taken-乡村的生活

数学学科教师辅导教案
学员编号： 年 级： 课 时 数：
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型
星 级
教学目的
授课日期及时段
T： 流水行船问题应用题
★★★★★
T：诱导公式(2)
★★★★★
T：作业
★★★★★
1、 掌握流水行船的基本概念
2、能够准确处理流水行船中相遇和追及的速度关系
2013年03月30日 12：50——14：50
教学内容

专题：流水行船问题应用题
★
教学目标
1、掌握流水行船的基本概念
2、能够准确处理流水行船中相遇和追及的速度关系
【解读：知识梳理环节要注意“诱导公式过程的推导”的讲解．】
知识梳理
10 min.
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在 这种情况下计算船只的航行速度、时间和
所行的路程，叫做流水行船问题。
流水行船问题 ，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.
此外 ，流水行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速，（1）
逆水速度=船速-水速.（2）
这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过 的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.
顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船 在单位时间里所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：

水速=顺水速度-船速，
船速=顺水速度-水速。
由公式（2）可以得到：
水速=船速-逆水速度，
船速=逆水速度+水速。
这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。
典例精讲
27 min.
例1：
一艘每小时行25千米的客轮，在大运河中顺水航行140 千米，水速是每小时3千米，需要行几个小时？
解析：
顺水速度为
25328
(千米时)，需要航行
140285
(小时)．
例2：
两个码 头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时.逆流而上，行完全程需要16小时，求这条河
水流速度。

解析：（352÷11-352÷16）÷2=5（千米小时）．

例3：
甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返 回甲港，逆水13小
时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
解析
顺水速度：2 08÷8=26（千米小时），逆水速度：208÷13=16（千米小时），船速：（26+16）÷2=21 （千米小
时），水速：（26—16）÷2=5（千米小时）
例4：
一位少年短跑选 手，顺风跑90米用了10秒，在同样的风速下逆风跑70米，也用了10秒，则在无风时他
跑100米 要用 秒．

解析：本题类似于流水行船问题．
根据题意可知，这 个短跑选手的顺风速度为
90109
米秒，逆风速度为
70107
米 秒，那么他在
无风时的速度为
(97)28
米秒．

在无风时跑100米，需要的时间为
100812.5
秒．
例5：
一只小船在静水中的速度为每小时 25千米．它在长144千米的河中逆水而行用了 8小时．求返回原处需
用几个小时？

解析：4.5小时

例6
：（难度等级 ※）一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6千米，顺水下行需要4小 时，返回上行需要7
小时．求：这两个港口之间的距离?

解析：（船速+6）×4 =（船速-6）×7，可得船速=22，两港之间的距离为：（22+6）×4=112千米．


例7：
甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，4小时后 相遇．已知水流速度是6千米
时．求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？

解析：在两船的船速相同的情况下，一船顺水，一船逆水，它们的航程差是什么造成的呢？不妨设甲船顺水，< br>乙船逆水．甲船的顺水速度

船速

水速，乙船的逆水速度

船速

水速，故：速度差

(船速

水速) 
(船速

水速)
2
水速，即：每小时甲船比乙船多走6212
(千米)．4小时的距离差为
12448
(千
米)

例8：
（难度等级 ※※）乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4 小时.甲船顺水航行同一段水路，用
了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时?

解析：乙船顺水速度：120÷2=60（千米小时）.乙船逆水速度：120÷4=30（千米小时）。水流 速度：（60-30）
÷2＝15（千米小时）.甲船顺水速度：12O÷3＝4O（千米小时）。甲船 逆水速度：40-2×15=10（千米小
时）.甲船逆水航行时间：120÷10=12（小时）。甲 船返回原地比去时多用时间：12-3=9（小时）．
,
例9
：（难度等级 ※※ ）船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。由于
暴雨后水 速增加，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要几小时?

解析：本题中船在顺水、逆 水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影响，水速发生变
化，要求船逆水而行要 几小时，必须要先求出水速增加后的逆水速度.
船在静水中的速度是：（180÷10+180÷15）÷2=15（千米小时）.
暴雨前水流的速度是：（180÷10-180÷15）÷2=3（千米小时）.
暴雨后水流的速度是：180÷9-15=5（千米小时）.
暴雨后船逆水而上需用的时间为：180÷（15-5）=18（小时）．

例10：
两港相距560千米，甲船往返两港需105小时，逆流航行比顺流航行多 用了35小时．乙船的静水速度是
甲船的静水速度的2倍，那么乙船往返两港需要多少小时？

解析：先求出甲船往返航行的时间分别是：，．再求出甲
（10535）270
（小时）
（10535）235
（小时）
船逆水速度每小时
5607 08
（千米），顺水速度每小时
5603516
（千米），因此甲船在静水中的
速度是每小时，水流的速度是每小时，乙船在静水中的
（168）212
（千米 ）
（168）24
（千米）
速度是每小时
12224
（千 米），所以乙船往返一次所需要的时间是
560（24

4）560（244）48
（小时）．

例11：
（难度等级 ※※）一条小河流过A，B, C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽 船在静水中的速度为每小时11
千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5 千米.已知A,C两镇水路相距50千米,水流
速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B 镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,
共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千 米?

解析：如下画出示意图

有A

B段顺水的速度 为11+1.5=12.5千米小时,有B

C段顺水的速度为3.5+1.5=5千米小时． 而从A

C
x50x
全程的行驶时间为8-1=7小时．设AB长
x
千米,有
7
,解得
x
=25．所以A,B两镇间的距离是12.55
25千米.


例12：
（难度等级 ※※）河水是流动的，在 B 点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从 A点到 B 点，然
后穿过湖到C点，共用 3 小时；若他由 C 到 B 再到 A，共需 6 小时．如果湖水也是流动的，速度等
于河水速度，从 B 流向 C ，那么，这名游泳者从 A到 B 再到 C 只需 2.5小时；问在这样的条件下，
他由C 到 B再到 A，共需多少小时？

解析：设人在静水中的速度为 x，水速为 y ，人在静水中从 B 点游到 C 点需要 t 小时．
根据题意，有
6x(6t)y3x(3t)y
，即x(3
即
x(2t1)y
；所以，
2t13
2< br>t)y
，同样，有
2.5x2.5y3x(3t)y
，
3
2
t
，即
t1.5
，所以
x2y
；
(2xy)2.5(2yy)7.5
(小
3
时)，所以在这样的条件下，他由 C 到 B 再到 A共需 7.5 小时．

巩固练习：

1， 光明号渔船顺水而下行200千米要10小时， 逆水而上行120千米也要10小时．那么，在静水中航行320千米
需要多少小时？

解析：
顺水速度：
2001020
（千米时），逆水速度：
1 201012
（千米时），静水速度：
（2012）216
（千
米 时），该船在静水中航行320千米需要
3201620
（小时）．

2，
甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，3小时后相遇．已知水流速度是 4千米时．求：
相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？

解析：
< br>在两船的船速相同的情况下，一船顺水，一船逆水，它们的航程差是什么造成的呢？不妨设甲船顺水，乙船 逆
水．甲船的顺水速度

船速

水速，乙船的逆水速度
< br>船速

水速，故：速度差

(船速

水速)

(船速

水速)
2
水速，即：每小时甲船比乙船多走
428
(千米)．3小时的距离差为
8324
(千米)．

3，一只船在河里航行，顺流而下每小时行
18
千米．已知这只船下行
2
小 时恰好与上行
3
小时所行的路程相等．求
船速和水速．

解析：这 只船的逆水速度为：
182312
(千米时)；船速为：
(1812)2 15
(千米时)；水流速度为：
18153
(千米时)

4， 乙两港相距360千米，一艘轮船往返两港需35小时，逆水航行比顺水航行多花了5小时，现在有一艘机帆船， 静
水中速度是每小时12千米，这艘机帆船往返两港需要多少小时？

解析： 轮船逆水航行的时间为

355

220
(小时)，顺水 航行的时间为
20515
(小时)，轮船逆流速度为
3602018
(千米时)，顺流速度为
3601524
(千米时)，水速为

241 8

23
(千米时)，所以机帆船往返两港需要的时间为
360

123

360

123

64< br>(小时)
5，轮船用同一速度往返于两码头之间，它顺流而下行了
8
个小时， 逆流而上行了
10
小时，如果水流速度是每小时
3
千
米，两码头之间 的距离是多少千米？

解析：方法一：由题意可知，(船速
3
)
8
(船速
3
)
10
，可得船速
27
千米 时，两码头之间的距离为

273

8240
(千米)． < br>方法二：由于轮船顺水航行和逆水航行的路程相同，它们用的时间比为
8:10
，那么时 间小的速度大，因此顺
水速度和逆水速度比就是
10:8
（由于五年级学生还没学习反 比例，此处教师可以渗透比例思想，为以后学习
用比例解行程问题做些铺垫），设顺水速度为
1 0
份，逆水速度为
8
份，则水流速度为
(108)21
份恰好 是
3
千米时，所以顺水速度是
10330
(千米时)，所以两码头间的距 离为
308240
(千米)．


6，一艘轮船在两个港口间 航行，水速为每小时6千米，顺水下行需要4小时，返回上行需要7小时．求这两个港口之
间的距离．

解析：
112
千米


7， 轮船用同一 速度往返于两码头之间，在相同时间内如果它顺流而下能行
10
千米，如果逆流而上能行
8
千米，如果
水流速度是每小时
3
千米，求顺水、逆水速度
,解 析：由题意知顺水速度与逆水速度比为
10:8
，设顺水速度为
10
份，逆水 速度为
8
份，则水流速度为
(108)21
份
恰好是
3
千米时，所以顺水速度是
10330
(千米时)，逆水速度为
83 24
(千米时)

8，甲、乙两船分别从
A
港顺水而下至
480
千米外的
B
港，静水中甲船每小时行
56
千米，乙船每小时行
40
千米，水速
为每小时
8
千米，乙船出发后
1.5
小时，甲船才出发，到
B
港后返回与乙迎面相遇，此处距
A
港多少千米？

解析：甲船顺水行驶全程需要：
480(568)7.5
(小时)， 乙船顺水行驶全程需要：
480(408)10
(小时)．甲船到
达
B
港时，乙船行驶
1.57.59
(小时)，还有
1
小时的路程( 48千米)①，即乙船与甲船的相遇路程．甲船逆水与
乙船顺水速度相等，故相遇时在相遇路程的中点处 ②，即距离
B
港24千米处，此处距离
A
港
48024456< br>(千
米).
注意：①关键是求甲船到达
B
港后乙离
B
港还有多少距离②解决①后，要观察两船速度关系，马上豁然开朗。
这正是此题巧妙之处，如果不找两 船速度关系也能解决问题，但只是繁琐而已，奥数特点就是体现四两拨千斤
中的巧劲

随堂检测：
1，
某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地 共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙
地返回甲地需要多少时间？

分析 要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。
解：
从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米小时），
甲乙两地路程：18×8=144（千米），
从乙地到甲地的逆水速度：15—3=12（千米小时），
返回时逆行用的时间：144÷12＝12（小时）。
答：从乙地返回甲地需要12小时。

2，小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时， 水壶与船已经相距2千米，

假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米， 那么他们追上水壶需要多少时间？
分析 此题是水中追及问题，已知路程差是2千米，船在顺水中 的速度是船速+水速.水壶飘流的速度只等于水速，
所以速度差=船顺水速度- 水壶飘流的速度=（船速+水速）-水速=船速.
解：路程差÷船速=追及时间
2÷4=0.5（小时）。
答：他们二人追回水壶需用0.5小时。
3， 甲、乙两船在静 水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向
而行 ，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？
解：①相遇时用的时间
336÷（24+32）
=336÷56
=6（小时）。
②追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：
336÷（32—24）＝42（小时）。
答：两船6小时相遇；乙船追上甲船需要42小时。
4，有一船行驶于120千米长的河中，逆行需10小时，顺行要6小时，求船速和水速。

这题条件中有行驶的路程和行驶的时间，这样可分别算出船在逆流时的行驶速度和顺流时的行驶速度，再 根据和
差问题就可以算出船速和水速。列式为
逆流速：120÷10=12（千米时）
顺流速：120÷6=12（千米时）
船速：（20+12）÷2=16（千米时）
水速：（20—12）÷2=4（千米时）
答：船速是每小时行16千米，水速是每小时行4千米。

5，轮船以同一速度往返于两码头 之间。它顺流而下，行了8小时；逆流而上，行了10小时。如果水流速度是每小时3
千米，求两码头之 间的距离。
在同一线段图上做下列游动性示意图36-1演示：

顺流
逆流
8
B
10
图36——1
A

因为水流速度是 每小时3千米，所以顺流比逆流每小时快6千米。如果怒六时也行8小时，则只能到A地。那么
A、B的 距离就是顺流比逆流8小时多行的航程，即6×8=48千米。而这段航程又正好是逆流2小时所行的。由此得出逆流时的速度。列算式为
（3+3）×8÷（10—8）×10=240（千米）
答：两码头之间相距240千米。

6，汽船每小时行30千米，在长176千米的河中逆流航行要11小时到达，返回需几小时？

依据船逆流在176千米的河中所需航行时间是11小时，可以求出逆流的速度。返回原地是 顺流而行，用行驶路程
除以顺流速度，可求出返回所需的时间。
逆流速：176÷11=16（千米时）
所需时间：176÷[30+（30—16）]=4（小时）
答：返回原地需4小时。

7，有甲、乙两船，甲船和漂流物同时由河西向东而行，乙船也同 时从河东向西而行。甲船行4小时后与漂流物相距100
千米，乙船行12小时后与漂流物相遇，两船的 划速相同，河长多少千米？

漂流物和水同速，甲船是划速和水速的和，甲船4小时后，距漂 流物100千米，即每小时行100÷4=25（千米）。
乙船12小时后与漂流物相遇，所受的阻力和 漂流物的速度等于划速。这样，即可算出河长。列算式为
船速：100÷4=25（千米时）
河长：25×12=300（千米）
答：河长300千米。


课后作业
：
1，一艘轮船从河的上 游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙港，共用了12小时。已知这条轮
船的顺流 速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米。则甲、丙两港间的距离为（ ）
A.44千米
B.48千米
C.30千米

D.36千米
【答案】A。解析：顺流速度－逆流速度=2×水流速 度，又顺流速度=2×逆流速度，可知顺流速度=4×水流速度=8
千米时，逆流速度=2×水流速度= 4千米时。设甲、丙两港间距离为X千米，可列方程X÷8+（X－18）÷4=12 解得
X=44。
2.一艘轮船在两码头之间航行。如果顺水航行需8小时，如果逆水航行需11小时。已知水速为每 小时3千米，那
么两码头之间的距离是多少千米？
A.180
B.185
C.190
D.176
【答案】D。解析：设全程为s，那么顺水速度为 ，逆水速度为 ，由（顺水速度-逆水速度）2=水速，知道 － =6，
得出s=176。

3， 一只渔船顺水行25千米，用了5小时，水 流的速度是每小时1千米。此船在静水中的速度是多少？（适于高年级
程度）
解：此船的顺水速度是：
25÷5=5（千米小时）
因为“顺水速度=船速+水速”，所以，此船在静水中的速度是“顺水速度-水速”。
5-1=4（千米小时）
综合算式：
25÷5-1=4（千米小时）
答：此船在静水中每小时行4千米。
4， 一只渔船在静水中每小时航行4千米，逆水4小时航行12 千米。水流的速度是每小时多少千米？（适于高年级程
度）
解：此船在逆水中的速度是：

12÷4=3（千米小时）
因为逆水速度=船速- 水速，所以水速=船速-逆水速度，即：
4-3=1（千米小时）
答：水流速度是每小时1千米。
5， 一只船，顺水每小时行20千米，逆水每小时行12千米。这只 船在静水中的速度和水流的速度各是多少？（适于
高年级程度）
解：因为船在静水中的速度=（顺水速度+逆水速度）÷2，所以，这只船在静水中的速度是：
（20+12）÷2=16（千米小时）
因为水流的速度=（顺水速度- 逆水速度）÷2，所以水流的速度是：
（20-12）÷2=4（千米小时）
答略。
6，某船在静水中每小时行18千米，水流速度是每小时2千米。此船从甲地逆水航行到乙地需 要15小时。求甲、乙两
地的路程是多少千米？此船从乙地回到甲地需要多少小时？（适于高年级程度）
解：此船逆水航行的速度是：
18-2=16（千米小时）
甲乙两地的路程是：
16×15=240（千米）
此船顺水航行的速度是：
18+2=20（千米小时）
此船从乙地回到甲地需要的时间是：
240÷20=12（小时）
答略。
7， 某船在静水中的速度是每小时15千米，它 从上游甲港开往乙港共用8小时。已知水速为每小时3千米。此船从乙
港返回甲港需要多少小时？（适于 高年级程度）

解：此船顺水的速度是：
15+3=18（千米小时）
甲乙两港之间的路程是：
18×8=144（千米）
此船逆水航行的速度是：
15-3=12（千米小时）
此船从乙港返回甲港需要的时间是：
144÷12=12（小时）
综合算式：
（15+3）×8÷（15-3）
=144÷12
=12（小时）
答略。
8， 甲、乙两个码头相距144千米，一艘汽艇在静水中每小时行20千米，水 流速度是每小时4千米。求由甲码头到乙
码头顺水而行需要几小时，由乙码头到甲码头逆水而行需要多少 小时？（适于高年级程度）
解：顺水而行的时间是：
144÷（20+4）=6（小时）
逆水而行的时间是：
144÷（20-4）=9（小时）
答略。
9， 一条大河，河中间（主航道）的水流 速度是每小时8千米，沿岸边的水流速度是每小时6千米。一只船在河中间
顺流而下，6.5小时行驶2 60千米。求这只船沿岸边返回原地需要多少小时？（适于高年级程度）
解：此船顺流而下的速度是：

260÷6.5=40（千米小时）
此船在静水中的速度是：
40-8=32（千米小时）
此船沿岸边逆水而行的速度是：
32-6=26（千米小时）
此船沿岸边返回原地需要的时间是：
260÷26=10（小时）
综合算式：
260÷（260÷6.5-8-6）
=260÷（40-8-6）
=260÷26
=10（小时）
答略。
10， 一只船在水流速度是2 500米小时的水中航行，逆水行120千米用24小时。顺水行150千米需要多少小时？（适
于高年 级程度）
解：此船逆水航行的速度是：
120000÷24=5000（米小时）
此船在静水中航行的速度是：
5000+2500=7500（米小时）
此船顺水航行的速度是：
7500+2500=10000（米小时）
顺水航行150千米需要的时间是：
150000÷10000=15（小时）

综合算式：
150000÷（120000÷24+2500×2）
=150000÷（5000+5000）
=150000÷10000
=15（小时）
答略。
11， 一只轮船在208千米长的水路中航行。顺水用8小时 ，逆水用13小时。求船在静水中的速度及水流的速度。（适
于高年级程度）
解：此船顺水航行的速度是：
208÷8=26（千米小时）
此船逆水航行的速度是：
208÷13=16（千米小时）
由公式船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，可求出此船在静水中的速度是：
（26+16）÷2=21（千米小时）
由公式水速=（顺水速度- 逆水速度）÷2，可求出水流的速度是：
（26-16）÷2=5（千米小时）
答略。
12， A、B两个码头相距180千米。甲船逆水行全程用18小时，乙船逆水行全程用15 小时。甲船顺水行全程用10小
时。乙船顺水行全程用几小时？（适于高年级程度）
解：甲船逆水航行的速度是：
180÷18=10（千米小时）
甲船顺水航行的速度是：
180÷10=18（千米小时）

根据水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，求出水流速度：
（18-10）÷2=4（千米小时）
乙船逆水航行的速度是：
180÷15=12（千米小时）
乙船顺水航行的速度是：
12+4×2=20（千米小时）
乙船顺水行全程要用的时间是：
180÷20=9（小时）
综合算式：
180÷[180÷15+（180÷10-180÷18）÷2×3]
=180÷[12+（18-10）÷2×2]
=180÷[12+8]