追女孩的短信-有关爱情的诗句

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第一章 静电场

§3 高斯定理（P70）

1. 设一半径为5厘米的圆形平面，放在场强为300牛顿库仑的匀强电场中，试计算平面法线与场强 的
夹角

取下列数值时通过此平面的电通量：⑴

0
；⑵

30
；⑶

90
；⑷

120< br>；⑸


180

。
解：由

e
EScos

可得：
202
⑴

e1
3000.05

cos 00.75

2.36NmC

⑵

e2
 3000.05
2

cos30
0
0.3753
< br>2.04Nm
2
C

20
⑶

e3
3000.05

cos900

202
⑷

e4
3000.05

cos 1200.375

1.18NmC

202
⑸

e5
3000.05

cos1800.75

2.36NmC


2. 均匀电场与半径为
a
的半球面的轴线平行，试用面积分计算通过此半球面的电通量。
22
解：

e
E

a

aE< br>

3. 如附图所示，在半径为
R
1
和
R
2
的两个同心球面上，分别均匀地分布电荷
Q
1
和
Q
2，求：
⑴ Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的场强分布；
⑵ 若
Q
1
Q
2
，情况如何？画出此情形的
Er
曲线。


1
解：⑴ 由高斯定理

EdS
(S)

0

q
i
得：
Ⅰ区域内，
rR
1

E
1
0

Ⅱ区域内，
R
1
rR
2

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E
2

Q
1
4

0
r
2

Ⅲ区域内，
rR
2

E
3

Q
1
Q
2

2
4

0
r
⑵ 当
Q
1
Q
2
时
E
1
0
，
E
2


Q
1
4

0
r
2
，
E
3
0
4. 根据量子理论，氢原子中心是一个带正电
q
e
的原子核（可以看 成点电荷），外面是带负电的电子云。
在正常状态（核外电子处在s态）下，电子云的电荷密度分布是球 对称的：

e
(r)
q
e
2ra
0
e

3

a
0
式中
a
0
为一常 数（它相当于经典原子模型中s电子圆形轨道的半径，称为玻尔半径），求原子内的
电场分布。
解：原子内的电荷分布具有球对称性，因而原子内的电场也是球对称分布的。由高斯定理可得
2
EdS4

rE

1
(S)

0

q


(r)dV


ee< br>r
q

1

2ra
0
2
e
e4

rdr




4
rE

q
e


0

a
3

0

0

2
q
e
e
 2ra
0
E
4

0
r
2


2
2
2

rr1

2


a
0

a
0

5. 实验表明：在靠近地面处有相 当强的电场，
E
垂直于地面向下，大小约为100牛顿库仑；在离地

面
1.5
千米高的地方，
E
也是垂直于地面向下的，大小约为25牛顿库 仑。
⑴ 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度。
⑵ 如果地球上的电荷全部均匀分布在表面，求地面上电荷的面密度。
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解：⑴ 设电荷的平均体密度为

e
，取 圆柱形高斯面如图（1）（侧面垂直底面、
底面
S
平行地面），上下底面处的场强分 别为
E
1
和
E
2
，则通过高斯面的电
场强度通量为

E
1


EdSE
2
SE< br>1
S(E
2
E
1
)S

高斯面
S
包围的电荷
h

S
S

qhS


ie
由高斯定理
(E
2
E
1
)S
hS

e
E
2


0

（1）

e


0(E
2
E
1
)4.4310
13
Cm
3

⑵ 设地面面电荷密度为

e
。由于电荷只分布在地表面，所以 电力线终止于地面，取高斯面如图（2）。
由高斯定理
1
h

E dS
1
1

0

q
i


E

ES

0

e
S

（2）

e


0
E8.851010
Cm
2


6. 半径为
R
的无穷长直 圆筒面上均匀分布带电，沿轴线单位长度的电量为

。求场强分布，并画
Er
曲线。
解：电场分布具有轴对称性，作与圆筒共轴半径为
r
、长为
l的圆柱形高斯面，由高斯定理可得

EdS2

rlE
1

0

q

i
当
rR
时，

q
i
0

E
1
0

当
rR
时，

q

l

i
E
2




2

0
r
7. 一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为
R
1
和
R
2
，筒面上都均匀带电，沿轴线单位长度的电量分别
为

1
和

2
。⑴ 求各区域内的场强分布；⑵ 若

1


2
，情况如何？画出此情形的
Er
曲线。
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解：⑴ 由高斯定理
EdS
1

0

q
i
可得
当
rR
1
时，
E
1
0
< br>当
R
1
rR
2
时，
E
2

1

2

0
r

1


3

2

0
r
当
rR
2
时，
E
3

⑵ 当

1


2
时，代入⑴中可得
E
1
0
，
E
2



1
，
E
3
0

2

0
r
8. 半径为
R
的无限长直圆柱体内均 匀带电，电荷体密度为

e
。求场强分布，并画
Er
曲线。 解：电场分布具有轴对称性，作与圆柱体共轴半径为
r
、长为
l
的圆柱形 高斯面，由高斯定理可得

EdS2

rlE
2
1

0
e

q

i
当
rR时，

q

rl


i

r
2
l

e

2

rlE

0
E
1


e
r
2

0
当
rR
时，

q
i


R
2
l

e


e
R
2

E
2

2

0
r

9. 设气体放电形成的等离子体圆柱内的体电荷分布可用下式表示：

e
(r)

0


r


1

< br>

a

2




2< br>
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式中
r
是到轴线的距 离，

0
是轴线上的

e
值，
a
是个常数 （它是

e
减少到

0
4
处的半径）。求场
强分布。
解：作与圆柱体共轴半径为
r
、长为
l
的圆柱形高斯面 ，由高斯定理可得

EdS2

rlE
1
0

q

i

1

0


e
(r)dV
1

0

r

0


r


1




a

2
0




2
2

rldr

a
2

0
r

E
22
2

0
(ar)

10. 两 无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为


e
，求各区域的场强分 布。
解：电荷面密度为

e
的无限大均匀带电平面的场强为
E

e

2

0
由场的叠加原理可得两带电平面间的场强为
E
2


e


0
方向垂直带电平面由正电荷指向负电荷。
两带电平面外侧的场强为
E
1
E
3
0

可以用高斯定理求出同样的结果（作垂直于带电平面的原柱形高斯面）。

11. 两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度都是

e
，求各处的场强分布。
解：由场的叠加原理和无限大均匀带电平面的场强公式可得两带电平面间的场强为
E
2
0

两带电平面外侧的场强大小为
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E
1
E
3

方向垂直带电平面


e


0
12. 三个无限大的平行平面都均匀带电，电 荷的面密度分别是

e1
、

e2
、

e 3
。求下列情况各处的场
强：⑴

e1


e2< br>

e3


e
；⑵

e1


e3


e
，

e2


e
；⑶

e1


e3
< br>
e
，

e2


e
；
⑷

e1


e
，

e2


e3


e
。
解：建立如图所示坐标轴（
x
轴）。每个带电平面产生的场强均为
E



e

（带电平面的左侧），
E

e
（带电平面的右侧）
2

0
2

0
则由场强叠加原理，三个无限大的均匀带电平面所分成的4个区域的场强分别为

E
2

E
3


Ⅰ区：
E
1
E
1

e1


e2


e3

2

0

E
2
E
3


Ⅱ区：
E
2
E
1

e1


e2


e3

2

0

e1


e2


e3

2

0

e1


e2


e3

2

0

E2

E
3


Ⅲ区：
E
3
E
1

E
2

E
3

Ⅳ区：
E
4
E
1
实际上无限大的均匀带电平面产生 的电场是匀强电场，并且关于带电平面对称，因而无限大均匀带
电平行平面组产生的电场在平行平面组外 也是关于平面对称的，所以可以应用高斯定理求出无限大均匀
带电平行平面组的电场分布。上面的结果也 可用高斯定理求出。
⑴ 当

e1


e2
< br>
e3


e
时，4个区的场强分别为
Ⅰ区：E
1

3

e


3
< br>e
；Ⅱ区：
E
2

e
；Ⅲ区：
E
3

e
；Ⅳ区：
E
4


2
< br>0
2

0
2

0
2

0< br>⑵ 当

e1


e3


e、

e2


e
时，4个区的场强分别为
Ⅰ区：
E
1


e


；Ⅱ区：E
2

e
；Ⅲ区：
E
3

e
；Ⅳ区：
E
4

e

2

0
2

0
2

0
2

0
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⑶ 当

e1


e3


e
、

e2


e
时，4个区的场强分别为
Ⅰ区：
E
1


e



；Ⅱ区：
E
2

e
；Ⅲ区：
E
3

e
；Ⅳ区：
E
4

e

2

0
2

0
2

0
2

0
⑷ 当

e1


e
、
e2


e3


e
时，4个区 的场强分别为
Ⅰ区：
E
1


13. 一厚度为
d
的无限大平板，平板体内均匀带电，电荷的体密度为

e
，求板内、外场强 的分布。
解：如图，建立坐标
x
轴。带电平板产生的场强是关于平面对称的，作底面 面积为
S
平行于平板、且
关于坐标原点
O
对称的圆柱形高斯面。由 高斯定理可得

e
3

e


；Ⅱ区：
E
2

；Ⅲ区：
E
3

e
；Ⅳ区 ：
E
4

e

2

0
2

0
2

0
2

0

Ed S2ES
1

0

q

i
在平板内 ，即
x
d
时，

q
i
2xS
e
，则
2

2ES
2xS

e

0


E
1


e
x


0
d
时，

q
i
dS

e
，则
2

在平板外，即
x
2ES
dS

e

0


E
2


e
d

2

0
考虑到电场的方向，平板外的场强可表示为
E
2



e
d
x

2

0
x
14. 在半导体
pn
结附近总是堆积 着正、负电荷，在
n
区内有正电荷，
p
区内有负电荷，两区电荷的
代 数和为零。我们把
pn
结看成是一对带正、负电荷的无限大平板，它们相互接触（见附图）。 取
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坐标
x
的原点在
p
、
n
区的交界面上，
n
区的范围是
x
n
x0
，
p
区的范围是
0xx
p
。设
两区内 电荷体分布都是均匀的：

n区：

e
(x)N
D
e，
（突变结模型）


p区：

e
(x)N
A
e。
这里
N
D
、
N
A
是常数，且
N
A
x
p
N
D
x
n
（两区电荷数量相等 ）。试证明电场的分布为
n
区：
E(x)
N
D
e

0
(x
n
x)

p
区：
E(x)
N
A
e

0
(x
p
x)
并画出

e
(x)
和
E(x)
随
x
变 化的曲线来。
证明：因两区电荷数量相等，且可把
pn
结看成是一对带正、负电荷 的无限大平板，由高斯定理可知：
pn
结外的场强为零，电场只存在
pn
结内。对
n
区、
p
区分别作如图所示底面面积为
S
、一个底面在
pn
结外及另一个底面过
x
处的圆柱形高斯面
S< br>1
、
S
2
。由高斯定理可得
n
区：

S
1
EdSES
1
1

0
e
V
1

N
D
e
ES

0

e
[x(x
n
)]S

0
(xx
n
)S



E
1

p
区：
N
D
e

0
(xx
n
)

S
2
EdSES
1
1

0
e
V
2

N
A
e
ES< br>
0

e
(x
p
x)S

0
(x
p
x)S



E
2

N
A
e

0
(x
p
x)


e
(x)
和
E(x)
随
x
变化的曲线如 图：
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15. 如果在上题中电荷的体分布为


pn结外：

(x)0，
（线性缓变结模型）

xxx：

(x)eax。
p

n< br>这里
a
是常数，
x
n
x
p
（为什么？）， 统一用

x
m
表示。试证明电场的分布为
2
E(x)< br>ae
2
(x
m
4x
2
)
，
8< br>
0
并画出

e
(x)
和
E(x)
随
x
变化的曲线来。
证明：因
n
区、
p
区的电量 相等，故
x
n
x
p
。与上题类似，
pn
结外的 场强为零，电场只存在
pn
结内。作如图所示底面面积为
S
、一个底面在
pn
结外及另一个底面过
x
处的圆柱形高斯面
S
。
由高斯定理可得

S
EdSES
1
x
p< br>1

0


dV

e
ES


0

x

e< br>Sdx
1

0

x
p
x
ea xSdx



E
令
x
p
ea
2
(x
p
x
2
)

2

0
x
m
，则
2

E
ea
2
(x
m
4x
2
)

8

0
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
e
(x)
和
E(x)
随
x
变化的曲线如图：


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