月季花图片-诗的特点

等差数列的基本概念及公式

知识结构

一、等差数列的定义
定义：
从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固 定不变的数)，这样的数列我们称它为
等差数列．
譬如： 2、5、8、11、14、17、20、
L
从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列
100、95、90、85、80、
L
从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列
关键词：
首项：一个数列的第一项，通常用
a
1
表示
末项：一个数列的最后 一项，通常用
a
n
表示，它也可表示数列的第
n
项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用
n
来表示；
公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用
d
来表示；
和 ：一个数列的前
n
项的和，常用
S
n
来表示 ．
二、三个重要的公式
① 通项公式：递增数列：末项

首项
(项数
1
)

公差，
a
n
a
1< br>（n1）d

递减数列：末项

首项

(项数
1
)

公差，
a
n
a
1
（ n1）d

拓展公式：
a
n
a
m


（nm）d
，
（nm）
② 项数公式：项数

(末项

首项)

公差+1
n（a
n
a
1
）d1
(若
a
n
a
1
)；
n（a
1
a
n
）d1
(若
a
1
a
n
)．

③ 求和公式：和=(首项

末项)

项数÷2
(思路1)
123L9899100

（1（99）（98L
4（51）
101505050


14
100
4
）
4

4
2
4

4442
3
44
）
4

44
50
4
43
共50个101
(思路2)这道题目，还可以这样理解：
和= 1234L
+和100999897L
2倍和101101101 101L
9899100
321
即，和
1011011 01
 (1001)1002101505050

三、一个重要定理：中项定理
1、项数为奇数的等差数列，和=中间项×项数．
譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180，
题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于
209
；
②
656361L531（165）33233331089
，
题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于
3333
．

2、项数是偶数的等差数列，中间一项等于中间两项的平均数。和=中间项×项数．

重难点

（2） 必要时调整数列顺序。






（1） 找出题目中首项、末项、公差、项数。

例题精讲

板块一：等差数列的基本认识
【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
①6，10，14，18，22，…，98；
②1，2，1，2，3，4，5，6；
③ 1，2，4，8，16，32，64；
④ 9，8，7，6，5，4，3，2；
⑤3，3，3，3，3，3，3，3；
⑥1，0，1，0，l，0，1，0；





【练习1】
312
、
610
、
128
、
246
、
484
、……是按一定 规律排列的一串算式，其中第六个算式
的计算结果是 。


板块二：求项数

【例 2】 小朋友们，你知道每一行数列各有多少个数字吗？
（1） 3、4、5、6、……、76、77、78
（2）2、4、6、8、……、96、98、100
（3） 1、3、5、7、……、87、89、91
（4） 4、7、10、13、……、40、43、46

【练习2】
2-1 在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______个数是1994．




2-2 5、8、11、14、17、20、
L
， 65是其中的第几项？



2-3 已知等差数列2、5、8、11、14 …… ，问47是其中第几项？


2-4 已知等差数列9、13、17、21、25、 …… ，问93是其中第几项？




板块三：求通项

【例 3】 已知数列0、4、8、12、16、20、…… ，它的第43项是多少？



【练习3】
3-1 5、8、11、14、17、20、
L
，它的第201项是多少？


3-2 3、5、7、9、11、13、15、…… ，它的第102项是多少？


3-3 1，3，5，7，……是从1开始的奇数，其中第2005个奇数是________。

板块三：中项定理

【例 4】 2、4、6、8、10、12、
L
是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小
的一个．


【练习4】
4-1 1、3、5、7、9、11、
L
是 个奇数列，如果其中8个连续奇数的和是256，那么这8个奇数中最大的
数是多少？

4-2 15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？


4-3 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5， 那么，第1
个数与第6个数分别是多少？





板块四：等差数列求和

【例 5】 用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？
⑴
3456L767778




⑴
1357L8799





⑴
471013L404346

【练习5】
5-1 12……891098……21_____。




5-2
5000246L98100



5-3
1357L199519971999



5-4

(123200720082007321)2008



【例 6】 计算：
⑴
（135L19971 999）-（246L19961998）
⑴
400051015L95 100

⑴
991982973964955946937928 91990




【练习6】计算
（246L 198419861988）（135L198319851987）

家庭作业

【作业1】 1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少?





【作业2】 计算：110＋111＋112＋…＋126＝





【作业3】 计算下列一组数的和：105，110，115，120，…，195，200




【作业4】 聪明的小朋友们，
PK
一下吧．
⑴
481216L3236




⑵
656361L531





246L9698100）（135L959799）
【作业5】 计算： ⑴
（

（2）
1000999998997996995L 106105104103102101
．



【作业6】 计算：
（135L2009）（246L2008）


【作业7】
134679101213L66676970
；（难）






【作业8】
200720062005200420032002L54321

【进门考】
1、在数列2，5，8，……，329中，一共有多少项？

2、在数列7，11，15，19，……中，203是第几项？

3、已知等差数列1，6，11，16，……，请问：第31项是多少？


4、 1+11+21+31+……+201


5、 7+11+15+……+207