杂文精选-敏捷的近义词

中考数学直角三角形的边角关系-经典压轴题及答案

一、直角三角形的边角关系
1
．已知：如图，在四边形
ABCD
中，
AB∥CD
，
∠ACB =90°
，
AB=10cm
，
BC=8cm
，
OD
垂
直平分
A C
．点
P
从点
B
出发，沿
BA
方向匀速运动，速度为
1cms
；同时，点
Q
从点
D
出
发，沿
DC
方向匀速运动，速度为
1cms
；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点

P
作
PE⊥AB
，交
BC
于点
E
，过点
Q
作
QF∥AC
，分别交
AD
，
OD
于点
F
，
G
．连接
OP
，
EG
．设运动时间为
t ( s )
（
0
＜
t
＜
5
）

，解答下列问题：

（
1
）当
t
为何值时，点
E
在
BAC
的平分线上？

（
2
）设四边形
PEGO
的面积为
S(cm
2
)
，求
S
与
t
的函数关系式；

（
3
）在运动过程中，是否存在某一时刻
t
，使四边形
PEGO
的面积最大？若存在，求出
t
的值；若不存在，请说明理由；

（
4
）连接
OE
，
OQ
，在运动过程中，是否存在某一时刻
t
，使
OE⊥OQ
？若存在，求出
t
的值；若不存在，请说明理由．


【答案】（
1
）
t=4s
；（
2
）
S
四边形PEGO
t
3
8
2
15
5
t6

，
(0t5)< br>；（
3
）
t
时，
2
8
S
四边形P EGO
取得最大值；（
4
）
t
【解析】

【分析】

16
时，
OEOQ
.

5< br>（
1
）当点
E
在
∠BAC
的平分线上时，因为
EP⊥AB
，
EC⊥AC
，可得
PE=EC
，由此构建方程
即可解决问题．

（
2
）根据
S
四边形
OPEG
=S
△OEG
+S
△OPE
=S
△OEG
+
（
S
△OPC
+S
△PCE
-S
△OEC
）构建 函数关系式即可．

（
3
）利用二次函数的性质解决问题即可．
< br>（
4
）证明
∠EOC=∠QOG
，可得
tan∠EOC=ta n∠QOG
，推出
可解决问题．

【详解】

（
1
）在
Rt△ABC
中，
∵∠ACB=90°
，
AB=10c m
，
BC=8cm
，

∴AC=
10
2
 8
2
=6
（
cm
），

∵OD
垂直平分线段
AC
，

∴OC=OA=3
（
cm
），
∠DOC=90°
，

∵CD∥AB
，

ECGQ

，由此构建方程即
O COG

∴∠BAC=∠DCO
，

∵∠DOC=∠ACB
，

∴△DOC∽△BCA
，

∴
∴
ACABBC

，

OCCDOD
6108

，

3CDOD
∴CD =5
（
cm
），
OD=4
（
cm
），

∵PB=t
，
PE⊥AB
，

易知：
PE=
3
5
t
，
BE=t
，

4
4
当点
E
在
∠BAC
的平分线上时，

∵EP⊥AB
，
EC⊥AC
，

∴PE=EC
，

3
5
t=8-t
，

4
4
∴t=4
．

∴
∴
当
t为
4
秒时，点
E
在
∠BAC
的平分线上．

（
2
）如图，连接
OE
，
PC
．


S
四边形
OPEG
=S
△OEG
+S
△ OPE
=S
△OEG
+
（
S
△OPC
+S
△PCE
-S
△OEC
）

=

11
< br>4

4

1

5

31
 
5



4t

3

 3

8t



8t

t 3

8t



2

5
< br>4

524

5

2

2
8
3
2
15
t16(0t5)
．

3
（
3
）存在．

=
t
8

5

68
∵
S

t

( 0t5)
，

3

2

3
2
5
68
时，四边形
OPEG
的面积最大，最大值为．

3
2
（
4
）存在．如图，连接
OQ
．

∵OE⊥OQ
，

∴t=

∴∠EOC+∠QOC=90°
，

∵∠QOC+∠QOG=90°
，

∴∠EOC=∠QOG
，

∴tan∠EOC=tan∠QOG
，

∴
ECGQ

，

OCOG
3
5
t
8t
4

5
，

∴
4
34t
5
整理得：
5t
2
-66t+160=0
，
解得
t
∴
当
t
16
或
10（舍弃）

5
16
秒时，
OE⊥OQ
．

5
【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判 定和性质，锐角三角函
数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题
.


2
．如图，等腰
△ABC
中，
AB=AC< br>，
∠BAC=36°
，
BC=1
，点
D
在边
AC
上且
BD
平分
∠ABC
，
设
CD=x
．

（
1
）求证：
△ABC∽△BCD
；

（
2
）求
x
的值；

（
3
）求
cos36°-cos72°
的值．


【答案】
(1)
证明见解析；（
2
）
【解析】

758
15
；（
3
）．

16
2< br>试题分析：（
1
）由等腰三角形
ABC
中，顶角的度数求出两底角度数 ，再由
BD
为角平分线
求出
∠DBC
的度数，得到
∠DBC =∠A
，再由
∠C
为公共角，利用两对角相等的三角形相似得
到三角形
ABC
与三角形
BCD
相似；

（
2
）根据（< br>1
）结论得到
AD=BD=BC
，根据
AD+DC
表示出AC
，由（
1
）两三角形相似得比
例求出
x
的值即可；

（
3
）过
B
作
BE
垂直于
AC
，交
AC
于点
E
，在直角三角形
ABE
和直角三角 形
BCE
中，利用

锐角三角函数定义求出
cos36°
与
cos72°
的值，代入原式计算即可得到结果．

试题解析：（
1
）
∵
等腰
△ABC
中，
AB=AC
，
∠BAC=36°
，

∴∠ABC=∠C=72°
，

∵BD
平分
∠ABC
，

∴∠ABD=∠CBD=36°
，

∵∠CBD=∠A=36°
，
∠C=∠C
，

∴△ABC∽△BCD
；

（
2
）
∵∠A=∠ABD=36°
，

∴AD=BD
，

∵BD=BC
，

∴AD=BD=CD=1
，

设
CD=x
，则有
AB=AC=x+1
，

∵△ABC∽△BCD
，

ABBCx11

，

，即
BDCD1x
整理 得：
x
2
+x-1=0
，

∴
解得：
x< br>1
=
则
x=
15
15
，
x
2
=
（负值，舍去），

2
2
15
；

2
（
3
）过
B
作
BE⊥AC
，交
AC
于点
E
，


∵BD=CD
，
∴E
为
CD
中点，即
DE=CE=
15
，

4
15
AE51
4

在
Rt△ABE中，
cosA=cos36°=
，

AB
15
4< br>1
2
1
15
在
Rt△BCE
中，
c osC=cos72°=
EC15
，

4

BC14

则
cos36°-cos72°=

51
15
1
-=
．

2
4
4
【考点】
1.
相似三角形的判定与性质；
2.
等腰三角形的性质；
3.
黄金分割；
4.
解直角三角
形．



3
．如图，< br>PB
为
☉O
的切线，
B
为切点，过
B
作OP
的垂线
BA
，垂足为
C
，交
☉O
于点A
，
连接
PA
，
AO.
并延长
AO
交
☉O
于点
E
，与
PB
的延长线交于点
D
．


(1)
求证：
PA
是
☉O
的切线；

(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.

，tan D=.

【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3
【解析】

试题分析
:
（
1
）连接
OB
，先由等腰三角形的 三线合一的性质可得：
OP
是线段
AB
的垂直平
分线，进而可得：< br>PA=PB
，然后证明
△PAO≌△PBO
，进而可得
∠PBO=∠P AO
，然后根据切
线的性质可得
∠PBO=90°
，进而可得：
∠P AO=90°
，进而可证：
PA
是
⊙O
的切线；

（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的
值，从而可求O P的值，然后根据勾股定理可求AP的值．

试题解析：（
1
）连接
OB
，则
OA=OB
，


∵OP⊥AB
，
∴AC=BC
，

∴OP
是
AB
的垂直平分线，
∴PA=PB
，
< br>在△PAO和△PBO中，∵
∴∠PBO=∠PAO
，
PB=PA
，< br>
，∴△PAO≌△PBO（SSS）

∵PB
为
⊙O
的切线，
B
为切点，
∴∠PBO=90°
，
∴∠PAO=90°< br>，即
PA⊥OA
，

∴PA
是
⊙O
的切线；

（
2
）连接
BE
，


∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，

，

，

.

，

.

在Rt△ACO中，由勾股定理得： AO=
∴AE=2OA=4，OB=OA=2
在
Rt△APO
中，
∵ AC⊥OP
，
∴AC
2
=OCPC
，解得：
PC=9
，
∴OP=PC+OC=13
，

在Rt△APO中，由勾股定理得：AP =
易证
则
，所以
，在中，
=3
,解得
考点：
1.
切线的判定与性质；
2.
相似三角形的判定与性质；
3.
解直 角三角形．



4
．已知：
△ABC
内接于⊙O
，
D
是弧
BC
上一点，
OD⊥BC
，垂足 为
H
．

（
1
）如图
1
，当圆心
O
在
AB
边上时，求证：
AC=2OH
；

（2
）如图
2
，当圆心
O
在
△ABC
外部时，连 接
AD
、
CD
，
AD
与
BC
交于点
P
，求证：
∠ACD=∠APB
；

（
3
）在（
2
）的条件下，如图
3
，连接
BD
，
E
为
⊙O
上一点，连接
DE
交
BC
于点
Q
、交
AB
于点
N
，连接
OE
，
BF
为
⊙O
的弦，
BF⊥OE
于点
R
交
DE
于点
G
，若
∠ACD
﹣
∠ABD=2∠BDN
，
AC=
，
BN=
，
tan∠ABC=
，求
BF
的长．


【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）证明见解析；（3
）
24.

【解析】

试题分析：（
1）易证
OH
为
△ABC
的中位线，可得
AC=2OH
； （
2
）
∠APB=∠PAC+∠ACP
，
∠ACD=∠ACB+∠B CD
，又
∵∠PAC =∠BCD
，可证
∠ACD=∠APB
；（< br>3
）连接
AO
延长交于

⊙O
于点
I< br>，连接
IC
，
AB
与
OD
相交于点
M
，连接
OB
，易证
∠GBN=∠ABC
，所以
BG=BQ.
在
Rt△BNQ
中，根据
tan∠ABC=
，可求得
NQ
、
BQ
的长
.
利用圆周角定理可求得
IC
和
AI< br>的长度，设
QH=x
，利用勾股定理可求出
QH
和
HD
的长度，利用垂径定理可求得
ED
的长
度，最后利用
tan∠OED=即可求得
RG
的长度，最后由垂径定理可求得
BF
的长度．
< br>试题解析：（
1
）在
⊙O
中，
∵OD⊥BC
，
∴BH=HC
，
∵
点
O
是
AB
的中点，
∴AC=2OH
；
（
2
）在
⊙O
中，
∵OD⊥BC
，
∴
弧
BD=
弧
CD
，
∴∠PAC=∠B CD
，
∵∠APB=∠PAC+∠ACP
，
∠ACD=∠ACB+∠BCD< br>，
∴∠ACD=∠APB
；（
3
）连接
AO
延长交于
⊙O
于点
I
，连接
IC
，
AB
与
OD
相交于点
M
，连接
OB
，

∵∠ACD
﹣
∠ABD=2∠BDN
，
∴∠ACD
﹣
∠BDN=∠ABD+∠ BDN
，
∵∠ABD+∠BDN=∠AND
，
∴∠ACD
﹣
∠BDN=∠AND
，
∵∠ACD+∠ABD=180°
，
∴2∠AND=1 80°
，
∴∠AND=90°
，
∵tan∠ABC=
，
∴< br>，
∴
，
∴
∴∠ABC=∠QDH
，
∵OE=OD，

，
∵∠BNQ=∠QHD=90°
，
∴∠OED=∠QDH
，
∵∠ERG=90°
，
∴∠OED=∠GBN
，
∴∠GB N=∠ABC
，
∵AB⊥ED
，
∴BG=BQ=
，
GN=N Q=
，

，
∴
，
∴IC=
，
∴
由 勾股定理可求得：
∵∠ACI=90°
，
tan∠AIC=tan∠ABC=
AI=25
，

设
QH=x
，
∵tan∠ABC=tan∠ ODE=
BH=BQ+QH=
∵OB
2
=BH
2
+OH2
，
∴
，

，
∴
，
∴HD=2x，
∴OH=OD
﹣
HD=
，
，解得：，当
QH=
时，
∴QD=
∴ND=
时，
∴QD=
∴ND=NQ+QD=
，

，
∴MN=
，
MD=15,∵
，
∴QH=< br>不符合题意，舍去，当
QH=

，
ED=
，
∴GD= GN+ND=,∴EG=ED
﹣
GD=
，

∵tan∠OED=
∴EG=
，
∴
，

，
∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24
．

RG
，
∴RG=

考点：
1
圆；
2
相似三角形；
3
三角函数；
4
直角三角形
.


5
．如图，在
Rt△ABC
中，
∠BAC=90°
，
∠B=60°
，
BC=16cm
，
AD
是斜边
BC
上的高，垂足为
D
，
BE=1cm
．点
M
从点
B
出发沿
BC
方向以
1cms
的速度运动，点
N
从点
E
出发，与点
M
同时同方向以相同的速度运动，以
MN
为边 在
BC
的上方作正方形
MNGH
．点
M
到达点
D< br>时停止运动，点
N
到达点
C
时停止运动．设运动时间为
t（
s
）．

（
1
）当
t
为何值时，点
G
刚好落在线段
AD
上？

（
2
）设正方 形
MNGH
与
Rt△ABC
重叠部分的图形的面积为
S
，当 重叠部分的图形是正方形
时，求出
S
关于
t
的函数关系式并写出自变 量
t
的取值范围．

（
3
）设正方形
MNGH的边
NG
所在直线与线段
AC
交于点
P
，连接
DP
，当
t
为何值时，
△CPD
是等腰三角形？


【答案】（1）3；（2）
【解析】

；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.

试题分析：（
1
）求出
ED
的距离即可求出相对应的时间
t.

（
2
）先 求出
t
的取值范围，分为
H
在
AB
上时，此时
BM
的距离，进而求出相应的时
间．同样当
G
在
AC
上时，求出
MN
的长度，继而算出
EN
的长度即可求出时间，再通过正
方形的面 积公式求出正方形的面积
.

（
3
）分
DP=PC
和
DC=PC
两种情况，分别由
EN
的长度便可求出
t
的值 ．

试题解析：
∵∠BAC=90°
，
∠B=60°
，BC=16cm

∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.

（
1
）
∵
当
G
刚好落在线段
AD
上时，< br>ED=BD
﹣
BE=3cm

∴t=s=3s．

（
2
）
∵
当< br>MH
没有到达
AD
时，此时正方形
MNGH
是边长为
1
的正方形，令
H
点在
AB
上，

则
∠HMB=90°
，
∠B=60°
，
MH=1

∴BM=cm.∴t=s.

当
MH
到达
AD
时， 那么此时的正方形
MNGH
的边长随着
N
点的继续运动而增大，令
G
点
在
AC
上，

设MN=xcm，则GH=DH=x，AH =
∵AD=AH+DH=
∴x=3
．

当≤t≤4时，S
MNGN
=1cm
2
．

x+x=x=4
x，

，

当
4
＜
t≤6
时，
S
MNGH
=
（
t
﹣
3）
2
cm
2

∴S关于t的函数关系式为：
（
3
）分两种情况：

.

①∵
当
DP=PC
时，易知此时
N
点 为
DC
的中点，
∴MN=6cm

∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s

故当
t=9s
的时候，
△CPD
为等腰三角形；

②
当
DC=PC
时，
DC=PC=12cm

∴NC=6cm

cm=（15﹣6）cm

）s

）s时，△CPD为等腰三角形．

）s时，△CPD为等腰三角形．
∴EN=16cm﹣1cm﹣6
∴t=（15﹣6
故当t=（15﹣6
综上所述， 当t=9s或t=（15﹣6
考点：
1.
双动点问题；
2.
锐角三角 函数定义；
3.
特殊角的三角函数值；
4.
正方形的性质；
5.由实际问题列函数关系式；
6.
等腰三角形的性质；
7.
分类思想的应用
.


6
．某条道路上通行车辆限速
60
千米
时，道路的
AB
段为监测区，监测点
P
到
AB
的距离
PH
为
50
米（如图）．已知点
P
在点
A< br>的北偏东
45°
方向上，且在点
B
的北偏西
60°
方 向
上，点
B
在点
A
的北偏东
75°
方向上，那么车 辆通过
AB
段的时间在多少秒以内，可认定为
超速？（参考数据：
3
≈1.7
，
2
≈1.4
）．

【 答案】车辆通过
AB
段的时间在
8.1
秒以内，可认定为超速

【解析】

分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角 形的应用，解
直角三角形即可
.

详解：如图，由题意知
∠CAB= 75°
，
∠CAP=45°
，
∠PBD=60°
，


∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°
，

50
PH
∵∠PHA=∠PHB=90°
，
PH=50
，
∴AH=
=
3
=50
3
，

tanPAH
3
∵AC ∥BD
，
∴∠ABD=180°–∠CAB=105°
，
∴∠PBH=∠AB D–∠PBD=45°
，

则
PH=BH=50
，
∴AB= AH+BH=50
3
+50
，


50
∵60千米

时
=
米

秒，
∴
时间
t=
3
50350
=3+3
3
≈8.1
（秒），
< br>50
3
即车辆通过
AB
段的时间在
8.1
秒以内，可 认定为超速．

点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体 边长，即
实际路程，并进行判断相关的量。


7
．许昌芙蓉湖位于 许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等
水系供水，承担着承上启下的重要 作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打
造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想 测量位于芙蓉湖两端的
A
，
B
两点之间
的距离他沿着与直线
AB
平行的道路
EF
行走，走到点
C
处，测得
∠ACF=4 5°
，再向前走
300
米到点
D
处，测得
∠BDF=60°
．若直线
AB
与
EF
之间的距离为
200
米，求< br>A
，
B
两点之间的
距离（结果保留一位小数）

【答案】
215.6
米．

【解析】

【分析】

过
A
点做
EF的垂线，交
EF
于
M
点，过
B
点做
EF
的垂线，交
EF
于
N
点，

根据
Rt△ACM< br>和三角函数
tanBDF
求出
CM
、
DN
，然后根 据
MNMDDNAB
即
可求出
A
、
B
两点间 的距离
.

【详解】

解：过
A
点做
EF
的垂线，交
EF
于
M
点，过
B
点做
EF< br>的垂线，交
EF
于
N
点

在
Rt△ACM
中，
∵
ACF45
，

∴AM=CM=200
米，

又
∵CD=300
米，所以
MDCDCM100
米，

在
Rt△BDN
中，
∠BDF=60°
，
BN=200米

∴
DN
BN

115.6
米，

o
tan60
∴
MNMDDNAB215.6
米

即
A
，
B
两点之间的距离约为
215.6
米．
【点睛】

本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键
.


8
．如图，在正方形
ABCD
中，
E
是边
AB
上的一动点， 点
F
在边
BC
的延长线上，且
CFAE
，连接
D E
，
DF
，
EF. FH
平分
EFB
交
BD
于点
H.

（
1
）求证：
DEDF
；

（
2
）求证：
DHDF
：

（
3
）过点
H
作
HM⊥EF
于点
M
，用等式表示线段
AB
，
HM
与
EF
之间的数量关系，并
证明
.

【答案】（
1
）详见解析；（
2
）详见解析；（
3
）
EF2AB2HM
，证明详见解析
.

【解析】

【分析】

（
1
）根据正方形性质，

CFAE
得到
DEDF
.

（
2
）由
△AED≌△CFD
，得
DEDF
.
由
ABC90
，
BD
平分
ABC
，

得
DBF4 5
.
因为
FH
平分
EFB
，所以
EFH BFH
.
由于
DHFDBFBFH45BFH
,
DFHDFEEFH45EFH
,

所以
DHDF
.

（
3
）过点
H
作
HNBC
于点
N
，由正方形
ABCD
性质，得
BDAB
2
AD
2
2AB
.
由
FH
平分
EFB，HMEF,HNBC
，得
HNB90
，所以BH
HMHN
.
因为
HBN45，
由
EF
HN
2HN2HM
.

sin45
DF
2 DF2DH
，得
EF2AB2HM
.

cos45
【详解】

（
1
）证明：
∵
四边形
ABCD
是正方形，

∴
ADCD
，
EADBCDADC90
.

∴
EADFCD90
.

∵
CFAE
。

∴
△AED≌△CFD
.

∴
ADECDF
.

∴
EDFEDCCD FEDCADEADC90
.

∴
DEDF
.

（
2
）证明：
∵
△AED≌△CFD
，

∴
DEDF
.

∵
EDF90
，

∴
DEFDFE45
.

∵
ABC90< br>，
BD
平分
ABC
，

∴
DBF45
.

∵
FH
平分
EFB
，

∴
EFHBFH
.

∵
DHFDBFBFH45BFH
,

DFHDFEEFH45EFH
,

∴
DHFDFH
.

∴
DHDF
.

（
3
）
EF2AB2HM
.

证明：过点H
作
HNBC
于点
N
，如图，


∵
正方形
ABCD
中，
ABAD
，
BAD90，

∴
BDAB
2
AD
2
2AB
.
< br>∵
FH
平分
EFB，HMEF,
∴
HMHN
.

HNBC
，

HNB90
，

∵
HBN45，
∴
BH
HN

2
HN< br>2
HM
.

sin45
∴
DHBDBH∵
EF
2AB2HM
.

DF

2
DF
2
DH
，

cos45
∴
EF2AB2HM
.

【点睛】

本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度 较大，解题的
关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数
.


9
．如图，
AB
是
⊙O
的直径，
PA< br>、
PC
与
⊙O
分别相切于点
A
，
C
，
PC
交
AB
的延长线于点
D
，
DE⊥PO
交
PO
的延长线于点
E
．

(1)
求证：
∠EPD=∠EDO
；

(2)
若< br>PC=3
，
tan∠PDA=
3
，求
OE
的长．
4

【答案】（
1
）见解析；（
2
）
【解析】

【分析】

5
.

2
（
1
）由切 线的性质即可得证
.
（
2
）连接
OC
，利用
tan ∠PDA=
OC=
3
，可求出
CD=2,
进而求得
4
3
，再证明
△OED∽△DEP
，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出
OE
的长
.

2
【详解】

（
1
）证明：
∵PA
，
PC
与
⊙O
分别相切于点
A< br>，
C
，

∴∠APO=∠CPO, PA⊥AO
，

∵DE⊥PO
，

∴∠PAO=∠E=90°
，

∵∠AOP=∠EOD
，


∴∠APO=∠EDO
，

∴∠EPD=∠EDO.

（
2
）连接
OC
，

∴PA=PC=3
，

∵tan∠PDA=
3
，

4
∴
在
Rt△PAD
中，

AD=4
，< br>PD=
PA
2
AD
2
=5
，

∴CD=PD-PC=5-3=2
，


∵tan∠PDA=
3
，

4
∴
在
Rt△OCD
中，

OC=
3
，

2
OD=
OC
2
 CD
2
=
5
，

2
∵∠EPD=∠ODE
，
∠OCP=∠E=90°
，

∴△OED∽△DEP
，

PDPEDE
===2
，

DODEOE
∴DE=2OE,

∴


5< br>
25
，在
Rt△OED
中，
OE+DE=OD
，即
5OE=

=

4

2

22 22
2
∴OE=
5
．

2

【点睛】

本题考查了切线的性质；锐角三角函数；勾股定理和相似三角形的判定与性 质，充分利用
tan∠PDA=
3
，得线段的长是解题关键
.

4

10
．如图，在
▱ABCD
中，
AC
与
BD
交于点
O
，
AC⊥BC
于点
C
，将
△ABC
沿
AC
翻折得到
△AEC
，连接
DE．

（
1
）求证：四边形
ACED
是矩形；

（
2
）若
AC
＝
4
，
BC
＝3
，求
sin∠ABD
的值．


【答案】（
1
）证明见解析（
2
）
【解析】

【分析】

613

65
（
1
）根据▱ABCD
中，
AC⊥BC
，而
△ABC≌△AEC
，不难证明 ；

（
2
）依据已知条件，在
△ABD
或
△AOC
作垂线
AF
或
OF
，求出相应边的长度，即可求出
∠ABD
的正弦值．

【详解】

（
1
）证明：
∵
将
△ABC
沿
AC
翻折得到
△AEC
，

∴BC
＝
CE
，
AC⊥CE
，

∵
四边形
ABCD
是平行四边形，

∴AD∥BC
，
AD
＝
BC
，

∴AD
＝
CE
，
AD∥CE
，

∴
四边形
ACED
是平行四边形，

∵AC⊥CE
，

∴
四边形
ACED
是矩形．

（
2
）解：方法一、如图
1
所示，过点
A
作
AF⊥BD
于点
F
，

∵BE
＝
2BC
＝
2×3＝
6
，
DE
＝
AC
＝
4
，

∴
在
Rt△BDE
中，

BDBEDE6421 3
∵S
△BDE
＝
2222
11
×DE•AD
＝< br>AF•BD
，

22
∴AF
＝
43613
，


13< br>213
∵Rt△ABC
中，
AB
＝
3
2
4
2
＝
5
，

∴Rt△ABF
中，

AF613613

sin∠ABF
＝
sin∠ABD
＝
AB
13
65
．

5
方法二、如图
2
所 示，过点
O
作
OF⊥AB
于点
F
，

同理 可得，
OB
＝
∵S
△AOB
＝
∴OF
＝
1
BD13
，

2
11
OFABOABC
，

22
236

，

55
∵
在
Rt△BOF
中，

sin∠FBO
＝
0F6613
，


OB
513
65
613
．

65
∴sin∠ABD
＝

【点睛】

本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判 定和性质，平行四边形的性质
和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算 公式求出
sin∠ABD
．


11
．在
Rt△A BC
中，
∠ACB
＝
90°
，
CD
是
AB
边的中线，
DE⊥BC
于
E
，连结
CD
，点
P
在射
线
CB
上（与
B
，
C
不重合）< br>
（
1
）如果
∠A
＝
30°
，

①
如图
1
，
∠DCB
等于多少度；

②< br>如图
2
，点
P
在线段
CB
上，连结
DP，将线段
DP
绕点
D
逆时针旋转
60°
，得到线段DF
，连结
BF
，补全图
2
猜想
CP
、
BF
之间的数量关系，并证明你的结论；

（
2
）如图
3
，若点
P
在线段
CB 的延长线上，且
∠A
＝
α
（
0°
＜
α
＜
90°
），连结
DP
，将线段
DP
绕点逆时针旋转
2α
得到线段
DF
，连结
BF
，请直接写出
DE
、
BF
、
BP
三者的数量关系
（不需证明）


【答案】（
1
）
①∠DCB
＝
60°
．
②
结论：
CP
＝
BF
．理由见解析；（
2
）结论：< br>BF
﹣
BP
＝
2DE•tanα
．理由见解析．

【解析】

【分析】

（
1
）
①
根据直角三角形斜边中线的性质，结合
∠A
＝
30°
，只要证明
△C DB
是等边三角形
即可；

②
根据全等三角形的判定推出
△ DCP≌△DBF
，根据全等的性质得出
CP
＝
BF
，
< br>（
2
）求出
DC
＝
DB
＝
AD
，< br>DE∥AC
，求出
∠FDB
＝
∠CDP
＝
2α+∠P DB
，
DP
＝
DF
，根据全等三
角形的判定得出
△ DCP≌△DBF
，求出
CP
＝
BF
，推出
BF
﹣
BP
＝
BC
，解直角三角形求出
CE
＝
DEtan α
即可．

【详解】

（
1
）
①∵∠A< br>＝
30°
，
∠ACB
＝
90°
，

∴∠B
＝
60°
，

∵AD
＝
DB
，

∴CD
＝
AD
＝
DB
，

∴△CDB
是等边三角形，

∴∠DCB
＝
60°
．

②
如图
1
，结论：
CP
＝
BF
．理由如下：

< br>∵∠ACB
＝
90°
，
D
是
AB
的中点，< br>DE⊥BC
，
∠DCB
＝
60°
，

∴△CDB
为等边三角形
.

∴∠CDB
＝
60°

∵
线段
DP
绕点< br>D
逆时针旋转
60°
得到线段
DF
，

∵∠ PDF
＝
60°
，
DP
＝
DF
，

∴∠FDB
＝
∠CDP
，

在
△DCP
和
△DBF
中


DCDB


CDPBDF
，


DPDF

∴△DCP≌△DBF
，

∴CP
＝
BF.

（
2
）结论：
BF﹣
BP
＝
2DEtanα
．

理由：
∵∠AC B
＝
90°
，
D
是
AB
的中点，
DE⊥B C
，
∠A
＝
α
，

∴DC
＝
DB
＝
AD
，
DE∥AC
，

∴∠A
＝
∠ACD
＝
α
，
∠EDB
＝
∠A
＝
α< br>，
BC
＝
2CE
，

∴∠BDC
＝
∠A+∠ACD
＝
2α
，

∵∠PDF
＝
2α
，

∴∠FDB
＝
∠CDP
＝
2α+∠PDB
，
∵
线段
DP
绕点
D
逆时针旋转
2α
得到线段< br>DF
，

∴DP
＝
DF
，

在
△DCP
和
△DBF
中


DCDB


CDPBDF
，


DPDF

∴△DCP≌△DBF
，

∴CP
＝
BF
，

而
CP
＝
BC+BP
，

∴BF
﹣
BP
＝
BC
，

在
Rt△CDE
中，
∠DEC
＝
90°
，

∴tan∠CDE
＝
CE
，

DE

∴CE
＝
DEtanα
，

∴BC
＝
2CE
＝
2DEtanα
，

即
BF
﹣
BP
＝
2DEtanα
．

【点睛】

本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质 和判定，直角
三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出
△DCP≌△DBF
是解此题 的关键，综合性比较
强，证明过程类似．


12
．在平面直角坐标 系中，
O
为坐标原点，点
A
（
0
，
1
）， 点
C
（
1
，
0
），正方形
AOCD
的两条对角线的交点为
B
，延长
BD
至点
G
，使
DG=BD
，延长
BC
至点
E
，使
CE=BC
，以
BG
，
BE
为邻边作正方形
BEFG
．

（
Ⅰ
）如图
①
，求
OD
的长及
AB
的值；

BG
（
Ⅱ
）如图
②
，正方形
AOCD< br>固定，将正方形
BEFG
绕点
B
逆时针旋转，得正方形
BE′ F′G′
，记旋转角为
α
（
0°
＜
α
＜
3 60°
），连接
AG′
．

①
在旋转过程中，当
∠ BAG′=90°
时，求
α
的大小；

②
在旋转过程中，求
AF′
的长取最大值时，点
F′
的坐标及此时
α
的大小（直 接写出结果即
可）．


【答案】（
Ⅰ
）
1
（
Ⅱ
）
①α=30°
或
150°
时，
∠BAG′ =90°②
当
α=315°
时，
A
、
B
、
F′
在一条
2
11
2
+2
，此时
α=315°，
F′
（
+
2
，﹣
2
）

2 2
2
直线上时，
AF′
的长最大，最大值为
【解析】

【分析】

(1)
根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题
,( 2)①
因为
∠BAG′=90°,

BG′=2AB,
可知
sin∠AG′B=
AB1

,
推出
∠AG′B=30°,
推出旋转角
α=30°,
据对称性可知
,
当
BG2
∠ABG ″=60°
时
,∠BAG″=90°,
也满足条件
,
此时旋转角α=150°,②
当
α=315°
时
,A
、
B
、
F′
在一条
直线上时
,AF′
的长最大
.

【详解】

（
Ⅰ
）如图
1
中，

∵A
（
0
，
1
），

∴OA=1
，

∵
四边形
OADC
是正方形，

∴∠OAD=90°
，
AD=OA=1
，

∴OD=AC=
∴AB=BC=BD=BO=
∵BD=DG
，

∴BG=
∴=
，

=
．

=
，

，

（
Ⅱ
）
①
如图
2
中，


∵∠BAG′=90°
，
BG′=2AB
，

∴sin∠AG′B=
∴∠AG′B=30°
，

∴∠ABG′=60°
，

∴∠DBG′=30°
，

∴
旋转角
α=30°
，

根据对称性可知，当
∠A BG″=60°
时，
∠BAG″=90°
，也满足条件，此时旋转角
α=15 0°
，

综上所述，旋转角
α=30°
或
150°
时，
∠BAG′=90°
．

②
如图
3
中，连接
OF
，

=
，

∵
四边形
BE′F′G′
是正方形的边长为
∴BF′=2
，


+2
，

∴
当
α=315°
时，
A
、
B
、
F′
在一条直线上时，
AF′
的长最大，最大值为
此时
α=315°
，
F′
（
+
【点睛】

，﹣）

本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义
,
解决本题的关键是
要熟练掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质以及特殊 角的三角函数值
的应用．