开学安全教育第一课-无忧雅思口语机经

张奠宙：小学数学教材中概率统计内容述评
21世纪的数学课程改革，把概率统计作为 一个单独的领域进入小学数学课
程，这是一个重大的举措，具有里程碑意义。现在，各地的小学数学教材 已经编
写了统计和概率内容，并且付诸教学实践，取得了许多有益的经验。但是，前进
的道路上 ，总会有一些问题。“摸着石头过河”，一步一个脚印，以求逐步得到
完善。
一、小学数学中为什么要列入“统计与概率”？
从《数学课程标准（实验稿）》的规定来看， 其内容是“研究现实生活中的
数据和客观世界中的随机现象，通过对数据收集、整理、描述和分析，以及 对事
件发生可能性的刻画，来帮助人们作出合理的推断和预测。”
具体内容包括以下六项：
1、描述统计。包括整理数据、列表、直方图、扇形图等。
2、数据的代表数。平均数、中位数、众数。
3、可能性。包括等可能事件的概率、几何概率。
4、频率和概率、样本和总体
5、加权平均、方差
6、树状图计算概率
前三项是小学阶段的学习内容，后三项是初中阶段的内容。这意味着：
1、小学以统计为主、概率为辅。统计的主要内容是数据处理。
2、数据处理有两类：描述统 计和数理统计。小学阶段主要是描述统计，还
很少用概率手段来处理数据；但要有随机的意识，适度沟通 统计和概率。
3、用概率推断和预测需要随机变量分布知识。小学里无法用概率方法进行
推测 和预测，只能是一些猜想，属于没有证明的合情推理。
这样一来，小学里把统计和概率放在一个学习领 域，只是提供一般的素养，
为中学打基础，小学的概率还不能和统计发生有机联系。小学数学里“统计” 和
“概率”两张皮的现象难以避免。不过，我们可以适当进行渗透。
此外，由于小学数学的教 学内容还不能进行概率计算，所以老是停留在可能
性的认识上，各个年级的差别很小，几乎在原地踏步。 因此，修改中的课程标准
有意将小学阶段的概率统计内容有所消减。

二、九年义务教育阶段中概率和统计怎样结合
画统计图、求平均数，是小学里 学习统计的主要内容，这些至少原本小学里
就有，只是不和概率挂钩。那么统计内容怎样和概率联系起来 呢？具体途径是：
a)从频率到概率
b)从平均数到“数学期望”
c)从普查到抽样
d)从样本的参数估计总体
这四项都是中学甚至大学的内容，但是，小学也会有所涉及，需要注意把握、
适当渗透。 ●小学里，设计随机事件（摸球）发生的频率，就是将频率当概率看。不过，
这要基于大数定理，我 们要区分理论概率和经验概率（频率）
●小学里学过百分比以后，大量接触某事件发生的频率，如次品 率、交通事
故率、出生率等。可以用这些频率当作概率推测。
●某项抽奖活动，中奖机会万分之一，奖金一万元，那么期望值是一元，根
据期望值决策。
●去掉一个最高（低）分的作用是删除一些随机因素。
●用小范围调查估计总体，涉及抽样调查和回归分析。
这些地方多少涉及一些随机因素，但在数据中都没有仔细处理，需要改造。
三、一些基本的概率思想——麻将为什么不能产生概率论？
仅仅知道“可能性”，甚至能够算 一点概率，并不能自发产生概率论，那些
打麻将很精的人，一定知道随机现象，知道“可能性”有大小， 而且能够大体估
算。例如，知道怎样做麻将牌容易“和”，怎样做则不容易。他们也知道所谓一
付牌“番数”高，就是难“和”的缘故。但是，这些不会产生概率论。
实际上，这些关于“可能性”有 大小的概率思考，不上学，老师不教也能懂。
但是，现在小学里教的往往还是这些“不教就懂”的东西。 所以，我认为，目前
小学数学中的概率教学，在思想深度上是不够的。
小学里概率论的基础思想是以下几点：
1、大数定理
大数定理是指在随机试验中， 每次出现的结果不同，但是大量重复试验出现

的结果的平均值却几乎总是接近于某个确定 的值。其原因是，在大量的观察试验
中，个别的、偶然的因素影响而产生的差异将会互相抵消，从而使现 象的必然规
律性显示出来。例如，观察个别或少数家庭的婴儿出示情况，发现有的生男，有
的生 女，没有一定的规律性，但是通过大量的观察就会发现，男婴和女婴占婴儿
总数的比重均会趋于50%。
该定律是切贝雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现
的频率将几乎接近于 其发生的概率，即频率的稳定性。
小学数学应该在一定的情况下渗透大数定理的思想。课堂里区区每人 抛20
次硬币，50个人合起来不过抛1000次硬币，太少了。要抛多少次才能判断“硬
币国 徽朝上”接近二分之一，可以到科技馆里观察操作，也可以用计算机软件处
理。
2、数学期望
数学期望是随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大
小，又称期望或均值 。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家
庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩 子的家庭有9万个，有两个孩子的家
庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一 个家庭中孩子的数
目是一个随机变量，它可以取值0、1、2、3，其中取0的概率为0.01，取1的
概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03。它的数学期望为
0×0.01 +1×0.9+2×0.06+3×0.03，等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩
1.11个 。
帕斯卡分配赌金的故事，可以在小学高年级出现，这是经典。2002年，中
央电视台10 频道和观众互动节目中有这样的题目：
“甲乙两人出赌资5个金币，形成10个金币的赌资。规定最先 赢得5局的
人获胜。现在进行了7局，甲赢4局，乙赢3局，因故不得不终止。问这些赌资
该如 何分配。”
问电视台演播厅的听众，三位都说按照七分之四和七分之三分配。
但是，按照概 率论的思考是，两人在每一局的获胜机会都一样，即二分之一。
现在规定再赛一局——第8局。
甲的形势是：若甲赢第8局，则得到全部10个金币，但赢的概率是二分之

一，所以， 期望值是5个金币。若甲输，那么甲乙打平，甲得一半5个金币。但
输掉的概率也是二分之一。所以得到 2.5个金币。合起来，甲总得7.5个金币。
分析乙的形势，则只有在自己赢得第8局的情况下，才 能获得一半的赌资，
这样的概率只有二分之一，所以乙的期望值是2.5个金币。
这是165 4年法国数学家帕斯卡和费马通信中的思考。把赌金和输赢概率结
合起来（相乘）以得到期望值，解决了 这一赌金分配问题。这里用了“期望”的
字眼，正是这一使用“期望值”的案例，标致这概率论的诞生。
3、删除数据中的一些偶然因数：平均数与中位数
数据处理中最常用的是平均数。但是，过去 的平均数教学，只是会计算而已，
没有考虑到数据中的随机因素。现在提出中位数，就显示出随机的意义 。测量会
产生误差，其中有随机因素存在，取平均数可以避免个别因素的作用。这就是说，
平均 数注意到每一个数据的作用，是一种全面考虑。
关于中位数。中位数，代表中等水平。要知道某同学在 本班的数学成绩是“中
上”还是“中下”，必须看中位数，看平均数有时不行。
●去掉最高分 、最低分和中位数的关系。去掉一个最高（低）分，是走向中
位数的第一步。如果不断地去掉最高最低， 最后剩下的就是中位数。中位数的目
的就是删除一些随机因素。
例如：4个数据的中位数=“去掉一个最高最低”之后的平均
6个数据的中位数=“去掉两个最高最低”之后的平均
●中位数的特征是比它大的数据和比它 小的数据一样多。所以要问居于“多
数”还是“少数”，要以中位数为准则。例如在本班数学成绩中位数 以上的分数
是“中等偏上”。
●高于平均数据不一定表示中上水平。
举例略。
目前各种教材中很少涉及中位数，应该多加应用。
附录：关于“算术平均数”理解的四个水平
本义性理解水平。指平均数能代表一组数据的“普 通水平”或“一般水
平”。平均数是社会上使用最广泛的数学概念之一。在报刊和文件上，频繁地出现我国“人均”数据：人均收入、人均土地、人均水资源，以及住房平均价格、

某公 司职员的平均工资、某学生各科平均成绩等等，可以说“平均”的字样无处
不在。平均的概念到处都有。
特异性理解水平。指平均数易受到极端值影响。在一些特异情况下可能不代
表“普通水平”和“ 中等水平”。
加权性理解水平。一般平均数经拓展后得到加权平均数概念。一般平均数是
将数 据组中的各个数据等同看待的，而许多现实问题中采集的数据具有不同的重
要性。当数据具有不同重要性 时，必须考虑赋予数据相应的权数。
随机变量分布理解水平。指平均数作为随机变量的数学期望。平均 数是随机
变量的主要数字特征。权数的分配具有一定的规律，服从一个随机变量的概率分
布。在 离散情形„„
4、数理统计学是“归纳”科学，不是演绎科学
与演绎推理相反，归纳推理是 由总结若干个别事例而做出的一般性结论。例
如你与某人打过若干次交道，发现他与你共事时按正道行事 ，于是你做出他“为
人正直”的结论。这是你归纳若干事例（可解释为观察或试验结果）而引申的结论，它在逻辑上并非无懈可击（且实际上也未必尽然）。
数理统计学是“由部分推断整体”——你 并不了解全部情况，是一种“合情
推理”。属于归纳性的结论，在许多情况下，观察或试验结果受到偶然 性因素的
影响而带来一些不定因素。统计方法的作用，正是根据部分数据，帮助人们做出
尽可能 正确（在数据所提供的信息的限度内）的归纳。因此，统计性的推理是一
种归纳性推理。
应当 指出的是，统计规律未必蕴含因果关系。这一点，是统计方法的本性而
非其缺陷。统计方法作为一种研究 问题的工具，通过数量上的分析揭示表面关联
的存在，起着指示学科研究的方向的作用。至于是否具有内 在的因果关系，需要
各个学科自己去研究。但是，现在，用统计方法进行预测，就像演绎推理一样地进行，是一个重大的错误。
《小学数学教师》里有一篇文章谈到发展趋势。教学设计得很好，具有 现实
意义，增加小学生的思考能力。但是有一个重大缺陷，是把话说得过“死”，似
乎发展趋势 就一定会“继续下去”，把统计方法得出的结论绝对化，会产生误导。
例一、跳绳次数。一个不稳定， 一个的发展趋势不断向上。于是，选择不断

向上的同学作选手，这是片面的结论。不稳定 但是成绩好，不断向上但绝对成绩
差，上升空间有限怎么办？所以，选拔要把选手的最高跳绳成绩放在第 一位，其
次考虑稳定性。
例二、随年龄增长的体重曲线与标准体重曲线比较，说某同学体重超 过标准
体重要减肥。“超多少”算超重？有一个误差范围。笼统地说，也不科学。
例三、中国 奥运会金牌数，从洛杉矶（1984）到雅典（2004），金牌数一路
增长，预测北京奥运会时金牌数 增长，猜对了。但是伦敦奥运会还会增长？永远
增长？
总之，用数据预测，是一种估计，可能 符合增长趋势，也可能预测不准，不
能把预测当作绝对正确的结论。
四、教材中存在问题的评述
教材中的问题类型很多，归纳起来，有以下一些。
1．关于“分类与统计”
一年级数学从“分类”开始学习统计，是很自然的。但是，其中的问题不少。
1.1分类与统计要有目的性
一般说来，分类是为了使事物具有秩序，分类是为了更深入地了 解总体。进
行统计则是要根据数量上的结果做出决策，指导行动。总之，不能为分类而分类，
为 统计而统计。
●目的明确的案例：
※整理玩具，整理“图书角”里的书，使它们有秩序，便于管理；
※统计在一堆水果中哪种最多，哪种最少；
※统计喜欢各种水果的人数，为明天到公园活动做参考。
●目的不明确的案例：
※ 统计“换了几颗牙”作为主题引入，很有新意。但是统计出来做什么用
呢？换得早好？快好？目的性应该 更加明确；
※一年级学生统计穿的鞋子的尺码，学生了解也没有用处。这只有班级为每
人订购 一双鞋子时才需要。卖鞋的老板可能也需要；
※去年收到贺卡的数目。究竟是多好，还是少比较好？问这个问题的目的是
什么呢？