植树问题 课标解读
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《数学广角──植树问题》课标解读
湖北省武汉市华中师范大学附属小学 董
艳（初稿）
湖北省武汉市教育科学研究院 马青山（统稿）
一、课标要求
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“总目标”中提出了“在参与观察、实验、
猜想、证明
、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想
法”“学会独立思考，体
会数学的基本思想和思维方式”。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第
二学段”中提出“尝
试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决”“能探索分
析和解
决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性”。
《义务教育数学课程标准（2
011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出“通
过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法
，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经
验”。
二、课标解读
教材中
设置“数学广角”单元教学内容的目的不是教会学生机械的公式和抽象的模型，
而是让学生体验探索建立
模型的过程和数学思想方法。
在本册的“数学广角──植树问题”的教学中，教师要引导学生通过观察
、猜测、试验、
推理等活动，初步体会解决植树问题的思想方法（模型思想），培养学生从实际问题中探
索
解决问题有效方法的能力。在教学植树问题时，教师要引导学生根据实际问题情境，从简单
的
情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历建立数学模型的
过程，帮助学生
积累数学活动的经验，提高学生解决实际问题的能力。
（一）在观察、猜测、试验、推理等活动中体会解决基本的思想方法
小学数学教学体系贯穿着
两条主线：数学知识和数学思想方法。数学知识是一条明线，
直接呈现在教材上；而数学思想方法则是一
条暗线，隐藏在知识的背后。“数学广角”中的
“植树问题”，承载了基本的数学思想方法──“化繁为
简”“数形结合”“一一对应”和
“数学建模”等，使学生从中发现规律，抽取出其中的数学模型（点段
关系），然后再用发
现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。
1．在困顿中感悟“化归”的思想
人们在面对数学问题时，如果直接应用已有
知识不能或不易解决该问题时，往往将需要
解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解
决的问题，最终使原问题得到
解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。
在教学例1中，教
师引导学生对“100米一共要栽多少棵树”进行验证，在画图时引发
困惑，数字太大，不可能全部画下
来，或是太麻烦、太浪费时间了。在学生有所体验的基础
上，就此向学生渗透复杂问题简单化的思想，让
学生选择短距离（20米），用画图的方式
得出结果。在这个过程中，学生通过猜想、实验、推理、交流
等活动，既培养了数学思想能
力，学会了一些解决问题的方法，又逐步形成实事求是的科学态度和精神。
2．在探究中渗透“数形结合”的思想
数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方
法。数形结合思想的实质即通过
数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法转化为适当
的图形，从图形的
结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思
想。
本册的“数学广角──植树问题”把从直观图形支持下得到的模型应用到现实生活中，
沟
通图形、表格及具体数量之间的联系，强化对题意的理解。
教师可以组织学生在课堂上“模拟植树”。用 “___”代表一段路，用“∣”代表一棵
树，
画“∣”就表示种了一棵树。关于在20米长的路可以栽多少棵树的问题，让学生自己
动手画一画。学生
根据图
示
，很容易发现规律。再从个别的、简单的几个例子出发，逐步
过渡到复杂的、
更一般的情境中，是数学中常用的推理方法。
这个过程中，学生借助数形结合将文字信息与学
习基础结合起来，使得学习得以继续，
使得学生思维发展有了基础，也使得数学学习的思想方法真正得以
渗透。因此，数形结合能
不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形
的解题思路
形象化。
3．在抽象中明晰“一一对应”思想
本册“数学广角
──植树问题”的教学，通常有两种教学思路：一种思路是通过教材主
题图中得三组实例归纳出规律，利
用画图、小棒或圆片的排列来验证规律，进而结合生活实
际应用规律。这种教学逻辑性强，规律揭示很顺
畅，但是从教学效果看，学生虽然能够“熟
记”规律，却不能灵活解决诸如“封闭、不封闭”“两端都栽
、只栽一端、两端都不栽”这
类问题，更不能用数学观点统领“间隔排列”的现象。另一种思路是在深入
钻研教材的基础
上，真正把握“间隔排列”的实质：两种物体间隔排列，这两种物体的排列一一对应。对
应，
是间隔排列的本质。课堂教学中，通过“感知对应现象──激活对应思想──建构对
应思想
──升华对应思想”层层深入的教学行为，抓住蕴含在教材中得一一对应思想，有效统领种
种纷繁复杂的现象，使学生真正感知了一一间隔排列的特点，扫清了思维上的障碍，层层推
进认识的完
善和引申。
4．在运用中体验“模型思想”
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中
提出：在数学教学中应当引导学生感悟建
模过程，发展“模型思想”。“数学模型”是数学符号、数学式
子以及数量关系对现实原型
简化的本质的描述。模型思想的教学，不是作为像具体数学知识点那样可以单
独作为一个数
学内容来进行专门教学，而是融入到具体数学知识的教学过程中，让学生在经历“问题情境
──建立模型──解决问题──拓展运用”的学习过程中逐渐领悟的。
在本册“数学广角──
植树问题”的教学中，教材以“猜想试误──合作探究──发现
规律（建立模型）──深化规律（再次建
模）──解释运用”为主线，渗透数形结合的思想，
建立数学模型，发现问题实质，为后面解决问题奠定
了坚实的基础。
在这样的学习活动中，学生在经历了实物操作、图示表达、抽象概括等程序，逐层提升
，
拾级而上，一步一步地从生活向数学的内核逼近。在数学抽象时，引导学生逐层深入地进行
推
理研究，从“20米、30米、35米、100米„„”，让学生联想到“点数比段数多1”，
从而建立
起“点──线”间关系模型。举一反三，触类旁通。最后，引导学生用发现的规律
去解决更多的实际问题
（两端都不栽的情况和只栽一端的情况）。这样的教学，也正体现了
“数学教学应从学生已有的生活经验
出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进
行解释与运用的过程，进而使学生获得对数学理解
的同时，在思维能力、情感态度与价值观
等多方面得到进步和发展”的要求。
（二）在观察、猜测、试验、推理等活动中积累基本的数学活动经验
《义务教育数学课程标准
（2011年版）》中提出：数学活动经验的积累是提高学生数学
素养的重要标志。帮助学生积累数学活
动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体
验各种数学活动过程的结果。数学学习是在“学生主
动地从事观察、实验、猜测、验证、推
理与交流”等数学活动中进行的。数学活动经验产生于数学学习中
，既是数学学习的产物，
也是学生认识和实践的基础。
1．经历观察、操作过程，积累体验性经验
在教学“数学广角”时，教师要
引导学生观察、实验、猜想、验证，进行动手操作
（如摆、画、做等），让学生逐渐地意会、体验、感悟
。为了让学生“动”起来，在“动”
的过程中体验知识的形成过程，教材不断地提出问题
，抓住数量关系做重点分析。放手让学
生想一想、画一画、说一说，既满足了学生的表现欲望，又培养了
学生自主探究的能力，充
分调动了学生的积极性，把学习的主动权交给了学生。学生对植树棵数和段数的
关系有了初
步的感性认识后，让学生再任意画一画、种一种，更丰富了学生的感性材料，为学生顺利发<
br>现并总结规律打下了基础。在这个过程中，学生慢慢积累分析和解决问题的一些经验，然后
将这些
经验迁移运用到后面的数学活动中。而这些经验是我们老师没法“教”给学生的，必
须由学生经历大量的
数学活动逐步获得，也就是我们以前常说的“做中学”之后所留下的，
有关数学活动的直接感受、体验和
个人感悟。
2．经历探究、思考过程，积累方法性经验
这里的“探究”指
的是融行为操作与思维操作于一体的活动。本册的“数学广角──植
树问题”教材编者意图是让学生初步
认识“化繁为简”的思想，并通过各种活动，借助直观
图理解“间隔数与棵数”之间的数量关系。如“1
00米太长了，怎么办？”“如果小路长度
不是20米了，树的棵数又发生了什么变化呢？”“25米、
30呢？”“不画了，你发现了什
么？”不断提出新的要求，产生新的矛盾，使学生的思维处于碰撞之中
，掌握解决问题的有
效方法。
3．经历概括、反思过程，积累“数学地思考”的经验
概括是形成和掌握概念的直接
前提。如果没有概括，就无法进行逻辑推理，思维的深刻
性和批判性就无从谈起；没有概括，就不可能产
生灵活的迁移，思维的灵活性和创造性就无
法形成；没有概括，就无法实现思维的“缩减”与“浓缩”，
思维的敏捷性也就无从体现，
学生掌握概念，直接受思维概括水平的制约。
教师教学
时可以在课堂中让学生根据自己的体验，用自己的思维方式去探究，去发现，
再反馈结果，根据不同的结
果进行交流、讨论。通过学生的观察、思考、交流，在获得直接
经验的基础上感受“一一对应”的思想方
法是教学活动重中之重。经过学生的探讨之后，教
师再引导学生抽象出数学模型（棵数与间隔数的关系）
，接着再用抽象出来的模型解决一般
性的问题，最后再迁移、变通。