七大洲地图-最勇敢的人

等差数列前n项和公式及性质
例1：根据下列条件，求相应的等差数列
a
n

的有关未知数：
（1）

d2, n15,a
n
10,
求
a
1
及
S
n

（2）

a
1
20,a
n
54,S
n
999
，求d及 n。
1
,n37,S
n
629,
求
a
及
a
n
。 （3）
d
1
3

51
a,d,S
n
30,
求n及
a
（4）
1
66

例2．已知数列

a
n

的前
n
项和
S
n

(1) 求这个数列的通项公式
(2) 判断这个数列是否为等差数列






n
，
1
2
2
nn3
,
43
变式：已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
pnqn r
（p，q，r为常数，且p不等于0）,判断这个数
列是否一定是等差数列?你能得出什么 结论？





例3：已知两个等差数列

a
n

和

b

的前
n
项和分别是
S
n
和
T
n
，且
n
2
S
n
7n45
a

，求
11
。
T
n
n3
b
11




- 1 -

例4：已知数列

a
n
的前
n
项和是
（1） 求通项公式；
（2） 求数列
S
n
12nn
2
，
；

a

的前
n
项和
T
n
n






例5：已知数列{
a
n
}是等差 数列，
a
1
＞0，
S
9
＝
S
17
，试问
n
为何值时，数列的前
n
项和最大？最大值为多少？








习题：
1. 根据下列条件，求相应的等差数列
{a
n
}
的有关未知数
（1）在 等差数列
{a
n
}
中
a
4
10,a
10
2
，若
S
n
60
，则
n
.
（2）设
S
n
为等差数列
{a
n
}
的 前
n
项和，若
S
5
10,S
10
5
，则
d
.
2.设等差数列

a
n
中，
a
1
a
2
4,a
7
a< br>8
28
，则该数列前10项的和为
3. 等差数列{a
n
}
中，
a
1
a
2
a
3
24,a
18
a
19
a
20
78< br>，则此数列前20项的和为 .
4. 设
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，若
S
5
10,S
10
5
，则S
15
= .
5．已知等差数列
{a
n
}
与
{b
n
}< br>中，
a
1
a
2
a
n
7n2< br>a
，则
5

.

b
1< br>b
2
b
n
n3b
5
6. 设
S
n
是等差数列
{b
n
}
的前
n
项和，< br>a
12
8,S
9
9
，则
S
15

S
n
，若已知前6项的和为36，最后6项的和为1 80，且
S
n
324(n6)
，7．设等差数列

a< br>n

的前
n
项和
求数列的项数n。






- 2 -

8.数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
10 0nn
2
(nN)
求证：
{a
n
}
是等差数列 ；





9． 等差数列
{a
n< br>}
中，已知
a
1
25,S
9
S
12< br>，则该数列的前多少项的和最小？最小值为多少？






10．数列
{a
n
}
中，
a
1
8,a
4
2
，且满足
a
n2
2a
n1< br>a
n
0,nN
，
（1）求数列
{a
n
}
的通项， （2）设
S
n
a
1
a
2
a
n
,
求
S
n
。
11.已知< br>{a
n
}
为等差数列，
S
n
是
{a
n
}
的前
n
项和，
S
7
7,S
1575
.
求证：


S
n

S< br>

n


是等差数列； （2）求数列
< br>n

n


的前
n
项和
T
n
.












- 3 -

等比数列
例1. (1)一个等比数列的第3项和第4项分别为12和18，求它的第1项和第n项.
(2)已知等比数列

a
n

中,
a
5
a
1
15,a
4
a
2
6,求a
3
的值.



例2.求
735与7-35
的等比中项。


例3. 已知数列

a
n

，

b
n

是项数相等的等比数列，其公比分别为p，q，求证：数列

a
n
b
n

是公比为
pq的等比数列。


习题：
1.在等比数列

a
n

中:
(1)
a
4
27,q3,a
7
_________;
(2)
a
2
18,a
4
8,q_________;

(3)
a
5
4,a
7
6,a
9
__ _______;

2. 在数列

a
n

中，
a
n1
2a
n
0,则
A.
2a
1
a
2
().

2a
3
a
4
111
B. C. D. 1
432
3. 在1和16之间插入3个数a,b,c, 使1，a,b,c,16成等比数列，则
b______,ac________.

4. 已知等差数列

a
n

中的公差为-2，且
a
2
,a
4
,a
5
成等比数列,则
a
2< br>
( )
A. -4 B. -6 C. 8 D. -8
5.(选做) 已知等比数列

a
n

满 足
a
1
1,a
n1
2a
n
1;












(1) 求证数列

a
n
1

是等比数列.(2) 求数列

a
n

的通项公式.

- 4 -

等比数列的性质
例1、（1）已知

a
n

是等比数列，
a
n
0
，又知
a
2< br>a
4
2a
3
a
5
a
4
a
6
25
，求
a
3
a
5
。
（2）在 等比数列

a
n

中，
a
1
a
2
a
3
7,a
1
a
2
a
3
 8
，求

a
n

的通项公式为；





变式1：在各项均为正数的等比数列

a
n

中，若
a
5
a
6
9
，则
l og
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
10
等于（ ）
A．12 B.10 C.8 D.2+
log
3
5

习题：
1、在等比数列

a
a
6
，
a
a
6
n

中，
n
a
n1
，且
a
7
a
114< br>a
14
5
，则
a
等于（ ）
16
、
1
6
B、
3
2
C、
2
3
D、5
2．在等比数列

a
n

中，如果
a
6
6,a
9
9
，那么
a
3

；
已知

a
n

是等比数列，若
a
4
5,a
8
6,则
a
2
a
10
=
4. 已知等差数列< br>
a
n

的公差为-2，且
a
2
,a
4
,a
5
成等比数列，则
a
2


5.在等比数列

a
n

中,
a
2
2,a
6
16
，则
a
10


6在等比数列

a
n

中,
a
2
a
8
36,a
3
a
7
15.
求公比q=
a
n
= .
7.在等比数列

a
n

中,
a
5
,a
9
是方程
7x
2
18x70
的两个根，求
a
7
= 。
8.已知数列

a
n

是等比数列，首项是2，公比是 3，
b
n
log
5
a
n
满足
求证：

b
n

是等差数列，并求出首项和公差。





（选做）9.数列

a
n

是首项为1的正项数列，且
(n1)a
n1
na
n
，求数列

a
n

的通项公式。






- 5 -
A
3.

等比数列的前n项和及性质
例1.在等比数列

a
n

中：
（1）已知a
1
1,a
4
64,求q与S
4
； （2）已知
a
3





例2.求数列
1,x,x
2
,x
3
,...
的前n项和S
n.



例3.若等比数列

a
n< br>
的前n项和为
S
n
3
n
a(a为常数）
,① 求a的值; ② 求通项公式
a
n


例4:已知等比数列
{a
n
}
的公比
q
a
1
39
,S
3
,求a
1
与q
。
22
1
，且
a
1
a
3
a
5< br>...a
99
60
，则
3
a
2
a
3
a
4
...a
100
等于（ ）
 a
2
a
3
4,
a
2
a
3
 a
4
2,

A．100; B. 80 C.60 D. 40
变式：等比数列
{a
n
}
中，已知
a
1

则a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
等于（ ）
A．
9
7
2119
B. C. D.
8
8
1616
例5．如果一个等比数列前5项和等于10，前10项和等于50，那么它前15项和等于多少？

例6.递增等比数列

a
n

满足
a
2
a
3
a
4
28,
且
a
3
 2
是
a
2
,a
4
的等差中项
（1）求
{ a
n
}
的通项公式；（选讲）（2）若
b
n
3na
n
，
S
n
是数列
{b
n
}
的前n项和， 求
S
n













- 6 -

习题：
1. 在等比数列

a
n

中，公比q= 2，前3项的和为48，则
a
3
a
4
a
5
=
111
,,,
前8项的和=
248
3. 数列1，
a
，
a
2
，
a
3
，…，
a
n1
，…的前
n
项和为（ ）.
2. 等比数列
1a
n
1a
n1
1a
n2
A. B. C. D. 以上都不对
1a1a1a
4.等比数列{a
n
}中，若前n项和
s
n
2
n
1,
， 则
a
2
1
a
2
2
a
2
3a
2
4
...a
n
2


A、514 B、513 C、512 D、510
5．
已知等比数列
{a
n
}
，
S10
10,S
20
30
，
S
30
=___ _______。
6. 设等比数列
{a
n
}
前n项和
S 2(
1
)
n
k.
，则常数k的值为_____________ _
n
3
1
7.设等比数列
{a
n
}
前n 项和为
S
n
，且
4a,2a
2
,a
3
成等 差数列，若
a
1
1
，则
S
4
=____________
8.
在等比数列{a
n
}中，
s
3

76 3
,s
6
,求
a
n
。
22



9．在等比数列{a
n
}中 ，
a
1
a
n
66,a
2
a
n1
128
,且前n项和S
n
.=126，求n及公比q.
S
n






（选做）10.已知
{a
n
}
是首项
a
1
2
，公比q=3的等比数列。
{b
n
}
是首 项
b
1
1
，公差3的等差数列，
S
n
cab
数列
{c
n
}
满足
n
；（2）求数列
{c
n
}
的前n项和
T
n

nn
，（1）求数列
{a
n
}
的前n项和


- 7 -