小报花边-研讨课

数字谜


涉及质数与合数等概念,以及需要利用数的整除特征、分解质因数等数论手段解的数字谜问题．

1.试将1,2,3,4,5,6,7分别填入下面的方框中,每个数字只用一次: 口口口(这是一 个三位数).口口口
(这是一个三位数),口(这是一个一位数),使得这三个数中任意两个都互质.已 知其中一个三位数已填好,
它是714,求其他两个数．
【分析与解】 714=2×3×7×17．
由此可以看出,要使最下面方框中的数与714互质,在剩下未 填的数字2,3,5，6中只能选5，也就
是说，第三个数只能是5．
现在来讨论第二个数的三个方框中应该怎样填2,3,6这3个数字．
因为任意两个偶数都有 公约数2,而714是偶数,所以第二个的三位数不能是偶数,因此个位数字只
能是3.这样一来,第二 个三位数只能是263或623.但是623能被7整除,所以623与714不互质．
最后 来看263这个数.通过检验可知:714的质因数2,3,7和17都不是263的因数,所以714与263
这两个数互质．
显然,263与5也互质．
因此,其他两个数为263和5．


2.如图19-1,4个小三角形的 顶点处有6个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，
而且每个小三角形3个顶点 上的数之和相等.问这6个质数的积是多少?






【分析与解】 设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S.4个小三角形的和S相加时, 中间三角
形每个顶点上的数被算了3次,所以 4S=2S+20,即S=10．
这样,每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2,3,5,从而六个质数是2,2,3,3,5,5,它们的 积
是：
2×2×3×3×5×5=900


3.在图19-2.所示算式的每个方框内填人一个数字,要求所填的数字都是质数,并使竖式成立．

【分析与解】记两个乘数为
a7b
和cd其中a、b、c、d的值只能取自2、3、5或7．
由已知条件,b与c相乘的个位数字仍为质数,这只可能是b与c中有一个是5另一个是3、5 或7,
如果b不是5,那么c必然是5,但73×5=365、77×5=385的十位数字都不是质数 .因此b是5,c是3、5、
7中的一个,同样道理,d也是3、5、7中的一个．
再由已知条件,
a75
的乘积的各位数字全是质数,所以乘积肯定大于2000,满足积大于2 000且a、c
取质数,只有以下六种情况：
775×3=2325,575×5= 2875,775×5=3875,375×7=2625,575×7=4025,775×7=5425．
其中只有第一组的结果各位数字是质数,因此a=7,c=3，同理,d也是3．
最终算式即为775×33=25575


4.把一个两位数的个位数字 与其十位数字交换后得到一个新数,它与原来的数加起来恰好是某个自然数
的平方.那么这个和数是多少 ?
【分析与解】 设原来的两位数为
xy
,则交换十位数字与个位数字后的 两位数为,两个数的和为
yx
,
两个数和为
xy
＋
yx< br>=
10xyx10y
11

xy


是ll的倍数,因为它是完全平方数,所以也是11 ×11=121的倍数.但是这个和小于100+100=200
<121×2,所以这个和数只能是121．



5. 迎杯×春杯=好好好
在上面的乘法算式中,不同的汉字表示不同的数字,相同的汉字表示相同 的数字.那么“迎+春+杯+
好”之和等于多少?
【分析与解】 好好好=好×111=好×3×37．
那么37必定是“迎杯”或“春杯”的约数,不妨设为“迎杯”的约数,那么“迎杯”为37或74．
当“迎杯”为37时,“春杯”为“好”×3,且“杯”为7,此时“春杯”为27,“好”为9,“迎+春+杯+好”之和为3+2+7+9=21；
当“迎杯”为74时,“春杯”为“好”×3 ÷2,且“杯”为4,此时“春杯”为24,“好”为16,显
然不满足．
所以“迎+春+杯+好”之和为3+2+7+9=21．

6． 数数×科学=学数学
在上面的算式中,每一汉字代表一个数字,不同的 汉字代表不同的数字.那么“数学”所代表的两位
数是多少?
【分析与解】 “学 数学”是“数数”的倍数，因而是“数”与1l的倍数.学数学=学×101+数×
10是“数”的倍数 ,而101是质数,所以“学”一定是“数”的倍数．
又“学数学”是11的倍数,因而:“学+学-数”为11的倍数．
因为“学”是“数”的倍 数,从上式推出“数”是11的约数,所以“数”=1,“学”=(11+1)÷2=6．
“数学”所代表的两位数是16．


7.将1,2,3,4,5,6,7,8,9 这9个数字分别填人下式的各个方框中,可使此等式成立:口口×口口=口
口×口口口=3634．填好后得到三个两位数和一个三位数,这三个两位数中最大的一个是多少?
【分析与解】 3634=2×23×79,表达为两个两位数的乘积只能是(2×23)×79,即46×79；
表达为一个两位数与一个三位数的乘积,只能是23×(2×79)=23×158．
满足题意,所以这三个两位数中最大的一个是79．


8.六年级的学生 总人数是三位数,其中男生占
3
,男生人数也是三位数,而组成以上两个三位数的6个数
5
字,恰好是l,2,3,4,5,6.那么六年级共有学生多少人?
【分析与解】 设六年级总人数为
xyz
,其中男生有
abc
人．
有
xyz
×
3
=
abc
,即5
a bc
=3
xyz
,其中
xyz
为5的倍数,所以z为5.而
abc
为3的倍数，所以其数
5
字和a+b+c应为3的倍数,则在剩下的5个数中, a、b、c(不计顺序)只能为1,2,6或l,2,3或4,2,6或
4,2,3．
而c不能是偶数(不然z应为0),所以只能是l,2,6或1,2,3或4,2,3可能满足；又因为
xyz
最大
为645,对应
abc
为387,即c不超过3．
于是
abc
有可能为261,123,321,213,231,243这6种可能,验证只有 当
abc
=261时,对应
xyz
为
261÷3×5=435．
所以六年级共有学毕435人.


9.图19-3是三位数与一位数相乘 的算式,在每个方格填入一个数字,使算式成立.那么共有多少种不同
的填法?

【分析与解】 设 1992=
abc
×d(a,b,c,d可以相同),有1992=2×2×2×3×83,其 中d可以取2,3，
4，6,8这5种,对应的算式填法有5种．


< br>10.在图19-4残缺的算式中,只写出3个数字l,其余的数字都不是1.那么这个算式的乘积是多少 ?









【分析与解】 如下图所示,为了方便说明,将某些数用字母标出．







第4行口口1对应为AB×C,其个位为1,那么 B×C的个位数字也是1,而B、C又均不能为1,所以只
有3×7,9×9对应为1,那么B为9、7 或3．
第3行10口对应为AB×D,可能为100、102、103、104、105、1 06、107、108、109.103、107、109
均为质数,没有两位数的约数,不满足；
100、105没有个位数字为3、7、9的约数,不满足；
102=17 ×6、104=13×8、106=53×2、108=27×4,但102、104对应的AB中4均为1,不 满足．
所以AB为53或27．
当AB为27时,第4行为27×C,且个位数字为1,所以只能为27×3=8l,但不是三位数,不满足．
当AB为53时,第4行为53×C,且个位数字为1,所以只能为53×7=371,因此被乘数必须 为53,乘数
为72,积为3816．



11.图19-5是 一个残缺的乘法竖式,在每个方框中填入一个不是2的数字,可使其成为正确的算式.那么
所得的乘积是 多少?

【分析与解】 方法一:由已知条件,最后结果的首位数字不能是2,因此只能是3.这说明千位上作
加法时有进位．
百位数上相加时最多向千位进2,所以要使千位数有进位,其中的未知数字至少是10-2-2 =6,即三个
三位数加数中的第二个至少是600.因为它是第一个乘数与一个一位数字的乘积,因此该 乘数肯定大于
60．
第二个乘数的百位数字与第一个乘数的乘积在220～229之 间,所以它只能是3(否则4×60>229).
而220～229之间个位数字不是2且是3的倍数的 只有225=3×75和228=3×76．
如果第一乘数是75,又第二个乘数的百位数字 是3,那么它们的乘积小于75×400=30000,它的首位
数字也就不可能是3,不满足．
乘数是76,另一个乘数就要大于30000÷76>394,那么只有395、396、39 7、398、399这五种可能,
它们与76的乘积依次为30020、30096、30172、30 248、30324.由于各个数字都不能是2,所以只有
76×396=30096满足题目的要求．
算式中所得的乘积为30096．
方法二：为了方便说明，将某些位置标上字母，如下图所示，因为干位最多进
1，而最终的乘积万位又不能是2，所以只能是3：








而第5行对应为22口=AB×C,其中C不可能为1,又不能为2,那么最小为3．
当C为3时,22口=AB×3,那么A只能为7,B只能为4,5或6，
(1)当B为4时,74×3=222,第5行个位为2,不满足题意；
(2)当B为5时,AB×CDE对应为75×3DE,小于30000,不满足；
(3)当B为6时,AB×CDE对应为76×3DE,D只能为9,此时第4行对应为
AB ×D即76×9=684.因为30000÷76>394,所以39E只有395、396、397、398、
399这五种可能,它们与76的乘积依次为30020、30096、30172、30248、30 324.
由于各个数字都不能是2,所以只有76×396=30096满足题目的要求．
验证C取其他值时没有满足题意的解．
所以算式中所得的乘积为30096．



12.请补全图19-6这个残缺的除法竖式.问这个除法算式的商数是多少?

【分析与解】 易知除号下第二行的首位为9.除号下第一行开头两位为1、0,商的十位为0．








第二行9口对应为CD×A，
(1)9口不可能为90,不然第一行前三位10口与第二行9 0的差不
可能为一位数,不满足第三行特征；
(2)9口对应为91时,第三行的首 位对应为10口-91,最小为9，
所以只能为9,那么有91=CD×A,928=CD×B,不可能 ；
(3)9口对应为92时,第三行的首位对应为10口-92,最小为8,
所以可能为8、9，
①如果为9,那么对应有92=CD×A,928=CD×B,不可能；
②如果为8 ,那么对应有92=CD×A,828=CD×B,不难得知A=l,B=9,CD=92时满足,那么被除数为
92×109=10028．
验证没有其他的情况满足,所以这个除法算式的商数为109．



13.若用相同汉字表示相同数字,不同汉字表示不同数字,则在等 式学习好勤动脑×5=勤动脑学习好×8
中,“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少?
【分析与解】 设“学习好”为x,“勤动脑”为Y,则“学习好勤动脑”为1000X+Y,“勤动脑学习< br>好”为1000y+x，
有(1000x+Y)×5=(1000y+x)×8,化简 有4992x=7995y,4992=128×3×13,7995=3×41×5×13,即
128 x=205y,有


x205

x410

x615
,

,

,
y128y256y384< br>

x820


y512

所以 ,“学习好勤动脑”所表示的六位数可能为205128,410256,615384,820512,但是不 能有重复
数字,所以只有410256,615384满足,其中最小的是410256

14.互为反序的两个自然数的积是92565,求这两 个互为反序的自然数.(例如102和201,35和53,11和
11,…,称为互为反序的数,但1 20和2l不是互为反序的数．)
【分析与解】 首先可以确定这两个自然数均为三位数,不然得到的乘积不可能为五位数．
设
AB C
×
CBA
=92565,那么C、A中必定有一个为5,一个为奇数.不妨设C为5 ．

AB5
×
5BA
=92565,那么A只能为1,1B55B1
=92565.又注意到92565=3×3×5×11×1l×17．
验证只有
1B5
为165时满足,所以这两个自然数为165、561．



15.开放的中国盼奥运×口=盼盼盼盼盼盼盼盼盼
上面的横式中不同的汉字代表不同的数字,口代表某个一位数.那么,“盼”字所代表的数字是多
少?
【分析与解】 我们从“口”中所应填入的一位自然数开始分析,设A=“开放的中国盼奥< br>运”,B=“盼盼盼盼盼盼盼盼盼”.
于是B=A×口.显然口内不会是1．
由于口是B的约数,因此口不会是“盼”所代表的数字,要不然A就等于111111111, 这说明口内不
会是5,而111111111不是7的倍数,说明口内也不会是7．
如果口内填3,则“盼”只能是1或2,当“盼”是1时,B÷3=37037037,不符合要求；当“盼”时 2
时，B÷3=74074074,也不符合要求；说明口内不能填入3．
口内也不 会是偶数数字2、4、6和8.因为口内是偶数数字时,“盼”也是偶数数字,口内显然不会
是2，如果 口内是4,根据被4整除的特征,“盼”只能是8,这时A就成了一个九位数,说明口内不能是4；
类似 的，可以说明口内不能是6和8．
综上所需,口的数字只能是9,这时利用
111...1< br>=12345679×9,可以得到
9个1
盼盼盼...盼
=12345679 ×9
9个盼
×盼.于是“盼”代表的数字必须同时满足下面两个条件：



经验证知◇=盼=7，即86419753×9=777777777．