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三角形中与边有关的范围问题研究
在解三角形问题中，求边的范围问题往往是学生学习 的难点，为了突破这个难点，
特立题研究，希望能够找到更好、更行之有效的方法.
问题案例：
（2013·全国2卷17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c ，已知a=bcosC+csinB.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.
解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B ①， 又A＝π-(B+C)，故sin A
＝sin(B+C)＝sin Bcos C+cos Bsin C ②，由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，又B∈(0，
π)，所以
B

.
4
（Ⅱ）△ABC 的面积
S
又a
2
＋c
2
≥2ac，故
ac值为
2+1
.

12
acsinBac
. 由已知及余弦定理得
4=a
2
+c
2
2accos
. < br>24
4
4
，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大
2 2
方法小结：求最值问题的方法：余弦定理+基本不等式
（2019.全国3卷18）△
ABC
的内角
A
、
B
、
C
的对边分别为< br>a
、
b
、
c
，已知
asin
AC
bsinA
2
．
（1）求
B
；
（2）若△
A BC
为锐角三角形，且
c
=1，求△
ABC
面积的取值范围． ACAC
bsinA
由正弦定理得
sinAsinsinBsinA，因
22
AC
sinB
。 为
0A

，故
sinA0
，消去
sinA
得
sin
2
A CACAC
0

因为故
B
或者
B

，而根据题意
ABC

，
0
B
，
222
ACAC
B

不成立，所以
B
，又因为< br>ABC

，代入得
3B
，所以故
22
【详 解】
(1)
根据题意
asin
B

3
.
1

(2)
因为
ABC
是锐角三角形， 又由前问
B

3
，

6
A,C
< br>2
，
ABC

得到
12
2

ac
AC

，故
C
又应用正弦定理

， ，由三角形面积公式有
62
3sinAsinC25
11a1sinA3
S< br>ABC
acsinBc
2
sinBc
2
sin B
22c2sinC4
2

2

sincosCco ssinC
332

2

33
.
又因
33
(sincotCcos)cotC
4sinC43388
sin(< br>2

C)
3
sinC

6
C

2
,
故
33

3
cotS
882 8
33
,)

82
ABC
3

33
3
，故
cot
S
8682
8
ABC
< br>3
.
2
故
S
ABC
的取值范围是
(（2011年全国2卷·16）在△ABC中，
B60,b3
，则
c2a< br>的最大值为 .
0
解析：
AC120
0C120
0
A
,
A(0,120)
，
BCAC
2BC2sinA
，
sinAsinB
ABAC
2A B2sinC2sin(120
0
A)3cosAsinA
，
A B2BC
sinCsinB
3cosA5sinA28sin(A

)27sin(A

)
，故最大值是
27

.
方法小结：求最值问题的方法：余弦定理+基本不等式
（2013年高考江西卷（理））在 △ABC中,角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知
cosC+(cosA-

sinA)cosB=0.
(1) 求角B的大小;若a+ c =1,求b的取值范围
【答案】解:(1)由已知得
cos(AB)cosAcosB3sinAcosB 0

即有
sinAsinB3sinAcosB0

因 为
sinA0
,所以
sinB3cosB0
,又
cosB0
,所以
tanB3
,
又
0B

,所以< br>B
2

3
.
22
(2)由余弦定理,有
bac2accosB
.
11
2
1
2
,有
b3(a)
.
224
11
2
又
0a1
,于是有
b1
,即 有
b1
.
42
因为
ac1,cosB
2

方法小结：求一条边取值范围的方法：函数思想
练习：1、已知函数
f(x)3sinxcosx3cosx2sin(x
（1）、求
f(x)
最小正周期和单调增区间；
（2）、锐角△ABC的内角A、B 、C的对边分别为a，b，c，（C,f(C)）是f（x）的一个对称
中心，且c=1，求
a
2
b
2
的取值范围.

22

12
)
3
2

1
acosCcb
2、设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且
2
(1)求A的大小;
(2)若
a3
，求
bc
的取值范围.
解：(1）依题意及正弦定理，得
1
sinAcosCsinCsinB
sin(AC)sinAcosCcosAsinC

2
11
< br>sinCcosAsinC
，
sinC0
，
cosA，又
0A

A

22
3
a
2
b
2
c
2
1
cb
化简得：
b
2
c
2
a
2
bc
另解 ：依题意及正弦定理，得
a
2ab2

b
2
c
2
a
2
1

，又
0A

A

cosA
3
2bc2
（2）由正弦定理得：
b
a sinBasinC
2sinB,c2sinC
,
sinAsinA
由（1）知，
BC
2

2

CB

33
所以


2


bc2s inB2sinC2sinB2sin

B

3sinB3co sB23sin

B

6

3

3

A

,
3


2

B

0,

3


5




1



s inB
,B,




,1

bc

6
6

66



2



3,23



1
acosCcb
3、设锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c ，且
2
(1)求A的大小;
(2)若
a3
，求
bc
的取值范围.
1
ac osCcb
4、设锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且
2
(1)求A的大小; (2)若
a

3
，求
b
2
c
2
的取值范围.

4