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燕尾定理



燕尾定理：
在三角形< br>ABC
中，
AD
，
BE
，
CF
相交于同一点
O
，那么
S
ABO
:S
ACO
BD:DC< br>．
A
E
O

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

F
B
D
C
A
S
2
a
S
1
O
S
3
S
4
D
B
b
C

①
S
1
:S
3
a
2
:b2

②
S
1
:S
3
:S
2
: S
4
a
2
:b
2
:ab:ab
；
③
S
的对应份数为

ab

．
等积变形
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如左图
S
1
:S
2
a:b

2
AB
S
1
a
S
2
b

CD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图
S
△ACDS
△BCD
；
反之，如果
S
△ACD
S
△BCD
，则可知直线
AB
平行于
CD
．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比 等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之
比．

二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在
△A BC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点如图 ⑴(或
D< br>在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上)，
则< br>S
△ABC
:S
△ADE
(ABAC):(ADAE)

D
A
A
D
E
E
B
C

如 图，
S
2
2
，
S
3
4
，求梯形的面积 ．

B
C

S
1
S
2
S
3
S
4


【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形
ABCD
的
AB< br>平行于
CD
，对角线
AC
，
BD
交于
O，
已知
△AOB
与
△BOC
的面积分别为
25
平方厘米与
35
平方厘米，那么梯形
ABCD
的面积是________平方厘米．
A
25
O
35
B
DC

梯形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
，已知梯形上底为2，且三角形
ABO
的面积等于三角形
BOC
面
2
积的，求三角形
AOD
与三角形
BOC
的面积之比．
3
AD
O

(第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD
中，对角线
AC
和
BD
交于
O
点，已 知
AO1
，并且
三角形ABD的面积3

，那么
OC的长是多少？
三角形CBD的面积5
B
C

B
A
O
C
D
梯形的下底是上底的
1.5
倍，三角形
OB C
的面积是
9cm
，问三角形
AOD
的面积是多少？
2

A
D
O
BC

如下图，一个长方形被 一些直线分成了若干个小块，已知三角形
ADG
的面积是
11
，三角形
BCH
的面
积是
23
，求四边形
EGFH
的面积．
A
G
D
F
B
H
C
E

如 图，正方形
ABCD
面积为
3
平方厘米，
M
是
AD
边上的中点．求图中阴影部分的面积．
B
C
G
A
D

【巩固】在下图的正方形
A BCD
中，
E
是
BC
边的中点，
AE
与
B D
相交于
F
点，三角形
BEF
的面积为
1平方厘米，那么正 方形
ABCD
面积是 平方厘米．
M
A
D
F
B
E
C

如图面积为< br>12
平方厘米的正方形
ABCD
中，
E,F
是
DC< br>边上的三等分点，求阴影部分的面积．

A
B
O
DE
F
O
D
C
F
C

如图，在长方形< br>ABCD
中，
AB6
厘米，
AD2
厘米，
AE EFFB
，求阴影部分的面积．
A
E
B

(2008年 ”奥数网杯”六年级试题)已知
ABCD
是平行四边形，
BC:CE3:2
，三角形
ODE
的面积为6
平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．
A
O
D

【巩固】右图中
ABCD
是 梯形，
ABED
是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，
阴影部 分的面积是 平方厘米．
B
C
E
A
9
21
4
B
E
D

【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中< br>ABCD
是梯形，
ABED
是平行四边形，已知三角形面积如图所
示( 单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．
C
A
8
16
2
B
E
D

如图所示，
BD
、
CF
将长方形
ABCD
分成4块，
DEF
的面积是5平方厘米，
CED
的面积是10平
方厘米．问：四边 形
ABEF
的面积是多少平方厘米？
C

A
F
5
E
10
D
(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形
ABCD
被
CE
、< br>DF
分成四块，已知其中3块的面积分别
为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC
的面积为___________平方厘米．
B
C
AE
2
5
O
8
F
?
B

(98迎春杯初赛) 如图，长方形
ABCD
中，
AOB
是直角三角形且面积为54，
OD
的长是16，
OB
的长是
9．那么四边形
OECD
的面积是 ．
D
C
A
D
O

B
E
C

燕尾定理应用
【例 1】 2009年第七届希 望杯五年级一试试题）如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
E
是
AC
的中点，点
D
在
BC
上，且
BD:DC1 :2
，
AD
与
BE
交于点
F
．则四边形
D FEC
的面积等于 ．
A
E
B
D
F
C
【巩固】如图，已知
BDDC
，
EC2AE
，三角形
ABC
的面积是
30
，求阴影部分面积.
A
E
F

B
2
DC

【巩固】如图，三角形
ABC
的面积是
200cm
，
E
在
AC
上
，点
D
在
BC
上，且
AE:EC3:5
,
BD:DC2:3
，
AD
与
BE

交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于 ．

A
E
B
D
F
C

【巩固】 如图，已知
BD3DC
，
EC2AE
，
BE
与
CD
相交于点
O
,则
△ABC
被分成的
4
部分面积 各
占
△ABC
面积的几分之几？
A
E
O
BD
C
【巩固】如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
BD2DC
，
CE2AE
，
AD
与
BE
相交 于点
F
，请写出这
4
部分的面积各是多少?

A
E
F
B
D
C

【巩固】如图，
E
在
AC
上，
D
在
BC
上，且
AE:EC 2:3
,
BD:DC1:2
，
AD
与
BE
交于
点
F
．四边形
DFEC
的面积等于
22cm
2，则三角形
ABC
的面积 ．

A
E
F
B
D
C

三角形
ABC< br>中，
C
是直角，已知
AC2
，
CD2
，
CB3
，
AMBM
，那么三角形
AMN
(阴影部分)
的 面积为多少？
A
M
N
C


D
B

【巩固】如图，长方形
ABCD< br>的面积是
2
平方厘米，
EC2DE
，
F
是
DG
的中点．阴影部分的面积是
多少平方厘米?
A
F
B
G
D
E
C
B
A

如图所示，在四边形
ABCD
中，
AB3BE
，
AD3 AF
，四边形
AEOF
的面积是
12
，那么平行四边形
BO DC
的面积为________．
A
F
E
B
O
C
D

则四边形
AGCDABCD
是边长为
12
厘米的正方形，
BC边的中点，
E
、
F
分别是
AB
、
AF
与
CE
交于
G
，
的面积是_________平方厘米．
D
C
G
F
A
E
B
如图所示，在
△ABC< br>中，
BE:EC3:1
，
D
是
AE
的中点，那么< br>AF:FC
．

A
F
D
B< br>【巩固】在
ABC
中，
BD:DC3:2
，
AE:EC3:1
，求
OB:OE
？
EC

A
O
B
【巩固】在
ABC
中，
BD:DC2:1
，
AE:EC1:3
，求
OB:OE
？
E
D
C

A
E
O
C

如右图，三角形
ABC
中，
BD:DC4:9
，
CE:EA4:3
，求
AF: FB
．
A
F
B
O
D
E
B
D
C

如右图，
△ABC
中，
G
是
AC
的中点，
D
、
E
、
F
是
BC
边上的四等分点，
AD
与
BG
交于
M
，
AF
与
BG
交于
N
，已知
△ABM
的面积比四边形
FCGN
的面积大
7.2
平方厘米，则
△ABC
的面积是多少平方
厘米？
A
G
N
M
B
D
EF
C



【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，
ABC
中，点
D
是边
AC
的中点，点
E
、
F
是边
BC的三等
分点，若
ABC
的面积为1，那么四边形
CDMF
的面 积是_________．

A
D
N
B


M
E
F
C