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分式与分式方程
一、选择题
1．（2016·湖北十堰）用换元法解方程
程可化为（ ）
﹣=3时，设=y，则原方
A．y=﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0
【考点】换元法解分式方程．
【分析】直接利用已知将原式用y替换得出答案．
【解答】解：∵设=y，
∴﹣=3，可转化为：y﹣=3，
即y﹣﹣3=0．
故选：B．
【点评】此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出y与x值间的关系是解题关键．
2. （2016·四川成都·3分）分式方程=1的解为（ ）
A．x=﹣2 B．x=﹣3 C．x=2 D．x=3
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程 ，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x=x﹣3，
解得：x=﹣3，
经检验x=﹣3是分式方程的解，
故选B．
3. （2016·四川凉山州·4分）关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分 式方程无解得到x+1=0，求出x的值，代入
整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m，
由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，
代入整式方程得：﹣5=﹣2+2+m，
解得：m=﹣5，
故选A

1

4. （2016,湖北宜昌，8，3分）分式方程=1的解为（ ）
A．x=﹣1 B．x=C．x=1 D．x=2
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方 程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣1=x﹣2，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解，
则分式方程的解为x=﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，还有注意不要忘了检验．
5.（2016·广东广州）下列计算正确的是（ ）
1
x
2
x
A、
2
=
(y¹0)
B、
xy
2
¸=2xy(y¹0)

y
2y
y
C、
2x+3y=5xy(x³0,y³o)
D、
(xy
3
)
2
=x
2
y
6

［难易］ 较易
［考点］ 代数式的运算
［解析］ A、显然错误； B、
xy
2
¸
1
=xy
2
·2y=2xy
3
;C、
2x+3y
,由于
x
与
2y
y
不是同类二次根式，不能进行加减法；D、根据幂的乘方运算法则就可以得出答案.
［参考答案］ D
6.（2016·广东梅州）对于实数
a
、
b
，定义一种新运算“< br>
”为：
ab
里等式右边是实数运算．例如：
13
1
，这
ab
2
112
．则方程
x(2)1的解是
2
8x4
13
A．
x4
B．
x5
C．
x6
D．
x7

答案：B
考点：考查学习新知识，应用新知识解决问题的能力。
解析：依题意，得 ：
x(2)
即：
112
，所以，原方程化为：＝－1，
x4x4x4
1
＝1，解得：x＝5。
x4
7.（201 6·广东深圳）施工队要铺设一段全长2000米，的管道，因在中考期间需停工两天，
实际每天施工需 比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米。设原
计划每天施工
x米，则根据题意所列方程正确的是（ ）

2

2000
2
B.
2

xx50x50x
2000
C.
2
D.
2

xx50x50x
答案：A
考点：列方程解应用题，分式方程。
解析：设原计划每天施工
x
米，则实际每天施工为（x＋50）米，
根据时间的等量关系，可得：
20002000
2

xx50
2x
−
a
1
＝的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
x
−
2
2
8.（2016·广西贺州）若关于x的分式方程
A．a≥ 1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
【考点】分式方程的解．
【分 析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方
程分母不为0求出 a的范围即可．
【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，
2
a
−2
解得：x=，
3
2
a
−22
a
−2
由题意得：≥0且≠2，
33
解得：a≥1且a≠4，
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
9. (2016年浙江省丽水市) +的运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．a+b
【考点】分式的加减法．
【分析】首先通分，把、都化成以ab为分母的分式，然后根据同分 母分式加减法法则，
求出+的运算结果正确的是哪个即可．
【解答】解： +
=
=
+

．

故+的运算结果正确的是
故选：C．
10. （2016年浙江省台州市）化简的结果是（ ）

3

A．﹣1 B．1 C． D．
【考点】约分．
【分析】根据完全平方公式把分子进行因式分解，再约分即可．
【解答】解：
故选D．
==；
11. （2016年浙江省温州市）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣2=0，
∴x=2．
故选：D．
12．（2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600
k g
，甲
搬运5000
kg
所用的时间与乙搬运8000
kg
所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多
少
kg
货物．设甲每小时搬运
xkg
货物，则可列方程为（
B
）
A
．
C
．
5000

B
．

x600xxx600
5000

D
．

x600xxx600
考点：分式方程的应用 分析：设甲每小时搬运
xkg
货物，则甲搬运5000
kg
所用的时间是 ：
5000
，
x
8000

x600
再根据甲搬运5000
kg
所用的时间与乙搬运8000
kg
所用的时间相等 列方程
根据题意乙每小时搬运的货物为
x
+600，乙搬运8000kg
所用的时间为
解答：甲搬运5000
kg
所用的时间与乙搬运800 0
kg
所用的时间相等，所以
50008000


xx600
故选
B
．
13．（2016. 山东省青岛市,3分）A，B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A，B两
地间行驶的长途 客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平
均车速为xkmh，则根 据题意可列方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1

4

C．﹣=1 D．﹣=1
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【 分析】直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的
时间缩短了1 h，利用时间差值得出等式即可．
【解答】解：设原来的平均车速为xkmh，则根据题意可列方程为：
﹣
故选：A．

=1．
14．（2016.山东省泰安市，3分）化简：

÷﹣的结果为（ ）
A． B． C． D．a
【分析】先将分式的分子分母因 式分解，同时将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后
计算分式的加法即可．
【解答】解：原式=×﹣
=﹣
=，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的
关键 ．
15．（2016.山东省泰安市，3分）某机加工车间共有26名工人，现要加工2100 个A零件，
1200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同 时
完成两种零件的加工任务（每人只能加工一种零件）？设安排x人加工A零件，由题意列方
程 得（ ）
A． = B． =
C． = D．×30=×20
【 分析】直接利用现要加工2100个A零件，1200个B零件，同时完成两种零件的加工任务，

5

进而得出等式即可．
【解答】解：设安排x人加工A零件，由题意列方程得：
=．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出加工两种 零件所用的时间
是解题关键．
16．（2016·江苏连云港）若分式的值为0，则（ ）
A．x=﹣2 B．x=0 C．x=1 D．x=1或﹣2
【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．


【解答】解：∵分式的值为0，
∴，解得x=1．
故选：C．
【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等
于零 ，根据此条件列出关于x的不等式组是解答此题的关键．
17．(2016安徽，5，4分)﹣方程=3的解是（ ）
A．﹣ B． C．﹣4 D．4
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的 解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x+1=3x﹣3，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解，
故选D．
二、填空题
1. （2016 ·湖北黄冈）计算(a-
2ab
b
)÷
ab
的结果是_____ _________________.
a
a
2
【考点】分式的混合运算.
【分析】将原式中的括号内的两项通分，分子可化为完全平方式，再将后式的分子分母掉换
位置 相乘，再约分即可。
【解答】解：(a-
2ab
b
)÷
ab< br>=
a
2ab
b
÷
ab

aa
aa
222

6

=
(ab)
a
2
·
a
a
b

=a-b.
故答案为：a-b.

2ab
1
2. （2016·湖北咸宁） a，b互为倒数，代数式
a
ab
b
÷（
1
的值为_____________.
a
+
b
）
22< br>【考点】倒数的性质，代数式求值，分式的化简．
【分析】a、b互为倒数，则ab=1，或. 先将前式的分子化为完全平方式，然后将括
号内的式子通分，再将分子分母颠倒位置转化为乘法运算，约 分后根据倒数的性质即可得
出答案.
2ab
(ab)
b
1
【解答】解：
a
ab
b
÷（
1
+）=÷
a
ab

ab
ab
22
2
=（a+b）·
ab

=ab.
又∵a，b互为倒数，
∴ab=1.
故答案为：1.
【点评】本题考查了倒数的性质，代数式求值，分式的化简．要熟知倒数的性质：若a 、b
qb
互为倒数，则ab=1，或，反之也成立.
3. （2016·湖北咸宁） 端午节那天，“味美早餐店”的粽子打9折出售，小红的妈妈去该
店买粽子花 了54元钱，比平时多买了3个，求平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖
x元，列方程为____ ___________.
【考点】分式方程的应用．
【分析】题目已设平时每个粽子卖x 元，则打9折出售的单价为0.9x，再根据“比平时多
买了3个”列方程即可.
【解答】解：依题意，得

x
=
0.9x
-3
故答案为：
x
=
0.9x
-3
【点评】本题考查了分式方 程的应用．解答本题的关键是根据端午节那天与平时购买的个数
列方程. 题目较容易. 运用公式：数量=
单价
，总价=单价×数量，单价=
数量
.
总价总价
54
54
54
54
4. (2016·新疆)计算： = ．
【考点】分式的乘除法．
【分析】先约分，再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可求解．

7

【解答】解： =•=．
故答案为：．
【点评】考查了分式的乘除法，规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算 ，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因
式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分
式乘除混合运算时，要注意运算 顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行
运算，切不可打乱这个运算顺序．

5. (2016·新疆)某学校为绿化环境，计划种植600棵树，实际劳动中每小时植树的数量比原计划多20%，结果提前2小时完成任务，求原计划每小时种植多少棵树？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设原计划每小时种植x棵树，则实际劳动中每小时植树的 数量是120%x棵，根据“结
果提前2小时完成任务”列出方程并求解．
【解答】解：设原计划每小时种植x棵树，
依题意得： =+2，
解得x=50．
经检验x=50是所列方程的根，并符合题意．
答：原计划每小时种植50棵树．
【点评】本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

6. （2016·四川广安·3分）某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水排放管道，< br>铺设120m后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加20m，结果共用11天完成这一任务，
求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设xm管道，那么根据题意，可列方程
．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据题目中的数量关系，可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
化简，得
，
故答案为：


．

8

7. （2016·四川凉山州·4分）若实数x满足x﹣
【考点】代数式求值．
2
x﹣1=0，则= 10 ．
【分析】根据x﹣
解决．
【解答 】解：∵x﹣
2
2
x﹣1=0，可以求得的值，从而可以得到的值，本题得以
x﹣1=0，
∴
∴
∴
，
，
，
即，
∴，
故答案为：10．

8. （2016年浙江省衢州市）当x=6时，分式
【考点】分式的值．
【分析】直接将x的值代入原式求出答案．
的值等于 ﹣1 ．
【解答】解：当x=6时，
故答案为：﹣1．
==﹣1．
9．（2016.山东省临沂市，3分）
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】首先把两个分式的分母变为相同再计算．

【解答】解：．
故答案为：1．
【点评】此题考查的知识点是分式的加减法，关键是先把两个分式的分母化
为相同再计算．

9

10. （2016·江苏南京）方程
答案：
x3

考点：分式方程。
13

的解是_______.
x2x
解析：去分母，得：x3(x2)
，化简，得：
x3
，经检验
x3
是原方程 的解。
11．（2016·江苏苏州）当x= 2 时，分式的值为0．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案．
【解答】解：∵分式
∴x﹣2=0，
解得：x=2．
故答案为：2．

的值为0，
12．（2016·江苏无锡）分式方程=
【考点】分式方程的解．
的解是 x=4 ．
【分析】首先把分式方程=的两边同时乘x（x﹣1），把化分式方程为整式方程；然后
根 据整式方程的求解方法，求出分式方程=的解是多少即可．
【解答】解：分式方程的两边同时乘x（x﹣1），可得
4（x﹣1）=3x
解得x=4，
经检验x=4是分式方程的解．
故答案为：x=4．
13．（2016·江苏省宿迁）计算： = x ．
【分析】进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．
【解答】解： ===x．故答案为x．


【点评】本题考查了分式的加减运算，题目比较容易．
14．(2016福州，20,10分)化简：a﹣b﹣．

10

【考点】分式的加减法．
【分析】先约分，再去括号，最后合并同类项即可．
【解答】解：原式=a﹣b﹣（a+b）
=a﹣b﹣a﹣b
=﹣2b．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15.（2016·广东广州）方程
［难易］ 容易
［考点］ 分式方程
［解析］
检验：将
x=-1
，代入
2x(x-3)¹0,
x=-1
是方程的解
［参考答案］
x=-1

12
＝
的解是 .
2xx－3
x1
16 .（2016·广西贺州）要使代数式
x
有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1且x≠0 ．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】根据二次根式和分式有意义的 条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等
式组求解．
【解答】解：根据题意，得
x10
，且x≠0
解得x≥﹣1且x≠0．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
本题应注意在求得取值范围后，应排除不在取值范围内的值．

三、解答题
1. (2016·四川资阳)化简：（1+）÷．
【考点】分式的混合运算．
【分析】首先把括号内的式子通分相加，把除法转化为乘法，然后进行乘法
运算即可．
【解答】解：原式=÷
=•
=a﹣1．

2. (2016·云南)（12分）（2016•云南）有一列按一定顺序和规律排列的数：

11

第一个数是
第二个数是
第三个数是
…
；
；
；
对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于
（1）经过探究，我们发现：
．

设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？
请你直接写出正确的结论；
（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第 n个数（即用正整数n表
示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于” ；
（3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即，
求证：．
【考点】分式的混合运算；规律型：数字的变化类．
【分析】（1）由已知规律可得；
（2）先根据已知规律写出第n、n+1个数，再根据分式的运算化简可得；
（3）将每个分式根据﹣
可得结论．
=＜＜=﹣，展开后再全部相加
【解答】解：（1）由题意知第5个数a=

（2）∵第n个数为
∴
=
=
=
×
×
，
+


=
=﹣；
，第（n+1）个数为
（+）
，
即第n个数与第（n+1）个数的和等于；

12

（3）∵1﹣=＜=1，
=＜＜=1﹣，
﹣=
…
＜＜=﹣，
﹣=＜＜=﹣，
﹣=＜＜=﹣，
∴1﹣＜+++…++＜2﹣，
即
∴
＜+++…+
．
+＜，
【点评】本题主要考查分式的混合运算及数字的变化规律，根据已知规律=﹣
得到﹣=＜＜=﹣是解题的关键．

3．（2016·黑龙江大庆）某车间计划加工360 个零件，由于技术上的改进，提高了工作效
率，每天比原计划多加工20%，结果提前10天完成任务， 求原计划每天能加工多少个零件？
【考点】分式方程的应用．
【分析】关键描述语为：“提 前10天完成任务”；等量关系为：原计划天数=实际生产天数
+10．
【解答】解：设原计划每天能加工x个零件，
可得：，
解得：x=6，
经检验x=6是原方程的解，
答：原计划每天能加工6个零件．
【点评】本题考查 分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解
决问题的关键．本题需注意应设 较小的量为未知数．

13

4．（2016·湖北十堰）化简：．
【考点】分式的加减法．
【分析】首先把第一个分式的分子、分母分解因式后约分，再通分， 然后根据分式的加减法
法则分母不变，分子相加即可．
【解答】解：
=++2
=++2
=++
=
=
【点评】本题考查了分式的加减法法则 、分式的通分、约分以及因式分解；熟练掌握分式的
通分是解决问题的关键．
5. （2016·四川成都·9分）化简：（x﹣）÷．
【考点】分式的混合运算．
【分析】原 式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，
约分即可得到结果．
【解答】解：原式=

•=•=x+1．
6. （2016·四川广安·6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满
足2x+4=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】原式括号中利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除 法法则变形，约分得到最
简结果，求出已知方程的解得到x的值，代入计算即可求出值．

14

【解答】解：原式=•=，
由2x+4=0，得到x=﹣2，
则原式=5．


7. （2016·四川乐山·9分）解方程：
解析：
方程两边同乘
x2
，
得
13(x2)(x1)
，………………………………… （3分）
即
13x6x1
，…………………………………（6分）
则
2x6
…………………………………（7分）
得
x3
. 检验，当
x3
时，
x20
.
所以，原方程的解为
x3
.……………………………………（9分）
8. （2016江苏淮安，20，8分）王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时< br>完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任
务， 王师傅原计划每小时检修管道多少米？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设原计划每小时 检修管道为xm，故实际施工每天铺设管道为1.2xm．等量关系为：
原计划完成的天数﹣实际完成的 天数=2，根据这个关系列出方程求解即可．
【解答】解：设原计划每小时检修管道x米．
由题意，得﹣=2．
解得x=50．
经检验，x=50是原方程的解．且符合题意．
答：原计划每小时检修管道50米．
【点评】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着
眼点，要学 会分析题意，提高理解能力．其中找到合适的等量关系是解决问题的关键．

9. （20 16吉林长春，17，6分）A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B
型机器每小时多 加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个
零件所用时间相同，求A 型机器每小时加工零件的个数．
【考点】分式方程的应用．
【分析】关键描述语为：“A型 机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所
用时间相同”；等量关系为：400÷A 型机器每小时加工零件的个数=300÷B型机器每小时加
工零件的个数．
【解答】解：设A型机器每小时加工零件x个，则B型机器每小时加工零件（x﹣20）个．
1x1
.
3
x22x
根据题意列方程得：
解得：x=80．
=，

15

经检验，x=80是原方程的解．
答：A型机器每小时加工零件80个．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关 键描述语，找到合适的等量关系是解
决问题的关键．


10.（201 6湖北襄阳，21，7分）“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、
乙两个工程队计划参与一项工程建 设，甲队单独施工30天完成该项工程的，
这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程 ．
（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（2）若甲队参与该项工程施工 的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天
才能完成该项工程？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）直接利用队单独施工3 0天完成该项工程的，这时乙队加入，
两队还需同时施工15天，进而利用总工作量为1得出等式求出答 案；
（2）直接利用甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，得出不等式求出
答案．
【解答】解：（1）设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，
∵甲队单独施工30天完成该项工程的
∴甲队单独施工90天完成该项工程，
根据题意可得：
+15（+）=1，
，
解得：x=30，
检验得：x=30是原方程的根，
答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；

（2）设乙队参与施工y天才能完成该项工程，根据题意可得：
×36+y×≥1，
解得：y≥18，
答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用以及一 元一次不等式的应用，正确
得出等量关系是解题关键．
(a＋b)
2
－4a b
A＝(a，b≠0且a≠b)
2
ab(a－b)
11.（2016·广东广 州）已知
化简
A

若点
P(a,b)
在反比例函数

y＝-
5
x
的图像上，求
A
的值.
16

【难易】容易
【考点】整式的运算，因式分解，反比例函数
【解析】（1）分子用完全平方公式进行化简，因式分解，再与分母进行约分，化到最简。
（2）根据（1）中的化简结果，利用反比例函数的性质，求出ab的乘积，代入即
可求出A的值。
【参考答案】
（1）
A

(
a

b)
2
4
ab
ab
(
a

b
)
2

a
2
2
ab

b
24
ab



2
ab
(
a

b
)
a
2
-2
ab

b
2< br>

2
ab
(
a

b
)

(
a

b
)
2

ab
(
a

b
)
1

2

ab
（2）∵点P（a,b）在反比例函数
y
∴
b
 
5
的图像上
x
5
a

∴
ab
5

∴
A

1
ab

11

55
12.（2016·广东茂名）某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划 书的
部分信息：
“读书节”活动计划书
书本类别 A类 B类
进价（单位：元） 18 12
1、用不超过16800元购进A、B两类图书共
1000本；
备注
2、A类图书不少于600本；
…
（1）陈经理查看计划数时发现：A类图书的标 价是B类图书标价的1.5倍，若顾客用540
元购买的图书，能单独购买A类图书的数量恰好比单独购 买B类图书的数量少10本，请求
出A、B两类图书的标价；
（2）经市场调查后，陈经理发 现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售
方案，A类图书每本标价降低a元（0＜a＜ 5）销售，B类图书价格不变，那么书店应如何进

17

货才能获得最大利润？
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）先设 B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x，然后根
据题意列出方程，求解即可．
（2）先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000﹣t）本，根据题目
中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w=总售价﹣总成本，求
出最佳的进 货方案．
【解答】解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，
根据题意可得﹣10=，
化简得：540﹣10x=360，
解得：x=18，
经检验：x=18是原分式方程的解，且符合题意，
则A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27（元），
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；

（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（27﹣a）元（0＜a＜5），
由题意得，，
解得：600≤t≤800，
则总利润w=（27﹣a﹣18）t+（18﹣12）（1000﹣t）
=（9﹣a）t+6（1000﹣t）
=6000+（3﹣a）t，
故当0＜a＜3时，3﹣a＞0，t=800时，总利润最大；
当3≤a＜5时，3﹣a＜0，t=600时，总利润最大；
答：当A类图书每本降价少于3 元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润
最大；当A类图书每本降价大于等于3元 ，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购
进400本时，利润最大．
【点评】本题 考查了一次函数的应用，涉及了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、
一次函数的最值问题，解答 本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，
列出方程和不等式组求解．

13. （2016年浙江省台州市）解方程：﹣=2．
【考点】解分式方程．
【 分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+1=2x﹣14，
解得：x=15，
经检验x=15是分式方程的解．


18

14．（2016·山东烟台）先化简，再求值：（
y=．
﹣x﹣1）÷，其中x=，
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先将括号里面进行通分，进而将能分解因式的分解因式，再化简求出答案．
【解答】解：（﹣x﹣1）÷，
=（﹣﹣）×
=×
=﹣
把x=
，
，y=代入得：
原式=﹣



=﹣1+．
a
2
a21
()
，其中15 ．（2016·山东枣庄）(本题满分8分)先化简，再求值：
2
a2a1a1a
a
是方程
2x
2
x30
的解.
a
2
3
【答案】原式=, 由
2x
2
x30
，得
x
1
1
，
x
2

又
a10
∴
a1
2
3
()
2
3
2

9
．
a
．原式=
3
2
10
1
2

19

考点：分式的化简求值；一元二次方程的解法.

16．（2016·山西）（本题共2个小题，每小题5分，共10分）

1

（1）计算：
(3)


5

2
1
82

2


0
考点：实数的运算，负指数幂，零次幂
分析：根据实数的运算，负指数幂，零次幂三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根
据实数的运算法则求得计算结果．
解答：原=9-5-4+1 ……………………………（4分）
=1． ……………………………（5分）
2x
2
2xx

（2）先化简 ，在求值：
2
，其中
x
=-2．
x1
x1
考点：分式的化简求值
分析：先把分子分母因式分解，化简后进行减法运算
2x(x1)x

解答：原式= ……………………………（2分）
(x1)(x1)x1
=
=
2xx
……………………………（3分）

x1x1
x
……………………………（4分）
x1
当
x
=-2时，原式=
x2
2
……………………（5分）
x121
17．（2016·上海）解方程：﹣=1．
【考点】解分式方程．
【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行计
算即 可．

20

【解答】解：去分母得，x+2﹣4=x﹣4，
2
移项、合并同类项得，x﹣x﹣2=0，
解得x
1
=2，x
2
=﹣1，
经检验x=2是增根，舍去；x=﹣1是原方程的根，
所以原方程的根是x=﹣1．
【点评】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同
类项、系数 化为1是解题的关键，注意验根．
2
18．（2016·四川巴中）先化简：÷（﹣），然后 再从﹣2＜x≤2的范围内
选取一个合适的x的整数值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先将原分式进行化解，化解过程中注意不为0的量，根据不为0的量结合x的取值
范围 得出合适的x的值，将其代入化简后的代数式中即可得出结论．
【解答】解：÷（﹣）
=÷
=×
=．
其中，即x≠﹣1、0、1．
又∵﹣2＜x≤2且x为整数，
∴x=2．
将x=2代入

中得： ==4．
19．（2016山东省聊城市）计算：（﹣）．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同 时利用除法法则变形，
约分即可得到结果．

21

【解答】解：原式=•
=•
=﹣．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20 ．（2016山东省聊城市）为加快城市群的建设与发展，在A，B两城市间新建条城际铁路，
建成后， 铁路运行里程由现在的120km缩短至114km，城际铁路的设计平均时速要比现行的
平均时速快1 10km，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在A，B两地的运行
时间．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设城际铁路现行速度是xkmh，设计时速是（x+11 0）xkmh；现行路程是120km，
设计路程是114km，由时间=，运行时间=现行时间，就可 以列方程了．
【解答】解：设城际铁路现行速度是xkmh．
由题意得：×=．
解这个方程得：x=80．
经检验：x=80是原方程的根，且符合题意．
则×=×=0.6（h）．
答：建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间是0.6h． < br>【点评】考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决
问题的 关键．

21．（2016.山东省青岛市）（1）化简：﹣
【考点】分式的加减法；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
【解答】解：（1）原式=﹣
==；
22．（2016.山东省威海市）某校进行期 末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有

22

48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为（x+6%）， 根据“甲、乙两班的学生数相
同”列出方程并解答．
【解答】解：设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为（x+6%），
依题意得： =，
解这个方程，得x=0.9，
经检验，x=0.9是所列方程的根，并符合题意．
答：乙班的达标率为90%．

23．（2016·江苏连云港）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式 方程的解．
【解答】解：去分母得：2+2x﹣x=0，
解得：x=﹣2，
经检验x=﹣2是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．

24. （2016·江苏南京）计算
考点：分式的运算，平方差公式，完成平方公式。
解析：

＝

a1

a1
25．（2016·江苏苏州）先化简，再求值：
【考点】分式的化简求值．
÷（1﹣），其中x=．

23

【分析】先括号内通分，然后计算除法，最后代入化简即可．
【解答】解：原式=÷
=•
=，
当x=时，原式==．

26．（2016·江苏泰州）计算或化简：
（2）（﹣）÷．
【考点】分式的混合运算．
【分析】（2）先将括号内的分式通分，进行减法运算，再将除法转化为乘法，然后化简即可．
【解答】解：（2）（﹣）÷
=（﹣）•
=•
=

．
27．（2016·江苏省扬州）当a=2016时，分式
【考点】分式的值．
【分析】首先将分式化简，进而代入求出答案．
的值是 2018 ．
【解答】解： ==a+2，
把a=2016代入得：
原式=2016+2=2018．
故答案为：2018．

24

28．2016•辽宁沈阳）化简：（1﹣）•（m+1）= m ．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=•（m+1）=m，
故答案为：m
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

29 ．（2016•江苏省扬州动车的开通为扬州市民的出行带来了方便．从扬州到合肥，路程为
360km ，某趟动车的平均速度比普通列车快50%，所需时间比普通列车少1小时，求该趟动
车的平均速度．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设普通列车的速度为为xkmh，动车的平均速度为1. 5xkmh，根据走过相同的路程
360km，坐动车所用的时间比坐普通列车所用的时间少1小时，列 方程求解．
【解答】解：设普通列车的速度为为xkmh，动车的平均速度为1.5xkmh，
由题意得，﹣=1，
解得：x=120，
经检验，x=120是原分式方程的解，且符合题意．
答：该趟动车的平均速度为120kmh．

30．（2016•浙江省舟山）先化简，再求值：（1+）÷，其中x=2016．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先计算括号里面的加法，再把除法化成乘法，约分得出 化简结果，再代入x的值
计算即可．
【解答】解：（1+）÷
=×
=×
=，

25

当x=2016时，原式=

=．
31．（2016•呼和浩特）先化简，再求值：﹣÷，其中x=﹣．
【考点】分式的化简求值
【分析】（2）先算除法，再算加减，最后把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=
=
=
=，
+


﹣•
当x=﹣时，原式==﹣．

32．（2016•呼和浩特）某一 公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独
完成．根据两队每天的工程费用和每天完成 的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6
天可以完成，共需工程费用385200元，若单独完成 此项维修工程，甲队比乙队少用5天，
每天的工程费用甲队比乙队多4000元，从节省资金的角度考虑 ，应该选择哪个工程队？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设甲队单独完成此项工程需要 x天，乙队单独完成需要（x+5）天，然后依据6天
可以完成，列出关于x的方程，从而可求得甲、乙 两队单独完成需要的天数，然后设甲队每
天的工程费为y元，则可表示出乙队每天的工程费，接下来，根 据两队合作6天的工程费用
为385200元列方程求解，于是可得到两队独做一天各自的工程费，然后 可求得完成此项工
程的工程费，从而可得出问题的答案．
【解答】解：设甲队单独完成此项工程需要x天，乙队单独完成需要（x+5）天．
依据题意可列方程： +=，
解得：x
1
=10，x
2
=﹣3（舍去）．
经检验：x=10是原方程的解．
设甲队每天的工程费为y元．
依据题意可列方程：6y+6（y﹣4000）=385200，
解得：y=34100．
甲队完成此项工程费用为34100×10=341000元．
乙队完成此项工程费用为30100×15=451500元．
答：从节省资金的角度考虑，应该选择甲工程队．


26

33．(2016福州，20,10分)化简：a﹣b﹣．
【考点】分式的加减法．
【分析】先约分，再去括号，最后合并同类项即可．
【解答】解：原式=a﹣b﹣（a+b）
=a﹣b﹣a﹣b
=﹣2b．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
34、(2016广东，18,6分)先化简，再求值：
考点：分式的化简与求值。
解析：原式=
2

a3

a36


a

a3

2

a3

a 3

a362a6
，其中
a31
.

2

2
aa6a9a9
=
62a

+
a
(
a+3
)
a
(
a+3
)< br>a
(
a+3
)
2
(
a+3
)
==< br>2
，
a
当
a=3-1
时，
原式=
2
3-1
=3+1
.

35、(2016 广东，20,7分)某工程队修建一条长1200
m
的道路，采用新的施工方式，工效提
升了50%，结果提前4天完成任务.
（1）求这个工程队原计划每天修道路多少米？
（ 2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工
效比原计划增加 百分之几？
考点：列方程解应用题，分式方程。
解析：解：设（1）这个工程队原计划每天修建道路
x
米，得：
12001200
=+4

x(1+50%)x
解得：
x=100

经检验，
x=100
是原方程的解
答：这个工程队原计划每天修建100米.








27