圆的概念公式与推导(完整版)
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〖圆的定义〗
几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆
心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，
一定长为距离运动一周的轨迹称为圆
周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗
圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是
3.979323846
⋯ ，通常用 π表示，计算中常取
值。
3.1416 为它的近似
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，
简称弧。大于半圆的弧称为优弧，
小于半圆的弧称为劣弧。 连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角： 顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上， 且它的两边
分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
其圆心叫做三角形
的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，
其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一
个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗
圆 —⊙ 半径 —r 扇形弧
长／圆锥母线 —l
弧 —⌒
周长—C
直径
—d
面积 —S
〖圆和其他图形的位置关系〗
圆和点的位置关系：以点 P 与圆 O 的为例（设
P 是一点，则 PO 是点到圆心的
距离）， P 在⊙ O 外， PO ＞r； P 在⊙ O
上， PO ＝ r；P 在⊙ O 内， PO ＜r。
直线与圆有 3
种位置关系：无公共点为相离； 有两个公共点为相交； 圆与直线有
唯一公共点为相切，
这条直线叫做圆的切线， 这个唯一的公共点叫做切点。 以
直线 AB 与圆 O 为例（设 OP
⊥AB 于 P，则 PO 是 AB 到圆心的距离）： AB 与 ⊙
O 相离， PO
＞r；AB 与⊙ O 相切， PO ＝r； AB 与⊙ O 相交， PO ＜r。
两圆之间有 5 种位置关系：无公共点的，
一圆在另一圆之外叫外离，
在之内叫
内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共
点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 两圆的半径分别为 R 和 r，且
R≥r，
圆心距为 P：外离 P＞R+r；外切 P=R+r ；相交 R-r＜ P＜R+r；内切
P=R-r ；内
含 P＜R-r 。
【圆的平面几何性质和定理】
〖有关圆的基本性质与定理〗
圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
圆的对称性质： 圆是轴对称图形， 其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是
中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定
理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分
弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的弧。
〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗
在同圆或等
圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量
相等，那么他们所对应的其余各组量都
分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。 90 度的圆周角所对的弦是直径。
〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗
一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分
线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
内切圆的圆心是三角形各内角平分线的
交点，到三角形三边距离相等。
〖有关切线的性质和定理〗
圆的切线垂直于过切点的直径；
经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，
是这个圆的切线。
切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：（
1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（ 2）经过切
点垂直于切线的直线必经过圆心。（
3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。
〖有关圆的计算公式〗
2. 圆的面积 S=π r2
3. 扇形弧长 l=n π r180
1.
圆的周长 C=2π r= π d
5. 圆锥侧面积
S=π rl
4.
扇形面积 S=nπ r2360=rl2
弦切角定义
顶点在圆上，一边和圆相交，另
图示
一边和圆相切的角叫做
弦切角 。
如右图所示， 直线 PT 切圆 O 于点 C，BC 、AC 为圆
O 的弦，则有∠ PCA= ∠ PBC( ∠ PCA
为弦切角） 。
弦切角定理
弦切角定理：
弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半
. ( 弦切角就是
切线 与弦所夹的角）
弦切角定理证明：
证明一：设圆心为
O，连接
OC ， OB, 连接
BA
并延长交直线
T 于点
P。
∵∠
TCB=90-
∠ OCB
∵∠
BOC=180-2
∠ OCB
此图证明的是弦切角∠
TCB
∴ , ∠
BOC=2 ∠ TCA （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）
∵∠
BOC=2 ∠ CAB （圆心角等于圆周角的两倍）
∴∠ TCA= ∠ CAB
（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）
证明已知：
AC 是⊙ O
的弦， AB
是⊙ O 的切线， A
为切点，弧是弦切角∠
所夹的弧
.
求证：（弦切角定理）
证明：分三种情况：
（ 1） 圆心
O 在∠ BAC 的一边 AC 上
∵ AC 为直径， AB 切⊙ O 于 A，
∴弧 CmA= 弧 CA
∵为半圆
,
∴∠
CAB=90= 弦 CA 所对的圆周角
B 点应在 A 点左侧
（
2） 圆心 O 在∠ BAC 的内部 .
过 A作直径 AD 交⊙O于 D,
若在优弧
m 所对的劣弧上有一点
E
那么，连接
EC、ED、EA
则有：∠ CED= ∠ CAD 、∠ DEA= ∠ DAB
∴
∠ CEA= ∠ CAB
BAC
∴
（弦切角定理）
（ 3） 圆心 O 在∠ BAC 的外部 ,
过 A作直径 AD
交⊙O于D
那么
∠ CDA+ ∠ CAD= ∠ CAB+ ∠
CAD=90
∴∠ CDA= ∠ CAB
∴（弦切角定理）
弦切角推论 :
若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
举例 :
例 1 ：如图， 在中， ∠ C=90 ，以 AB 为弦的⊙ O 与 AC 相切于点
AB=a 求BC长.
解：连结
OA ，
OB.
∵在中 , ∠ C=90
∴∠ BAC=30°
∴ BC=12a(
ＲＴ△中
30°角所对边等于斜边的一半）
例 1：如图， 在中， ∠
C=90 ，以 AB 为弦的⊙ O 与 AC 相切于点 A ，∠ CBA=60°
求
BC 长.
解：连结
OA ， OB.
∵在中 , ∠ C=90
∴∠ BAC=30°
∴ BC=12a( ＲＴ△中
30°角所对边等于斜边的一半）
A ，∠ CBA=60°
, AB=a
,
例
2：如图，
AD
是
ABC
中∠
BAC
的平分线，经过点
A 的⊙
O
与
BC
切于点
D ，与
AB
，AC
分别相交于
求证：
EF ∥ BC.
E， F.
证明：连
DF.
∠ BAD= ∠ DAC
AD 是∠ BAC 的平分线
∠ EFD= ∠ BAD
∠ EFD= ∠ DAC
⊙
O 切 BC 于 D ∠FDC= ∠DAC
∠ EFD= ∠ FDC
EF∥ BC
例
3：如图， ABC 内接于⊙ O， AB 是⊙ O 直径， CD ⊥ AB 于 D ，
MN 切⊙ O 于 C，
求证： AC 平分∠ MCD ， BC 平分∠ NCD.
证明：∵ AB 是⊙ O 直径
∴∠ ACB=90
∵
CD ⊥AB
∴∠ ACD= ∠ B，
∵ MN切⊙O于C
∴∠ MCA= ∠ B，
∴∠ MCA= ∠ ACD
，
即 AC 平分∠ MCD ，
同理：
BC 平分∠ NCD.
切线长定理
从圆外一点引圆的两条
切线 ，它们的 切线长 相等，圆心和这一点的连线，平分两条切
线的夹角。
如图中，切线长
AC=AB 。
∵∠ ABO= ∠ ACO=90°
BO=CO= 半径
AO=AO
公共边
∴ Rt ABO ≌ Rt ACO（
H.L ）
∴ AB=AC
∠ AOB= ∠ AOC
∠ OAB=
∠ OAC
切线长定理推论：圆的外接四边形的两组对边的和相等
切线长的概念．
如图，
P 是⊙ O 外一点， PA ， PB 是⊙ O
的两条切线，我们把线
段 PA， PB 叫做点
P到⊙O
的
切线长． 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的
概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外
一点和切点，可以度量
.
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切
线，它们的切线长相等，圆心和这一点
的连线平分两条切线的夹角．
推广：连接
BC，BC⊥AO
相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条
线，各弦被这点所分成的两段的积相等）
相交弦说明
几何语言：
若弦 AB、CD 交于点
P
则 PA·PB=PC· PD （相交弦定理）
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的
比例
中项
几何语言：
若 AB 是直径，
CD 垂直 AB 于点 P，则
PC^2=PA· PB （相交弦定理推论）
编辑本段 如何证明
证明：连结
AC ， BD ，由 圆周角定理
的推论，得∠
A ＝∠ D ，∠ C ＝∠ B 。（ 圆周角
推论 2:
同 (等 )弧所对圆周角相等
.）
∴△ PAC ∽△ PDB ，∴ PA∶ PD ＝ PC ∶ PB ，PA·PB
＝
PC·PD
注：其 逆定理 可作为证明圆的 内接三角形 的方法 . P
点若选在圆内任意一点更具一般
性。
切割线定理：从圆外一点引圆的
切线 和 割线 ，切线长是这点到割线与圆交点的两条
线段长的
比例中项 。是 圆幂定理
的一种。
几何语言：
∵ PT 切⊙ O 于点 T， PBA 是⊙ O 的割线 ∴
PT 的平方
=PA·PB（切割线定理）
推论：
从圆外一点引圆的两条割线，
这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相
等
几何语言：
∵ PBA ， PDC 是⊙ O 的割线
∴
PD·PC=PA· PB （切割线定理推论） (割线定理 ）
由上可知 :PT 的平方
=PA·PB=PC· PD
证明
切割线定理证明
:
设 ABP 是⊙ O
的一条割线， PT 是⊙ O 的一条切线， 切点为 T，则 PT²=PA· PB
证明：
连接 AT, BT
∵∠ PTB= ∠ PAT( 弦切角定理
)
∠ P= ∠P(公共角 )
∴△ PBT ∽△
PTA( 两角对应相等
,两三角形相似 )
则 PB ：
PT=PT ： AP
即： PT²=PB· PA
相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条
线，各弦被这点所分成的两段的积相等）
相交弦说明
几何语言：
若弦 AB、CD
交于点
P
则 PA·PB=PC· PD （相交弦定理）
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的
比例
中项
几何语言：
若 AB 是直径， CD 垂直 AB 于点
P，则
PC^2=PA· PB （相交弦定理推论）
如何证明
证明：连结
AC ， BD ，由 圆周角定理
的推论，得∠
A ＝∠ D ，∠ C ＝∠ B 。（ 圆周角
推论 2:
同 (等 )弧所对圆周角相等
.） ∴△
PAC ∽△ PDB ，∴ PA∶ PD ＝ PC ∶ PB ，PA·PB
＝ PC·PD
注：其 逆定理 可作为证明圆的 内接三角形 的方法 . P
点若选在圆内任意一点更具一般
性。
从圆外一点
P
引两条
割线 与圆分别交于
A.B.C.D则有
PA·PB=PC· PD 。
证明：如图直线
ABP 、
和
CDP
是自点
P 引的⊙
O 的两条割线，则
PA·PB=PC· PD
证明 :连接 AD
BC
∵∠A和∠C都对弧 BD
∴由 圆周角定理
，得
∠ A= ∠ C
又∵∠ APD= ∠ CPB
∴△ ADP ∽△ CBP
∴ AP:CP=DP:BP, 也就是
AP·BP=CP· DP
101 圆是定点的距离等于定长的点的集合
102
圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103
圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104 同圆或等圆的半径相等
105
到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半
径的圆
106
和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直
平分线
107
到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108
到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距
离相等的一条直线
109
定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论 1 ①平分弦（不是直径）的直径垂
直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112
推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等
115 推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117 推论 1
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118 推论
2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所
对的弦是直径
119 推论 3
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
120
定理
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它
的内对角
121 ①直线 L 和 ⊙O 相交
d＜
r
②直线 L 和 ⊙O 相切
d=r
③直线 L
和 ⊙O 相离
d＞ r
122 切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
124 推论 1
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125 推论 2
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126 切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127
圆的外切四边形的两组对边的和相等
128 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130
相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积
相等
131 推论
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
132
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
133 推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相
等
134 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135 ①两圆外离 d ＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交
R-r ＜d ＜ R+r(R ＞ r)
④两圆内切
d=R-r(R ＞ r) ⑤两圆内含 d ＜ R-r(R ＞ r)
136
定理
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137 定理
把圆分成
n(n ≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正
n 边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正
138
定理
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
n
边形