大屿山-小学二年级数学期末试卷

四年级奥数：数字谜（一）

我们在三年级已经学习过一些简单 的数字谜问题
.
这两讲除了复习巩固学过
的知识外，还要学习一些新的内容
.
例
1
在下面算式等号左边合适的地方添上括号，使等式成立：

8+12÷4-2
＝
20.

5+7×
8
所得的积比
20
大得多
.
因此 分析 ：等式右边是
20
，而等式左边算式中的
7×
必须设法使这个积缩小一定的倍 数，化大为小
.
8
是
4
的倍数，
12
也是
4
的倍数，
5
不能被
4
整除，因 从整个算式来看，
7 ×
8+12
前后添上小括号，再除以
4
得
17
，
5
＋
17-2=20.
此可在
7×
8+12
）
÷4-2=20.
解：
5+
（
7×
例
2

把
1～
9
这九个数字填到下面的九个
□
里，组成三个等式（每个数字只能填< br>一次）：


分析与解：如果从加法与减法两个算式入手，那么会出现许多种情 形
.
如果从乘
法算式入手，那么只有下面两种可能：

3
＝
6
或
2×4
＝
8
，


2×
所以应当从乘法算式入手
.
因为在加法算式□+□=□
中，等号两边的数相等，所以加法算式中的三个
□
内
的三个数 的和是偶数；而减法算式
□-□=
可以变形为加法算式
□=□+□
，所以减法 算
式中的三个
□
内的三个数的和也是偶数
.
于是可知，原题加减法算 式中的六个数的
和应该是偶数
.
4
＝
8
，则剩下的六个数
1
，
3
，
5
，
6
，
7
，
9
的和是奇数，不 若乘法算式是
2×
合题意；

3＝
6
，则剩下的六个数
1
，
4
，
5
，
7
，
8
，
9
可分为两组：

若乘法算式是
2×

4
＋
5
＝
9
，8-7
＝
1
（或
8-1
＝
7
）；


1
＋
7
＝
8
，
9
－
5
＝
4
（或
9
－
4
＝
5
）
.
所以答案为

与

例
3

下面的算式是由
1
～
9
九个数字组成的，其中
“7”
已填好，请将其余各数填
入
□
，使得等 式成立：


□□□÷□□=□-□=□-7.
分析与解：因为左端除法式 子的商必大于等于
2
，所以右端被减数只能填
9
，由
6-4
，
5-3
和
4-2
四种可能
.
此知左端被除数的百位数只能 填
1
，故中间减式有
8-6
，
经逐一验证，
8-6
，
6-4
和
4-2
均无解，只有当中间减式为
5-3
时有如 下两组解：

64=5-3=9-7
，


128÷
82
＝
5-3
＝
9-7.
或
164÷
例
4
将
1
～
9
九个数字分 别填入下面四个算式的九个
□
中，使得四个等式都成立：


□+□=6
，
□×□=8
，


□-□=6
，
□□÷□=8.
分析与解：因为每个
□
中 要填不同的数字，对于加式只有两种填法：
1
＋
5
或
2
＋< br>4
；对于乘式也只有两种填法：
1×8
或
2×4.
加式与乘式 的数字不能相同，搭配后
只有两种可能：

4
；

（
1
）加式为
1
＋
5
，乘式为
2×
8.
（
2
）加式为
2+4
，乘式为
1×
对于（1
），还剩
3
，
6
，
7
，
8
，
9
五个数字未填，减式只能是
9-3
，此时除式
无法满足；

对于（
2
），还剩
3
，
5
，
6< br>，
7
，
9
五个数字未填，减式只能是
9-3
，此时除 式
7.
答案如下：

可填
56÷
8
＝
8
，


2
＋
4
＝
6
，
1×
7
＝
8.

9
－
3
＝
6
，
56÷
例
2
～例
4
都是对题目经过初步分析后，将满足题目条件的所有可能情况全
部列举 出来，再逐一试算，决定取舍
.
这种方法叫做枚举法，也叫穷举法或列举

法，它适用于只有几种可能情况的题目，如果可能的情况很多，那么就不宜用枚
举法
.
例
5
从
1
～
9
这九个自然数中选出八个填入下式 的八个
○
内，使得算式的结果尽
可能大：


[○÷○×
（
○+○
）
]-[○×○+○-○].
分析与 解：为使算式的结果尽可能大，应当使前一个中括号内的结果尽量大，后
一个中括号内的结果尽量小.
为叙述方便，将原式改写为：

B×F
＋
G
－
H].

[A÷
（
C
＋
D
）
]-[E×
通过分 析，
A
，
C
，
D
，
H
应尽可能大，且A
应最大，
C
，
D
次之，
H
再次之；
B
，
E
，
F
，
G
应尽可能小，且
B
应最小，
E
，
F
次之，
G
再次之
.
于是 得到
A=9
，
C=8
，
D=7
，
H=6
，
B=1
，
E=2
，
F=3
，
G=4
，其中
C
与
D
，
E
与
F
的值可互换
.< br>将
它们代入算式，得到

1×3
＋
4
－
6]=131.

[9÷
（
8
＋
7
）
]
－
[2×

练习
9


1
．在下面的算式里填上括号，使等式成立：

6+24÷6-5=15
；

（
1
）
4×
6+24÷6-5=35
；

（
2
）
4×
6+24÷6-5=48
；

（
3
）
4×
6+24÷6-5
＝
0.
（
4
）
4×

2
．加上适当的运算符号和括号，使下式成立：


1 2 3 4 5
＝
100.

3
．把
0
～
9
这十个数字填到下面的
□
里，组成三个等式（每个数字只能填一
次）：


□+□=□
，


□-□=□
，


□×□=□□.

4．在下面的
□
里填上
+
，
-
，
×
，< br>÷
，（）等符号，使各个等式成立：


4□4□4□4
＝
1
，


4□4□4□4
＝
3
，

4□4□4□4
＝
5
，


4□4□4□4
＝
9.

5
．将
2
～
7
这六个数字分别填入下式的
□
中，使得等式成立：


□+□-□=□×□÷□.

6
．将
1
～
9< br>分别填入下式的九个
□
内，使算式取得最大值：


□□□×□□□×□□□.

7
．将
1
～
8< br>分别填入下式的八个
□
内，使算式取得最小值：

□□×□□×□□×□□.

第
10
讲

数字谜（二）

例
1
把下面算式中缺少的数字补上：


分析与解：一个四位数减去一个三位数，差是一个两位数，也就是说被减数与减
数相 差不到
100.
四位数与三位数相差不到
100
，三位数必然大于
9 00
，四位数必
然小于
1100.
由此我们找出解决本题的突破口在百位数上
.
（
1
）填百位与千位
.
由于被减数是四位数，减数 是三位数，差是两位数，所
以减数的百位应填
9
，被减数的千位应填
1
，百位应填
0
，且十位相减时必须向
百位借
1.
（
2
）填个位
.
由于被减数个位数字是
0
，差的个位数字是
1
，所以减数的个
位数字是
9.
（
3
）填十位
.
由于个位向十位借
1
，十位又向百位借
1
，所以被减数十位上的实际数值是
18
，
18
分解成两个一位数的和，只能是
9与
9
，因此，减数与差
的十位数字都是
9.
所求算式如右式
.


由例
1
看出，考虑减法算式时，借位是一个重要条件
.

例
2
在下列各加法算式中，相同的汉字代表相同的数字， 不同的汉字代表不同
的数字，求出这两个算式：


分析与解：（
1
）这是一道四个数连加的算式，其特点是相同数位上的数字
相同，且个位与百位上的数字相 同，即都是汉字
“
学
”.
从个位相同数相加的情况来看，和的个位数字 是
8
，有两种可能情况：
2
＋
2
＋
2
＋< br>2
＝
8
与
7
＋
7
＋
7
＋< br>7
＝
28
，即
“
学
”
＝
2
或
7.
“
数
”
如果
“
学
”
＝
2
，那么要使三个
“
数
”
所代表的数字相加的和的个位数 字为
8
，
只能代表数字
6.
此时，百位上的和为
“
学
”
＋
“
学
”
＋
1
＝
2
＋
2
＋
1
＝
5≠4.
因此
“
学
” ≠2.
如果
“
学
”
＝
7
，那么要使三个“
数
”
所代表的数字相加再加上个位进位的
2
，和
的个 位数字为
8
，
“
数
”
只能代表数字
2.
百 位上两个
7
相加要向千位进位
1
，由此
可得
“
我< br>”
代表数字
3.
满足条件的解如右式
.



5432-4444=988
， （
2
）由千位看出，
“
努
”=4.
由千、百、十、个位上都有
“
努
”
，
可将竖式简化为左下式
.
同理，由左下式看出，
“
力
”=8
，
988-888=100
，可将左下
式简化为下中式，从而求出
“
学
”=9
，
“
习
”=1.
满足条件的算式如右下式
.

例
2
中的两题形式类似，但题目 特点并不相同，解法也不同，请同学们注意
比较
.
例
3
下面竖式中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，求被乘
数
.

分析与解：由于个位上的
“
赛
”ד
赛
”
所得的积不再是
“
赛
”
，而是另一个 数，所以
“
赛
”
的取值只能是
2
，
3
，< br>4
，
7
，
8
，
9.
下面采用逐一试验的方法求解
.
2
＝
222222
，而 （1
）若
“
赛
”
＝
2
，则
“
数
”
＝
4
，积
=444444.
被乘数为
44444 4÷
被乘数各个数位上的数字各不相同，所以
“
赛
”≠2.
（
2
）若
“
赛
”
＝
3
，则
“
数
”=9
，仿（
1
）讨论，也不行
.
4
得不到整数商，不合题 （
3
）若
“
赛
”＝
4
，则
“
数
”
＝
6
，积
= 666666.666666÷
意
.
7
＝
142857
，符 （
4
）若
“
赛
”
＝
7
，则
“
数
”
＝
9
，积
=999999.
被乘数为
999999÷
合题意
.
（
5
）若
“
赛
”
＝
8
或
9
，仿上讨论可知，不合题意
.
所以，被乘数是
142857.
例
4
在
□
内填入适当的数字，使左下式的乘法竖式成立
.

分析与解：为清楚起见，我们用
A
，
B
，
C，
D
，
…
表示
□
内应填入的数字（见右
上式）
.
E=1.
由于乘数的百位数与被乘数的乘积的末位数是
5
， 由被乘数大于
500
知，
故
B
，
C
中必有一个是< br>5.
若
C
＝
5
，则有


6□□ ×5=
（
600+□□
）
×5=3000+□□×5
，

不可能等于
□5□5
，与题意不符，所以
B=5.
再由
B=5
推知
G=0
或
5.
若
G=5
，
则< br>F=A=9
，此时被乘数为
695
，无论
C
为何值，它与695
的积不可能等于
□5□5
，
7
与题意不符，所以
G=0
，
F=A=4.
此时已求出被乘数是
645
，经试验只有645×
满足
□5□5
，所以
C=7
；最后由
B=5< br>，
G=0
知
D
为偶数，经试验知
D=2.

右式为所求竖式
.

此类乘法竖式题应 根据已给出的数字、乘法及加法的进位情况，先填比较容
易的未知数，再依次填其余未知数
.< br>有时某未知数有几种可能取值，需逐一试验
决定取舍
.
例
5
在
□
内填入适当数字，使左下方的除法竖式成立
.

分析 与解：把左上式改写成右上式
.
根据除法竖式的特点知，
B=0
，
D =G=1
，
E=F=H=9
，因此除数应是
99
的两位数的约数，可 能取值有
11
，
33
和
99
，再由
商的个位数是< br>5
以及
5
与除数的积是两位数得到除数是
11
，进而知
A
＝
C-9.
至此，
除数与商都已求出，其余未知数都可填出（见右式）< br>.

此类除法竖式应根据除法竖式的特点，如商的空位补
0
、余 数必须小于除数，
以及空格间的相互关系等求解，只要求出除数和商，问题就迎刃而解了
.
例
6
把左下方除法算式中的
*
号换成数字，使之成为一个完整的式 子（各
*
所表
示的数字不一定相同）
.

分析与解：由上面的除法算式容易看出，商的十位数字
“*”
是
0
，即商为
.
因为除数与
8
的积是两位数，除数与商的千位数字 的积是三位数，知商的千
位数是
9
，即商为
9807.
因为< br>“
除数
×9”
是三位数，所以除数
≥12
；又因为
“
除数
×8”
是两位数，所以除
12
＝
117684. 数
≤12.
推知除数只能是
12.
被除数为
9807×
除法算式如上页右式
.
练习
10


1
．在下面各竖式的
□
内填入合适的数字，使竖式成立：




2
．右面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表 不同
的数字
.
问：
“
小
”
代表什么数字？




3
．在下列各算式中，不同的汉字代表不同的数字相同的 汉字代表相同的数
字
.
求出下列各式：

4
．在下列各算式中，相同的字母代表相同的数字，不 同的字母代表不同的
数字
.
这些算式中各字母分别代表什么数字？




答案


练习
9

6-5=15
；


1.
（
1
）
4×
（
6+24
）
÷
6
）
-5=35
；

（
2
）
4×
（
6+24÷
6+24÷
（
3
）
4×
（
6-5
）
=48
；

6-5
］
=0.
（
4
）
4×
［（< br>6+24
）
÷
2+3
）
×4×5=100.

2.
（
1×
5=20.
（填法不唯一）

3.3+6=9
，
8-7
＝
1
，
4×
4=3< br>，


4.
（
4+4
）
÷
（4+4
）
=1
，

（
4+4+4
）
÷
4+4
）
÷4=5
，
4+4+4÷4=9.
（
4×
4÷2.

5.6+7-3
＝
5×
85 2×763
＝
611721516.

6.941×
提示：按下面两个原则填数：①将较大的数填在高数位上；②各乘数之间的
差尽量小
.
26×37×48
＝
692640.

7.15×

练习
10

2.9.
提示：
“
生
”=“
学
”+1.



提示：（
1
）由千位知
A=B+1
，再由 个位知
C=9.
十位减法需向百位借
1
，由
百位知
A=8< br>，从而
B=7.
（
2
）由除式特点知
D=0
，
A=9
，
C=1
，依次推出
G=2
，
F=5.