小学生心理辅导案例-帅气的qq名字

四年级奥数：找规律（一）

我们在三年级已经见过
“
找规律
”
这个题目，学习了如何发现图形、数表和数
列的变化规律
.
这一讲重点学习具有
“
周期性
”
变化规律的问题
.
什么是周期性变化
规律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎
的夏季过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到
了春天
.年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律
.
再比如，数列0
，
1
，
2
，
0
，
1
，2
，
0
，
1
，
2
，
0
，…
是按照
0
，
1
，
2
三个数重复
出现 的，这也是周期性变化问题
.
下面，我们通过一些例题作进一步讲解
.
例
1
节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照
5
盏红灯、再接
4
盏蓝灯、再接
3
盏
黄灯，然后又是
5
盏红灯、
4
盏蓝灯、
3
盏黄灯、
……
这样排下去
.
问：

（
1
）第
100
盏灯是什么颜色？

（
2
）前
150
盏彩灯中有多少盏蓝灯？

分析与解：这是 一个周期变化问题
.
彩灯按照
5
红、
4
蓝、
3黄，每
12
盏灯一个
周期循环出现
.
12
＝
8……4
，所以第
100
盏灯是第
9
个周期的第
4
盏灯，是红灯
.
（
1
）
100÷
（
2< br>）
150÷12=12……6
，前
150
盏灯共有
12
个周期零
6
盏灯，
12
个周期中
12
＝
48（盏），最后的
6
盏灯中有
1
盏蓝灯，所以共有蓝灯
48
＋
1=49
有蓝灯
4×
（盏）
.
例
2
有一串数，任何相邻的四个数之和都等于
25.
已知第
1
个数是
3
，第
6
个数
是
6
，第
11
个数是
7.
问：这串数中第
24
个数是几？前
77
个数的和是多少？

分析与解：因为第
1
，
2
，
3
，
4< br>个数的和等于第
2
，
3
，
4
，
5
个 数的和，所以第
1
个数与第
5
个数相同
.
进一步可推知，第
1
，
5
，
9
，
13
，
…
个数都相同
.
同理，第
2
，
6
，
10
，
14
，
…
个数都相同，第
3
，
7
，< br>11
，
15
，
…
个数都相同，
第
4
，
8
，
12
，
16…
个数都相同
.
也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的
.
所以，第
2
个数< br>等于第
6
个数，是
6
；第
3
个数等于第
11
个数，是
7.
前三个数依次是
3
，
6
，
7
，
第四个数是


25-
（
3+6+7
）
=9.

这串数按照
3
，
6
，
7
，
9
的顺序循环出现
.
第
24
个数与第
4
个数相同，是
9.
4
＝
9……1
知，前
77
个数是
19
个周期零
1
个数，其和为
25×19+3=478.
由
77÷
例
3
下面这串数的规律是：从第
3
个数 起，每个数都是它前面两个数之和的个
位数
.
问：这串数中第
88
个 数是几？


628088640448…
分析与解：这串数看起来没有 什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的
某两个相邻数字相同，那么根据这串数的构成规律，这 两个相邻数字后面的数字
必然与前面那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化
.
我们
试着将这串数再多写出几位：


当写出第
2 1
，
22
位（竖线右面的两位）时就会发现，它们与第
1
，
2
位数相
同，所以这串数按每
20
个数一个周期循环出现
.
由
88÷20=4……8
知，第
88
个数
与第
8
个 数相同，所以第
88
个数是
4.
从例
3
看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋
.
例
4
在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位
数字
.
那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是
“2000”
？


7134…
分析与解：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法
.
按照例
3
的方法找
到一周期，因为这个周期很长，所以也不是好方法
.
那么怎么办呢？仔细观察会
发现，这串数的前四个数都是奇数，按照
“
每 个数都是它前面四个数之和的个位
数字
”
，如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将 这串数依次写出来，得到

奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇
……
可以看出 ，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的，永远不会出
现四个偶数连在一起的情况，即不会出 现
“2000”.
例
5
A
，
B
，
C< br>，
D
四个盒子中依次放有
8
，
6
，
3
，
1
个球
.
第
1
个小朋友找到放球
最少的盒子， 然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第
2
个小朋友也找到
放球最少的盒子，然 后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子
……
当
100
位小
朋友放 完后，
A
，
B
，
C
，
D
四个盒子中各放有 几个球？

分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，
A
，
B
，
C
，
D
四个盒子中的球数如下表：


可以看出，第
6
人放过后与第
2
人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从
第
2
人放过后，每经过
4
人，四个盒子中球的情况重复出现一次
.
4
＝
24……3
，

（
100-1
）
÷
所以第
100
次后的情况与第
4
次（
3
＋
1
＝
4
）后的情况相同，
A
，
B
，
C
，
D
盒中依次有
4
，< br>6
，
3
，
5
个球
.

练习
7


1
．有一串很长的珠子，它是按照
5
颗红珠、
3
颗白珠、
4
颗黄珠、
2
颗绿珠
的顺序重复排列的
.
问：第
100
颗珠子是什么颜色？前
200颗珠子中有多少颗红
珠？


2
．将
1
，< br>2
，
3
，
4
，
…
除以
3
的 余数依次排列起来，得到一个数列
.
求这个数
列前
100
个数的和< br>.

3
．有一串数，前两个数是
9
和
7
，从第三个数起，每个数是它前面两个数
乘积的个位数
.
这串数中第
100< br>个数是几？前
100
个数之和是多少？


4
．有 一列数，第一个数是
6
，以后每一个数都是它前面一个数与
7
的和的
个位数
.
这列数中第
88
个数是几？


5．小明按
1
～
3
报数，小红按
1
～
4
报数
.
两人以同样的速度同时开始报数，
当两人都报了
100
个数时 ，有多少次两人报的数相同？

6
．
A
，
B
，C
，
D
四个盒子中依次放有
9
，
6
，
3
，
0
个小球
.
第
1
个小朋友找
到放球最 多的盒子，从中拿出
3
个球放到其它盒子中各
1
个球；第
2
个小朋友也
找到放球最多的盒子，也从中拿出
3
个球放到其它盒子中各
1个球
……
当
100
个小朋友放完后，
A
，
B< br>，
C
，
D
四个盒子中各放有几个球？

第
8
讲

找规律（二）

a
叫做这个数的平方，记作
a
2
，即
a
2
＝a×a
； 整数
a
与它本身的乘积，即
a×
a×a.
一般地，
n
个
a
相同样，三个
a
的乘积叫做
a的三次方，记作
a
3
，即
a
3
＝
a×
乘，叫做
a
的
n
次方，记作
a
n
，即


本讲主要讲
a
n
的个位数的变化规律，以及
a
n
除以某数所得余数的变化规律
.
因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数 的个位数有关，所以
an
的个位
数只与
a
的个位数有关，而
a
的个位数只有
0
，
1
，
2
，
…
，
9
共十种情况，故我
们只需讨论这十种情况
.
为了找出一个 整数
a
自乘
n
次后，乘积的个位数字的变化规律，我们列出下
页的表 格，看看
a
，
a
2
，
a
3
，
a< br>4
，
…
的个位数字各是什么
.
从表看出，
a
n
的个位数字的变化规律可分为三类：

（
1
）当
a
的个位数是
0
，
1
，
5
，
6
时，
a
n
的个位数仍然是
0
，
1< br>，
5
，
6.
（
2
）当
a
的个 位数是
4
，
9
时，随着
n
的增大，
a
n< br>的个位数按每两个数为一
周期循环出现
.
其中
a
的个位数是< br>4
时，按
4
，
6
的顺序循环出现；
a
的个位 数是
9
时，按
9
，
1
的顺序循环出现
.
（
3
）当
a
的个位数是
2
，
3
，
7
，
8
时，随着
n
的增大，
a
n
的个位数 按每四个
数为一周期循环出现
.
其中
a
的个位数是
2
时，按
2
，
4
，
8
，
6
的顺序循环出现 ；
a
的个位数是
3
时，
9
，
7
，
1
的顺序循环出现；按
3
，当
a
的个位数是
7
时， 按
7
，
9
，
3
，
1
的顺序循环出现；当< br>a
的个位数是
8
时，按
8
，
4
，
2
，
6
的顺序循环出
现
.

例
1

求
67
999
的个位数字
.

分析与解：因为
67
的个位数是
7
，所以
67
n
的个位数随着
n
的增大，按
7
，
9
，
3
，
1
四个数的顺序循环出现
.
4
＝
249……3
，


999÷
所以
67
999
的个位数字与
7
3
的个位数字相同，即67
999
的个位数字是
3.
例
2

求
2
91
+3
291
的个位数字
.
4< br>，
8
，
6
四个数的顺序循环出现，
91÷4
＝
22……3
，分析与解：因为
2
n
的个位数字按
2
，所以，
2
91
的个位数字与
2
3
的个位数字相同，等于
8.
类似地，
3
n
的个位数字按
3
，
9
，
7
，
1
四个数的顺序循环出现，

291÷4
＝
72……3
，

所以
3
291
与
3
3
的个位数相同，等于
7.
最后得到
2
91
+3
291
的个位数字与
8+ 7
的个位数字相同，等于
5.
例
3

求
28
128
-29
29
的个位数字
.
4
＝
32
知，
28
128
的个位数与
8
4
的个位数相同，
2
＝
14……1
解：由
128÷
等 于
6.
由
29÷
知，
29
29
的个位数与
9
1
的个位数相同，等于
9.
因为
6
＜
9
，在减法中需向十位借
位，所以所求个位数字为
16
－
9
＝
7.
例
4
求下列各除法运算所得的余数：

5
；

（
1
）
78
55
÷
3.
（
2
）
5
55
÷
4
＝
13……3
知，
78< br>55
的个位数与
8
3
的个位数相同，等于分析与解：（
1）由
55÷
2
，所以
78
55
可分解为
10× a
＋
2.
因为
10×a
能被
5
整除，所以
78
55
除以
5
的余数
是
2.
3
的余数 不仅仅与
a
的个位数有关，所以不能用求
5
55
的个位数 （2
）因为
a÷
3
的余数的规律，先将
5
的各次方除以< br>3
的余数列表如的方法求解
.
为了寻找
5
n
÷
下：


注意：表中除以
3
的余数并不需要计算出
5
n
，然后再除以
3
去求，而是用上
次的余数乘以
5
后，再除以
3
去求
.
比如，
5
2
除以
3< br>的余数是
1
，
5
3
除以
3
的余数
5 =5
除以
3
的余数相同
.
这是因为
5
2
＝
3×8+1
，其中
3×8
能被
3
整除，而

与
1×

8+1
）
×5=
（
3×8
）
×5+1×5
，


5
3
=
（
3×
8
）
×5
能被
3
整除， 所以
5
3
除以
3
的余数与
1×5
除以
3< br>的余数相同
.
（
3×
由上表看出，
5
n< br>除以
3
的余数，随着
n
的增大，按
2
，
1< br>的顺序循环出现
.
3
的余数与
5
1
÷3
的余 数相同，等于
2.
由
55÷2=27……1
知，
5
55< br>÷
例
5
某种细菌每小时分裂一次，每次
1
个细茵分裂成3
个细菌
.20
时后，将这些
细菌每
7
个分为一组，还 剩下几个细菌？

3=3
1
（个）细菌，
2
时后有
3
1
×3=3
2
（个）细菌
……20
时分析与解：
1
时后有
1×
7
的余数
”.
后，有
3
2 0
个细菌，所以本题相当于
“
求
3
20
÷
由例
4
（
2
）的方法，将
3
的各次方除以
7
的 余数列表如下：

7
的余数以六个数为周期循环出现
.
由
2 0÷6
＝
3……2
知， 由上表看出，
3
n
÷
3
20
÷7
的余数与
3
2
÷7
的余数相同，等于2.
所以最后还剩
2
个细菌
.
b
所得余数，随着
n
的增大，必然会出现周期性变化规 最后再说明一点，
a
n
÷
律，因为所得余数必然小于
b
，所以在
b< br>个数以内必会重复出现
.

练习
8


1
．求下列各数的个位数字：

（
1
）
38
38
；

（
2
）
29
30
；

（
3
）
64
31
；

（
4
）
17
215
.
2
．求下列各式运算结果的个位数字：

（
1
）
9 2
22
＋
57
31
；

（
2
）< br>61
5
+48
7
+34
9
；

4
8
+5
9
×6
10
.
（
3
）
46
9
-62
11
；
< br>（
4
）
3
7
×
3
．求下列各除法算式所得的 余数：

4
；

（
2
）
8
111
÷6
；

（
1
）
5
100
÷
7
（
3
）
4
88
÷

答案

练习
7


1.
红；
74
颗
.

2.100.
提示：数列是
1
，
2
，
0
，
1
，
2
，
0
，
1
，
2
，
0
，
…
，以
1
，
2
，0
三个数
为周期循环出现
.

3.1
；
436.

提示：这串数 按
9
，
7
，
3
，
1
，
3
，
3
六个数循环出现
.

4.5.
提示：这列数 按
6
，
3
，
0
，
7
，
4
，
1
，
8
，
5
，
2
，
9
循环出现
.

5.27
次
.
提示：每报
12
个数有
3
个数相同
.

6.5
，
6,
，
3
，
4.
提示：解法同例
5.

练习
8


1.
（
1
）
4
；

（
2
）
1
；

（
3
）
4
；

（
4
）
3.

2.
（
1
）
7
；

（
2
）
7
；

（
3
）
8
；

（
4
）
2.

3.
（
1
）
1
；

（
2
）
2
；

（
3
）
4.
提示：（
1
）任何数除以
4
的余数都等于这个数的后两位数除以
4
的余数，
5
的任何（大于
2
）次方的后两位都是
25.
（
2
）
8n
除以
6
的余数，当
n
是奇数时等于
2
，当< br>n
是偶数时等于
4.
（
3
）与例
4
类似可得下表：

2
，
1
的顺序循环出现
.
由
88÷3=29……1

4
n
除以
7
的余数，随着
n
的增大，按
4
，
7
的余数与
4
1
÷7
的余数相同，是
4.
知，
4
88
÷