排列组合和排列组合计算公式
绝世美人儿
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2021年01月19日 18:31
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排列组合公式
/
排列组合计算公式
排列
P------
和顺序有关
组合
C -------
不牵涉到顺序的问题
排列分顺序
,
组合不分
例如
把
5本不同的书分给
3
个人
,
有几种分法
.
排列
把
5
本书分给
3
个人
,
有几种分法
组合
1
．排列及计算公式
从
n
个不同元素中，任取
m(m
≤
n)
个元素按照一定的 顺序排成一列，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列；< br>从
n
个不同元素中
取出
m(m
≤
n)
个元素 的所有排列的个数，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数， 用符号
p(n,m)
表示
.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)
……
(n-m+1)= n!/(n-m)!(
规定
0!=1).
2
．组合及计算公式
从
n
个不同元素中，任 取
m(m
≤
n)
个元素并成一组，叫做从
n
个不同
元素中取出
m
个元素的一个组合；
从
n
个不同元素中取出
m (m
≤
n)
个
元素的所有组合的个数，
叫做从
n
个 不同元素中取出
m
个元素的组合
数
.
用符号
c(n,m)
表示
.
c(n,m)=p(n,m)/m!= n!/((n-m)!*m!)
；
c(n,m)=c(n,n-m);
3
．其他排列与组合公式
从
n
个元素中取出
r
个元素的循环排列数＝
p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n
个元素被分成
k
类，
每类的个数分别是
n1,n2,.. .nk
这
n
个元素的
全排列数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k
类元素
,< br>每类的个数无限
,
从中取出
m
个元素的组合数为
c(m+k- 1,m).
排列（
Pnm(n
为下标，
m
为上标
)
）
Pnm=n
×（
n-1
）
....
（
n -m+1
）；
Pnm=n
！
/
（
n-m
）！（注： ！是阶
乘符号）；
Pnn
（两个
n
分别为上标和下标）
= n
！；
0
！
=1
；
Pn1
（
n
为 下标
1
为上标）
=n
组合（
Cnm(n
为下标，
m
为上标
)
）
Cnm=Pnm/Pmm
；
Cnm=n
！
/m
！（
n-m
）！；
Cnn
（两个
n
分别为上标和
下 标）
=1
；
Cn1
（
n
为下标
1
为上 标）
=n
；
Cnm=Cnn-m
2008-07-08 13:30
公式
P
是指排列，从
N
个元素取
R
个进行排列。
公式
C
是指组合，从
N
个元素取< br>R
个，不进行排列。
N-
元素的总个数
R
参与选择的元素个数
！
-
阶乘
，如
9
！＝
9*8*7*6*5*4*3*2*1
从
N
倒数
r
个，表达式应该为
n*
（
n-1)* (n-2)..(n-r+1);
因为从
n
到（
n-r+1)
个数为
n
－（
n-r+1)
＝
r
举例：
Q1:
有从
1
到
9
共计
9
个号码球，
请问，
可以组成多少个三位数？
A1:
123
和
213
是两个不同的排列数 。即对排列顺序有要求的，
既属于“排列
P
”计算范畴。
上问题中，
任何一个号码只能用一次，
显然不会出现
988,99 7
之类的组合，
我们可以这么看，百位数有
9
种可能，十位数则应 该
有
9-1
种可能，个位数则应该只有
9-1-1
种可能，最终共有
9*8*7
个三位数。计算公式＝
P
（
3
，
9)< br>＝
9*8*7,(
从
9
倒数
3
个的乘积）
Q2:
有从
1
到
9
共计
9
个号码球，
请问，
如果三个一组，
代表
“三
国联盟”，可 以组合成多少个“三国联盟”？
A2:
213
组合和< br>312
组合，代表同一个组合，只要有三个号码
球在一起即可。即不要求顺序的，属于“ 组合
C
”计算范畴。
上问题中，将所有 的包括排列数的个数去除掉属于重复的
个数即为最终组合数
C(3,9)=9*8*7/3*2 *1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例
1
设有
3
名学生和
4
个课外小组．（
1
）每名学生都 只参
加一个课外小组；
（
2
）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？
解（
1
）
由于每名学生都可以参加
4
个课外小组中的任何一个，< br>而不限制每个课外小组的人数，因此共有
种不同方法．
（
2
）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组
至多 有一名学生参加，因此共有
种不同方法．
点评
由于要让
3
名学生逐个选择课外小组，
故两问都用乘法
原理进行计算．
例
2
排成一行，其中
不排第一，
不排第二，
不排第三，
不排
第四的不同排法共有多少种？
解
依题意，符合要求的排法可分为第一个排
、
、
中的某一
个，共
3
类，每一类中 不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：
∴
符合题意的不同排法共有
9
种．
点评
按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不
同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解
决计数问题的一种数学模型．
例３
判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结
果．
< br>（
1
）高三年级学生会有
11
人：①每两人互通一封信，共通了
多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
（
2
）高二年级数学课外小组共
10
人：①从中选一名正组长和
一名副组长，共 有多少种不同的选法？②从中选
2
名参加省数学竞
赛，有多少种不同的选法？
（
3
）有
2
，
3
，
5
，
7
，
11
，
13
，
17
，< br>19
八个质数：①从中任取
两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求 它的
积，可以得到多少个不同的积？
（
4
）有
8
盆花：①从中选出
2
盆分别给甲乙两人每人一盆，有
多少种不 同的选法？②从中选出
2
盆放在教室有多少种不同的选
法？
分析
（
1
）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给 甲的信
是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次
手，甲与乙握手，乙与 甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是
组合问题．其他类似分析．
（
1
）
①是排列问题，
共用了
封信；
②是组合问题，
共需握手
（次）
．
（
2
）①是排列问题，共有
（种）不同的选法；②是组合问题，
共有
种不同的选法．
（
3
）
①是排列问题，
共有
种不同的商；
②是组合问题，
共有
种
不同的积．
（
4
）①是排列问题，共有
种不同的选法；②是组合问题，共
有
种不同的选法．
例４
证明
．
证明
左式
右式．
∴
等式成立．
点评
这是一个排列数等式的证明问题，
选用阶乘之商的形式，
并利用阶乘的性质
，可使变形过程得以简化．
例
5
化简
．
解法一
原式
解法二
原式
点评
解法一选用了组合数公式的阶乘形式，
并利用阶乘的性
质；解法二选用了组 合数的两个性质，都使变形过程得以简化．
例
6
解方程：（
1
）
；（
2
）
．
解
（
1
）原方程
解得
．
（
2
）原方程可变为
∵
，
，
∴
原方程可化为
．
即
，解得
第六章
排列组合、二项式定理
一、考纲要求
1.
掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单
的问题
.
2.
理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合
数的性质，并能用 它们解决一些简单的问题
.
3.
掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计 算和论证一
些简单问题
.
二、知识结构
三、知识点、能力点提示
(
一
)
加法原理乘法原理
说明
加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理
为处理排
列、组合中有关问题提供了理论根据
.
例
1
5
位高中毕业生，
准备报考
3
所高等院校，
每人报且只报一所，
不同 的报名方法共有多少种
?
解：
5
个学生中每人都可以在
3
所高等院校中任选一所报名，因
而每个学生都有
3
种不同的
报名方法，
根据乘法原理，
得到不同报
名方法总共有