列子说符-常德芷兰实验学校

二倍角的正弦、余弦、正切
王业奇

教案设计说明


教
材
分
析



教
学
对
象
分
析



教
学
设
计
⑴二倍角公式的重要性：三角函数是高中数学重要内容之 一，而二倍角公式又是三角函
数中的重中之重，有着广泛的实际应用，在高考中占有相当大的比重；
⑵本节重点：二倍角公式的推导；二倍角公式的简单应用；
⑶教学要求：引导学生发现数学规 律；让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起
的作用；培养学生的创新意识；
⑷课时分配：3课时；
⑴教学对象：省一级重点中学高一学生
⑵学生情况分析：
①相对于同年龄层次的学生而言，数学基础较扎实，对数学求知欲较强，有不断自我提
升的需要 ；
②对于知识的掌握程度还停留在表层，把知识只做为一个个独立的模块来认识，没有把
知识 与知识互相联系起来对待；
③领悟能力强，模仿创新能力强；
基本观点：⒈数学是一门逻辑 性很强的学科，知识与知识之间有着很强的联系性，只要
找到它们之间的规律，就会对新的知识有比较深 刻的理解；
⒉学习三角函数，特别是两角和差的正弦、余弦、正切公式与二倍角公式时，
许多 学生往往因为记不住公式而烦恼，这主要是因为学生没有很好的利用
这些公式之间的关系，没有很好地理 解公式，只是一味地死记硬背；
基本思路：让学生推导倍角公式，从而了解它们之间、以及它们与和角 公式之间的内在
联系，从而加深对倍角公式的理解，同时培养逻辑推理能力；
教学过程
程
序


知
识
引
入
教学行为 教学意图

由已掌握
的认识得
出本节课
所要学习
的内容，
找到知识
之间的联
系

一、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin




sin

cos

cos

sin


cos





 cos

cos

sin

sin


tan






tan
< br>tan


1

tan

tan


二、提出问题：若

，则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。
让学生板演得下述二倍角公式：
sin2

2sin

cos

cos2

cos

sin

2cos

112sin

2tan
tan21tan
2

cot
2
1
cot2

2cot
2222

剖析：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的 意义是相对


的，如：是的倍角。
48
2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—
升次）
3．特别注意这只公式的三角表达形式，且要善于变形：
1cos21cos2
,sin
2


cos
2

这两个形式
22
今后常用

程
序




知
识
巩
固
教学行为 教学意图

对公式的反复的基
础运用，
以加深影
响，并由
此得到一
些公式的
变形
一、例题：
例一、（公式巩固性练习）求值：
12
1．sin22 30’cos2230’=
sin45



24
2．
2cos
2

2
1
cos

8< br>42
3．
sin
2

2
cos
2
cos

88
42
48482412
 1
4sincoscos2sincossin

24241212126 2
4．
8sin

cos

cos

co s



例二、
1．
(sin
5
5

5

5

cos)(sincos)

12121212
sin
2
5

5

5

3
cos
2
cos

121262

知
识
巩
固

2．
cos
4

sin
4
(cos
2
sin
2
)(cos
2
sin
2
)cos

222222
3．
112tan
tan2

1 tan1tan
1tan
2

4．
12cos
2
cos212cos
2
2cos
2
12


例三、若tan  = 3，求sin2  cos2 的值。
解：sin2  cos2 =
2sincossin
2
cos2
2tantan
2
17


222
5
sincos1tan

例四、
条件 甲：
1sina
，条件乙：
sin
那么甲是乙的什么条件？

cosa
，
22

解：
1sin 
(sincos)
2
a

22
即
|sin

cos|a

22
当在第三象限时，甲 乙；当a > 0时，乙 甲
∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。

例五、（P43 例一） 5
已知
sin,(,)
，求sin2，cos2，tan2的 值。
132
5
解：∵
sin,(,)

132
12
∴
cos1sin
2


13
120
∴sin2 = 2sincos =


169
119
cos2 =
12sin
2


169
120
tan2 =


119

程
序




知
识
应
用
教学行为 教学意图

对二倍角公式的更
深层次的
理解应用
题型从简
单到复
杂，从易
到 难，每
一题都以
前一题的
思想为依
托

一、关于“升幂”“降次”的应用
注意：在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相 对的。在
解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。（以下四个例题可视情
况酌情选用）
例一、求函数
ycos
2
xcosxsinx
的值域。
解：
y
1cos2x121
sin2xsin(2x)

22242
——降次

1212
∵
1sin(2x)1
∴
y[,]

4
22


例二、求证：
sin
2
coscos(

)sin
2
( )
的值是与无关
36
的定值。
证：
11
原式 (1cos2)[1cos(2)]coscos()

2233
——降次
1
[cos(2)cos2]cos (coscossinsin)
2333
1

(coscos2

sinsin2

cos2

)
233< br>13
cos
2

cos

sin

)
22
13113
cos2

sin2

 cos2

(1cos2

)sin2

)
42244

1

4


∴
sin
2
coscos(






)sin
2
()
的值与无关
36

1cossin1cossin

——升幂
1cossin1cossin

2cos
2
 2sincos2sin
2
2sincos
222

222
解：
原式

2sin
2
2sincos2cos
2
2sincos
222222

2cos(cos sin)2sin(sincos)
222

222



2sin(sincos)2cos(cossin)
222222
1cos1cos2
(cottan)()2csc

22sinsinsin


1sin4cos41sin4cos4

例四、求证： ——升幂
2tan
1tan
2

证：
1sin4cos42tan
tan2
原式等价于：
2< br>1sin4cos4
1tan
例三、化简：
sin4(1c os4)2sin2cos22sin
2
2
左边



sin4(1cos4)
2sin2cos22cos
2< br>2

2sin2(cos2sin2)
tan2
右边
2cos2(sin2cos2)


二、三角公式的综合运用 < br>例五、利用三角公式化简：
sin50

(13tan10

)

解：
13
2(cos10

sin10

)
3sin10
22
)sin50
原式
sin50

(1


cos10cos10

sin3 0

cos10

cos30

sin10
< br>2sin50

sin40

2sin50

cos10

cos10

2cos40

sin40
sin80

1


cos10cos10