p就不成立，故q就是p成立的必要条件了。但 还必须注意，q
成立时，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保证p一定成立。

讨论上述问题(2)、(3)、(4)中的条件关系：

3、例题讲解

例：指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

(1)p：x=y;q：x2=y2;

(2)p:三角形的三条边相等;q:三角形的三个角相等;

(3)p：x=1或x=2,q:x2-3x+2=0;(4)p：x=2或x=3,q:x-3=.

命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即
p==>q, 而qp;(2)必要不充分条件，即pq,而q==>p;(3)既充分又必要条件，即
p==>q，又 有q==>p;(4)既不充分也不必要条件，即pq，又有qp。

三、课堂练习：课本P35 1、2 四、课时小结：

五、课后作业：书面作业：课本P 36，习题1.8:1(1)、(2);2：(1)、(2)、
(3);

1.8 第二课时

一、复习回顾

一个命题条件的充分性和必要性可分为哪四类?

二、讲授新课：

1、充要条件

请判定下列命题的条件是结论成立的什么条件?

(1)若a是无理数，则a+5是无理数;

(2)若a>b,则a+c>b+c;

(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式Δ>0。

命题 (1)中因：a是无理数==>a+5是无理数，所以是无理数是是无
理数的充分条件;又因：a+5是 无理数==>a是无理数，所以是无理数又是
是无理数的必要条件。因此是无理数是是无理数既充分又必 要的条
件。

定义：如果既有p==>q，又有q==>p，就记作：pq.叫做 等价符号。pq表
示p==>q且q==>p。这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q 的
充分必要条件，简称充要条件。

2、例题讲解

例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在充分而不必要条件、必
要 而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选出一种)?

(1)p:(x-2)(x-3)=0;q:x-2=0;

(2)p：同位角相等;q：两直线平行。

(3)p：x=3，q：x2=9;

(4)p：四边形的对角线相等;q：四边形是平形四边形。

(5);q：2x+3=x2 .

例2 设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则或x∈P
件?

三、课堂练习：课本P36，练习题1、2

四、课时小结

五、作业 课本P37，习题1.8 1.(3)、(4) 2.(4)、(5)、(6) 3.

第一章复习与小结(3课时)

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分：

二、知识回顾：

(一) 集合

1. 基本概念：集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.

2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.

3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.

4. 集合运算：交、并、补.

5. 主要性质和运算律

6. 有限集的元素个数

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根轴法(零点分段法)

2.分式不等式的解法

3.含绝对值不等式的解法

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

(1)根的零分布：根据判别式和韦达定理分析列式解之.

(2)根的非零分布：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.

(三)简易逻辑

1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：

3、或、 且、 非的真值判断

4、四种命题的形式：

5、四种命题之间的相互关系：

6、充要条件 充分条件，必要条件，充要条件.

7、反证法.

三、例题

例1：集合A={x|x=, m∈Z, |m|<3, n∈N, n≤3},试用列举法将A表示出来.

例2：设全集，又集合求

(1); (2); (3)(C)(C);

(4)(C)(C); (5)C; (6)(C)

例3：设集合，同时满足下列条件：

(Ⅰ)(Ⅱ)，求α、β的值.

例4：解关于x的不等式.

例5：若关于x的方程有实数解，求实数m的取值范围.

例6：已知集合A=，B=，

(1)若，求实数a的取值范围.

(2)若AB，求实数a的取值范围.

例7：指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题
的真假

(1)菱形的对角线互相垂直平分

(2)

(3)

例8：设命题为若，则关于x的方程有实根，试写出它的逆命题，否命题
和逆否命题，并判 断它们的真假。

例9：已知x，y，z均为实数，且，，，求证：a，b，c中至少有一个大于0。

例1 0：命题p：一组对边平行的四边形是平行四边形;命题q：一组对边相
等的四边形是平行四边形。写出 由其构成的或q、且q、非p形式的复

合命题，并指出其真假。

α β γ δ θ λ μ π φ ω ± ? ∞ ∠ ∥ ∩ ∪ ( ( ? ? ? ?

( ≠ ≤ ≥ φ card( ) ?

第二章 函数

函数是高中数学的主线，也是高考的热点之一，根据新教材要求，本章的
教学目的要求和教 学中的注意事项如下：

一、教学目的要求

1.理解函数概念,了解映射的概念;

2.理解函数的单调性概念，掌握判断一些简单函 数的单调性的方法，并能
利用函数的性质简化函数图象的绘制过程;

3.了解反函数的概念，了解互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简
单函数的反函数;

4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质;

5.掌握指数函数的概念、图象和性质;

6.理解对数的概念，掌握对数的运算性质;

7.掌握对数函数的概念、图象和性质;

8.能够运用函数的概念、函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某
些简单的实际问题;

9.实习作业以函数应用为内容，培养学生应用函数知识解决实际问题的能
力。

10.在解题和证题过程中，通过运用有关的概念和运用函数的性质，培养学
生的思维能力 和运算能力;通过揭示互为反函数的两个函数之间的内在联系，以
及指数与对数，指数函数与对数函数之 间的内在联系，对学生进行辩证唯物主
义观点的教育;通过联系实际地引入问题和解决简单的带有实际意 义的某些问
题，培养学生用数学的意识，提高分析问题和解决实际问题的能力。

二、教学中应该注意的问题

(一)注意与初中内容的衔接

函数这 章内容是与初中数学最近的结合点。如果初中代数中的内容没有学
习好或遗忘的过多，学习本章就有障碍 。本章很多内容都是在初中的基础上讲
授的，如函数概念，要在讲授之前复习好初中函数及其图象的主要 内容，包括
函数的概念、函数图象的描绘，一次函数、二次函数的性质等等;又如指数概念
的扩 充，如果没有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识，有理
数指数幂就无法给出，运算性质 也是如此，因此在本章教学中要注意与初中所
学的有关内容的联系，做好初、高中数学的衔接和过渡工作 。

(二)注意数形结合

本章的内容中图象占有相 当大的比重，函数图象对于研究函数的性质起到
很重要的作用。通过观察函数图象的变化趋势，可以总结 出函数的性质。函数
与反函数的函数图象的关系也是通过图象变化特点来归纳的性质，指数函数的
性质、对数函数的性质本身就是由函数图象给出的。所以在本章教学中要特别
注意利用函数图象，使学 生不仅能从图象观察得到相应的性质，同时在研究性
质时也要有函数图象来印证的思维方式。在教学过程 中要注意培养学生绘制某
些简单函数图象的技能，记住某些常见的函数图象的草图，养成利用函数图象< br>来说明函数的性质和分析问题的习惯。

(三)注意与其他章内容的联系

本章是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识。
因此，要经常联系 前一章的内容来学习本章，又如学会二次不等式解集的表示
就要用到求函数的定义域或表示值域等知识上 来。简易逻辑中的充要条件在本
章中就要用到。同样本章学到的知识将在后续内容也要经常用到。因此， 要注
意与其他章节的联系，也要注意联系物理、化学等学科的知识内容来丰富和巩
固本章的内容 。

2.1函数 2.函数的表示法(4课时)

教学目的：

1.理解函数及映射的概念;明确决定函数的三要素：定义域、值域和对应法
则;

2. 能够正确理解和使用区间、无穷大等记号;

3.掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法.

4.培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念。

5.理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。

教学重点：理解函数的概念，函数的三要素及其求法;

教学难点：函数的概念，简单的分段函数及复合函数.

教学过程：

第一课时(2.1，2.2概念综述)

一、复习引入：

初中(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数?(课件第一页)

引导观察，(课件第二页)分析以上六个实例。注意讲清以下几点：

1.先讲清对应法则 ：然后，根据法则，对于集合A中的每一个元素，在集
合B中都有一个(或几个)元素与此相对应。
2.对应的形式：一对多(如(5))、多对一(如(2))、一对一(如(1)、(3))、 一
对0(4)

3.集合类型：数的集合与任意集合

二、讲解新课：

(一) 函数的概念

由课件第二页(1)、(2)、(3)的共性，引入函数的定义(课件第三页，函数
的定义)

强调函数的三要素.

函数符号表示是x的函数，有时简记作函数.

(二) 映射的概念(课件第三页，映射的概念、 一 一映射)

对映射的概念要强调下列两点：

1.映射的三要素;

2. 由映射的定义的关键字词概括出映射的特征：

①到B：映射是有方向的，A到B的对应与 B到A的对应往往不是同一
个对应,如若A到B是求平方，则B到A则是开平方，因此映射是有序的;< br>
②：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，
这是映射的存在性;

③：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它
对应，这是映射的唯一性;

④B中：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭
性.

(三)函数与映射的关系：

(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊映射 .这里 A, B为非空的
数集.

映射对集合A,B没有规定非空，集合A,B可以是数集，也可以是其它集
合.

(2)A：定义域，原象的集合;值域，象的集合,其中 ? B

：对应法则，?A， ?B

(四)已学函数的定义域和值域

1.一次函数:定义域, 值域;

2.反比例函:定义域, 值域;

3.二次函数:定义域,值域：当时，;当时.

(五)区间概念和记号(课件第四页)

(六)函数的表示法(参考课件第五页)

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.

⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做
函数的解析表达式，简称解析式 . 例如，s=60，A=，S=2,y=a+bx+c(a0),y=(x2)
等等都是用解析式表示 函数关系的.

优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任
意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示
的函数.

⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

例如，学生的身高 单位：厘米

学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高 125 135 140 156 138 172 167 158 169 数
学用表中的平方表、平方根表、三角函 数表，银行里的利息表，列车时刻表等
等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表

优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.

⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.

例如，气象台应用自动记录器描绘 温度随时间变化的曲线，课本中我国人
口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象 法表示函数
关系的.

优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变 化的趋势，这
样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.

三、例题

例1 求下列函数的定义域：

① ② ③ . ○4

四、作业

习题2.1 1，2，3

第二课时(2.1函数,2.2函数的表示法)

教学目的：

1. 理解函数的概念，映射的概念;

2. 初步掌握函数的表示法.

教学重点难点：函数，映射的三要素，分段表示函数的解析式.

教学过程：

一、复习：函数的概念，映射的概念，函数的表示法

二、例题

例1 已知函数=3-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).

例2下列函数中哪个与函数是同一个函数?

⑴;⑵;⑶

例3 下列各组中的两个函数是否为相同的函数?

①

②

③

○4

例5某种笔记本每个5元，买 x{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y(元)，试写
出以x为自变量的函数y的解析式，定义域， 值域，并画出这个函数的图像。

例6 国内投寄信函(外埠)，每封信函不超过20g付 邮资80分，超过20g而不
超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0

三、课堂练习：课本P51练习1，5，6; P56练习 1，2，3

四、作业 习题2.1 4，5，6(3)(4)(6)8

第三课时(2.1,2.2)

教学目的：1.初步掌握分段函数与简单的复合函数，会求它们的解析式，
定义域，值域.

2.会画函数的图象，掌握数形结合思想，分类讨论思想.

重点难点：分段函数的概念及其图象的画法.

教学过程：

一、 复习 函数的概念，函数的表示法

二、 例题

例1. 已知 . 求f(f(f(-1)))

(从里往外拆

例2. 已知f(x)=x2?1 g(x)=求f[g(x)]

(介绍复合函数的概念)

例3. 若函数的定义域为[?1，1]，求函数的定义域。

例4作出函数的图像

(先化为分段函数，再作图象)

例5.作函数y=|x-2|(x+1)的图像.

(先化为分段函数，再作图象.图象见课件第一页)

例6.作出函数的图象

(用列表法先作第一象限的图象，再根据对称性作第三象限的图象.
课件第二页，进一步介绍函数的图象，见课件第三页)

图象见

三、 课堂练习 课本P56 习题2.1 3，6

四、 作业 课本P56 习题2.1 4，5 ，《精析精练》P65 智能达标训练

第四课时(2.1，2.2)

教学目的：

1.掌握 求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);掌握二次函数
值域(最值)或二次函数在某一给 定区间上的值域(最值)的求法.

2.培养观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力;

教学重点：值域的求法

教学难点：二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法

教学过程：

一、复习引入：函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法
则;

定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定。 已学过的函数的值域

二、讲授新课

1.直接法：利用常见函数的值域来求

例1.求下列函数的值域

① y=3x+2(-1x1) ②

③ ④

2.二次函数比区间上的值域(最值)：

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①; ②;

③; ④;

3.判别式法(△法)：

判别式法一般用于分式函数，其分 子或分母中最高为二次式且至少有一个
为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论及函数的定义 域.

例3.求函数的值域

4.换元法

例4.求函数的值域

5.分段函数

例5.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

三、单元小结：函数的概念，解析式，定义域，值域的求法.

四、 作业：《精析精练》P58智能达标训练

2.3 函数的单调性(3课时)

教学目的：理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数的单 调性;能利
用函数的单调性及对称性作一些函数的图象.

教学重点：函数单调性的概念.

教学难点：函数单调性的证明

教学过程：

第一课时

教学目的：

(1)了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概
念的大致意思。

(2)理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念;并能根据函数的图
象指出单调性 、写出单调区间。

(3)掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单 调性定
义证明简单函数的单调性。

教学重点：函数的单调性的概念;

教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性。

一、复习引入：

观察 二次函数y=x2 ，函数y=x3的图象，由形(自左到右)到 数(在某一区
间内，当自变量增大时，函数值的变化情况)(见课件第一页图1，2)

二、讲授新课

⒈ 增函数与减函数

定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

⑴若当<时，都有f()

⑵若当<时，都有f()>f(),则说f(x) 在这个区间上是减函数(如图4).

说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个 区间而言的.有的函数
在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=(图1)， 当
x∈[0,+)时是增函数，当x∈(-,0)时是减函数.

若函数y=f( x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区
间具有(严格的)单调性，这一区 间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是
这一区间上的单调函数.

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

三、讲解例题：

例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象 ，根据图象说出

y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是 增函数还是减函数.

例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.

例3 证明函数f(x)=在(0,+)上是减函数.

例4.讨论函数在(-2,2)内的单调性.

三、练习 课本P59练习1，2

四、作业 课本P60 习题2.3 1，3，4

2.3 函数的单调性(第二课时)

教学目的：

1.. 巩固函数单调性 的概念;熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤;初步
了解复合函数单调性的判断方法.

2.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集.

教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤.

教学难点：单调性的综合运用

一、复习引入：

1.有关概念：增函数，减函数，函数的单调性，单调区间.

2.判断证明函数单调性的 一般步骤：(区间内)设量，作差(或比)，变形，

比较，判断.

二、讲解新课：

1.函数单调性的判断与证明

例1.求函数的单调区间.

2.复合函数单调性的判断

对于函数 和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调
性，则复合函数在区间具有单调性的规 律见下表：

增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘
增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为：同向得
增，异向得减或同增异减

证明：①设，且

∵在上是增函数，

∴，且

∵在上是增函数，∴.

所以复合函数在区间上是增函数.

(同理可证其余三种情况)

例2.求函数的值域，并写出其单调区间。

解：题设函数由和复合而成的复合函数，

函数的值域是，

在上的值域是.

故函数的值域是.

对于函数的单调性，不难知二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函
数;

二次函数区间上是减函数，在区间上是增函数。

当时，，即，或.

当时，，即，.

x [-1,0] (0,1) u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 减 增 y=f(g(x)) 增
减 增 减 综上所述，函数在区间、上是增函数;在区间、上是减函数。

三、课堂练习：课本P60练习：3，4

四、作业： 课本P60 习题2.3 6(2)，7

补充，已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)

2.3函数的单调性(第三课时)

教学目的：函数单调性的应用

重点难点：含参问题的讨论，抽象函数问题.

教学过程

一、 复习引入 函数单调性的概念，复合函数的单调性.

二、 例题.

例1. 如果二次函数在区间内是增函数，求f(2)的取值范围.

分析：由于f(2)=22-(a-1) ×2+5=-2a+11,f(2)的取值范围即一次函数y= -
2a+11的值域，固应先求其定义域.

例2. 设y=f(x)在R上是单调函数，试证方程f(x)=0在R上至多有一个实
数根.

分析：根据函数的单调性，用反证法证明.

例3. 设f(x)的定义域为，且在上的增函数，

(1) 求证f(1)=0;f(xy)=f(x)+f(y);

(2) 若f(2)=1,解不等式

分析：利用f(x)的性质，脱去函数的符号，将问题化为解 一般的不等式;
注意，2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).

例4. 已知函数.

(1) 当时，求函数f(x)的最小值;

(2) 若对任意恒成立，试求实数a的取值范围.

分析：(1)利用f(x)的单调性即可求最小值;

(2)利用函数的性质分类讨论解之.

例5.求函数的单调区间.

分析：利用复合函数的单调性解题.

令即函数的定义域为[-3，1];

再根据复合函数的单调性求出其单调区间.

三、作业：《精析精练》P73智能达标训练.

2.4反函数(三课时)

教学目的：1.掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数

2.互为反函数的图象间的关系.

3.反函数性质的应用.

教学重点：反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系.

教学难点：反函数的定义，反函数性质的应用.

教学过程：

第一课时

教学目的：1.掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数

2.互为反函数的图象间的关系.

教学重点：反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系.

教学难点：反函数的定义和求法。

教学过程：

一、复习引入：

由物体作匀速直线运动的位移公式s=vt,(其中速度v是常量)s是 时间t的
函数;可以变形为：，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数.

又如，在函数中，x是自变量，y是x的函数. 由中解出x，得到式子. 这
样，对于y在R中任何一个值，通过式子，x在R中都有唯一的值和它对应. 因
此，它也确 定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是yR，值域是
xR.

上述 两例中，由函数s=vt得出了函数;由函数得出了函数，不难看出，这
两对函数中，每一对中两函数之 间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是

互逆的;②它们的定义域和值域相反：即前 者的值域是后者的定义域，而前者的
定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.

二、讲解新课：

反函数的定义

设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到
x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A 中都有唯一的值和
它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y)
(yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成

开始的两个例子：s=vt记为，则它的反函数就可以写为，同样记为，则它
的反函数为：.

从映射的角度看，若确定函数y=f(x)的映射是定义域A到值域C的一一映
射，则它的逆映射f -1: (x=f -1(y)) C→A 确定的函数x=f -1(y)(习惯上记
为y=f -1(x))叫做函数y=f(x)的的反函数.

即，函数是定义域A到值域C的映射，而它的反函数是集合C到集合A的
映射，由此可知：

1. 只有一一映射确定的函数才有反函数.如(x?R)没有反函数,

而,有反函数是

2.互为反函数的定义域和值域互换.即函数的定义域正好是它的反函数 的

值域;函数的值域正好是它的反函数的定义域.且(如下表)：

函数 反函数 定义域 A C 值 域 C A 3. 函数与互为反
函数。即

若函数有反函数，那么函数的反函数就是.

三、例题：

例1.求下列函数的反函数：

①; ②;

③; ④.

小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明

⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到。

⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是
一一映射。

例2.求函数()的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像。

解：(略)

它们的图像为： 由图象看出，函数

()和它的反函数的图象关于直线y=x对称.

一般地，函数 的图象和它的反函数的图象关于直线y=x对称..

例3求函数 (?1

例4 已知= -2x(x≥2),求.

解法1：⑴令y=-2x，解此关于x的方程得，

∵x≥2，∴，即x=1+--①,

⑵∵x≥2，由①式知≥1，∴y≥0-- ②,

⑶由①②得=1+(x≥0，x∈R);

解法2：⑴令y=-2x=-1，∴=1+y，

∵x≥2，∴x-1≥1，∴x-1=--①,即x=1+,

⑵∵x≥2，由①式知≥1，∴y≥0,

⑶∴函数= -2x(x≥2)的反函数是=1+(x≥0);

说明：二次函数在指定区间上的反函数 可以用求根公式反求x，也可以用配
方法求x，但开方时必须注意原来函数的定义域.

四、课堂练习：课本P63练习：1-4

五、课后作业：课本第64习题2.4：1(2)(3)(4)(6)(7)(8);2.

2.4. 反函数(第二课时)

教学目的：

会利用互为反函数的定义，函数图象间的关系及相关性质解决有关问题.

教学重点：反函数性质的应用

教学难点：反函数性质的应用.

教学过程：

一、复习引入：

1.反函数的定义;

2.互为反函数的两个函数与间的关系：

定义域、值域互换，对应法则互逆 ，图象关于直线y=x对称;逆命题成立：
若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定是 互为反函数.

3.反函数的求法：一解、二换、三注明

二、例题：

例1.求函数的值域.

分析：用函数思想求值域，即由y=f(x)求出x=,则使 有意义的y值的集
合为原来函数的值域.

例2. 已知=(x<-1)，求;

解法1：⑴令=y=，则=，∵x<-1，∴x=-;且y=<0

∴= -(x<0);∴ =-2.

分析：由反函数的定义可知y=与y=中，x,y互换，即 y=中的x为y=中的
y, y=中的y为y=中的x，反之亦然.本题要求，即在函数=y=(x<- 1)中，当y=
时，求x的值.

解法2：令=，变形得=1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2.

例3.如果单调增函数y=与它的反函数y=的图象有交点，则交点必在直线y=x
上.

证明：若点(a,b)是函数y=与它的反函数y=的图象有交点，则b=f(a),b=,.

(1) 若a>b,则a=f(b)>b=f(a),即f(b)>f(a).

∵y=是增函数，∴b>a,这与a>b矛盾，∴a>b不成立.

(2)若a∵y=是增函数，∴bb矛盾，∴a

综(1)，(2)可得：a=b,即交点(a,b)在直线y=x上.

说明：题中的y=是单调增函数的条件不可少，反例见课件.

由例3的结论可知，若y= 是单调增函数，则方程利用这一点，可以帮助解决
一类较复杂的方程问题，如方程不易求解，这里，是单 调增函数，且它的反函
数是原方程等价于易得其解集为{1，2}.

例4.已知试求F(x)的最小值.

解：

∴F(x)的最小值是-90.

三、练习：课本P63-64练习：5，6，7

四、作业：课本P64习题2.4：3，4，5，6

2.4 反函数(第三课时)

教学目的：

1.求分段函数的反函数及较复杂函数的反函数;

2. 利用反函数解决相关综合问题。

教学重点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用

教学难点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用.。

教学过程：

一、复习引入：

1.反函数的定义;求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明

互为反函数的两个函数间的关系：

定义域，值域互换;x,y互换;

函数与的图象关于直线对称.

在对应区间同增 同减.

注意：反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得
到

2.函数、、、间的关系：

与、与互为反函数;

与、与为同一函数。

二、讲解例题：

例1. 设函数y==，求它的反函数.

分析：这里给出了分段函数，即在不同的x范围内有不同 的表达式，因此，
也应在不同的x范围内求其反函数.

(答案=.)

例2. 若点A(1,2)既在函数=的图象上，又在的反函数的图象上，求a,b的
值.

分析：求a,b，就要有两个关于a,b的方程，注意到原来函数与其反函数

x,y互换 ，则 A(1,2)和A'(2，1)都在图象上.

解：由A(1,2)在=上，则有 --①;

由A(1,2)在其反函数图象上，可知(2,1)也在函数=图象上，∴又有 --②，

解联立①②的方程组得a=-3,b=7.

例3.若，试求反函数.

分析：当已知函数是一个复合函数时，要求它的反函数，首先要求原来函
数解析表达式.

注意：在利用换元解题时，一定要注意新元(中间变量)的取值范围.

例4.若函数有反函数，求a的取值范围.

略解：

例5.若函数的图象与其反函数的图象总有公共点，求a的范围.

略解：问题等价于关于x的方程有实数解，求a的范围.

，注意到设一元二次方程的两根为x1,x2， ∵x1+x2=3, 方程x2-3x+a=0有
正根的条件是

例6.已知函数且函数f(x)具有反函数，求常数a 的取值范围.设a0 是满足
上述条件的a的最大值，当a= a0时，求f(x)的反函数.

略解：由题意知，f(x)在(-∞,-1]必为单调函数，故

当a= a0=2时，

则故其反函数为

三、作业：《精析精练》P78 智能达标训练

二次函数在区间上的最值问题

教学目的：1.根据函数的概念和函数的单调性研究二次函数 在区间的最
值;

2.进一步掌握数形结合相思和分类讨论思想.

教学重点：二次函数在区间上的最值问题

教学难点：含参问题的讨论.

教学过程：

一、 复习引入

1. 二次函数的概念和性质;

2. 单调函数的概念.

二、 例题

例1. 求函数当自变量x在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时

的x值.

(1)

例2. 求函数在区间[0,a]上的最值，并求时x的值.

例3关于x的方程有两个实根α，β，求α2+β2的最值.

例4.已知函数在区间[-1，1]上有最小值，记作g(a).

(1) 求g(a)的表达式;

(2) 求g(a)的最大值.

三、 作业

1. 函数yt=x2-mx+4(m>0)在[-3,2]上有最大值4，求a值.

2. 关于x的不等式上恒成立，求实数a的取值范围.

3. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年 市场行情得知，从二月一日起的300天
内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示; 西红柿的种植成
本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

(I)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t);

写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t);

(II)认定市场售价减去种植成本为纯收 益，问何时上市的西红柿纯收益最

大?

(注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天)

2.5 指数(第一课时- 根式)

教学目的：掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中。

教学重点：根式的概念性质

教学难点：根式的概念

教学过程：

一、复习引入：

1.整数指数幂的概念。

2.运算性质：

3.注意

① 可看作可归入性质(1) ∴==;

② 可看作 可归入性质(3) ∴==

二、讲解新课：

1.方根

⑴计算(可用计算器)

①= 9 ，则3是9的平方根

②=-125 ，则-5是-125的立方根

③若=1296 ，则6是1296 的 4次方根

④=693.43957 ，则3.7是693.43957的5次方根 .

⑵定义：

一般地，若 则x叫做a的n次方根。

2.根式

(1)根式定义：式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数

例如，27的3次方根 表示为，-32的5次方根表示为，的3次方根表示为;16的
4次方根表示为±，即16的4次方根有 两个，一个是，另一个是 -，它们绝对值
相等而符号相反.

(2)实数集内方根的规定：

①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数.记作：

②当n为偶数时，正数的n次方根有两个(互为相反数).记作：

③负数没有偶次方根，

④ 0的任何次方根为0

注：当a0时，0，表示算术根，所以类似= -2的写法是错误的.

3.根式的运算性质

根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：

①当n为任意正整数时，()=a.例如，()=27，()=-32.

②当n为奇数时，=a;当n为偶数时，=|a|=.

例如，=-2，=2;=3，=|-3|=3.

⑶根式的基本性质：，(a0).

注意，⑶中的a0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如.

用语言叙述上面三个公式：

⑴当根式有意义时，a的n次方根的n次幂是它本身.

⑵n为奇数时，实数a的n次幂的 n次方根是a本身;n为偶数时，实数a
的n次幂的n次方根是a的绝对值.

⑶ 若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的
根指数和被开方数的指数都乘以 或者除以同一个正整数，根式的值不变.

三、例题：

例1(课本第71页 例1)求值

① ② ③ ④ .去掉'a>b'呢?

例2求值：

分析：(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性
质;

(2)根式的乘、除常化小数为分数;异次根式相乘要化为同次根式再相乘.

四、作业：习题2.5 1.

补充：1.计算：.

2.化简：.

2.5 指数(第二课时-分指数1)

教学目的：

1.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质.

2.会对根式、分数指数幂进行互化.

教学重点：分数指数幂的概念与运算性质.

教学难点：对分数指数幂概念的理解.

教学过程：

一、复习引入：

1.整数指数幂的运算性质：

2.根式的运算性质：

①当n为任意正整数时，()=a.

②当n为奇数时，=a;当n为偶数时，=|a|=.

⑶根式的基本性质：，(a0).

3.引例：当a>0时

①

②

③

④

二、讲解新课：

1.正数的正分数指数幂的意义

(a>0,m,n∈N*,且n>1)

要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是根式与分数指
数幂可以进行互化.

2.规定：

(1) (a>0，m,n∈N*,且n>1)

(2)0的正分数指数幂等于0.

(3)0的负分数指数幂无意义.

规定了分数指数幂的意义以后，指数的概 念就从整数推广到有理数指数.当
a>0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对 于任意有理
数r,s,均有下面的运算性质.

3.有理指数幂的运算性质:

说明：若a>0，P是一个无理数，则表示一个确定的实数 ，上述有理指数幂
的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.
三、讲解例题：

例1求值：.

例2用分数指数幂的形式表示下列各式：

(式中a>0)

例3计算下列各式(式中字母都是正数)

分析：(1)题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底

数幂相乘除，并且要注意符号。

(2)题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。

例4计算下列各式：

分析：(1)题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。

(2)题按多项式除以单项式的法则处理，并把根式化成分数指数幂的形式

再计算。

四、练习：课本P14练习

五、作业：

1.课本P75习题2.5 2.(2)(4)(6)，3.(2)(4)，4.(2)(4)(6)

2.5 指数(第三课时)

教学目的：巩固根式和分数指数幂的概念和性质，并能熟练应用于有理 指
数幂的概念及运算法则进行相关计算。

教学重点：根式和分数指数幂的概念和性质。

教学难点：准确应用计算.

教学过程：

一、复习引入：用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

二、例题：

例1 计算下列各式：

例2 化简：

例3 已知,求下列各式的值：

(1)a+a-1,

分析：利用初中学过因式分解知识，设法从整体寻求结果与条件 的联系.

例4 若.求S的值.(结果可用分数指数表示)

分析：问题则易于解决.

三、练习：

1.练习：课本第78页 练习：4;习题：*6⑴，*7⑴.

四、作业：《精析精练》P83 智能达标训练.

课 题：2.6.1 指数函数1

教学目的： 理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的
性质.

教学重点：指数函数的图象、性质。

教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系.

教学过程：

一、复习引入：

引例(P57)：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，....... 1
个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么?

分裂次数：1，2，3，4，...，x

细胞个数：2，4，8，16，...，y

由上面的对应关系可知，函数关系是.

在中,指数x是自变量，底数2是一个大于0且不等于1的常量.

二、新授内容：

1.指数函数的定义：

函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。

探究1：为什么要规定a>0,且a1呢?

探究2：函数是指数函数吗?

2.指数函数的图象和性质：

在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，的图象.

列表如下：

x ... -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 ... y= ... 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4
2 4 8 ... y= ... 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 ...

我们观察y=，y=的图象特征，就可以得到

的图象和性质。

a>1 0

图

象

性

质 (1)定义域：R (2)值域：(0，+∞) (3)
过点(0，1)，即x=0时，y=1 (4)x>0时，y>1;x<0时，00时，0<0时，y>1.
(5)在 R上是增函数 (5)在R上是减函数 三、例题：

例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1 年剩留的这种物质是原
来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少
年，剩量留是原来的一半(结果保留1个有效数字)。

分析：通过恰当假设，将 剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、

描点、作图，进而求得所求。

解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y。

经过1年，剩留量y=1×84%=0.841;

经过2年，剩留量y=1×84%=0.842;

......

一般地，经过x年，剩留量 y=0.84

根据这个函数关系式可以列表如下：

x 0 1 2 3 4 5 6 y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
出指数函数y=0.84x的图象。从图上看出y=0.5只需x≈4.

答：约经过4年，剩留量是原来的一半。

例2 (课本第81页)比较下列各题中两个值的大小：

①，; ②，; ③，

四、练习：⑴比较大小： ,

⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：

m < n;m < n.

⑶比较下列各数的大小： ，

用描点法画

五、课后作业：课本P73 习题2.6 1，2, 3, 4, 5.

2.6 指数函数(第二课时)

教学目的：

1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质。

2.掌握指数形式的复合函数的定义域、值域，判断其单调性;

教学重点：指数形式的函数定义域、值域

教学难点：判断单调性.

教学过程：

一、复习引入：

的图象和性质。(见课件)

二、讲授范例：

例1求下列函数的定义域、值域：

⑴ ⑵ ⑶

(1) 题析解：函数由复合而成，由x-1≠0得x≠1， 所以，所求函数定义
域为;

又，故函数的值域为.

(2)该函数看成由函数复合而成.

由5x-1≥0得

所以，所求函数定义域为;

又由 ≥0得y≥1

所以，所求函数值域为.

(3)(略)

例2求函数的单调区间，并证明

解法1(定义法，求商比较)

解法二、(用复合函数的单调性)：

设： 则：.根据二次函数和指数函数的单调性，列表：

x 减 减 减 增 增 减 ∴在是增函数，在 是减函数

引申：求函数的值域 ()

例3设a是实数，

试证明对于任意a,为增函数;

分析：此题虽 形式较为复杂，但应严格按照单调性的定义进行证明。还应
要求学生注意不同题型的解答方法。

(1)证明：设∈R,且

则

由于指数函数 y=在R上是增函数,且,

所以即，

又由>0得+1>0, +1>0

所以<0即

因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数。

评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及
单调性。

三、练习：

求下列函数的定义域和值域：

⑴ ⑵

四、作业：课本P73习题2.6 3，4，5

2.6 指数函数(第三课时)

教学目的：了解函数图象的变换;能运用指数函数的图象和性质解决一些简
单问题.

教学重点：函数图象的变换;指数函数性质的运用

教学难点：函数图象的变换;指数函数性质的运用.

教学过程：

一、复习引入：指数函数的定义、图像、性质(定义域、值域、单调性)

二、新授内容：

解：⑴作出图像，显示出函数数据表

x -3 -2 -1 0 1 2 3 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 0.25 0.5 1 2 4 8 16 0.3125
0.625 0.125 0.25 0.5 1 2

比较函数y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向左平行移动1个单位长度，
就得到函 数y=的图象，

比较函数y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向右平行移动2个单 位长度，
就得到函数y=的图象。

例2 ⑴已知函数 ，求定义域、值域，并探讨与图像的关系。

解： 定义域：x?R 值域：

关系：将的图像y轴右侧的部分翻折到y轴左侧的到的图像，关于y轴对
称.

⑵已知函数 作出函数图像，求定义域、值域，并探讨与图像的关系。

解： 定义域：x?R 值域：

关系：将(x>1)的图像在直线x=1右 侧的部分翻折到直线x=1左侧得到的图
像，是关于直线x=1对称

⑵推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：

基本函数图象 +变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称
图或翻转等方法，得到我们所要求作的复合 函数的图象，目前，我们遇到的有
以下几种形式：

函 数 y=f(x) y=f(x+a) a>0时，向左平移a个单位;a<0时，
向右平移|a|个单位. y=f(x)+a a>0时，向上平移a个单位;a<0时，向
下平移|a|个单位. y=f(-x) y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=-f(x) y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x)
y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称. y=f(|x|) y=f(|x |)的图
象关于y轴对称，x0时函数即y=f(x)，所以x<0时的图象与x0时y=f(x)的图 象
关于y轴对称. y=|f(x)| ∵，∴y=|f(x)|的图象是y=f(x)图象局 部翻
转(x轴下方部分翻转1800)所得图象的组合. y= y=与y=f(x)的图象关
于直线y=x对称. 例3观察函数和 的图象的关系，(课件第3页)并证明关于
y轴对称。

例4利用函数 的图象作 函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程无

解?有一解?有两解?

(见课件第4页)

四、课后作业：

课本P102复习参考题二 A组 13 B组 1，2，6.

2.6指数函数(第四课时)

教学目的：利用指数函数的概念和性质解题

重点难点：综合应用相关概念和性质

教学过程：

一、 复习：复习指数函数的性质，二次函数的单调性.

二、 例题

例1. 求函数的单调区间和值域.

分析：由的单调性，根据复合函数单调性的求法确定函数的单调区间.

由及y=3u的单调性求函数的值域;注意y>0学生容易遗漏.

例2. 设.x为何值时，有(1)y1=y2 ;(2)y1分析：(1)利用同底数幂相等，指
数相等，把问题转化为代数方程求解.

(2)注意分类讨论，根据指数函数的单调性转化为一元二次不等式求解.

例3.已知函数.

(1)求f(x)的定义域和值域; (2)讨论f(x)的单调区间.

思路引导：(1)求值域中，由题设得后应注意到ax>0;问题转化为关于y 的
分式不等式.

(2)无论a>0还是0

例4.已知试求函数的定义域.

分析：再分b>a和a

三、作业：《精析精练》P88 智能达标训练

2.7对数(第一课时， 对数的概念)

教学目的：理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化;

教学重点：对数的概念

教学难点：对数概念的理解.

教学过程：

一、实例引入：

假设2002年我国国民生产总值为 a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过
多少年国民生产总值是2002年的2倍?

抽象出： =2x=?

也是已知底数和幂的值，求指数。怎样求呢?

二、新授内容：

1.对数的定义：一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 b叫做 a
为底 N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数。

例如：

;

根据对数的定义可知：底数的取值范围;真数的取值范围范围，即负数与零
没有对数.

2.对数中几个常用的恒等式：

(1); (2)

(3)对数恒等式

如果把 中的 b写成 , 则有

3.常用对数和自然对数：

(1)常用对数.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数 。为了简便,N的常
用对数简记作lgN.

例如：简记作lg5 ; 简记作lg3.5.

(2).自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.7 1828......为底的对
数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数简记作lnN .

例如：简记作ln3 简记作ln10

三、讲解范例：

例1将下列指数式写成对数式：

(1)=625 (2)= (3)=27 (4) =5.73

例2 将下列对数式写成指数式：

(1); (2)128=-7;

(3)lg0.01=-2; (4)ln10=2.303

例3计算： ⑴，⑵，⑶，⑷

四、练习：课76 1-4

1.把下列指数式写成对数式

(1) =8 (2)=32 (3)=(4)

2.把下列对数式写成指数式

(1) 9=2 (2)125=3

(3)=-2 (4)=-4

五、作业：课本P79 习题2.7 1，2

2.7(第二课时，对数的运算性质)

教学目的：

1.掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程;

2.能较熟练地运用法则解决问题;

教学重点：对数运算性质

教学难点：对数运算性质的证明方法.

教学过程：

一、复习引入：

1.对数的定义 其中 a 与 N。

2.指数式与对数式的互化

3.重要公式：

⑴负数与零没有对数; ⑵， ⑶对数恒等式

4.指数运算法则

二、新授内容：

1.积、商、幂的对数运算法则：

如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有：

运算法则推导 用定义法：运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指
数式，并利用幂的运算性质进 行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对
数式。(推导过程略)

注意事项：

1?语言表达：积的对数 = 对数的和简易表达--记忆用)

2?注意有时必须逆向运算：如

3?注意定义域： 是不成立的

是不成立的

4?当心记忆错误：

2.常用对数的首数和尾数 (大纲未要求，只用实例介绍)

科学记数法：把一个正数写成10的整数次幂乘一位小数的形式，即

若N>0,记，则l gN=n+lgm,其中这就是说，任何一个正数的常用对数都可以
写成一个整数加上一个零或正纯小数 的形式.我们称这个整数为该对数的首数，

这个零或正纯小数为该对数的尾数.

如：已知则

三、例题：

例1 计算

(1)25， (2)1， (3)(×)， (4)lg

例2 用，，表示下列各式：

例3计算：

(1)lg14-2lg+lg7-lg18 (2) (3)

(1) 分别用对数运算性质和逆用运算性质两种方法运算(答案：0).

四、课堂练习：课本P78 1，3

1. 用lgx，lgy，lgz表示下列各式：

(1) lg(xyz); (2)lg; (3); (4)

2.求下列各式的值：

(1)6-3 (2)lg5+lg2

(3)3+ (4)5-15

五、作业：课本P79习题2.7 3.(1)(3)(5)，4.(1)(5)(6)，5.(3)(5)(6 )，
6.(3)(4)

2.7(第三 课时 对数的换底公式)

教学目的：掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。

教学重点：换底公式及推论

教学难点：换底公式的证明和灵活应用.

教学过程：

一、 复习：对数的运算法则

导入新课：对数的运算的前提条件是同底，如果底不同怎么办?

二、新授内容：

1.对数换底公式：

( a > 0 ,a ? 1 ，m > 0 ,m ? 1,N>0)

证明：设 N = x , 则 = N

两边取以m 为底的对数：

从而得： ∴

2常用的推论:

①，

② ( a, b > 0且均不为1,m≠0)

○3

三、例题：

例1 已知 3 = a， 7 = b, 用 a, b 表示 56

例2计算：① ②

例3设 且

(1) 求证 (2) 比较的大小。

例4已知x=c+b，求x

分析：由于x作为真数 ，故可直接利用对数定义求解;另外，由于等式右端
为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可 考虑将c移到等式左端，或
者将b变为对数形式。

例5 计算：

例6.若 求 m

四、课后作业：

1.证明：