惩戒骑属性-四年级下册数学计算题大全300道

第二章 物体质量的计算方法

第一节 物体质量的计算

一、密度

计算物体质量时，离不开物体材料的密度。所谓密度是指由一 种物质组成的物体的单位
3
体积内所具有的质量，其单位是kg／m(千克／米
3)。各种常用物体的密度及每立方米的质
量见表2—1。

表2—1 各种常用物体的密度及每立方米的质量表
每立方米体每立方米体
密度 密度
物体材料 积的质量 物体材料 积的质量
×10
3
kg／m
3
×10
3
kg／m
3

(t) (t)
钢、铸钢
铸铁
铸铜、镍
铝
铅
铁矿
木材
粘土
7.85
7.2～7.5
8.6～8.9
2.7
11.34
1.5～2.5
0.5～0.7
1.9
7.85
7.2～7.5
8.6～8.9
2.7
11.34
1.5～2.5
0.5～0.7
1.9
混凝土
碎石
水泥
砖
煤
焦碳
石灰石
造型砂
2.4
1.6
0.9～1.6
1.4～2.0
0.6～0.8
0.35～0.53
1.2～1.5
0.8～1.3
2.4
1.6
0.9～1.6
1.4～2.0
0.6～0.8
0.35～0.53
1.2～1.5
0.8～1.3

二、面积计算

物体体积的大小与它本身截面积的大小成正比。各种规则几何图形的面积计算公式见表
2—2。

表2—2 平面几何图形面积计算公式表
名 称 图 形 面积计算公式
正方形

S=a
2

长方形

S=ab
平行四边形

S=ah
三角形

S
1
ah
2

梯 形

S
(ab)h
2

S
圆 形


4
d
2
2
(或
S

R
)
d——圆直径
R——圆半径

d、D——分别为圆环内、外直
径
r、R——分别为圆环内、外半径
S

4
(D
2
d
2
)

(R
2
r
2
)
圆环形

扇 形

S

R
2

360

α——圆心角(度)

三、物体体积的计算

物体 的体积大体可分两类：即具有标准几何形体的和由若干规则几何体组成的复杂形体
两种。对于简单规则的 几何形体的体积计算可直接由表2—3中的计算公式查取；对于复杂
的物体体积，可将其分解成数个规则 的或近似的几何形体，查表2—3按相应计算公式计算
并求其体积的总和。

表2—3 各种几何形体体积计算公式表
名 称 图 形 公 式
立方体

V=a
3

长方体

圆柱体

V=abc
V

4
d
2
h

R
2
h

R——半径

空心圆柱体
V

4
(D
2
d
2
)h

(R
2
r
2
)h

r、R——内、外半径

斜截正圆柱体

球体

V

4
d< br>2
(h
1
h)(hh)


R
2
1
22

R——半径
41
V

R
3


d
3
36

R——底圆半径
d——底圆直径
V
圆锥体

1


d
2
hR
2
h
123

R——底圆半径
d——底圆直径
V
任意三棱体

1
bhl
2

b——边长
h——高
l——三棱体长
V
截头方锥体

h
[(2aa< br>1
)b(2a
1
a)b
1
]
6

a、a
1
——上下边长
b、b
1
——上下边宽
h——高
正六角棱柱体

33
2
bh
2
V2.598b
2
h2.6b
2
h

V
b——底边长

四、物体质量的计算
物体的质量可根据下式计算：
物体的质量＝物体的密度×物体的体积
其表达式为： m＝ρV
式中：m——物体的质量；
ρ——物体的材料密度；
V——物体的体积。
例：试计算一块长为3m，宽为1m，厚为50mm的钢板质量。
解：计算体积时必须统一单位：长为3m，宽为1m，厚为50mm，即0．05m。

查表2—1得知，钢材的密度ρ＝7．85×10
3
kg／m
3

计算体积：V=a·b·c
=3×1×0．05
＝0．15(m
3
)
计算：质量：m＝ρ·V
＝7．85×10
3
×0．15
＝1．18×10
3
(kg)
例：起重机的料斗如图2—1所示，它的上口长为 1．2m，宽为1m，下底面长0．8m，
宽为0．5m，高为1．5m，试计算满斗型砂的质量。
解：查表2—1得知型砂的密度：
ρ=1．1×10
3
kg／m
3

计算料斗的体积：
计算型砂的质量：

h
V[(2aa
1
)b (2a
1
a)b
1
]
6
1.5
[(21 .20.8)1(20.81.2)0.5]
6
1.15(m
3< br>)

m

V1.110
3
1.151.2 6510
3
(kg)

图2—1 起重机的料斗



电子课文·正弦定理、余弦定理

在初中，我们已会解直角三角形． 就是说，已会根据直角三角形中已知的边
与角求出未知的边与角．那么，如何来解斜三角形呢？也就是如 何根据斜三角形
中已知的边与角求出未知的边与角呢？为此，我们先来学习两个重要定理——正
弦定理和余弦定理．
1．正弦定理

如图5-35．在Rt△ABC中，已知BC=a，AC=b，AB=c，则有


那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢？下面我们用向量来研究这
个问题．
如图5-36(1)，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于

j与

的夹角为90°-A，j与

的夹角为90°-C．
，则

由图5-36(1)看到，

为了与图中有 关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与
向量j的数量积运算，得到

由分配律可得


∴asinC=asinA．

同理，过点C作与

垂直的单位向量j，可得


当△ABC为钝角三角形时，不妨设∠A＞90°(图5-36(2))，过点A作与

垂直的单位向量j，则j与

样可证得
的夹角为A-90°，j与

的夹角为90°-C．同

这就是说，对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来说 ，上面的关系式
均成立．因此，我们得到下面的定理．
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边
和角)．
例1 在△ABC中，已知c=10，A=45°，C=30°，求b(保留两个有效数
字)．

B=180°-(A+C)=180°-(45°+30°)=105°，
①
例2 在△ABC中，已知a=20，b=28，A=40°，求B(精确到
1°)和c(保留两个有效数字)．

∴B
1
=64°，B
2
=116°．
当B
1=64°时，C
1
=180°-(B
1
+A)=180°-(64°+4 0°)=76°，

当B
2
=116°时，C
2< br>=180°-(B
2
+A)=180°-(116°+40°)=24°，

例3 在△ABC中，已知a=60，b=50，A=38°，求B(精确到1°)和c(保
留两个有效数字)．
解：已知b＜a，所以B＜A，因此B也是锐角．

∴B=31°．
∴C=180°-(A+B)=180°-(38°+31°)=111°．

由例2和例3可以知道，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解或一
解，图5 -37和图5-38说明了在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情
况．
(1)A为锐角(图5-37)．

(2)A为直角或钝角(图5-38)．

2．余弦定理
我们知道，对于 一个直角三角形来说，它的斜边的平方等于两条直角边的平
方和．那么对于任意一个三角形来说，是否也 可以根据一个角和夹此角的两边，
求出此角的对边呢？
下面我们用向量来研究这个问题．
如图5-39，在△ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b．

即
b
2
=c
2
+a
2
-2accosB． ①
同理可证
a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA， ②
c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC． ③
由此又得到如下定理：
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它
们夹角的余弦的积的两倍．
即

在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以
c
2
=a
2
+b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，
由①、②、③可得：

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
例4 在△ABC中，已知a=7，b=10，c=6，求A、B和C(精确到1°)．

∴A≈44°．

∴C≈36°．
∴B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°．
例5 在△A BC中，已知a=2.730，b=3.696，C=82°28′，解这个三角形
(边长保留四个有效 数字，角度精确到1′)．
解：由

c
2
=a
2< br>+b
2
-2abcosC
=2.730
2
+3.6962
-2×2.730×3.696×cos82°28′
得c=4.297．

∴A=39°2′．
∴B=180°-(A+C)
=180°-(39°2′+82°28′)
=58°30′．