清明节是几号-烦闷

三角形内三个顶点分别在三角形三边上且周长最小的三角形
M
N
A
E
H
F
1
2
G
O
B
D
图1
C

如图1所示，做一个任意锐角△AB C,分别以AC、AB为对称轴向外做△ABC的轴对称图形△CAN、△ABM，G、H分
别为D的对 称点，连接G、H，则(1)GH=FD+ED+EF （2)GH是BC上别于D点用同样方法所得的线段中最 短的，也即
△DEF为△内三个顶点分别在三角形三边上周长最小的三角形。（3）当△ABC为锐角三 角形时，△DEF周长为
8p(pa)(pb)(pc)
abc
(其中p=1
2

abc

)
证明(1)首先证明G、F、E、H在一直线上。
连接GH，分别与AC、AB交于E′、F′，
∵∠AEN=AGN=90°∴∠AEGN四点共圆∴∠1=∠2，
∵∠BAN＝2∠BAC ，AB=AN ∴ ∠1=90°-∠BAC。
∵∠HAG＝2∠BAC ，AH=AG ∴ ∠AGE′=90°-∠BAC。
∴∠AGE′=∠2，∴E与E′重合。
同理 F与F′重合。
所以，G、F、E、H在一直线上。
根据作图知，FD=FH,ED=EG,∴GH=FD+ED+EF,
也即△DEF为△内三个顶点分别在三角形三边上周长最小的三角形。
M
A N
H’
F
F′
H
E′
E
B
D D’
C
G’
G
图 2
（2）如图2，D′是异于D点（不与B、C重合）的任意一点

G′、H′分别为D′的对称点，连接G′、H′，
G′H′，分别与AC、AB交于E′、F′，△D′E′F′的周长等于G′H′的长
在△HAG与△H′AG′中，∵∠HAG=∠H′AG′=2∠BAC,AH=AG=AD,
AH′=AG″=AD″,且AD＜AD″
∴GH＜G′H′
因此GH最短，也即△DEF为△内三个顶点分别在三角形三边上周长最小的三角形。
M
A
N
Q
H
F
E
G
B
D
图 3

（3）∵
S
△ABC

∴
AD
bc
a
1
2
bcsinA
1
2
aAD

C
sinA

过A做AQ与GH交于Q, ∵AH=AG=AD，∠HAG＝2∠BAC，∴ GH=2QG
在Rt△AQG中，GQ=AG·s inA=AD·sinA=
bca
2bc
222
bc
a
sinA
·sinA=
bc
a
sinA
………………..①
2
由余弦定理得：
cosA

2

b
2
c
2
a
2

2
两边平方得：
cosA


2bc

222222
b
2
c
2
a
2


bca< br>
bca

22
则
sinA1cosA
= 1-

=

1

1


2bc
2bc2bc


2
=
2bcbca
2bc
222

2
2bc

bca
222

2bc
222

=

2bcb
2
c
2

a
2bc

a

bc2bc

2bc

=

bc

2
a
2
2bc

a

bc

2
2
2bc

=

bca

bca

abc

abc

2bc

2bc


bca
< br>bca

abc

abc

16

2222


=
22< br>4bc

bca

abc

abc

abc

4

a

b< br>
c

2222

=
22
bc
abc
2
令p=则
sin
2
A
=
4p

pa

pb

pc
< br>bc
2
22
………………………………②
把①式代入②得：GQ=< br>bc
a
sinA
=
bc
a
·
4p

pa

pb

pc

bc
22

=
4p

pa

pb

pc

abc

GH=2GQ=
8p

pa

pb

pc

abc

即△D EF的周长为
8p

pa

pb

pc

abc

当三角形为直角三角形或钝角三角形时不在本文讨论。