新中国成立的意义-七个月宝宝食谱

2018
级中考数学专题训练—材料阅读






1．如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次 排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的

一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数 称为
“
和谐数
”
．例如自然数
12321
，从最高位到个位依次排出

的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位 到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此 12321

是一个
“
和谐数
”
，再加
22
，
545
，
3883
，
345543
，
…
，都是
“
和谐数
”
．

（
1
）请你直接写出
3
个四位
“
和谐数
”
；请你猜想任意一个四位
“
和谐 数
”
能否被
11
整除？并说明理由；

（
2
）已知一个能被
11
整除的三位
“
和谐数
”
，设其个位上的数字
x
（
1
≤
x
≤
4
，
x
为自然数），十位上的数字

为 y，求 y 与 x 的函数关系式．

2
．
“
十字相乘法
”
能把二次三项式分解因式，对于形如
ax
2
+
bxy
+
cy
2

的关于
x
，
y
的二次三项式来说，方法的

关键是把

x
2

项系数

a

分解成两个因数

a
1
，
a
2

的积，即

a=a
1
•
a
2
，把

y
2

项系数

c

分解成两个因数

c
1
，
c
2

的积，

即

c=c
1
•
c
2
，并使

a
1< br>•
c
2
+
a
2
•
c
1

正好等于

xy

项的系数

b
，那么可 以直接写成结果：
ax
2
+
bxy
+
cy
2
=
（
a
1
x
+
c
1
y
）

（
a
2
x
+
c
2
y
）．

例：分解因式：x
2
﹣2xy﹣8y
2
．

解：如图 1，其中 1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）．

∴x
2
﹣2xy﹣8y
2
=（x﹣4y）（x+2y）

而对于形如 ax
2
+bxy+cy
2
+dx+ey+f 的 x，y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图 2，将 a 分解成

mn 乘积作为一列，c 分解成 pq 乘积作为第二列，f 分解成 jk 乘积作为第三列，如果 mq+np=b，pk+qj=e，

mk+nj=d，即第 1，2 列、第 2，3 列和第 1，3 列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；

例：分解因式：x
2
+2xy﹣3y
2
+3x+y+2

解：如图 3，其中 1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2；

而 2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1；

∴x
2
+2xy﹣3y
2
+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）

请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

（1）分解因式：

（
2x
﹣
3y
）

①6x
2
﹣< br>17xy
+
12y
2
=
（
3x
﹣
4 y
）
（
2x
+
3y
﹣
4
）
②2x
2
﹣
xy
﹣
6y
2
+
2x+
17y
﹣
12=
（
x
﹣
2y
+3
）
（
x
+
2y
+
2
）
< br>③x
2
﹣
xy
﹣
6y
2
+
2x﹣
6y=
（
x
﹣
3y
）
（2）若关于 x，y 的二元二次式 x
2
+7xy﹣18y
2
﹣5x+my﹣24 可以分解成两个一次因式的积，求 m 的值．

3．能被 3 整除的整数具有一些特殊的性质：


（
1
）定义一种能够被
3
整除的三位数

的
“F”
运算：把

的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到

一个新数．例如

，则：
．数字
111
经过三次
“F”
运算得

，

=213
时
213 36
（
2
3< br>+
1
3
+
3
3
=36
）
243< br>（
3
3
+
6
3
=243
）
经过四次
“F”
运算得

，经过五次
“F”
运算得

，经过
2016
次
“F”
运算得

．

（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被 3 整除，那么这个数就一定能够被 3 整除，例如，

一个四位数，千位上的数字是 a，百位上的数字是 b，十位上的数字为 c，个为上的数字为 d，如果 a+b+c+d

可以被 3 整除，那么这个四位数就可以被 3 整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位

数为例即可）．

4．定义：如果M 个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组

数为 M 个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为 3×6 能被（3+6 整除）；又如（15，

30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，

15×60）能被（15+60）整除，

30

（（
×
60
）能被（
30
+
60
）整除
…

（
1
）我们发现，
3
和
6
，
4
和
12
，
5
和
20
，
6
和
30…
，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测
n
和
n
（
n
﹣
1
）

（n≥2，n 为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．

（3）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数 a．

5．如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大 1，那么我们把这样

的自然数叫做
“
妙数
”
．例如：321
，
6543
，
98
，
…
都是
“
妙数
”
．

（
1
）若某个
“
妙数
”
恰好等于其个位数的
153
倍，则这个
“
妙数
”
为

．

（
2
）证明：任意一个四位
“
妙数
”
减去任意一个两位
“
妙数
”
之差再加上
1
得到的结果一定能被
11
整除．

（
3
）在某个三位
“
妙数
”的左侧放置一个一位自然数
m
作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数
A
，

且 m 大于自然数 A 百位上的数字，否存在一个一位自然数 n，使得自然数（9A+n）各数位上的数字全都相

同？若存在请求出 m 和 n 的值；若不存在，请说明理由．

6．连续整数之间有许多神奇的关系，

如：
3
2
+
4
2
=5
2
，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方 ，称这样的正整数组为
“
奇幻

数组
”
，进而推广：设三个连续整数为
a
，
b
，
c
（
a
＜
b
＜
c
）

若
a
2
+
b
2
=c
2
，则称这 样的正整数组为
“
奇幻数组
”
；

若
a
2
+
b
2
＜
c
2
，则称这样的正整数组为
“
魔幻数组
”
；

若
a
2
+
b
2
＞
c
2
，则称这样的正整数组为
“
梦幻数组”
．

（
1
）若有一组正整数组为
“
魔幻数组
”
，写出所有的
“
魔幻数组
”
；

（2
）现有几组
“
科幻数组
”
具有下面的特征：


若有 3 个连续整数：

=2；



若有 5 个连续整数：

=2；



若有 7 个连续整数：

=2；


…

由此获得启发，若存在 n（7＜n＜11）个连续正整数也满足上述规律，求这 n 个数．

7．我们对多项式 x2+x﹣6 进行因式分解时，可以用特定 系数法求解．例如，我们可以先设x
2
+x﹣6=（x+a）

（x+b），显然这是一个恒等式．根据多项式乘法将等式右边展开有：

2
+x
x
﹣b）

6=（x+a） x+
（

=x2+（a+b）x+ab

所以，根据等式两边对应项的系数相等，可得：a+b=1，ab=﹣6，解得 a=3，b=﹣2 或者 a=﹣2，b=3．所以

x
2
+x﹣6=（x+3）（x﹣2）．当然这也说明多项式 x2+x﹣6 含有因式：x+3 和 x﹣2．

像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫特定 系数法．利用上述材料及示例解决以下问题．

（1）已知关于 x 的多项式 x
2
+mx﹣15 有一个因式为 x﹣1，求 m 的值；

（2）已知关于 x 的多项式 2x
3
+5x
2
﹣x+b 有一个因式为 x+2，求 b 的值．

8．阅读下列材料解决问题：

材料：古希腊著名数学家

毕达哥拉斯发现把数
1
，
3
，
6
，
10
，
15
，
21…
这些数量的（石子），都可以排成三

角形，则称像这样的数为三角形数．

把数
1
，
3
，
6
，
10
，
15
，
21…
换一种方式 排列，即

1=1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

…

从上面的排列方式看，把
1
，
3
，
6
，
10
，
15
，
…
叫做三角形数
“
名副其实
”
．

（
1
）设第一个三角形数为

a
1
=1
，第二个三角形数为

a
2
=3
，第三个三角形数为

a
3
=6
，请直接写出第

n

个三

角形数为

a
n

的表达式（其中

n

为正整数）．

（2）根据（1）的结论判断 66 是三角形数吗？若是请说出 66 是第几个三角形数？若不是请说明理由．

（3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和 T 与 2 的大小关系并说明理由．

9
．如果一个自然数可以表示为 两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为
“
麻辣数
”
．如：
2=1
3
﹣

（﹣
1
）
3
，
2 6=3
3
﹣
1
3
，所以
2
、
26
均为
“
麻辣数
”
．

【立方差公式 a
3
﹣b
3
=（a﹣b）（a
2
+ab+b
2
）】
（
1
）请判断
98
和
169
是否为
“
麻辣数
”
，并说明理由；

（
2
）在小组合作学习中，小明提出新问题：

求出在不超过
2016
的自然数中，所有的
‘
麻辣数
’
之和为多少？
”

“

小组的成员胡图图略加思索后说：
“
这个难不倒图图，我们知道奇数可以用
2k
+
1
表示
…
，再结合立方差公

式
…”
，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程．

10．下 面是某同学对多项式（x
2
﹣4x+2）（x
2
﹣4x+6）+4 进行因式分解的过程．

解：设 x
2
﹣4x=y

原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）

=y
2
+8y+16（第二步）

=（y+4）
2
（第三步）

=（x
2
﹣4x+4）
2
（第四步）

回答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的

．

A、提取公因式 B．平方差公式

C、两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式

（
2
）该同学因式分解的结果是否彻底

．（填
“
彻底
”
或
“
不彻底
”
）

若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果

．

（3） 请你模仿以上方法尝试对多项式（x
2
﹣2x）（x
2
﹣2x+2）+1 进行因式分解．

11．阅读材料：




材料一：对于任意的非零实数 x 和正实数 k，如果满足



为整数，则称
k
是
x
的一个
“
整商系数
”
．

例如：
x=2
时，
k=3⇒



=2，则 3 是 2 的一个整商系数；



x=2
时，
k=12⇒





=8，则 12 也是 2 的一个整商系数；

x=
时，
k=6⇒




=1
，则
6
是

的一个整商系数；

结论：一个非零实数 x 有无数个整商系数 k，其中最小的一个整商系数记为 k（x），例如 k（2）=

材料二：对于一元二次方程

ax
2
+
bx
+
c=0
（
a
≠
0
）中，两根

x
1
，
x
2

有如下关系：

x
1
+
x
2
=
﹣

；
x
1
x
2
=


应用：


（1）k（ ）=



k（﹣ ）=

），求 a 的取值范围？

（2）若实数 a（a＜0）满足 k（ ）＞k（


（
3
）若关于

x

的方程：
x
2
+
bx
+
4=0

的两个根分别为

x
1
、
x
2
，且满足

k
（x
1
）+
k
（
x
2
）
=9
， 则

b

的值为多少？

12．定义符号 min{a，b}的含义为：当 a≥b 时，min{a，b}=b；当 a＜b 时，min{a，b}=a．如：min{1，﹣

2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1．

（1）求 min{x
2
﹣1，﹣2}；

（2）已知 min{x
2
﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数 k 的取值范围；

（3）已知当﹣2≤x≤3 时，min{x
2
﹣2x﹣15，m（x+1）}=x< br>2
﹣2x﹣15．直接写出实数 m 的取值范围．



13
．对于非负实数
x“
四舍五入
”
到个位的值记为＜
x
＞，即：当
n
为非负整数时，如果
n
﹣

≤
x
＜
n
+

，则

＜
x
＞
=n
．如：＜
0
＞
=
＜
0.46＞
=0
，＜
0.64
＞
=
＜
1.49
＞
=1
，＜
3.5
＞
=
＜
4.28
＞=4
，
…
试解决下列问题：

（
1
）填空：
①
＜
π
＞
=

（
π
为圆周率）；

；

②
如果＜2x
﹣
1
＞
=3
，则实数
x
的取值范围为

（2）试举例说明：当 x=


，y=

时，＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；

（3）求满足＜x＞= x 的所有非负实数 x 的值．

14．设 a，b 是整数，且 b≠0，如果存在整数 c，使得 a=bc，则称 b 整除 a，记作 b|a．

例如：∵8=1×8，∴1|8；∵﹣5=﹣5×1，∴﹣5|﹣5；∵ 10=2×5，∴2|10．

（1）若 n|6，且 n 为正整数，则 n 的值为

；



（2）若 7|2k+1，且 k 为整数，满足




，求 k 的值．

，这里等式右边是通常的四则运算．例如：1⊗

15
．对于实数
a
、
b
，定义一种新运算
“
⊗
”
为：
a< br>⊗
b=



3=

= ．


（1）解方程（﹣2）⊗x=1⊗x；


（2）若 x，y 均为自然数，且满足等式 y﹣5=

，求满足条件的所有数对（x，y）．

16
．韦达定理：若一元二次方程

a x
2
+
bx
+
c=0
（
a
≠
0< br>）的两根分别为

x
1
、
x
2
，则

x
1
+
x
2
=
﹣

，
x
1
•
x
2
=

，阅读


下面应用韦达定理的过程：

若一元二次方程﹣
2x
2
+
4x
+
1=0

的两根分别为

x
1
、
x
2
，求

x
12
+
x
22
2

的值．

解：该一元二次方程的

=b△
﹣4ac=4
2
﹣4×（﹣2）×1=24＞0


由韦达定理可得，
x
1
+
x
2
=
﹣

=
﹣

=2
，
x
1
•
x
2
=

=

=
﹣


x
1
2
+
x
2
2
=
（
x
1
+
x
2
）
2
﹣
2x
1
x
2


=2
2
﹣2×（﹣ ）


=5

然后解答下列问题：

（
1
）设一元二次方程

2x
2
+
3x
﹣
1=0

的两根分别为

x
1
，
x
2
，不解方程，求

x
12
+
x
2
2

的值；
（
2
）若关于
x
的一元二次方程（
k< br>﹣
1
）
x
2
+（
k
2
﹣
1
）
x
+（
k
﹣
1
）
2
=0
的两根分别为
α
，
的值．


，且
α
2
+
β
2
=4
，求
k

β

17．阅读材料：

关于 x 的方程：






x+

x﹣

x+



的解为：
x
1
=c
，
x
2
=






（可变形为 x+

的解为：
x
1
=c
，
x
2
=





）的解为：
x
1
=c
，
x
2
=

x+


的解为：
x
1
=c
，
x
2
=

…

根据以上材料解答下列问题：




（
1
）
①
方程
x
+

②
方程
x
﹣
1
+



的解为



=2+ 的解为

（a≠2）

（2）解关于 x 方程：x﹣

18．认真阅读下面的材料，完成有关问题．

材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示 5、3 在数轴上对应的两点之间的

距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示 5、﹣3 在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以

|5|表示 5 在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a、b，那么 A、B

之间的距离可表示为|a﹣b|．

问题（1）：点 A、B、C 在数轴上分别表示有理数 x、﹣2、1，那么 A 到 B 的距离与 A 到 C 的距离之和可

表示为

（用含绝对值的式子表示）．

问题（
2
）：利用数轴探究：
①
找出满足|
x
﹣
3
|+|
x
+
1
|
=6
的
x
的所有值是
，
②
设|
x
﹣
3
|+|
x
+
1
|
=p
，当
x

的值取在不小于﹣1 且不大于 3 的范围时，p 的值是不变的，而且是 p 的最小值，这个最小值是

；当 x

的值取在

的范围时，|x|+|x﹣2|的最小值是

．

问题（3）：求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时 x 的值．

问题（4）：若|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|≥a 对任意的实数 x 都成立，求 a 的取值．

2018
级中考数学专题训练
-
材料阅读



参考答案与试题解析



一．解答题（共 18 小题）

（
2015•
重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串 数字，与从个位到最高

1
．
位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这 样的自然数称为
“
和谐数
”
．例如自然数
12321
，从最高位到

个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位 到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，

因此
12321
是一个
“
和谐数
”
，再加
22
，
545
，
3883
，
345543
，
…
，都是
“
和谐数
”
．

（
1
）请你直接写出
3
个四位
“
和谐数
”
；请你猜想任意一个四位
“
和谐 数
”
能否被
11
整除？并说明理由；

（
2
）已知一个能被
11
整除的三位
“
和谐数
”
，设其个位上的数字
x
（
1
≤
x
≤
4
，
x
为自然数），十位上的数字

为 y，求 y 与 x 的函数关系式．

【分析】
（ 1

）根据
“
和谐数
”
的定 义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与


从个位 到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个
“
和谐数
”
，设任意四位< br>“
和谐数
”
形式为：

，


根据和谐数的定义得到 a=d，b=c，则



=

=

=91a+10b 为正整

数，易证得任意四位
“
和谐数
”
都可以被
11
整除；

（
2
）设能被
11
整除的三位
“
和谐数
”
为：


，则

=

=

=9x
+
y
+

为正整

数．故 y=2x（1≤x≤4，x 为自然数）．

【解答】解：（
1
）四位
“
和谐数
”
：
1221
，
1331
，
1 111
，
6666…
（答案不唯一）

任意一个四位
“
和谐数
”
都能被
11
整除，理由如下：

设任意四位
“
和谐数
”
形式为：

，则满足：

最高位到个位排列：a，b，c，d．

个位到最高位排列：d，c，b，a．

由题意，可得两组数据相同，则：a=d，b=c，


则


=

=

=91a+10b 为正整数．

∴四位
“
和谐数
”
能被
11
整数，

又∵a，b，c，d 为任意自然数，

∴任意四位
“
和谐数
”
都可以被
11
整除；



（
2
）设能被
11
整除的三位
“
和谐数
”
为：

个位到最高位排列：x，y，z．

最高位到个位排列：z，y，x．

由题意，两组数据相同，则：x=z，

故


，则满足：

=


=101x+10y，


故


=

=

=9x+y+

为正整数．

故 y=2x（1≤x≤4，x 为自然数）．

【点评】本题考查了因式分解的应用．解题的关键 是弄清楚
“
和谐数
”
的定义，从而写出符合题意的数．



（
2016•
重庆模拟）
“
十字相乘法
”
能把二次三项式分解因式，对于形如
ax
2
+
bxy
+
cy
2

的关于
x
，
y
的二次三

2
．
项式来说，方法的关键是把

x
2

项系数

a

分解成两个因数

a
1
，
a
2

的积，即

a=a
1
•
a
2
，把

y
2

项系数

c

分解成两

2
+
bxy
+
cy
2
=
个因数

c
1
，
c
2


的积，即

c=c
1
•
c
2
，并使

a
1< br>•
c
2
+
a
2
•
c
1

正好等于

xy

项的系数

b
，那么可以直接写成结果：

ax


（
a
1
x
+
c
1
y
）（
a
2x
+
c
2
y
）．

例：分解因式：x
2
﹣2xy﹣8y
2
．

解：如图 1，其中 1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）．

∴x
2
﹣2xy﹣8y
2
=（x﹣4y）（x+2y）

而对于形如 ax
2
+bxy+cy
2
+dx+ey+f 的 x，y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图 2，将 a 分解成

mn 乘积作为一列，c 分解成 pq 乘积作为第二列，f 分解成 jk 乘积作为第三列，如果 mq+np=b，pk+qj=e，

mk+nj=d，即第 1，2 列、第 2，3 列和第 1，3 列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；

例：分解因式：x
2
+2xy﹣3y
2
+3x+y+2

解：如图 3，其中 1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2；

而 2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1；

∴x
2
+2xy﹣3y
2
+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）

请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

（1）分解因式：

（
2x
﹣
3y
）

①6x
2
﹣< br>17xy
+
12y
2
=
（
3x
﹣
4 y
）
（
2x
+
3y
﹣
4
）
②2x
2
﹣
xy
﹣
6y
2
+
2x+
17y
﹣
12=
（
x
﹣
2y
+3
）
（
x
+
2y
+
2
）
< br>③x
2
﹣
xy
﹣
6y
2
+
2x﹣
6y=
（
x
﹣
3y
）
（2）若关于 x，y 的二元二次式 x
2
+7xy﹣18y
2
﹣5x+my﹣24 可以分解成两个一次因式的积，求 m 的值．











【分析】
（

）①
直接用十字相乘法分解因式；
②
把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；< br>③
同
②
的

1
方法分解；

（2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出 m 值．

【解答】解：（< br>1
）
①6x
2
﹣
17xy
+
12y
2
=
（
3x
﹣
4y
）（
2x
﹣
3 y
），

（
2x
+
3y
﹣
4
），

②2x
2
﹣
xy
﹣
6y
2
+
2x
+17y
﹣
12=
（
x
﹣
2y
+
3）
（
x
+
2y
+
2
），

③ x
2
﹣
xy
﹣
6y
2
+
2x
﹣< br>6y=
（
x
﹣
3y
）
故答案为）
①
（
3x
﹣
4y
）（
2x
﹣
3y
），
②
（
x
﹣
2y
+
3
）（
2x
+
3y
﹣
4
），
③
（
x
﹣
3y）（
x
+
2y
+
2
），

（2）如图，









m=3×9+（﹣8）×（﹣2）=43

或 m=9×（﹣8）+3×（﹣2）=﹣78．

【点评】此题是因式分解﹣十字相乘法，主要考 查了二元二次多项式的分解因式的方法，解本题的关键是

选好那个字母当做常数对待，再用十字相乘法分解．



（
2016•
重庆校级模拟）能被
3
整除的整数具有一些特殊的性质：

3
．

（
1
）定义一种能够被
3
整除的三位数

的
“F”
运算：把

的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到


一个新数．例如

．数字
111
经过三次
“F”
运算得

=213
时，则：
213 36
（
2
3
+
1
3
+
3
3
=36
）
243
（
3
3
+
6
3
=243
）
351

，经过四次
“F”
运算得

153

，经过五次
“F”
运算得

153

，经过
2016
次
“F”
运算得

153

．

（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被 3 整除，那么这个数就一定能够被 3 整除，例如，

一个四位数，千位上的数字是 a，百位上的数字是 b，十位上的数字为 c，个为上的数字为 d，如果 a+b+c+d

可以被 3 整除，那么这个四位数就可以被 3 整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位

数为例即可）．

【分析】
1
（

）根据
“F
运算
”
的定义得到
111
经过三次
“F
运算
”
的结果，经过四次
“F
运算
”
的结果，经过五次
“F

运算
”
的结果，经过
2016
次
“F
运算
”
的结果即可；

（2）首先根据题意可设 a+b+c+d=3e，则此四位数 1000a+100b+10c+d 可表示为 999a+99b+9c+a+b+c+d，即 3

（333a+33b+3c）+3e，所以可得这个四位数就可以被 3 整除．

333333333333
【解答】

（
1

）解：111
3
（

1+1+1
=3） 27（3=27） 351（2
+7
=351） 153（3
+5+1
=153） 153（1
+5+3
=153）
1 53（3
3
+5
3
+1
3
=153）．

故数字
111
经过三次
“F”
运算得
351
，经过四次
“F”
运算得
153
，经过五次
“F”
运算得
153
，经过
2016
次
“F”
运

算得 153．

（2）证明：设 a+b+c+d=3e（e 为整数），

这个四位数可以写为：1000a+100b+10c+d，

∴1000a+100 b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3（333a+33b+3c）+3e，


∴


=333a+33b+3c+e，

∵333a+33b+3c+e 是整数，

∴1000a+100b+10c+d 可以被 3 整除．

故答案为：351，153，153，153．

【点 评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．同

时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用．



（
2016•
重庆校级二模）定义：如果
M
个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个

4
．
数的和整除，则称这组数为 M 个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为 3×6 能被（3+6

整除 ）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15× 60）能被

（
15
+
60
）整除，（
30
×
60
）能被（
30
+
60
）整除
…

（
1
）我们发现，
3
和
6
，
4
和
12
，
5
和
20
，
6
和
30…
，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测
n
和
n
（
n
﹣
1
）

（n≥2，n 为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．

（3）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数 a．

【分析】 1
（

）根据祖冲之数组的定义，即可解决问题．

（2）首先判断出 a 是 5，9，11 的倍数，由此即可解决问题．

【解答】 解：（
1
）∵
n•n
（
n
﹣
1
）÷[n
+
n
（
n
﹣
1
）]
=n
2
（
n
﹣
1
）÷
n
2
=n
﹣
1
，

∴n 和 n（n﹣1）（n≥2，n 为整数）组成的数组是祖冲之数组．


（2）∵


=

，

=

，

=

都是整数，

∴a 是 5，9，11 的倍数，

∴满足条件的所有三位正整数 a 为 495 或 990．

【点评】本题考查因 式分解的应用，整数等知识，解题的关键是理解题意，题目比较抽象，有一定难度．



（
2016•
重庆校级一模）如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上， 左边数位上的数总比右边数位上数

5
．
大
1
，那么我们 把这样的自然数叫做
“
妙数
”
．例如：
321
，
6 543
，
98
，
…
都是
“
妙数
”
．

（
1
）若某个
“
妙数
”
恰好等于其个 位数的
153
倍，则这个
“
妙数
”
为

765

．

（
2
）证明：任意一个四位
“
妙数
”
减去任意一个两位
“
妙数
”
之差再加上< br> 1
得到的结果一定能被
11
整除．

（
3
）在某个三位
“
妙数
”
的左侧放置一个一位自 然数
m
作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数
A
，

且 m 大于自然数 A 百位上的数字，否存在一个一位自然数 n，使得自然数（9A+n）各数位上的数字全都相

同？若存在请求出 m 和 n 的值；若不存在，请说明理由．

【分析】
（ 1

）设这个
“
妙数
”
个位数字为
a
，根据题意判断
“
妙数
”
的尾位数，从而得知这个
“
妙数
”
为
3
位数，

列出方程 100（x+2）+10（x+1）+x=153x，求解可得；

（
2
）设四位
“
妙数
”
的个位为
x
、两位
“
妙数
”
的个位为
y
，分别表示出四位
“
妙数
”
和两位
“
妙数
”
，再将四位“
妙

数
”
减去任意一个两位
“
妙数
”
之差再加上
1
的结果除以
11
判断结果是否为整数即可；

（
3
）设三位
“
妙数
”
的个位为
z
，可知
A=1000m
+
111z
+
210
，继而可得
（

+
z
+
1
）

9A
+
n=90 00m
+
999z
+
1890
+
n=1000 9m
+800+90+n﹣z，由﹣8≤n﹣z≤9、1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）= 91000 知其百位数一定是 8，且该


数为 5 位数，若存在则该数为 88888，从而得出


即 9m+z=87、n﹣z=﹣2，由 m＞

z+2 知 z＜m﹣2，而 z=87﹣9m＜m﹣2，解之可得 m＞8.9，即可得 m 值，进一步即可得答案．

【解答】解：（
1
）设这个
“
妙 数
”
个位数字为
a
，

若这个
“
妙数
”
为
4
位数，则其个位数字最大为
6
，根据题意可知这个
“
妙数
”
最大为
6
×
153=918
，不合题意；

∴这个
“
妙数
”
为
3
位数，根据题意得：100
（
x
+
2
）+
10
（
x
+
1
）+
x=153x
，

解得：x=5，

则这个
“
妙数
”
为
765
，

故答案为：765；

（
2
）由题意，设四位
“
妙数
”
的个位为
x
，则此数为
1000
（
x
+
3
）+
1 00
（
x
+
2
）+
10
（
x
+< br>1
）+
x=1111x
+
3210
，

设两位
“
妙数
”
的个位为
y
，则此数为
10
（
y
+
1
）+
y=11y
+
10，


∴


=

=101x﹣y+291，

∵x、y 为整数，

∴101x﹣y+291 也为整数，

∴任意一个四位
“
妙数”
减去任意一个两位
“
妙数
”
之差再加上
1
得到的结果一定能被
11
整除；

（
3
）设三位
“
妙数
”
的个位为
z
，由题意，得：

A=1000m+100（z+2）+10（z+1）+z=1000m+111z+210，

∴9A+n=9000m+999z+1890+n

=9000m+1000z+1890+n﹣z

=1000（9m+z+1）+800+90+n﹣z，

∵m、n 是一位自然数，0≤z≤9，且 z 为整数，

∴﹣8≤n﹣z≤9，

∵9A+n 的百位为 8，且 1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）=91000，

∴9A+n 为五位数，且 9A+n=88888，



∴

∴9m+z=87，n﹣z=﹣2，

∵m＞z+2，

∴z＜m﹣2，

∴z=87﹣9m＜m﹣2，

∴m＞8.9，

∵m 是一个自然数，

∴m=9，

于是 z=6，n=4，

，

答：m=9，n=4．

【点评】本题主要考查因式分解的应用及新定义下数字的规律，理解新定义是解题的根本，将9A+n 分解成

1000（9m+z+1）+800+90+n﹣z 并判断出其百位数是解题的关键．



（
2016•
重庆校级三模）连续整数之间有许多神奇的关系，

6
．
如：
3
2
+
4
2
=5
2
，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为
“
奇幻

数组
”
，进而推广：设三个连续整数为
a
，
b
，
c
（
a
＜
b
＜
c
）

若
a
2
+
b
2
=c
2
，则称这 样的正整数组为
“
奇幻数组
”
；

若
a
2
+
b
2
＜
c
2
，则称这样的正整数组为
“
魔幻数组
”
；

若
a
2
+
b
2
＞
c
2
，则称这样的正整数组为
“
梦幻数组”
．

（
1
）若有一组正整数组为
“
魔幻数组
”
，写出所有的
“
魔幻数组
”
；

（2
）现有几组
“
科幻数组
”
具有下面的特征：


若有 3 个连续整数：



=2；

=2；

=2；

若有 5 个连续整数：



若有 7 个连续整数：


…

由此获得启发，若存在 n（7＜n＜11）个连续正整数也满足上述规律，求这 n 个数．

【分析】
（

）根据
“
魔幻数组
”
的定义 ，找出所有的
“
魔幻数组
”
即可得出结论；

1
（
2
）根据规律找出
n=9
，设出这
9
个数，再根据
“
科幻数组
”
的特征找出关于
m
的一元二次方程，解方程即

可得出结论．

【解答】解：（1）1，2，3 及 2，3，4．

（2）由已知可得：

3
2
+
4
2
=5
2
，
10
2
+
11
2
+
12
2
=13
2
+
14
2
，
21
2
+
22
2
+< br>23
2
+
24
2
=25
2
+
26< br>2
+
27
2
，
…

故可知 n=9，可设这 9 个数为 m﹣4，m﹣3，m﹣2，m﹣1，m，m+1，m+2，m+3，m+4，则有：
（m﹣4）
2
+（m﹣3）
2
+（m﹣2）
2
+（m﹣ 1）
2
+m
2
=（m+1）
2
+（m+2）
2+（m+3）
2
+（m+4）
2
，

整理得：m
2
﹣40m=0，由题意 m 不为 0，故 m=40，

∴这 9 个数为 36，37，38，39，40，41，42，43，44．

【点评】本题考查了新定义的应用，根据新定义的意义找出方程是解题的关键．



（
2015•
重庆校级模拟）我们对多项式
x2
+
x
﹣
6
进行因式分解时，可以用特定系数法求解．例如，我们可

7
．
以先设 x
2
+x﹣6=（x+a）

x+ b），显然这是一个恒等式．根据多项式乘法将等式右边展开有：
2
+
x

﹣6=（x+a）

（
（x+b）=x2+（a+b）x+ab

所以，根据等式两边对应项的系数相等，可得：a+b=1，ab=﹣6，解得 a=3，b=﹣2 或者 a=﹣2，b=3．所以

x
2
+x﹣6=（x+3）（x﹣2）．当然这也说明多项式 x2+x﹣6 含有因式：x+3 和 x﹣2．

像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫特定 系数法．利用上述材料及示例解决以下问题．

（1）已知关于 x 的多项式 x
2
+mx﹣15 有一个因式为 x﹣1，求 m 的值；

（2）已知关于 x 的多项式 2x
3
+5x
2
﹣x+b 有一个因式为 x+2，求 b 的值．

2
【分析】 1（x+n）=x
2
+（n﹣1）x﹣n，所以，

（

） 根据多项式乘法将等式右边展开有：x+mx﹣15=（x﹣1）
根据等式两边对应项的系数相等可以求 得 m 的值；

（2）解答思路同（1）．

【解答】解：（1）由题设知 ：x
2
+mx﹣15=（x﹣1）（x+n）=x
2
+（n﹣1）x﹣n，< br>

故 m=n﹣1，﹣n=﹣15，

解得 n=15，m=14．

故 m 的值是 14；

（2）由 题设知：2x
3
+5x
2
﹣x+b=（x+2）（2x+t）（x+k）=2 x
3
+（2k+t+4）x
2
+（4k+2t+kt）x+2kt，

∴2k+t+4=5，4k+2t+kt=﹣1，2kt=b．



解得：
k
1
=

，
k
2
=
﹣
1
．

∴
t
1
=
﹣
2
，
t
2
=3
．

∴
b
1
=b
2
=2kt=
﹣
6
．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和因式分解的应用，主要考查学生的理解能 力和阅读能

力，题目比较好，但有一定的难度．



（
2016•
重庆校级一模）阅读下列材料解决问题：

8
．
材料：古希腊著名数学家

毕达哥拉斯发现把数
1< br>，
3
，
6
，
10
，
15
，
21…
这些数量的（石子），都可以排成三

角形，则称像这样的数为三角形数．

把数
1
，
3
，
6
，
10
，
15
，
21…
换一种方式 排列，即

1=1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

…

从上面的排列方式看，把
1
，
3
，
6
，
10
，
15
，
…
叫做三角形数
“
名副其实
”
．

（
1
）设第一个三角形数为

a
1
=1
，第二个三角形数为

a
2
=3
，第三个三角形数为

a
3
=6
，请直接写出第

n

个三

角形数为

a
n

的表达式（其中

n

为正整数）．

（2）根据（1）的结论判断 66 是三角形数吗？若是请说出 66 是第几个三角形数？若不是请说明理由．

（3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和 T 与 2 的大小关系并说明理由．

【分析】 1
（

）根据题意归纳总结得到一般性规律，写出即可；

（2）66 是三角形数，理由为：根据得出的规律确定出原因即可；

（3）表示出的 T 表示后，利用拆项法整理判断即可．


【解答】解：（1）根据题意得：an=


（n 为正整数）；

（2）66 是三角形数，理由如下：


当


=66 时，解得：n=11 或 n=﹣12（舍去），

则 66 是第 11 个三角形数；


（2）T= +

+

+



+
…
+

=

+

+

+

+
…
+

=2
（
1
﹣

+

﹣

+

﹣

+
…
+







﹣



）=

，

∵n 为正整数，∴0


＜1，

则 T＜2．

【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．

（
2016•
重庆校级一 模）如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为

9
．
“
麻辣数
”
．如：
2=1
3
﹣（﹣
1
）
3
，
26=3
3
﹣
1
3
，所以
2
、
26
均为
“
麻辣数
”
．

【立方差公式 a
3
﹣b
3
=（a﹣b）（a
2
+ ab+b
2
）】

（
1
）请判断
98
和
169
是否为
“
麻辣数
”
，并说明理由；

（
2
）在小组合作学习中，小明提出新问题：

求出在不超过
2016
的自然数中，所有的
‘
麻辣数
’
之和为多少？
”

“

小组的成员胡图图略加思索后说：
“
这个难不倒图图，我们知道奇数可以用
2k
+
1
表示
…
，再结合立方差公

式
…”
，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程．

【分析】 1
（

）根据相邻两个奇数的立方差，可得答案；

（2）根据相邻两个奇数的立方差，麻辣数的定义，可得答案．

【解答】解：设 k 为整数，则 2k+1、2k﹣1 为两个连续奇数，

设
M
为
“
麻辣数
”
，

则 M=（2k+1）
3
﹣（2k﹣1）
3
=24k
2
+2；

（1）98=5
3
﹣3
3
，故 98 是麻辣数；M=24k
2
+2 是偶数，故 169 不是麻辣数；

（2）令 M≤2016，则 24k
2
+2≤2016，


解得 k
2
≤


＜84，

故 k
2
=0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，

故 M 的和为 24×（0+1+4+9+16+25+36+49+64+81）+2×10=6860．

【点评】本题考查了平方差公式，利用平方差公式是解题关键．



（
2013•
泉州校级模拟）下面是某同学对多项式（
x
2
﹣4x
+
2
）（
x
2
﹣
4x
+
6
）+
4
进行因式分解的过程．

10
．
解：设 x
2
﹣4x=y

原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）

=y
2
+8y+16（第二步）

=（y+4）
2
（第三步）

=（x
2
﹣4x+4）
2
（第四步）

回答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C

．

A、提取公因式 B．平方差公式

C、两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式

（
2
）该同学因式分解的结果是否彻底

不彻底

．（填
“
彻底
”
或
“
不 彻底
”
）

若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （x﹣2）
4

．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2
﹣2x）（x
2
﹣2x+2）+1 进行因式分解．

【分析】 1
（

）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；

（2）x
2
﹣4x+4 还可以分解，所以是不彻底．

（3）按照例题的分解方法进行分解即可．

【解答】解：（1）运用了 C，两数和的完全平方公式；

（2）x
2
﹣4x+4 还可以分解，分解不彻底；

（3）设 x
2
﹣2x=y．

（x
2
﹣2x）（x
2
﹣2x+2）+1，

=y（y+2）+1，

=y
2
+2y+1，

=（y+1）
2
，

=（x
2
﹣2x+1）
2
，

=（x﹣1）
4
．

【点评】本题考查了运用公式法分解因式和学生 的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度

中等．



（
2016•
重庆校级模拟）阅读材料：

11
．



材料一：对于任意的非零实数 x 和正实数 k，如果满足

例如：
x=2
时，
k=3⇒



为整数，则称
k
是
x
的一个
“
整商系数
”
．

=2，则 3 是 2 的一个整商系数；



x=2
时，
k=12⇒





=8，则 12 也是 2 的一个整商系数；

x=
时，
k=6⇒




=1
，则
6
是

的一个整商系数；

结论：一个非零实数 x 有无数个整商系数 k，其中最小的一个整商系数记为 k（x），例如 k（2）=

材料二：对于一元二次方程

ax
2
+
bx
+
c=0
（
a
≠
0
）中，两根

x
1
，
x
2

有如下关系：

x
1
+
x
2
=
﹣

；
x
1
x
2
=


应用：


（1）k（ ）=

2



k（﹣ ）=

），求 a 的取值范围？

（2）若实数 a（a＜0）满足 k（ ）＞k（


（
3
）若关于

x

的方程：
x
2
+
bx
+
4=0

的两个根分别为

x
1
、
x
2
，且满足

k
（x
1
）+
k
（
x
2
）
=9
， 则

b

的值为多少？

（

）求出最小的个整商系数即可．

【分析】 1

（2）根据 k（ ）＞k（


）分类讨论列出不等式解不等式即可．

（
3
）利用根与系数关系把

k
（
x
1< br>）+
k
（
x
2
）
=9
，转化为含有

b

的方程，记得分类讨论即可．




【解答】解：（1）k（ ）=2，k（﹣ ）= ．

故答案分别为 2， ．



（2）∵k（ ）＞k（



），

＞3（a+1）







当﹣1＜a＜0 时，原式化为



∴a＜﹣ ，即﹣1＜a＜﹣ ，



当 a＜﹣1 时，原式化为


＞﹣3（a+1）

解得 a＞﹣2，

故可知 a 的取值范围为﹣2＜a＜﹣1 或﹣1＜a＜﹣ ．


（
3
）设方程的两个根有

x
1
＜
x
2
，

由于

x
1
x
2
=






，故

x
1

与

x
2

同号．

=﹣

=

，







当

x
2
＜
0

时，
k
（
x
1
）+
k
（
x
2
）
=
﹣

解得 b=12．



当

x
1
＞
0

时，
k
（
x
1
）+
k
（
x
2
）
=



=

=

，

解得 b=﹣12．

综上 b=±12．

【点评】本题考查根与系数关系，解题 的关键是理解题意，根据整商系数的定义解决问题，学会用转化的

思想把问题转化为方程或不等式，题中也体现了分类讨论的数学思想．



12． 东城区一模）定义符号 min{a， }义为：当 a≥b 时，min{a， }=b}

=a．如：

（
2015

b
的

含
b

；当 a＜b 时，min{a，
b
min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1．

（1）求 min{x
2
﹣1，﹣2}；

（2）已知 min{x
2
﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数 k 的取值范围；

（3）已知当﹣2≤x≤3 时，min{x
2
﹣2x﹣15，m（x+1）}=x< br>2
﹣2x﹣15．直接写出实数 m 的取值范围．

2
【分析】 1
（

）比较 x﹣1 与﹣2 的大小，得到答案；

（2）把 x
2
﹣2x+k 化为（x﹣1）
2
+k﹣1 的形式，确定 k 的取值范围；

（3）根据当﹣2≤x≤3 时，y=x
2
﹣2x﹣15 的值小于 y=m（x+1）的值，解答即可．

【解答】解：（1）∵x
2
≥0，

∴x
2
﹣1≥﹣1，

∴x
2
﹣1＞﹣2．

∴min{x
2
﹣1，﹣2}=﹣2，

（2）∵x
2
﹣2x+k=（x﹣1）
2
+k﹣1，

∴（x﹣1）
2
+k﹣1≥k﹣1．

∵min{x
2
﹣2x+k，﹣3}=﹣3，

∴k﹣1≥﹣3．

∴k≥﹣2，

（3）对于 y=x
2
﹣2x﹣15，当 x=﹣2 时，y=﹣7，

当 x=3 时，y=﹣12，

由题意可知抛物线 y=x
2
﹣2x﹣15 与直线 y=m（x+1）的交点坐标为（﹣2，﹣7），（3，﹣12），

所以 m 的范围是：﹣3≤m≤7．

【点评】本题考查的是与二次函数和一次函数有关的新定义，根据 题意理解新定义的计算公式是解题的关

键，注意：一次函数和二次函数的性质的运用．

（
2015•
重庆校级二模）对于非负实数
x“
四舍五入
”
到个位的值记为＜
x
＞，即：当
n
为非负整数时，如

13
．


果
n
﹣

≤
x
＜
n
+

，则＜x
＞
=n
．如：＜
0
＞
=
＜
0.46
＞
=0
，＜
0.64
＞
=
＜
1.49＞
=1
，＜
3.5
＞
=
＜
4.28
＞
=4
，
…

试解决下列问题：

（
1
）填空：
①
＜
π
＞
=

3

（
π
为圆周率）；


②
如果＜
2x
﹣
1
＞
=3
，则实数
x
的取值范围为



；

（2）试举例说明：当 x=

0.6

，y=

0.7

时，＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；

（3）求满足＜x＞= x 的所有非负实数 x 的值．


（

）根据取近似值的方法确定 x 的取值范围即可，反过来也可确定未知数的值；

【分析】 1

（2）分 0≤a＜ 时和 ≤a＜1 时两种情况分类讨论即可；


（3）据取近似值的方法确定 x 的取值范围即可．

【解答】解：（
1
）
①3
＜
π
；




②
如果＜
2x
﹣
1
＞
=3
，可得

故答案为：3；


；

；

（2）说明：设 x=n+a，其中 n 为 x 的整数部分（n 为非负整数），a 为 x 的小数部分 （0≤a＜1）

分两种情况：


（Ⅰ）当 0≤a＜ 时，有＜x＞=n


∵x+y=（n+y）+a，

这时（n+y）为（x+y）的整数部分，a 为（x+y）的小数部分，

∴＜x+y＞=n+y

又＜x＞+y=n+y

∴＜x+y＞=＜x＞+y．


（Ⅱ）当 ≤a＜1 时，有＜x＞=n+1


∵x+y=（n+y）+a

这时（n+y）为（x+y）的整数部分，a 为（x+y）的小数部分，

∴＜x+y＞=n+y+1

又＜x＞+y=n+1+y=n+y+1

∴＜x+y＞=＜x＞+y．

综上所述：＜x+y＞=＜x＞+y，此时 x=0.6，y=0.7；

故答案为：0.6；0.7；


（3）设



（k 为非负整数），则 x=

，


，根据题意可得：

即﹣2≤k≤2，

则 k=0，1，2，

x=0，




．

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是根据取近似值的方法确定 x 的取值范围．

（

14
．
2015•
重庆校级模拟）设
a
，
b
是整数，且
b
≠
0
，如果存在整数
c
，使得
a=bc
，则称
b
整除
a
，记作
b
|
a
．

例如：∵8=1×8，∴1|8；∵﹣5=﹣5×1，∴ ﹣5|﹣5；∵10=2×5，∴2|10．

（1）若 n|6，且 n 为正整数，则 n 的值为

1，2，3，6

；



（2）若 7|2k+1，且 k 为整数，满足



，求 k 的值．

【分析】 1
（

）根据新定义运算法则，本题实际上是求 6 的约数；

（2）首先通过解不等式组求得 k 的取值范围，然后根据新定义运算法则得到： 是
7

2k+1 的约数，由此可以

确定 k 的值．

【解答】解：（1）n 的值为：1，2，3，6；

故答案是：1，2，3，6；



（2）解不等式组



得：1＜k＜15．

∵7|2k+1，

∴存在正整数 n，使 2k+1=7n，


∴k=



，



∴1≤



≤15，



∴

≤n≤


，

∴n=1，2，3，4，

当 n=1 时，k=3，满足题意；

当 n=2 时，k=6.5，不符合题意；

当 n=3 时，k=10，满足题意；

当 n=4 时，k=13.5，不符合题意．

综上所述：k 的值为 3 或 10．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的应 用．解（2）题的关键是掌握新定义的运算法则，根据新定义运


算法则列出不等式 1≤







≤15，并解答，并注意 n 是正整数．

（
2015•
重庆校级二模）对于实数
a
、
b
， 定义一种新运算
“
⊗
”
为：
a
⊗
b=

15
．
四则运算．例如：1⊗3=

= ．

，这里等式右边是通常的


（1）解方程（﹣2）⊗x=1⊗x；


（2）若 x，y 均为自然数，且满足等式 y﹣5=


，求满足条件的所有数对（x，y）．

（

）所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可；

【分析】 1

（2）已知等式利用题中的新定义化简，整理得到 x 与 y 的方程，即可求出满足条件的所有数对（x，y）．


【解答】解：（1）根据题意，得


=

，

去分母得：1+x=4﹣2x，

解得：x=1，

经检验 x=1 是分式方程的解；


（2）根据题意得：y﹣5=




，

整理得：x+2y=11，

∵x，y 均为自然数，


∴



或

或

或

或

或

，

经检验，


不是原方程的解，

则满足条件的所有数对（x，y）为（3，4）；（5，3）；（ 7，2）；（9，1）；（11，0），共五对．

【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．



2
+
bx
+
c=0
（
a
≠
0）的两根分别为
x
、
x
，则
x
+
x
=
重庆校级一模）韦达定理：若一元二次方程
16
．
2015ax
•< br>（



12

12

﹣

，
x
1
•
x
2
=

，阅读下面应用韦达定理的过程：



若一元二次方程﹣
2x
2
+
4x
+
1=0

的两根分别为

x
1
、
x
2
，求

x
12
+
x
22

的值．

解：该一元二次方程的

=b△
2
﹣4ac=4
2
﹣4×（﹣2）×1=24＞0



由韦达定理可得，
x
1
+
x
2
=
﹣

=
﹣

x
1
2
+
x
2
2
=
（
x
1
+
x
2
）
2
﹣
2x
1
x
2



=2
，
x
1
•
x
2
=

=

=
﹣

=2
2
﹣2×（﹣ ）

=5

然后解答下列问题：

（
1
）设一元二次方程

2x
2
+
3x
﹣
1=0

的两根分别为

x
1
，
x
2
，不解方程，求

x
12
+
x
2
2

的值；

（
2
）若关于
x
的一元二次方程（
k
﹣
1
）
x
2
+（
k
2
﹣
1
）x
+（
k
﹣
1
）
2
=0
的两根分别为
α
，
β
，且
α
2
+
β
2
=4
，求
k

的值．


2
=
【分析】
）先根据根与系数的关系 得到
+
﹣
，
﹣
，再利用完全平方公式变形得到+
1x
x
=
xx
=x
x
•
（


12

12

122


（
x
1
+
x
2
）
2
﹣
2x
1
x
2
，然后利用整体代入的方法计算即可；

（
2
）根据一 元二次方程（
k
﹣
1
）
x
2
+（
k
2
﹣
1
）
x
+（
k
﹣
1
）2
=0
的两根分别为
α
，
β
，求出两根之积和两根之

和的关于
k
的表达式，再将
α
2
+
β
2
=4
变形，将表达式代入变形后的等式，解方程即可．

【解答】解：（
△1
）∵一元二次方程的




=b
2
﹣4ac=3
2
﹣4×2×（﹣1）=17＞0，

由根与系数的关系得：
x
1
+
x
2
=
﹣< br>
，
x
1
•
x
2
=
﹣

，

∴
x
12
+
x
2
2
=
（
x
1
+
x
2
）
2
﹣
2x
1
x
2
=

=

；

（2）由根与系数的关系知：

=
﹣
k
﹣
1
，
αβ=

=k﹣1，

（
α
+
β
）
2
﹣< br>2αβ=
（
k
+
1
）
2
﹣
2
（
k
﹣
1
）
=k
2
+
3
α
2
+
β
2
=
（
∴k
2
+3 =4，

∴k=±1，

∵k﹣1≠0

∴k≠1，

∴k=﹣1，

将 k=﹣1 代入原方程：﹣2x
2
+4=0，

△=32＞0，

∴k=﹣1 成立，

∴k 的值为﹣1．

【点评】本题不仅考查 了一元二次方程根与系数的关系，要注意，利用根与系数的关系解题，首先要注意

方程有根．



（
2015•
重庆校级二模）阅读材料：

17
．
关于 x 的方程：






x+

x﹣

x+



的解为：
x
1
=c
，
x
2
=






（可变形为 x+

的解为：
x
1
=c
，
x
2
=





）的解为：
x
1
=c
，
x
2
=

x+


的解为：
x
1
=c
，
x
2
=

…

根据以上材料解答下列问题：




（
1
）
①
方程
x
+

②
方程
x
﹣
1
+



的解为



=2+ 的解为

（a≠2）

（2）解关于 x 方程：x﹣


【分析】
（

）
①
本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解．

1
②
本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解．

（2）本 题要求的方程和题目给出的例子中的方程形式不一致，可先将所求的方程进行变形．变成式子中的

形式后再根据给出的规律进行求解．




【解答】解：（
1
）
①
方程
x
+
②
根据题意得；
x
﹣
1=2
，
x
﹣
1 =
，



的解为：

；

解得：

故答案为：
①



；
②

=a﹣2﹣

．

，

（2）两边同时减 2 变形为 x﹣2﹣



解得：x﹣2=a﹣2，x﹣2=



即

x
1
=a
，


．

【点评】本题考查了分式方程的解，要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要 注意套用列子中的规律

时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致．



（
2015•
重庆校级一模）认真阅读下面的材料，完成有关问题．

18
．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示 5、3 在数轴上对应的两点之间的

距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示 5、﹣3 在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以

|5|表示 5 在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a、b，那么 A、B

之间的距离可表示为|a﹣b|．

问题（1）：点 A、B、C 在数轴上分别表示有理数 x、﹣2、1，那么 A 到 B 的距离与 A 到 C 的距离之和可

表示为

|x+2|+|x﹣1|

（用含绝对值的式子表示）．

问题（
2
）：利用数轴探究：
①
找出满足|
x
﹣
3
|+|
x
+
1|
=6
的
x
的所有值是

﹣
2
，
4

，
②
设|
x
﹣
3
|+|
x
+
1
|
=p
，

当 x 的值取在不小于﹣1 且不大于 3 的范围时，p 的值是不变的，而且是 p 的最小值，这个最小值是 4

；

当 x 的值取在

不小于 0 且不大于 2

的范围时，|x|+|x﹣2|的最小值是

2

．

问题（3）：求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时 x 的值．

问题（4）：若|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|≥a 对任意的实数 x 都成立，求 a 的取值．

【分析】问题（1）根据两点间的距离公式，可得答案；

问题（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；

问题（
3< br>）：|
x
﹣
3
|+|
x
﹣
2
|+|
x
+
1
|
=
（|
x
﹣
3
|+|
x
+
1
|）+|
x
﹣
2
|，根据问 题（
2
）中的探究
②
可知，要使|
x
﹣

3|+|x+1|的值最小，x 的值只要取﹣1 到 3 之间（包括﹣1、3）的任意一个数，要使|x﹣2|的值最小，x 应

取 2，显然当 x=2 时能同时满足要求，把 x=2 代入原式计算即可；

问题（4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案．

【解答】解：问题（1）A 到 B 的距离与 A 到 C 的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|；

问题（
2
）
①﹣
2
、
4
，

②4
；不小于
0
且不大于
2
，
2
；

问题（3）由分析可知，

当 x=2 时能同时满足要求，把 x=2 代入原式=1+0+3=4；

问题（4）|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|=（ |x﹣3|+|x+1|）+（|x﹣2|+|x|）

要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x 的值取﹣1 到 3 之间（包括﹣1、3）的任意一个数，要使|x﹣2|+|x1|的值

最小，x 取 0 到 2 之间（包括 0、2）的任意一个数，显然当 x 取 0 到 2 之间（包括 0、2）的任意一个数能

同时满足要求，不妨取 x=0 代入原式，得|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|=3+2+0+1=6

方法二：当 x 取在 0 到 2 之间（包括 0、2）时，|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+| x+1|=﹣（x﹣3）﹣（x﹣2）+x+（x+1）

=﹣x+3﹣x+2+x+x+1=6．

故答案为：|x+2|+|x﹣1|；﹣2，4；4；不小于 0 且不大于 2；2．

【点评】本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．