排列组合中几个易混淆问题辨析
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排列组合中几个易混淆问题辨析
文章来源：现代教育报·思维训练
作者：王强芳 点击数：1583 更新时间：2007-4-12 14:25:58
１. 分组问题
分组问题是排列组合中的一个难点，主要有以下三种情况.
１.1
非平均分组问题
在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同.
【例１】 把１２个人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数.
（１）分成甲、乙、丙三组，其中甲组７人、乙组３个、丙组２人.
（２）分成三组，其中一组７人、一组３人、一组２人.
解： （１）先从１２人中任选７人为甲组
，余下５人中任选３人为乙组，剩下２人为丙组，则共有
不同的分组方法.
种
（2）先从１２人中任选７人为一组有
共有种不同的方法.
种选法，再从余下５人中任选３人有种选法，剩下的２人为一组，
【点评】 由于各组人数不
同，这个问题属于非平均分组问题，尽管第（1）个问题中给出了甲、乙、丙三个组，
而第（２）个问题
只是给出了各组人数而没有具体指定组名，但分组的方法数都是一样的.
易错点：误把（１）的结果表示为
１.2 平均分组问题
上面的
非平均分组问题中，是否给出组名对结果没有影响，但在平均分组问题中一定要注意问题是否给出了具体
的组名，它们的结果是不同的.
【例２】
有６本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？
（１）分给甲、乙、丙三人，每人两本.
（２）平均分成三份.
解： （１）从６本书
中任取２本给一个人，再从剩下的４本中取２本给另一个人，剩下的２本给最后一人，共
有＝９０种分法
.
（２）设平均分成三堆有x种方法，再分给甲、乙、丙三人每人得２本，则应有
∴ ＝１５种不同的分法.
【点评】 上面例子可以看出：两个问题都是分成３堆，每堆
２本，属于平均分组问题，而（１）分到甲、乙、
丙三人，属于到位问题，相当于给出了甲、乙、丙三个
指定的组，但（２）没有给出组名，因而结果是不同的.
一般地，把n、m个不同元素平均分到m个
不同的位置，有种方法，把n、m个不
同元素平均分成m组有种分法.
易错点：错把（１）的结论写为
１.3 局部平均分组问题
错把（２）的结论写为
某些分组问题中，有一部分组之间的元素的个数相同，但又不是所有组的元素都相同，这样的分组称为
局部平均
分组.解决这问题同样要考虑分组时是否给出了组名.
【例３】
（１）把６本不同的书分给４人，两人各得１本，另外两人各得２本，有几种分法？
（２）把６本不同的书分成４份，两份各１本，两份各２本，有几种分法？
解析：
我们先来研究：“两个无区别的白球与两个无区别的红球排成一排的方法数”问题.
如果这４个球各不
相同，则有种排法，由于白球和红球各有种排法，因此两个白球与两个红球排成一排的
排法有种，下面来
解决上述问题.
（１）可按下面步骤完成：先将６本书分成１本、１本、２本、２本４个部分，然后
让四个人去全排列取书，即
有种.
（２）先把６本书分成１本、１本、２本、２本的４堆，
由于两个１本与两个２本是无区别（没有顺序）的，因
此，所求的分法数为 种.
【点评】
两个问题同属局部平均分组问题，但（１）中指定分给了４个人，相当于指定了组名，而（２）没有
给出
组名，因此分组的情况是不相同的.事实上，（１）中相当于把４本书分成两份２本，两份１本，共有
种
分配方法，然后把它分给４个人.
在元素相同的组中，若没给出具体的组名，则必须
除以相同元素的组数的阶乘，若把问题改为：把６本不同的书
分成Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四堆，其中Ａ、Ｂ各２
本，Ｃ、Ｄ各１本，则有几种分法？
该问题的分法有种分法.
易错点：误把（２）中的结论表示为 .
因此，在解决分组问题中，要弄清以下几点：①分配对象是否明确（组名是否给出）？
②是否平均分配？
③是否局部平均分配？
④分配中有无顺序关系？
２.
挡板模型与分组问题
挡板模型是解决排列组合问题的常用方法之一，且效果极佳，但有些分配问题如
果不加分析而乱套挡板模型，则
极易出现误解.
【例４】
５个教师分配到３个班参加活动，每班至少１人，有几种不同的分法？
错解： 把５个老师排成一排
，中间投入四块挡板：０|０|０|０|０，只要在４块挡板中任取２块，一共有
种不同的方法.
＝６
错因： ５个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同.即把问题改为：
把５个名额分配给３个班，
每班至少有１人.问有几种不同的分法？５个名额是没有区别顺序的.可用挡
板法解决.
正解：先把５位老师分成三堆，有两类：１、１、３和１、2、2分别有和种，再分到三
个
班里，共有＝１５０种.
【点评】
类似上面的分配问题，当元素有区别时，要利用分组办法解决，当元素无区别时，可用挡板模型来解
决.
3. 挡板模型与双排问题
在元素无区别分配问题中，通常考虑用挡板模型来解决，但一定要注意题目给出的条件，否则极易出错.
【例５】 从５个班中选１０人组成一个篮球队（无任何要求），有几种选法？
错解：
选把１０个指标排好，插入９块挡块：０|０|０|０|０|０|０|０|０|０
然后在９块挡板中任取４块即可分成５份，有＝１２６种分法.
错因： 问
题并没有给出“每班至少１人”这个条件，而采用挡板解决时，实际上它就是要求每班至少有１人参加.
事实上，这１０个名额可给一个班，也可给两个班…
正解：因为把１０个指标分成５个部分，只须４
块挡板，称为第一类元素，１０个指标为第二类元素，共１４个
元素.当这些元素都有区别时共有种排法
.
但１０个指标，４块挡板各组之间不管怎么变化，其实就是一种情况的共有＝１００１种不同分法
（或
）.
【点评】 当分组数超过３个时，若没有给出“每组至少有１个”这个条件时，是
不能用挡板法解决的，而要用双
排列方法解决.而双排问题就是把元素分成相同的两类，然后加以解决.
两类元素排列的问题涉及面很广，它实质上就是有重复元素排列的一种简单情形，在历年的高考中时有出
现，应予
以重视.
教《平均分组与不平均分组》有感
西周
中学 周玲素
学生在学习
高二数学第十章《排列、组合和二项式定理》过程中，解答有
关平均分组与不平均分组的应用题时感到非
常棘手，主要是难以理解、无法入手。
作为教师，如何突破这一难点呢？我吸取以往学生学习这块知识点
困难的教训，
根据历年来的教学经验，决定对今年这届高二学生采用新的教学方法，效果还真
不
错。
首先，在要上这块内容的前一天，我自拟了一道题，分15小题，题目简
洁明了，写在小张练习纸上发给学生作预习工作。
例：有6本不同的书，
⑴分给甲、乙、丙三人，每人得2本，有多少种方法？
⑵分成三堆，每堆2本，有多少种方法？
⑶分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种
方法？
⑷分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种方法？
⑸分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种
方法？
⑹分给甲、乙、丙三人，甲得4本，乙、丙各得1本，有多少种方法？
⑺分成三堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种方法？
⑻分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各得1本，有多少种方法？
⑼分成三堆，共有多少种方法？
⑽分给三人，每人至少1本，共有多少种方法？
⑾分成四堆，其中两堆各1本，另两堆各2本，有多少种方法？
⑿分给甲、乙、丙、丁四人，其中甲、乙各得1本，丙、丁各得2本，
有多少种方法？
⒀分给甲、乙、丙、丁四人，其中两人各得1本，另两人各得2本，
有多少种方法？
⒁分成四堆，共有多少种方法？
⒂分给四人，每人至少1本，共有多少种方法？
从当天晚上学生预做情况来看，前几题尚
有点解题思路，越做到后来，头
脑就被弄得稀里糊涂。我丛容学生大胆尝试，无论结论正确与否，先按照
自己对
排列、组合的理解，对每一题作出一个结论。即使有许多同学头脑中理不清思路，
从而得
不出一个结论，但最起码对各小题都进行了认真的思考。
其次，在第二天课堂上师生共同对15小题进行讨论。
⑴分给甲、乙、丙三人，每人得2本，有多少种方法？
生：第⑴小题中，先从6
本书中任取2本给甲有С62种方法，再从剩下4
本书中选出2本给乙有С42种方法，留下最后2本给
丙有С22种方法，所以共有
С62С42С22种方法。
师：肯定⑴的答案是
С62С42С22，那么第⑵小题的答案呢？是不是也是
С62С42С22？
⑵分成三堆，每堆2本，有多少种方法？
师生共同探讨：若是按С62С42С
22来取书，我们先把6本书进行编号，
分别记作本1、本2、本3、本4、本5和本6。取法可能有在
步骤С62时取到本1
和本2，接下来在步骤С42时取到本3和本4，最后在步骤С22取到本5和本
6，
结果分成本1和本2、本3和本4、本5和本6三堆；但也有可能先取到本3和本
4，再取
到本1和本2，最后取到本5和本6，结果也分成本1和本2、本3和本4、
本5和本6三堆。可见上述
两种可能只能算一种，这说明按С62С42С22种算有
重复。那第⑵小题的答案应是什么呢？很明显
下述6种取法：
① 本1和本2
本3和本4 本5和
本6
②
本1和本2 本5和本6 本3和
本4
③ 本3和本4 本1和本2 本5和
本6
④ 本3和本4 本5和本6
本1和
本2
⑤ 本5和本6
本1和本2 本3和
本4
⑥ 本5和本6 本3和本4 本1和
本2
实际上
分成本1和本2、本3和本4、本5和本6共三堆。在第⑴小题中算6种，
而在
第⑵小题中算1种方法。不难得出第⑵小题的答案应是 С62С42С22
6
种。为什么是除以6呢 ？不难发现三个量 “本1和本2 ”、“本3和本4”、
“
本5和本6”的全排列共有А33个，所以第⑵小题的答案应是 С62С42С22
А33种。
⑶分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种方法？
师：⑶及它以后的答案呢？
由学 生共同探讨，逐步得出各题的结论：
⑶的答案是С61С52С33（基本上一致认同，师指出：答案还有
С62С41С33、С63С3
2С11、С61С53С11等）；
⑷的答案是С61С52С33 （一起分析С61С52С33
А33不
正确，原因分堆成平均2、2、2与分堆成不平均1、