梦见海水涨潮-与狐谋皮

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解析几何中的基本公式
平行线间距离：若
l
1
:AxByC
1
0,
则：
d
l
2
:AxByC
2
0

C
1
C
2
AB
22

注意点：x，y对应项系数应相等。
点到直线的距离：
P(x

,y

),l:AxByC0

则P到l的距离为：
d
Ax< br>
By

C
AB
22


ykxb
直线与圆锥曲线相交的弦长公式：


F(x,y)0

消y：
axbxc0
，务必注意
0.

若l与曲线交于A
(x
1
,y
1
),B(x2
,y
2
)

则：
AB
2
(1k
2
)(x
2
x
1
)
2

若A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，P（x，y）。P在直线AB上，且P分有向线段AB所成的 比为

，
x
1
x
2
x
1
x
2


x
x



1 
2
则

，特别地：

=1时，P为AB中点且


yyyy
22

y
1

y
1


1 2


变形后：

xx
1
yy
1
或

x
2
xy
2
y
若直线l1
的斜率为k
1
，直线l
2
的斜率为k
2
，则 l
1
到l
2
的角为
,(0,)

适用范围 ：k
1
，k
2
都存在且k
1
k
2

－1 ，
tan
k
2
k
1

1k
1
k
2
1 7

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若l
1
与l
2
的夹角为

，则
tan
k
1
k
2

，
(0,]

2
1k
1
k
2
注意：（1）l
1
到l< br>2
的角，指从l
1
按逆时针方向旋转到l
2
所成的角，范围< br>(0,)

l
1
到l
2
的夹角：指 l
1
、l
2
相交所成的锐角或直角。
（2）l
1

l
2
时，夹角、到角=

。
2
（3）当l
1
与l
2
中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。


（1）倾斜角

，
(0,)
；
（2）
a,b夹角，[0，]
；
（3）直线l与平面
的夹角，[0，]
；
（4）l
1与l
2
的夹角为

，

[0，]
，其中l< br>1
l
2
时夹角

=0；
（5）二面角
,
(0,]
；
（6）l
1
到l
2
的角
，(0，)

直线的倾斜角

与斜率k的关系
每一条直线都有倾斜角

，但不一定有斜率。
若直线存在斜率k，而倾斜角为

，则k=tan

。
直线l
1
与直线l
2
的的平行与垂直
（1）若l
1
，l
2
均存在斜率且不重合：①l
1
l
2
 k
1
=k
2

②l
1

l
2

k
1
k
2
=－1
（2）若
l
1
:A
1
xB
1
yC
1
0,
若A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零 < br>l
1
l
2



2

2
l
2
:A
2
xB
2
yC
2
 0

A
1
B
1
C
1
；


A
2
B
2
C
2
l
1

l
2

A
1
A
2
+B
1
B
2
=0；
2 7

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l
1
与l
2
相交

A
1
B

1

A
2
B
2
A
1
B
1
C
1
；

A
2
B
2< br>C
2
l
1
与l
2
重合

注意：若A
2
或B
2
中含有字母，应注意讨论字母=0与

0的情况。
直线方程的五种形式
名称 方程 注意点
斜截式： y=kx+b 应分①斜率不存在
②斜率存在
点斜式：
yy

k(xx

)
（1）斜率不存在：
xx


（2）斜率存在时为
yy

k(xx

)

两点式：
yy
1
xx
1


y
2
y
1
x
2
x
1
截距式：
xy
1
其中l交x轴于
(a ,0)
，交y轴于
(0,b)
当直线l在坐标轴上，截
ab
距相等时 应分：
（1）截距=0 设y=kx
（2）截距=
a0
设
即x+y=
a

一般式：
AxByC0
（其中A、B不同时为零）
11、直线
AxByC0
与圆
(xa) (yb)r
的位置关系有三种
若
d
222
xy
1

aa
AaB bC
AB
22
，
dr相离0


dr相切0


dr相交0

3 7

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13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
（一）椭圆
定义Ⅰ：若F1
，F
2
是两定点，P为动点，且
PF
1
PF
2
2aF
1
F
2
（
a
为常数）则P点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ：若F
1
为定点，l为 定直线，动点P到F
1
的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0椭圆。

x
2
y
2
标准方程：
2
2
1

(ab0)

ab
定义域：< br>{xaxa}
值域：
{xbyb}

长轴长=
2a
，短轴长=2b
焦距：2c
a
2
准线方程：
x

c
焦半径
：a
2
PF
1
e(x)
c
，
a
2< br>PF
2
e(x)
c
，
PF
1
2aP F
2
，
acPF
1
ac
等
（
注意 涉及焦半径①用点P坐标表示，②第一定义。）
注意：（1）图中线段的几何特征：
A
1
F
1
A
2
F
2
ac
，
A
1
F
2
A
2
F
1
ac


B
1
F
1
B
1
F< br>2
B
2
F
2
B
2
F
1
a
，
A
2
B
2
A
1
B
2< br>
离分别与
a,b,c
有关。
（2）
PF1
F
2
中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段
PF
1
．．．．．．．．．．．
建立
PF
1
a
2
b2
等等。顶点与准线距离、焦点与准线距
、
PF
2
、
2 c，有关角
F
1
PF
2
结合起来，
+
PF
2
、
PF
1

PF
2
等关系

xacos
（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：

； < br>ybsin

（4）注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在 y轴上时，其相应的性质。
4 7

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二、双曲线
（一）定义：Ⅰ若F
1
，F
2
是两 定点，
PF
，则动点P的轨迹是双曲线。
1
PF
2
2 aF
1
F
2
（
a
为常数）
Ⅱ若动点P到定点F与 定直线l的距离之比是常数e（e>1），则动点P的轨迹是双曲线。
（二）图形：












（三）性质
方程：
a0,b0)

y
2
x
2
(
a
2

b
2
1

(a0,b0)

定义域：
{xxa或xa}
； 值域为R；
实轴长=
2a
，虚轴长=2b
焦距：2c
准线方程：
x
a
2
c

2
焦半径：
PFx
a
2
c
)
，
PF
a
1
e(
2
e(
c
x)
，
PF
1< br>PF
2
2a
；
注意：（1）图中线段的几何特征：
AF
1
BF
2
ca
，
AF
2
BF1
ac

5 7

x
2
y
2
a
2

b
2
1

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a
2
a
2
a
2
a
2
2 a
2
或a或c
顶点到准线的距离：
a
；焦点到准线的距离：
c
;两准线间的距离= < br>cccc
c
x
2
y
2
x
2
y
2
b
（2）若双曲线方程为
2

2
1
渐近线方程：
2

2
0
yx

ab
ab
a

x
2
y
2< br>xy
b
若渐近线方程为
yx

0

双曲线可设为
2

2


ab
ab
a< br>x
2
y
2
x
2
y
2
若双曲线与
2

2
1
有公共渐近线，可设为
2

2


abab
（
0
，焦点在x轴上，0
，焦点在y轴上）
（3）特别地当
ab时
离心率
e
可设为
xy
；
（4）注意
PF
1
F
2
中结合定义
PF
将有关线段
PF
1
PF
2
2a
与余弦定 理
cosF
1
PF
2
，
1
和角结合起来。
二、抛物线
（一）定义：到定点F与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。
（二）图形： < br>22
2

两渐近线互相垂直，分别为y=
x
，此时双曲线为 等轴双曲线，
、
PF
2
、
F
1
F
2

6 7

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（三）性质：方程：
焦点：
(

y
2
2px,(p0),p焦参数
；
p
,0)
，
通径
AB2p
；
2
p
准线：
x
；
2
ppp

焦半径：
CFx
,
过焦点弦长
CDx
1
x
2
x
1
x
2
p

222
p
注意：（1）几 何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=
p
；通径长=
2p

2
顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
y
22
（2）抛物线
y2px
上的动点可设 为P
(

,y

)
或
P(2pt,2pt)或P
(x

,y

)其中y

2px


2p
2
2



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