致富新项目-北京商铺租赁

立体几何体的表面积与体积易考点
1.多面体的面积和体积公式
名称
棱
柱
棱柱
直棱柱
棱锥
正棱锥
棱台
棱
台
正棱台
侧面积(S
侧
)
直截面周长×l
全面积(S
全
) 体 积(V)
S
底
·h=S
直截面
·h
S
侧
+2S
底

S
底
·h
S
侧
+S
底

1
S
底
·h
3
ch
各侧面积之和
棱
锥
1
ch′
2
各侧面面积之和
1
S
侧
+S
上底
+S
下底

(c+c′)h′
2
1
h(S
上底
+S
下底
+< br>S
下底
S
下底
)
3
表中S表示面积，c′、c分 别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式
名称 圆柱
2πrl
2πr(l+r)
πrh(即πrl)
22
圆锥
πrl
πr(l+r)
圆台
π(r
1
+r
2
)l
π(r
1
+r2
)l+π(r
1
+r
2
)
22
球

4πR
2
S
侧

S
全

V
1
2
πrh
3
1
22
πh(r1
+r
1
r
2
+r
2
)
3
4
3
πR
3
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱 、圆锥与球冠的底半径，r
1
、r
2
分别表示圆台 上、下底面半径，R表
示半径
2.直观图的面积

直观图是对空间几何体的整体刻画，人们可以根据直观图的结构想象实际物体的形象，掌握直观图的画法是学好立体几何的基础．在直观图的学习中，熟记斜二侧画法的作图原理是必须的，但对于直观图的面积问题，我 们无
需作出图形，可直接利用经验公式：加以解决．
下面对其中常见的几类面积问题举例剖析，希望能对同学们的学习有所帮助．
给定一个边长为的正方形，可以求得其直观图面积与正方形面积之比为．

如左图：显然；
在右图中，，，即在等腰中，得
．
从而有：
1）已知原图面积，求直观图面积

例1 已知某四边形的面积为
．
，试求其直观图的面积．
【解析】此题告诉的已知四边形 没有明确的特征，因此其直观图利用斜二侧画法是无法作出的．但是，根据经
验公式可得：，即．

2）已知直观图面积，求原图面积

例2 已知的平面直观图是边长为的正三角形，试求
直观图的面积，
的面积．
【解析】题中所给的条件能轻易地确定
；根据经验公式可知
．
例3 如图所示，梯形
，

平行于
是某一平面图形的直观图．若
轴，求原图面积．
，，，并且

【解析】如果根据斜二侧画法的原理来分析，从而得出原图形，也是可以求解，但利用经 验公式
就免去了复杂的作图，直接由题中已知条件即可求出直观图面积，由

求解即可．
3.正四面体：
正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所 有棱长都相等。它有4个面，6条棱，
4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。正四面体又是特殊的正 三棱锥。

正四面体的内切球及外接圆的半径及其求法
对于棱长为a的正四面体，有：
（a3）2
2、高为
（a6）3
1、侧面高为
（a6）4

（a6）12
4、外接球半径 3、内切球半径
内切球根据球心到各个面的 距离相等把正四面体分解成三个正三棱锥，
首先计算出整体的体积V然后根据三个三棱锥的体积相等得v =V3,又有三
棱锥的体积计算公式有：
Sh
则有求出的h即为内切球的半径。
①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，
h
3
2
6a
，
a
，
S
底

3
4
13
S
侧

13
2
613
2
13
2
24
3
2
aa3aRaRRa
a
， 得
4
3433434123
注：球内切于四面体：
V
BACD
3
26
a3a
.
412
111
S
侧
R3S
底
RS
底
h
。
333
R
O
②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.

6

3

6



R< br>2
.
Ra

aRa

3

3

4

外接球的半径算法我们可以很容易的知道外接球的球心至正四 面体的每一个顶点
的距离是相等的.
内切球与外接球半径的联系：内切球半径+外接球半径= 正四面体的高即
22
（a6）4
=
（a6）3

（a6）1 2
+
运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。
如图1 所示，设点
O
是内切球的球心，正四面体棱长为
a
．由图形的对称性知，点< br>O
也是外接球的球心．设内切球半径为
r
，外接球半径为
R
．

3

6
2

r
2
，
a
，
a
BO
2
BE
2
EO
2
，在
RtBEO
中，即
R

得
R
得
R3r


3

4

【点评】由于正四面体本 身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，
为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为< br>半径
2
h
(
h
为正四面体的高)，且外接球的
4
图1
3h
，从而可以通过截面图中
RtOBE
建立棱长与半径之间的关系。 < br>4

对于棱长为
a
正四面体的问题可将它补成一个边长为
2
a
（正方体的边长）
2
2
a
的正方体问题。
2
对棱间的距离为
正四面体的高
6
2
a
（
l正方体体对角线
）
3
3
2
3
1
a
（
V
正方体
4V
小三棱锥
V
正方体
）
12
3
正四面体的体积为
4.三棱锥常用结论：
1.三条棱两两相等的三棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的外心.
2.三条棱两两相互垂直的三棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂心.
3.三条棱两两相互垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于三条棱的平方和.
5.长方体的“一角”模型
在三棱锥
PABC
中，
PAPB, PBPC,PCPA
，且
PAa,PBb,PCc
.
①以P为公共点的三个面两两垂直；
②△ABC是锐角三角形
③P在底面ABC的射影是△ABC的垂心
④三棱锥
PABC
的高 A
a
b
C
P
c
h
abc
a
2
b
2
b
2
c
2
c
2
a2
即
1111

2

2
.

22
habc
B
设直线AH交BC于D点，由于H点一定在△ABC内部，所以D点 一定在BC上，连结PD.
在△PAD中，
a(
PH
a(
⑤体积：
V
2
bc
bc
bc
2
22
P
)

2
abc
abbcca
222222
< br>A
a
b
c
bc
)
2
C
H
D
B
1
abc
;
6
⑥它的外接球直径是
a
2
b
2
c
2
.

例.已知三棱锥S- ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4,则该三棱锥的外接球半径为？
解：
设其外接球的半径为
R
，则有
2Ra
2
b
2
c
2
.

三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB =SC=4，则该三棱锥的外接球，
就是三棱锥扩展为长方体的外接球，所以长方体的对角线的长度为：=6，
所以该三棱锥的外接球的半径为：3
变式 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.
16

B.
20

C.
24

D.
32


小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

练习题
（ ）
C．圆柱 D．圆台
1. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是 （ ）
A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱
2.(2013四川卷（文））
一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是
A．棱柱








B．棱台
3.
(2013年高考山东卷（文））
一个四棱锥的侧棱长都相等 ,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积
和体积分别是( )

A．
45,8


B．
45,

8

3
C．
4(51),
8

3
D．8,8
4.【新课标文8】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到 平面α的距离为2，则此球的体积为 （ ）
（A）6π （B）43π （C）46π （D）63π

5、已知△ABC的直观图是边长为a的等边
为（ ）

A、a
a
2
2
△A
1
B
1
C
1
（如图），那么原三角形的面积

B、

C、
D、

a
a
2
2

6.【2012高考江西7】若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为

A．
9
11
B.5 C.4 D.
2
2


7.【2012上海5】一个高为2的圆柱，底面周长为< br>2

，该圆柱的表面积为

8. 已知三棱 锥S—ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，则三棱锥S—ABCD的外接球的体积为_ ____。
9.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为
3
，则其外接球的表面积是 .
10.【江苏7】（5分）如图，在长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
ABAD3cm
，
AA
1
2cm
，则四棱锥
ABB
1
D
1
D
的体
积为 cm．
3

11.【山东文13】如图，正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的 棱长为1，E为线段
B
1
C
上的一点，则三棱锥
ADED
1
的体积为
＿＿＿＿＿.

12. 正四棱锥
SABCD
的底面边长和各侧棱长都为
2
，
S、A、B、C、D
都在同一球面上，则此 球的体积
为 .



D
A
O
1
图3
B
S
C