含参数的分数阶差分方程特征值问题
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含参数的分数阶差分方程特征值问题
与经典的整数阶模型相比,分数阶模型可以更好地
刻画多种材料的记忆和遗
传特性,所以分数阶微积分的研究逐步引起了国内外学者的广泛关注。分数阶差
分方程是离散化的分数阶微分方程,不仅在数学领域有应用价值,还出现在流变
学、自相似中的
动力学过程和多孔结构、电力网、粘弹性、化学物理和其它许多
科学分支。
因为分数阶差分方
程的理论发展和实际应用价值,它引起了专家学者们极大
的研究兴趣。对差分系统加入参数以后,当参数
值变化时,系统的稳定性和结构也
可能改变。
因此,研究含参数分数阶差分系统、掌握参数变
动对系统的性能、状态和动
力学性质的影响是非常有科学意义和应用价值的。另外,研究含参数的分数阶
差
分方程特征值问题也是进一步研究分数阶差分方程谱理论的重要基础。
由分数阶差分方程的研究我们可以推广到带p-
Laplace算子的分数阶差分
方程研究,由于p-Laplace算子是非线性算子,因此它可以应
用到许多领域,例如
动力系统、分子结构、互联网络、图像处理等等。除此之外,当p（28）2时,就
可以转化成一般分数阶差分方程边值问题。
本文主要研究了几类分数阶差分方程边值问题,其中包括带p-Laplace算子
的边值问题
,方程含参数的边值问题,奇异边值问题,最小特征值问题和分数阶
Nabla边值问题等多种类型,给
出解和正解的存在性、唯一性以及正解的不存在
性定理,最小特征值比较定理和Lyapunov不等式
,并用例子论证主要结果。第一
章给出了分数阶差分方程的研究背景与意义,正文中将会用到的一些基本
的定义
和引理以及本文的工作安排。
第二章研究了两类带p-Laplace
算子的分数阶差分方程边值问题。第一节,
利用Banach压缩映射原理和Brouwer不动点定理
给出边值问题解的唯一性和存
在性,并用例子验证所得结果。
第二节,利用Green函数的性质和Guo-krasnosel’skii不动点定理给出边
值问题正解存在的几个充分条件,并用例子验证所得结果。第三章研究了两类含
参数的奇异分数阶差分
方程边值问题。
利用辅助函数和Guo-krasnosel’skii不动点定理给出边值问题正解
的存在
性定理,并给出具体例子。第四章第一节研究了一类带有非局部边值条件含参数
的分数阶
差分方程特征值问题。
通过基于单调迭代技巧的上下解方法给出边值问题正解存在性的结果,利用
锥上的Guo-kr
asnosel’skii不动点定理和Green函数的性质讨论该边值问题特
征值的取值范围,并给
出实例加以说明。第二节,研究了一类带有强迫项的分数阶
差分方程边值问题,给出Lyapunov和
Hartman型不等式的结果,并给出实例加以
说明。
第五章研究了两类分数阶差分方程最
小特征值问题。利用0u正
算子给出两个边值问题最小特征值存在的结果,并给出
最小特征值的比较方法。
第六章研究了两类含参数的分数阶Nabla差分方程特征值问题。利用Gr
een
函数的性质和锥上的Guo-
krasnosel’skii不动点定理讨论边值问题特征值的取
值范围,并给出例子说明结果。
第七章为全文的结论与展望,总结论文的主要工作和创新之处,并对将来的
可做工作进行展望。