counta-邪恶漫画色系

直角三角形的边角关系
（一）三角函数概念及性质
△ABC中，∠C=90 °，锐角Ａ的对边与斜边的比叫做∠Ａ的正弦，记作sinＡ，即sinA＝
Ａ的邻边与斜边的比叫做∠ Ａ的余弦，记作cosＡ，即cosA＝
正切，记作tanＡ，即tanA＝
a
；锐角
c
b
；锐角Ａ的对边与邻边的比叫做∠Ａ的
c
a
；锐角Ａ的 正弦、余弦、正切都叫做∠Ａ的三角函数。
b
注：①正弦、余弦、正切、余切都是在直角 三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；
②sinA不是sin与Ａ的乘积，是 三角形函数记号，是一个整体。“sinA”表示一个比值，其他三个三角
函数记号也是一样的；
③锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。

2.一些特殊角的三角函数值
三角函数
sinα
cosα
tanα
3.各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
（2）
0,
0
（3）平方关系
sin
A
cos
A
1

22
0°
0
1
0
30° 45° 60°
1

2
3

2
3

3
2

2
2

2
1
3

2
1

2
3

（4）弦切关系
tanA=
sinA

cosA
4.锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
1

（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

【练习】
练习1（求三角函数）
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 则sinA的值是___
A、
1515
11
B、 C、 D、
154
43
5
2、在△ABC中，若三边BC，C A，AB满足BC：CA：AB=5：12：13，则cosB=（ ）
A、
12
B、
5
12
C、
13
5
D、
13
12
3、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的 夹角为θ，则tanθ＝______.

4、在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( )
5
1
A． B．2 C．
5
2
为
DE
，则
tanCBE
的值是（ ）
A．
D．
5

2
5、直角三角形纸片的两直角边长分别 为6，8，现将
△ABC
如图那样折叠，使点
A
与点
B
重合，折痕
24

7
B．
7

3
C．
7

24
D．
1

3

6、如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N 两点关于对角线AC对称，若DM=1，
则tan∠ADN= ．

7、如 图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于 （ ）
2

8、如图，在△ABC中，

B=30°，P为AB上一点，
（ ） < br>A、
BP1
PQ⊥BC于Q，连结AQ，则cos

AQC=

，
AP2
21232723
B、 C、 D、
73721


9、如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=
3，则tan∠ADE的值是（ ）
A、
3
，AC上有一点E，满足AE：CE=2：
4
387
4
B、

C、

D、
599

5

10、如图，已知直线
l
1∥
l
2
∥
l
3
∥
l
4
，相邻 两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点
分别在四条直线上，则
sin< br>

．


练习2（网格）
1、 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于_______________ 2、在正方形网格中，
△ABC
的位置如图所示，则
cosB
的值为（ ）

3

A．
1

2
B．
2

2
C．
3

2
D．
3

3
3、如图，△ABC的三个顶点在正方形网格 的格点上，则tan∠A的值是___________

4、如图，A、B、C三点在正方 形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，
则tanB’的值为____ ___。

5、如图，将∠AOB放置在正方形网格中,则cos∠AOB的值是________.

6、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则tan∠ABC=

7、如图，在8×4的矩形网格中,每个小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格 点上,
则tan∠CAB的值为( )

8、如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（ ）
4

A.
B．

C．

D．

9、网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=


练习3（利用三角函数求边长）
1、在Rt△ABC中，∠C = 90°， AC = 9 , sin∠B =,则AB =（ ）
A.15 B. 12 C. 9 D. 6
2、如图， 在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，若cos∠
BDC=
3
5
3
，则BC的长是 （ ）
5
B、6cm C、8cm
B
N
C
M
A
A、4cm D、10cm
D

3 、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=
是（ ）
A、
2
B、2 C、1 D、
22

1
，则AD的长
5


练习3（三角函数性质及之间的关系）
1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都（ ）
A、缩小2倍 B、扩大2倍 C、不变 D、不能确定
5

2、在RtΔABC中,∠C=90
0
,则下列等式中不正确的是( )
A.a=csinA；（B）a=bcotB；（C）b=csinB；（D）c=
3、已知α为锐角，m=sinα+cosα的值，则（ ）
A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥1
b
cosB
.

4、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝
4
，则tanB＝（ ）
5
A．
4334
B． C． D．
3455
1
3sinAtanA
5、若cosA=
3
，则
4sinA2 tanA
=（ ）
41
1
A、
7
B、
3
C、
2
D、0
6、已知
tan

1
，则
2sin

 cos

=
2sin

cos

7、sin5 5°、cos36°、sin56°的大小关系是 ____<____<____；sin63°、cos2 9°、tan47°的大小关
系是____<____<_____。
1
8、若∠A是锐角，且sinA=
3
，则（ ）
A、0
0
<∠A<30
0
B、30
0
<∠A<45
0
C、45
0
<∠A<60
0
D、60
0
<∠A<90
0

9、已知∠A为锐角，若sinA=
2
则（ ）。
3
1
,则（ ）。
4
A．30°＜A＜60° B. 30°＜A＜45° C. 45°＜A＜60° D.60°＜A＜90°
10、若∠A为锐角，且cosA=
A． 0°＜A＜30° B. 30°＜A＜45° C. 45°＜A≤60° D.60°＜A≤90°
11、已知∠A为锐角tanA=
2
，则锐角A的取值范围是（ ）。
3
A． 0°＜A＜30° B. 30°＜A＜45° C. 45°＜A＜60° C.60°＜A＜90°
12、已知△ABC中,∠C=90°,设sin B=n.当∠B是最小的内角时,n的取值范围是( )
A.06

13、下列等式中正确的是（ ）
（A）
cos
2


sin
2


1
（B）cos30°+cos45°=cos75°
（C）
tan30tan60

练习5（特殊角的三角函数）
1、计算
23
（D）2cot22°30＇=cot45°=1
3
1
0
2cos60°

2009π

9
()
2
(32)
0
2sin303

2
（）
﹣2
+（π﹣2014）
0
+sin60°+|﹣2| ﹣4sin30°+（2014﹣π）
0
﹣2
2
．
1
122cos30(31)
0
()
1

4cos30(

3.14)
0
12

8
31
()
2
82sin4512

16

(

)
1

(3
5)
0

3cos30


42
11
()
1
4sin45(12)
0
8

(
)
2

(


2014)
0

sin60

3

2

23
21
12(2014)
0
2cos30()
1
（﹣1）
2
﹣4sin45°+|﹣3|+．

2
11
( 32)
0
()
1
4cos30327

2cos45()
1
8(

3)
0

34
1

(1)
2020
()
2
 (sin98)
0
32sin60

(

2)
2

3

2sin60

2

22
(

5)
0

3
8(1)2013
3tan60

2sin602
1
2013
0
13

3
1
82cos60(

2
1
)
0
12(20132)
0
()
1
2sin60

3
。
5(1)
2013
2sin3025

（

-10）=
2、已知

为锐角，且
sino
3
，则

等于（ ）
2
Ａ．
50
Ｂ．
60
Ｃ．
70
Ｄ．
80

3、若锐角α满足2sin(α-15°)=,则α=______.
4、在△ABC中,若+=0(∠B、∠C是锐角),则∠A的度数为( )
A.90° B.60° C.40° D.30°
5、在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1| +（cosB﹣）
2
=0，那么∠C=
7

6、因为cos 30°=
45°=
,cos 210°=-,所以cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-;因为cos
,cos 225°=-,所以cos 225°=cos(180°+45°)=-cos 45°=-.猜想:一般地,当α为锐角
时,有cos(180°+α)=-cos α.由此可知cos 240°的值等于______.
7、如图，等边三角形
ABC
中，
D
、
E
分别为
AB
、
BC
边上的点 ，
ADBE
，
AE
与
CD
交于点
F
，< br>AGCD
于点
G
， 则
AG
的值为 ．
AF

,则边BC的长为( ) 8、如图是教学用的直角三角板,边AC=30 cm,∠C=90°,tan∠BAC=

A.30 cm B.20 cm C.10 cm D.5 cm
9、如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6 cm,将△ABC绕点A逆时针旋转15°后 得到△AB'C',
则图中阴影部分的面积等于________cm
2
.

10、在△ABC中,若∠C=45°,∠A=105°,AC=6,则AB的长是( )
A.3 B.3 C.2 D.6
11、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连
接FB，则tan∠CFB的 值等于（ ）
A． A B． C．

D．


（二）解直角三角形
8

1.在直角三角形中，用除直角 外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。在直角三角
形中，除直角外，一共有５个 元素，即３条边和２个锐角。
2.依据：
（1）边的关系：
（2）角的关系：
；
；
（3）边与角的关系： sinA＝cosB＝
abab
， cosA＝sinB＝，tanA＝＝， tanB＝。
ccba
3.基本类型：①已知两边长；②已知一锐角和一边。（注：已知两锐角不能解直角三 角形）
4.对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解。辅助线的一般思路：①作垂 线构成直角
三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。

【练习】
练习1（求边长或角度）
1、如图，已知AC=1，求BD。

2、如图，已知△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，BC=3+，求AB的长。

3、如图,在△ABC中,AB=5,AC=7,∠B=60°,则BC的长为______.

4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90
o
，AC=6，D是AC上 一点，若tan∠DBA=
1
，则AD的长为
5

（A） 2 （B）
3
（C）
2
（D）1
9

5、如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12 ，tan∠BAD=，求sinC的值．

6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° ，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cosA=35
（1）求线段CD的 长；（2）求sin∠DBE的值．

7、直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC， BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿
CE翻折，使得B点与D点重合，则∠ BCE的正切值为 ．


练习2（面积相关）
1、如图,在△ABC中,∠B=45°,cos C=
3
,AC=5a,则△ABC的面积用含a的式子表示是______.
5

2、一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60 °后（图2），测得CG=10cm，
则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为___________ __。
10

3、如图，两条宽度都是1的纸条，交叉 重叠放在一起，且夹角为

，则重叠部分的面积为（ ）
（A）
11
． （B）
sin

． （C）． （D）
cos

．
sin

cos


4、如图，两条带子，带子a的宽度为2cm，带子b的宽度为1cm，它们相交成α角，如果重叠部分 的面
积为4cm，则α的度数为 度．

5、四边形ABCD的对角 线AC、BD的长分别为m、n，可以证明当AC⊥BD时（如左图），四边形ABCD
的面积S=1
mn，那么当AC、BD所夹的锐角为θ时（如图），四边形ABCD的面积
2
S=_________________．（用含m、n、θ的式子表示）

6、已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10， BD=8．
（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；

60
（2）若AC与BD的夹角∠AOD=，求四边形ABCD的面积；
（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=

，AC=
a
，BD=
b
，
试求四边形ABCD的面积（用含

，
a
，
b
的代数式表示）．
11

7、在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，sinA=
2
，P是AB上一动点，（P不与A、B重合），过P作
3
PQ∥AD交BD于Q，连结 CQ，设AP的长为x，PQ的长为y
1
，四边形QPBC的面积为y
2
，
（1）求：y
1
关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）求y
2
关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）是 否存在实数x，使得y
1
=y
2
？如果存在，求出x的值；如果不存在，请说 明理由。
D
Q
C
A

P
B

（三）实际应用
1.仰角俯角
如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角 中，视线在水平线上方的角叫仰角，在不平线下方的
角叫做俯角．

2.坡面距离、坡度、坡角
如图，把坡面的铅直高度
h
和水平宽度
l
的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母
i
表示，即
i
写成
h:l
的形式，如
i1:5

即i
h
，坡度一般l


1


．
5


12

坡面与水平的夹角

叫做坡角，坡角与坡度 之间有如下关系：
i

面越陡.
3.方向角
h
tan

.坡度越大，则

角越大，坡
l
指北或指南方向线与目标 方向线所成的小于
90
的水平角，叫方向角，如下图，OA，OB，OC，OD的
方 向角分别表示北偏东
60
，北偏西
30
，西南方向，南偏东
20 
．

【练习】
练习1（俯角仰角）
1、如图，一艘核潜艇在 海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在
同一深度直线航行1 464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深
度（结果精确到个 位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）

2、如图，在测量塔高AB 时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔
顶A的仰角分别是30°和 60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）

3、 如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，
在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．
13

4、如图,两建筑物的水平距离为am,从A点测得D点的俯角为a,测得C 点的俯角为β,则较低建筑物CD
的高为( )
A.a m B.(a·tanα)m C.(atanα)m D.a(tanα－tanβ)m

5、如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量 人员选择山脚C
处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得 塔顶仰角为60°，
求塔高AB（结果保留整数，
3
=1.73，
2
=1.41）


练习2（斜坡）
1、如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则
坝底AD的长度为（ ）
A． 26米 B． 28米 C． 30米

D．46米
2、如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是
高BC=3m，则坡面AB的长度是（ ）
（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝
14

A.9m B.6m C.m D.m
3、如图，一堤坝 的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施
工队欲改 变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到
0. 01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）


练习3（方向角）
1．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向 ，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时
间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）

A. 40海里 B. 40海里 C. 80海里 D. 40海里
2、如图，一渔船由西往东航行 ，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此
时，测得海岛C位于北偏东3 0°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于 海里．

3、如图，小岛
A
在港口
P
的南偏西
45
方向，距离港口
100
海里处，甲船从
A
出发，沿
AP
方向以
10
海
里时 的速度驶向港口，乙船从港口
P
出发，沿南偏东
60
方向以
20< br>海里时的速度驶离港口。现两船同
15

时出发，问：经过几小时后，乙船恰在甲船的正东方向？（结果保留根号）

4、青海玉树地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北
行驶，当在A处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏西26°方向，汽车以35km h的
速度前行2h到达B处，GPS显示村庄C在北偏西52°方向．
（1）求B处到村庄C的距离；
（2）求村庄C到该公路的距离．（结果精确到0.1km）
（参考数据：
sin260.4384
，
cos260.8988< br>，
sin520.7880
，
cos520.6157
）

5、一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养 殖场.渔船沿北
偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔 船改变航线向正东(即
BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？

6、 如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，
需 测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，< br>到达点Q处，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向．
（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；
（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°=0.75）

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7、如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40k m的速度向北偏东60°
的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？

8、如 图，在某气象站M附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于气象站M的东偏南θ方向100千
米的 海面P处，并以20千米小时的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半
径为 20千米，并以10千米小时的速度不断增大，已知cosθ=
2
，问：
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（1）台风中心几小时移到气象站M正南N处，此时气象站M是否受台风侵袭？
（2）几小时后该气象站开始受台风的侵袭？

9、如图，港口A在观测站O的正东 方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段
距离后到达B处，此时从观测站 O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）
为

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