直角三角形的边角关系讲义
插组词语-最美情侣
直角三角形的边角关系讲义
第1节 从梯子的倾斜程度谈起
本节内容:
正切的定义 坡度的定义及表示(难点) 正弦、余弦的定义
三角函数的定义(重
点)
1、正切的定义
在确定,那么A的对边与邻边的比便随之确定,这个比叫做∠A的正切,记作tanA。
即tanA=
例1
如图,△ABC是等腰直角三角形,求tanC.
A的对边a
A的邻边b
例2 如图,
已知在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,AD=8,BD=4,求tanA的值。
B
D
C
1 22
A
2、坡度的定义及表示(难点
我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或坡比)。坡度常用字母i表示。
斜坡的坡度和坡角的正切值关系是:
tana
h
l
注意:
(1)坡度一般写成1:m的形式(比例的前项为1,后项可以是小数);
(2)若坡角为a,坡度为
i
h
tana
,坡度越大,则a角越
大,坡面越陡。
l
例3 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坝顶宽BC为6m,坝高为
3.2m,为了提高水
坝的拦水能力,需要将水坝加高2m,并且保持坝顶宽度不变,迎水坡CD•的坡
度不变,但
是背水坡的坡度由原来的i=1:2变成i′=1:2.5,(有关数据在图上已注明).•
求加高
后的坝底HD的长为多少?
3、正弦、余弦的定义
在Rt中,锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA。
即sinA=
A的对边a
斜边c
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA。
即cosA=
例4
在△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,
求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通过计算你有什
么发现?请加以证明。
A的邻边b
斜边c
4、三角函数的定义(重点)
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。
直角三角形中,除直角外,共5个元素,3条边和2个角,它们之间存在如下关系:
(1)三边之间关系:
abc
;
(2)锐角之间关系:∠A+∠B=90°;
(3)边角之间关系:sinA=
22
2
aba
,cosA=,tanA=。(其中∠A的对边为a,∠B的对边为b,
cc
b
∠C的对边为c)
除指教外只要知道其中2个元素(至少有1个是边),就可以利用以上关系求另外3个元素。
例5 方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm,CD=6cm斜立在墙上,其中BE=6cm,DE
=2cm,你
能判断谁的木棒更陡吗?说明理由。
本节作业:
1、∠C=90°,点D在BC上,BD=6,
AD=BC,cos∠ADC=
3
,求CD的长。
5
2、P是a的边OA上一点,且P点的坐标为(3,4),求sina、tana的值。
3 22
3、在△ABC中,D是AB的中点,DC⊥AC,且
tan∠BCD=
1
,求tanA的值。
3
4、在Rt△ABC
中,∠C=90°,tanA=
5
,周长为30,求△ABC的面积。
12
5、(2008·浙江中考)在Rt△ABC中,CD是斜
边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB
的值是多少?
第2节
30°,45°,60°角的三角函数值
本节内容:
30°,45°,60°角的三角函数值(重点)
1、30°,45°,60°角的三角函数值(重点)
根据正弦、余弦和正切的定义,可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。
例1 求下列各式的值。
(1)
(2)
tan
2
604tan60422sin45
。
5 22
sin60sin30
;
tan60
本节作业:
1、 求下列各式的值。
(1)
2sin303tan30tan45
;
(2)
cos45tan60cos30
。
(3) 6tan
2
30°-
3
sin 60°+2tan45°
2
tan45
o
sin
2
60
o
2sin60
o
1(cos60
o
)2
(sin45
o
tan30
o
)
0
(4)
o
2tan60
2、
已知a为锐角,且tana=5,求
sina3cosa
的值。
2cosasina
3、 △ABC表示光华中学的一块三角形
空地,为美化校园环境,准备在空地内种植草皮,已知某种草皮每平方米
售价为a元,则购买这种草皮至少花
费多少元?
4、(2008·成都中考)2
cos45
的值等于________。
5、(2008·义乌中考)计算
3sin602cos45
3
8
。
6、(2009深圳)(6分)计算:2
2
(3)
2
(
3.14)
0
8sin45
1
-
1
7、(2010深圳)( )
2
-2sin45º+ (π
-3.14)
0
+ 8+(-1)
3
.
3 2
第3节 三角函数的有关计算
本节内容:
利用计算器求任意锐角的三角函数值(重点) 锐角三角函数计算的实际应用(难点)
1、利用计算器求任意锐角的三角函数值(重点)
计算三角函数的具体步骤大体分两种情形:
(1)先按三角函数键,再按数字键;
(2)或先按数字键,再按三角函数键。
利用计算器还可以求角度的大小。
例1 利用计算器求下列锐角的三角函数值。
(1)
sin35
;
(2)
tan85
;
(3)
sin7238'25''
;
(4)
cos4715'
。
7 22
2、锐角三角函数计算的实际应用(难点)
仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角。
俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角成为俯角。
例2 小刚面对黑板坐在椅子上。若把黑板看做矩形,其上的一个字看
作点E,过点E的该
矩形的高为BC,把小刚眼睛看做点A。现测得BC=1.41米,视线AC恰与水
平线平行,视线
AB与AC的夹角为25°,视线AE与AC的夹角为20°,求AC与AE的长(精确
到0.1米)。
典型例题:
例1用计算器求下列三角函数值。(精确到0.001)
(1)
sin35
(2)
cos42
(3)
tan75
例2已知下列锐角的三角函数值,利用计算器求锐角。(精确到1’)
(1)
sin
0.5276
(2)
cos
0.5276
(3)
tan
0.5276
例3某校
教学楼后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,如图。BCAD,斜坡AB长22m,
坡角∠BAD=
68°,为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对土坡进行改造,经地质人员
勘测,当坡角不超过50
°时,可确保山体不滑坡。
(1) 求改造前坡顶与地面的距离BE的长;(精确到0.1m)
(2) 为确保安全,学校计划改造时,保持坡脚A不动,坡顶B沿BC前进到F点处,问
BF
至少是多少?(精确到0.1m)
(
sin680.9272,cos680.374
6,tan682.4751,sin500.7660,
cos500.6428,tan501.1918
)
例4如图,矩形ABCD是供一辆机动车停放
的车位示意图,请你参考图中数据,计算车位
所占街道的宽度EF。(参考数据:
sin40
0.64,cos0.77,tan400.84,
结果精确到
0.1m)
9 22
例5要求
tan45
的值,可构造如图所示直角三角形,作Rt△ABC,使∠C=90°,两直角边
AC=BC=
a
,则∠ABC=45°,所以
tan45
的值?
ACa你能否在此基础上,求出
tan2230
1
。
BCa
例6(200
9·娄底中考)在学习实践科学发展观的活动中,某单位在如图所示的办公楼迎街
的墙面上垂直挂了一长
为30米的宣传条幅AE,张明同学站在离办公楼的地面C处测得条
幅顶端A的仰角为50°,测得条幅
底端E的仰角为30°。问张明同学是在离该单位办公楼
水平距离多远的地方进行测量?(精确到整数米
)
例7某轮船自西向东航行,在A处测得某岛C在其北偏东60°方向上,前进
8千米到达B,
测得该岛在轮船的北偏东30°方向上,问轮船继续前进多少千米与小岛的距离最近?
第4节 船有触礁的危险吗
本节内容:
方向角的定义
解直角三角形(重点) 解直角三角形的实际应用(难点)
1、方向角的定义
方向角
:方向角是以观察点为中心(方向角的顶点),以正北或正南为始边,旋转到观察目
标所形成的锐角,方
向角也称象限角。如图,目标方向线0A、0B、0C的方向角分别为北偏
东15°、南偏东20°、北
偏西60°。
其中南偏东45°习惯上又叫东南方向,同样北偏西45°又叫西北方向。如
OE的方向角
为南偏东45°,OG的方向角为南偏西45°,那么,G、E可以说在O的哪个方向呢?
由方向
角的定义可知,G在O的西南方向,E在O的东南方向。
11 22
例1 某次台风袭
击了我国南部海域。如图,台风来临
前,我们海上搜救中心A接到一越南籍渔船遇险的报
警,于
是指令位于A的正南方向180海里的救援队B
立即前往施救。已知渔船所处位置C在A的南偏东
34°方向,在B的南偏东63°方向,此时离台风来到
C处还有12小时,如果救援船每小时行驶2
0海里,
试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救?(参考
数据:
sin63<
br>)
932
,tan632,sin34,tan34
1053
2、解直角三角形(重点)
在直角三角形中,由已知一些边、角,求出另一些边、角的过程,叫做解直角三角形。
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为
a、b、c
。
(1) 三边之间关系:
abc
(2)
锐角之间关系:∠A+∠B=90°
(3) 边角之间关系:
sinA
(4)
面积公式:
S
ABC
222
aba1
cosB,co
sAsinB,tanA
ccbtanB
11
abch(h为斜边上的高
)
22
在直角三角形中,除直角的五个量中,若已知其中的两个量(其中至
少有一条边),就
可以求出另外三个未知量,有如下四种类型:
Rt△ABC中,∠C=90°
已知
斜边和一直角
边
两直角边
斜边和一锐角
选择的边角关系
c,a
a,b
a
,求∠A;∠B=90°-∠A,
bc
2
a
2
<
br>c
a
由
tanA
,求∠A;∠B=90°-∠A,
ca<
br>2
b
2
b
由
sinA
∠B=90°-
∠A;
acsinA
;
bccosA
c,A
一直角边和一
锐角
a,A
∠B=90°-∠A;
b
aa
,
c
tanAsinA
注意:
(1) 在解直角三角形中,正确选择关系式是关键:
①若求边:一般用未知边比已知边,求寻找已知角的某一个三角函数;
②若求角:一般用已知边比已知边,去寻找未知角的某一个三角函数;
③求某些未知量的途径往往不唯一。选择关系式常遵循以下原则:
一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式;
二是设法选择便于计算的关系式,若能用乘法计算就避免用除法计算。
(2) 对于含有非基
本量的直角三角形,比如有些条件中已知两边之和,中线、高线、角
平分线长,角之间的关系,锐角三角
函数值,周长、面积等等。对于这类问题,我
们常用的解题方法是:将非基本量转化为基本量,或由基本
量间关系通过列方程
(组),然后解方程(组),求出一个或两个基本量,最终达到解直角三角形的目的
。
(3) 在非直角三角形的问题中,往往是通过作三角形的高,构成直角三角形来解决,而
作高时,常从非特殊角的顶点作高;对于较复杂的图形,往往通过“补形”或“分
割”的方法,构造出直
角三角形,利用解直角三角形的方法,实现问题的有机转化。
例2某公园“六一”亲新增设
一台滑梯,如图。滑梯高度AC=2m,滑梯着地点B与梯架之间
的距离BC=4m。
(1)求滑梯AB的长;(结果精确到0.1m)
(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不
超过45°属于安全范围,请通过计算说明这架滑梯
的倾斜角是否符合要求?
3、解直角三角形的实际应用(难点)
在解决实际问题时,解直角三角形有着广泛的应用,我
们要学会将千变万化的实际问题
转化为数学问题来解决,具体地说,要求我们善于将某些实际问题中的数
量关系归结为直角
三角形中的元素(边、角)之间的关系,这样就可运用解直角三角形的方法了。
一般有以下几个步骤:
1.审题:认真分析题意,根据题目中的已知条件,画出它的平面图,弄清已知和未知;
2.明确题目中的一些名词、术语的汉语,如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角;
3.
是直角三角形的,根据边角关系进行计算;若不是直角三角形,应大胆尝试添加辅助
线,把它们分割成一
些直角三角形和矩形,把实际问题转化为直角三角形进行解决;
4.确定合适的边角关系,细心推理计算。
13
22
例3 台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴
,有极强
的破坏力。根据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心,其中<
br>心的最大风力为12级,每远离台风中心20千米,台风就会弱一级。台风中心现正以15千
米时
的速度沿北偏东30°方向往C移动,且台风中心
风力不变,若城市风力达到或超过4级,则称为受台风
影响。
(1) 该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理
由。
(2)
若会受到台风影响,那么台风影响该市的持续时
间有多长?
典型例题:
例1在△ABC中,已知AB=1,AC=2
,∠ABC=45°,求BC的
长。
例2如图,甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。甲船以
每小时15
2
千米的速度沿北
偏西60°方向前进,乙船以每小时15千米的速度沿东
北方向前进。甲船航行2小时到达C
处,此时甲船发现鱼具丢在了乙船上,于是甲船快速(匀速)沿北偏
东75°的方向追赶,
结果两船在B处相遇。
(1) 甲船从C处追赶乙船用了多长时间?
(2) 甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米?
例3某年入夏以来,松花江哈尔滨段水位不
断下降,一条船在松花江某段自西向东沿直线航
行,在A处测得航标C在北偏东60°防西哪个上。前进
100m到达B处,又测得航标C在
北偏东45°方向上(如图),在以航标C为圆心,120m为半径的圆形区域内有浅滩,如果这条船继续前进,是否有
被浅滩阻碍的危险?(
31.7
3
)
第5节
测量物体的高度
本节内容:
测量底部可以到达的物体的高度(重点)
测量底部不可以到达的物体的高度(难点)
1、测量底部可以到达的物体的高度(重点)
简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成。如图。
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:
(1)
把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时
度盘的顶线PQ在水平位置。
(2)
转动转盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数。此度数就是
测点相对于被测点的仰角或俯角。
说明:
(1)所谓“底部可以到达“,就是在地面上可以无真纳干碍地直接测得测点与被测物体的
底部
之间的距离。
(2)测量步骤如图(测量物体MN的高度):
①在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α;
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=
l
;
③量出测倾器的高度AC=
a
(即顶线PQ成水平位置时,它与地面的距离)。
(3)物体MN的高度 =
ltan
a
。
15 22
例1 升国旗时,沈杰同学站在离旗杆底部24m处行注目礼,
当国旗升到旗杆顶部时,测得
该同学视线的仰角为30°,若双眼离地面1.5m,则旗杆有多高?(结
果精确到0.1m)
2、测量底部不可以到达的物体的高度(难点)
(1)所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离。
(2)测量步骤(如图。测量物体MN的高度):
①在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α;
②在测点A与物体之间的B处拟制测倾器
(A、B与N在一条直线上,且A、B之间的
距离可以直接测得),测得此时M的仰角∠MDE=β;
③量出测倾器的高度AC=BD=
a
,以及测点A、B之间的距离AB=
b<
br> 。
(3)物体高度MN=ME+EN=
(
btan
<
br>tan
a)
米。
tan
tan
提示:测量底部不可以到达的物体的高度,求解时常要解两个直角三角形。
例2:如图,从山顶A处看到地面C点的俯角为60°,看到地面D点的俯角
为45°,测得
CD=
1503
米,求山高AB。(精确到0.1米,
3≈1.732)
典型例题:
例1如图,两建筑物的水平距离为36m,从A
点测得D点的俯角
为36°,测得C点的俯
角
为45°,求这两
座建筑物的高度。(sin36°≈0.588,cos36°≈0.412,tan36°≈0.723,结果保留2位小数)
例2如图,河边有一条笔直的公
路
l
,公路两侧是平
坦的草地,在数学活动课上,老师要求测量河对岸一
点B
到公路的距离,请你设计一个测量方案。
17 22
例3如图,某一时刻太阳光从
教室窗户射入室内,与地面的夹角∠BPC的度数为30°,窗户
的一部分在教室地面所形成的影长PE
为3.5m,窗户的高度AF为2.5m,求窗外遮阳篷外端
一点D到窗户上缘的距离AD。(结果精确
到0.1m)
测试题
一、选择题
1.等腰三角形的底角为30°,底边长为
23
,则腰长为(
)
A.4 B.
23
C.2 D.
22
2.如图1,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC=4,则BD长为( )
A.
83
B.
43
C.
23
D.8
(1)
(2) (3)
3.在△ABC中,∠C=90°,下列式子一定能成立的是( )
A.
acsinB
B.
abcosB
C.
catanB
D.
abtanA
2
(2sinA3)0
,4.△ABC中
,∠A,∠B均为锐角,且有
|tanB3|
则△ABC是( )
A.直角(不等腰)三角形
C.等腰(不等边)三角形
B.等腰直角三角形
D.等边三角形
5.已知
tan
1
,那么
A.
1
3
2sin
cos
的值等于( )
2sin
cos
11
B. C.1 D. 26
6.如图2,沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工.从AC<
br>上的一点B,取∠ABD=145°,BD=500米,∠D=55°,要使A,C,E成一直线,那么<
br>开挖点E离点D的距离是( )
A.500sin55°米 B.500cos55°米
C.500tan55°米 D.500tan35°米
7.如图3,在矩形ABCD中
,DE⊥AC,垂足为E,设∠ADE=
,且cos
=
AD的长
为( )
A.3 B.
3
,AB=4,
则
5
16
3
C.
20
3
D.
16
5
8.如图4,已知正方形AB
CD的边长为2,如果将线段BD绕着点B旋转后,点D落在CB
的延长线上的D′处,那么tan∠B
AD′等于( )
A.1 B.
2
C.
2
2
D.
3
(4)
(5) (6)
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.在△ABC中,∠C=90°,
sinA
2
3
,则cosB的值为 .
2
10.化简
cos
2cos
1
.
11.如图5,∠DBC=30°,AB=DB,利用此图求tan75°= .
12.如图6,P是∠
的边OA上一点,且P点的坐标为(3,4),则cos
= .
13.若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10m,则他比原来的位置升高了 m.
1
4.如图7,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出
了一条“路”
.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.
(7) (8)
(9)
19 22
15.如图8所示,是某超市自动扶梯的示
意图,大厅两层之间的距离h=6.5米,自动扶梯的
倾角为30°,若自动扶梯运行速度为v=0.5
米秒,则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为
_____秒.
16.如图9,一人乘雪撬沿
坡比1∶
3
的斜坡笔直滑下,滑下的距离s(米)与时间t(秒)
间的关系为
s10t2t
2
.若滑到坡底的时间为4秒,则此人下降的高度为 .
17、如图,已知Rt△ABC中,AC=3,BC= 4,过直角顶点C作CA
1
⊥
AB,垂足为A
1
,再
过A
1
作A
1
C
1
⊥BC,垂足为C
1
,过C
1
作C
1
A
2
⊥AB,垂足为A
2
,再过A
2
作A
2
C
2
⊥BC,垂
足为C
2
,…,这样一直做下去,得到了一组线段CA
1
,A
1
C
1
,
C
1
A
2
,…,则CA
1
=
,
C
4
A
5
A
5
C
5
三、解答题(本大题共52分)
3
tan45-cos60
18. (1)·tan 30°;
(2)(tan30°)
2007
·(2
2
sin45°)
2006
2
sin60
19.(本题
10分)如图,为住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30m,两楼间的距离AC=24m,
现需
了解甲楼对乙楼采光的影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子
在乙楼上有多高?
(精确到0.1m,
2
≈1.41,
3
≈1.73)
20.(本题12分)为了测量一棵大树的高度AB,在离树25米的C处,用高1.4米的测角仪CD测得树的顶端B的仰角
=21°,求树AB的高.(用21°角的三角函数值表示即
可 )
<
/p>
21.如图,在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角为60°,铁塔底部B的仰角为45°
。已
知塔高AB=20m,观察点E到地面的距离EF=35cm,求小山BD的高.
22.如图,PQ表示南充至绵阳的一段高速公路的修筑设计路线图.
在点P测得点Q在它的
南偏东30°的方向,测得另一点A在它的南偏东60°的方向,取PQ上另一点
B,在点B
测得点A在它的南偏东75°的方向.以点A为圆心,500m为半径的圆形区域为某居民区
,
已知PB=400m,通过计算回答:如果不改变修筑方向,高速公路是否会穿过居民区?
21 22
23.
随着科技的发展,机器人的发现早已不是童话,机器人是否可以让我们随心所欲呢?在
坐标平面上,根据
指令[s,
](s≥0,0°<
<180°),机器人能完成下列动作:
先原地顺时针旋转角度
,再朝其面对的方向沿直线行走距离s.
(1)填
空:如图,若机器人在直角坐标系的原点,且面对y轴的正方向,现要使其移动
到点A(2,2),则给
机器人发出的指令应是 .
(2)机器人在完成上述指令后,发现在点P(6,0)处
有一小球正向坐标原点作匀速直
线运动,已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同,若忽略机器人原
地旋转所需的时间,
请你给机器人发一个指令,使它能尽快截住小球,并求出截住小球时的位置.(角度
精确到
度,参考数据sin49°≈0.75,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
24、(2009中山)如图所示,A、B两城市相距100km.
现计划在这两座城市间修筑一条高速
公路(即线段AB),经测量,森林保护中心P在A城市的北偏东3
0°和B城市的北偏西45°
的方向上.
已知森林保护区的范围在以P点为圆心,50km为半径的圆形区域内.
请问:计
划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.
为什么?(
31.732
,
21.414
)
P
E
F
30°
45°
A B
25.(2009
黄石)如图9,山顶建有一座铁塔,塔高CD=30m,某人在点A处测得塔底C的仰
角为20°,塔顶
D的仰角为23°,求此人距CD的水平距离AB。(sin20°≈0.342,cos20°
≈0.
940,tan20°≈0.364,Sin23°≈0.391,cos23°≈0.921,tan23°≈
0.424)