电话营销管理-走了

好学者智，善思者康

400-810-2680











不定方程及整数解
中考要求
内容




略高要求 较高要求

基本要求



我们曾经学过一元一次方程，例如
2x35
， 解这个方程可得
x4
.如果未知数的个数不只一个，而是二
个或更多个，就变成为 二元一次方程或多元一次方程，例如
xy4
就是一个二元一次方程.这个方程有无数

x1

x4

x6.5
多组解.比如

，

，

等．
y8
y3y2.5

这类未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）就叫做不定方程（或方程组） ．初中范围内通常只讨论
这类方程（组）的正整数解或整数解．

不定方程的问题主 要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的
方法，求出全部 整数解.
(1)不定方程解的判定
如果方程的两端对同一个模
m
(常数) 不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两
种，因而可以在奇偶分析的基 础上应用同余概念判定方程有无整数解.
(2)不定方程的解法
不定方程没有统一的解法, 常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余
数分析法.对方程进行 适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.

定理1：若二元一次不定方 程
axbyc
，整数
a
和
b
的最大公约数不能整除c
，则方程没有整数解．
y
0

是方程定理2：若整数
a
,
b
互质，则方程
axby1
有整数解，同时方程
axbyc
也有整数解.若

x
0
，
axby1< br>的一个整数解，则
cx
0
，
cy
0
是方程
a xbyc
的一个整数解．
例题精讲
b

有整数解． 定理3 ：整系数方程
axby

a，
定理2和定理3都是“裴蜀定理”的内容

xx
0

xx
0
bu
定理4：如 果

是满足整系数方程
axbyc
的一组整数解，则

（其中
u
为任意整数）也是
yyyyau
00

满 足上式的整数解．
这表明，满足方程的整数解有无穷组，并且在
ab0
时，可选择
x
为正（负）数，此时
y
为相应的为负（正）
数．这个结论可以通过 把这组解直接代入已知方程进行证明．
由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解．
< br>x4

x45k
例如，方程
4x5y21
的一组解 为

，则此方程的所有整数解可表示为：

．
y14k
y1



板块一 不定方程的整数解

5-2-4 不定方程及整数解 题库·学生版 page 1 of 6

好学者智，善思者康

400-810-2680

【例1】 求方程
11x15y7
的整数解．





【巩固】 求
37x107y25
的整数解．






【巩固】 求方程的整数解：⑴
72x157y1
；⑵
103x90y5
．




【例2】 求
7x19y213
的所有正整数解．





【巩固】 求方程
5x3y22
的所有正整数解．





【巩固】 求
6x22y90
的非负整数解．



【例3】 求
2x3y7z34
的整数解．




【巩固】 求
9x24y5z1000
的整数解．





5x7y9z52
【例4】 求方程组

的正整数解．

3x5y7z36



【例5】 求不定方程
2(xy)xy7
的整数解.



【例6】 求方程
xyx
2
xyy
2
的整数解.


5-2-4 不定方程及整数解 题库·学生版 page 2 of 6

好学者智，善思者康

400-810-2680




【例7】 第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程

abbc44



acbc23
的正整数
(a,b,c)
的组数是（ ）.
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4





【例8】 （第33届美国数学竞赛题）满足方 程
x
2
y
2
x
3
的正整数对
(x,y )
的个数是（ ）.
（A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对


【例9】 求不定方程< br>mnnrmr2

mnr

的正整数解

m,n,r

的组数．








【例10】 求方程
x
2
4xy5y
2
169
的整数解.









【例11】 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数
b
和
c
及素数
a
满足方程
a
2
b
2
c
2
.证明:这时有
ab
及
b1c
.








板块二 证明不定方程无整数解

【例12】 下列不定方程（组）中，没有整数解的是（ ）
A.
3x15y0
B.
9x11y1


2x3y4

x2y3z1
C.

D.


2xy2z3
y2z3




5-2-4 不定方程及整数解 题库·学生版 page 3 of 6

好学者智，善思者康

400-810-2680



【例13】 证明方程
2x
2
5y
2
7
无整数解.








【例14】 (第14届 美国数学邀请赛题)不存在整数
x,y
使方程
x
2
3xy2y< br>2
122
成立。









【例15】 求证：方程
x
x
y
y
z
z
u
u
没有各不相同的正整数解．









板块三 不定方程的应用

【例16】 某国硬币有
5
分和
7
分两 种，问用这两种硬币支付
142
分贷款，有多少种不同的方法？








【例17】 大约
1500
年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱
买百鸡 ”这个有名的数学问题：今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用
100
个
钱买
100
只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？








【例18】 小明玩套圈游戏，套中 小鸡一次得
9
分，套中小猴一次得
5
分，套中小狗一次得
2
分．小明共套
10
次，
每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套
10
次共得
61
分，问：小鸡至少被套中几次？

5-2-4 不定方程及整数解 题库·学生版 page 4 of 6

好学者智，善思者康

400-810-2680








【例19】 把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分
3
颗，就剩下
8
颗；如果每只猴子分
5
颗，那么最后
一只猴 子得不到
5
颗，那么，共有______只猴子，共有______颗花生．









【例20】 今有浓度为
5%
、
8%
、
9%
的甲、乙、丙三种盐水分别为
60
克、
60
克、
47
克.现要配制成浓度为
7%
的盐水
100
克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？








【例21】 甲、乙两个 粮库原来各存有整数袋的粮食．如果从甲库调
90
袋到乙库，则乙库存粮是甲库的
2< br>倍；
如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的
6
倍．问甲库原来最少存 粮多少袋？








【例22】 有一种体育竞赛共含
M
个项目，有运动员
A、B、C
参 加，在每个项目中，第一、二、三名分别得
p
1
、
p
2
、< br>p
3
分，其中
p
1
、
p
2
、
p
3
为正整数且
p
1
＞p
2
＞p
3，最后
A
得
22
分，
B
与
C
均得9
分，
B
在百米
赛中取得第一．求
M
的值，并问在跳高 中谁取得第二名？










【例23】 有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共
10
张，购 买一把价值为
18
元的雨伞，不同的付款方式共有（ ）
A.
1
种 B.
2
种 C.
3
种 D.
4
种





5-2-4 不定方程及整数解 题库·学生版 page 5 of 6

好学者智，善思者康

400-810-2680



【例24】 旅游团一行
50
人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人
每天
20
元，二人间的每人每天
30
元，单人间的每天
50
元，如果旅游团共住满了
20
间客房，问三种
客房各住几间？怎样消费最低？






【例25】 把若干颗花生分给若干 只猴子，如果每只猴子分
3
颗，就剩下
8
颗；如果每只猴子分
5颗，那么最后
一只猴子得不到
5
颗，那么，共有______只猴子，共有___ ___颗花生．










【例26】 试证明存在自然数
a
，使得
21a
的后三位数字是
241
．








【例27】 某自然数与
13
的和是
5
的倍数，并且与
13
的差是
6
的倍数，求这样的自然数中最小的
3
个．








【例28】 设
n
是正整数， 记
12n
为
n!
（例如
1!1
，
2! 12
），若存在整数
a
2
、
a
3
、
a< br>4
、
a
5
、
a
6
满足
31
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6

，这里
0≤a
i
i
，
i2,3,4,5,6
．求
362!3!4!5!6!
a
2
2
a
3< br>2
a
4
2
a
5
2
a
6
2
．

5-2-4 不定方程及整数解 题库·学生版 page 6 of 6