弹起我心爱的土琵琶-学海征途

初一数学竞赛试题及答案
一、选择题
1
．已知
a 
1
b
、
c
的大小关系是
( )
bc
，，，则
a
、
2
A
．
a>b>c B
．
b>c>a C
．
c>a>b D
．
c>b>a
A
．一组
B
．二组
C
．三组
D
．四组

6
．方程
x
2< br>－
y
2
=105
的正整数解有
( )
．

二、填空题
bcca
中有

个是负数．
7
．
3
个有理数
a
、
b
、
c
两两 不等，则
ab
，，
bccaab
8
．
a
、
b
是整数，且满足
abab2
，则
ab=
．

9
．一个自然数与
3
的和是
5
的倍 数，与
3
的差是
6
的倍数，这样的自然数中最小的
是
___ ______
．

10
．设
x
、
y
、z
是整数数位上的不同数字．那么算式

x

x
y
x
x
x

? ? ?
所能得到的尽可能大的三位数的和数是

11
．甲、乙同在一百米起跑线处，甲留在原地未动，乙则以每秒
7
米的速度 跑向百米
终点，
5
秒后甲听到乙的叫声，看到乙跌倒在地，已知声音的传播速度是每秒
340
米，
这时乙已经跑了
_____
．米（精确到个位）

12
．五位数
abcde
是
9
的倍数，其中
abc d
是
4
的倍数，则
abcde
的最小值是

三、解答题
13
．
x
，
y
是满足条件
2 x3ya
的整数（
a
是整数），证明必存在一整数
b
，使
x
，
y
能表示为
xa3b
，
ya2b
的形式．

14
．一个自然数减去
45
及加上
44
都仍是完全平方数，求此数．

15
．某甲于上午
9
时
15
分钟由码头划船出游，计算最迟于
12
时返回原码头，已知河
水的流速为1
．
4
千米／小时，划船时，船在静水中的速度可达
3
千米／小 时，如果
甲每划
30
分钟就需要休息
15
分钟，并且船在划行中不改 变方向，只能在某次休息之
后往回划，问甲最多能划离码头多远．

1

答案
一、选择题
1
．由于
a
19991999

19991001

1999
1
1

21
2100120001

b1
21
2100120011

c1< br>21
111
，所以
a，即
c>b>a
，选
D
因为

2
6
．
D
二、填空题
abbcca
=1
７．因为

bccaab
abbcca
中必有一个是正数，不妨设
ab
所以
，，0

bccaabbc
有两种情况：①
a
>
b
>
c
②
a
<
b
<
c

①当
a
>
b
>
c
时，
bcca
均为负数；②当
a
<
b
<
c
时，
bcca
也均为负数
，，
caabcaab
abbcca
中恰有两个是负数。 所以
，，
bccaab
8
．∵
a
、
b
是整数，所以
ab与ab为
非负整数，由
abab2
得：

ab
0
，
ab
2
①


或
ab
1
，
ab
1
②

或
ab
2
，
ab
0
③

2
，另一个为
±1
，此时
ab
是奇数若①，由
ab
2
，只能
a
、
b
中有一个为
±
与
ab
0
矛盾，故①不成立．

1
，此时< br>ab
是偶数与
ab
1
矛盾，故若②，由
ab
1
，只能
a
、
b
同为
±
②也不成立．因此只能是③ ，此时
ab
0
，有
ab=0
2

9
．
27
10
．由于和数是三位数，则
x
不可能 取
9
，否则和数会是四位数，因此
x
的最大值是
8
，为了得 到最大和，
y
应当取
9
，这样，题设的算式就变成

888
98

8
9 9 4

所以所能得到的尽可能大的三位数的和数是
994
11
．设乙跑了
x
米，则在
x
秒时乙发出叫声，声音传到甲处用了
1
x
秒， 两段时间
7340
535
xx
x34
5
，

之和等于
5
，所以

米

117
1< br>7340
7340340
12
．要
abcde
最小，必须abcd
也最小，且被
4
整除，所以
abcd
是
100 0
．补上末位数
字
e
变为五位数，又要是
9
的倍数，所以这 个五位数数字和应是
9
的倍数，则补上末
位数字
e
是
8，所以
abcde
的最小值是
10008
．

三、解答题
13
．∵
2x+3y=a

a3yay
y
，

22
∵
x
，
y
是整数．

ay
∴

也是整数．

2
a3y
令
b
，则
ya2b
．

2
a3ya3(a2b)
3ba
，

这时，< br>x
22
2x3y2(3ba)3(a2b)6b2a3a6ba

∴
x
这说明整数
b
能使
x=-a+3b
，
y=a
－
2b
满足方程
2x+3y=a
．

14
．设此自然数为
x
，依题意可得

2


x45m　　　①
(m
，
n
为自然数
)

2


x44n　　　②
②－①可得
n
2
m
2
89
，

n
2
x44m
2
4544m
2
，

3

∴
n>m
(nm)(nm)89

但
89
为质数，它的正因子只能是< br>1
与
89
，于是
nm1
，
nm89
．

解之，得
n=45
．代入
(2)
得
x45< br>2
441981
．故所求的自然数是
1981
．

15
．甲划船的全部时间为
2
小时
45
分钟，他每划行
3 0
分钟，休息
15
分钟，周期为
45
分钟，所以甲一共可分为
4
个
30
分钟划行时间段，中间有
3
个
15
分钟 休息．如
果甲开始向下游划，那么他只能用
1
个
30
分钟的时间段向 下游划，否则将无法返回，
这时他离开码头的距离为：
(31.4)0.51.40. 252.55
（千米）．

而返回用
3
个
30
分钟的时间段所走的距离为

(31.4)1.51.40.51.7
（千米）

由此可见，甲 如果开始向下游划，那么到
12
点时他将无法返回出发地．如果甲

开始向上 游划，那么他可以用
3
个时间段向上游划，这时他最远离开码头的距离为

(31.4)1.51.40.51.7
（千米）

并用最后一个时间段，完全可以返回码头．




4