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几何体的表面积和体积解答基础

1．如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为
圆锥的体积．
的圆柱，求圆柱的表面积和

解：圆锥的高
表面积：

















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，圆柱的底面半径r=1，

圆锥体积：=．

< br>2．如图，在正三棱台ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，已 知其上、下底面边长分别为3cm和6cm，AA
1
=3cm，
求此三棱台的侧面积和 体积．

解：由正三棱台的结构特征知，其上、下底面分别是边长为3cm和6cm的等边三 角形，如图
O、O
1
为上、下底面的中心，
∴OA=AD=×
O< br>1
A
1
=A
1
D
1
=×
∴棱台的高 h=
DD
1
=
∴三棱台的侧面积S=3×
三棱台的体积V=×（=
×
×3+
2
=2
=
，OD=
，O
1
D
1
=
=
，
=
；

，
；
2
×6+×3×6）×=．








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3．四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AB⊥BC，现将该梯形绕 AB旋转一周
形成封闭几何体，求该几何体的表面积及体积．

解：依题旋转后形成的几何体为上部为圆锥，下部为圆柱的图形，如下图所示：

其表面积S=圆锥侧面积+圆柱侧面积+圆柱底面积；
∴S=4+8π+4π=12π+4；
其体积V=圆锥体积+圆柱体积；
∴V=











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．

4.如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中挖去一个高为
（1）求圆柱的表面积；
（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．
的内接圆柱；

解：设圆锥、圆柱的底面半径分别为R、r，高分别为h、h′．
（1）圆锥的高h=
又∵h′=，
，∴r=1．
2
=2， ∴h′=h．∴=
∴S
表面积
=2S
底
+S
侧
=2πr+2πrh′
=2π+2π×=2（1+）π
（2）所求体积
=












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5．已知正四 棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）的底面边长为a，侧
棱长为a
（1）求它的外接球的体积
（2）求他的内切球的表面积．
解：（1）由题意，四棱锥为正四棱锥，
∵该四棱锥的侧棱长为a，底面是边长为a的正方形，∴四棱锥的高为
2
a，
设外接球的半径为R，则有R=（
∴外接球的体积为
（2）设内切球的半径为r，则
a）+（
=
2
a﹣R），∴R=
；
2
a，
∴r=

∴表面积为4πr=

2
a
．










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6．已知正方形的边长为a，求侧面 积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直
圆柱体的体积．
解：设底面半径为r，直圆柱体的高为h
因为侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长
所以有底面周长2πr=a，h= a，解得
由公式圆柱体体积V=πrh=
7．已知某个四面体的棱长均为a，
（1）求该四面体外接球的体积；（2）求该四面体内切球的体积．
解：（1）：∵正四面体的棱长为a，∴此四面体一定可以放在正方体中，
∴我们可以在正方体中寻找此四面体．
如图所示，四面体ABCD满足题意，BC=a，∴正方体的棱长为a，
2
，
．
∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，∵外接球的直径=正方体的对角线长，
∴外接球的半径为R=•=a，所以，球的体积为 π•a=
3
πa．
3< br>（2）设正四面体的内切球的半径为r，由于正四面体的每个面的面积为S=•a•a•sin60°=a，正四面体的高为h=
3
2
=a，
故正四面体的体积为V=Sh=
再根据V=4[sr]=4×[•
2
a．
a•r]，可得
33
a=4×[•
•a．
3
a•r]，求得r=
2
a，
故四面体内切球的体积V′=π•r=




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8．半球内有一个内接正方体，正方 体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为
球的表面积和体积．
解：设正方形ABCD﹣A'B'C'D'的底面ABCD在半球的底面圆上，如图
，求
则球心O为ABCD的中心，连结OA'
∵正方体的棱长为，
∴A0=A′C′=，可得A'O=
即半球的半径R=3，
因此，半球的表面积为；
体积V=．



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