小学数学四年级奥数讲与练之第25讲《智取火柴之必胜策略》(含答案)
巡山小妖精
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2021年01月23日 12:01
最佳经验
本文由作者推荐
-钱学森的精神
小学数学四年级奥数讲与练
第
25
讲：
智取火柴之必胜策略
（含答案）
在数 学游戏中有一类取火柴游戏，
它有很多种玩法，
由于游戏的
规则不同，取胜的方法也就 不同。但不论哪种玩法，要想取胜，一定
离不开用数学思想去推算。
例
1< br>桌子上放着
60
根火柴，甲、乙二人轮流每次取走
1
～
3根。
规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
如果双方都采用最佳方法，
甲先取，
那么谁将获胜？
分析与解：
本题采用逆推法分析。
获胜方在最后一次取走 最后一
根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方
4
根，此时无论对
方 取
1
，
2
或
3
根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推 ，获胜
方要想留给对方
4
根，
在倒数第三次取时，
必须留给对方8
根……由
此可知，获胜方只要每次留给对方的都是
4
的倍数根，则必胜 。现在
桌上有
60
根火柴，甲先取，不可能留给乙
4
的倍数根，而甲 每次取
完后，
乙再取都可以留给甲
4
的倍数根，
所以在双方都采用最 佳策略
的情况下，乙必胜。
在例
1
中为什么一定要留给对方
4
的倍数根，
而不是
5
的倍数根
或其它倍数根呢？关键在于规定每 次只能取
1
～
3
根，
1
＋
3
＝
4
，
在两
人紧接着的两次取火柴中，后取的总能保证两人取的总数是
4
。利用
这一特点，就能分析出谁采用最佳方法必胜，最佳方法是什么。由此
出发，对于例
1
的各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜的方法。
例
2
在例< br>1
中将“每次取走
1
～
3
根”改为“每次取走
1～
6
根”，
其余不变，情形会怎样？
分析与解：
由例
1
的分析知，只要始终留给对方（
1+6=
）
7
的倍
数根火柴，就一定获胜。因为
60÷7＝8……4，所以只要甲第一次取
走
4
根，
剩下
56
根火柴是
7
的倍数，
以后总留给乙
7
的倍数根火柴，
甲必胜。
由例
2
看出，在每次取
1
～
n
根火柴，取到最后一根火柴者获胜
的规定下，
谁能做到总给 对方留下
（
1+n
）
的倍数根火柴，
谁将获胜。
例
3
将例
1
中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后
一根 火柴谁输”，其余不变，情形又将如何？
分析与解：
最后留给对方
1
根火柴者必胜。
按照例
1
中的逆推的
方法分析，只要每次留给对方
4
的倍数加
1
根火柴必胜。甲先取，只
要第一次取
3
根，剩 下
57
根（
57
除以
4
余
1
），以后每次 都将除以
4
余
1
的根数留给乙，甲必胜。
由例
3
看出，在每次取
1
～
n
根火柴，取到最后一根火柴者为负
的 规定下，谁能做到总给对方留下（
1
＋
n
）的倍数加
1
根火 柴，谁将
获胜。
有许多游戏虽然不是取火柴的形式，
但游戏取胜的方法及分 析思
路与取火柴游戏完全相同。
例
4
两人从
1
开 始按自然数顺序轮流依次报数，
每人每次只能报
1
～
5
个数，谁先报 到
50
谁胜。你选择先报数还是后报数？怎样才能
获胜？
分析与解 ：
对照例
1
、
例
2
可以看出，
本例是取火柴游戏的 变形。
因为
50÷（
1
＋
5
）＝8……2，所以要想获胜， 应选择先报，第一次
报
2
个数，剩下
48
个数是（
1
＋
5
＝）
6
的倍数，以后总把
6
的倍数
个数留给 对方，必胜。
例
5
1111
个空格排成一行，
最左端空格 中放有一枚棋子，
甲先乙
后轮流向右移动棋子，每次移动
1
～
7格。规定将棋子移到最后一格
者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？
分 析与解：
本例是例
3
的变形，
但应注意，
一开始棋子已占一格，棋子的右面只有
1111-1
＝
1110
（个）空格。由例
3< br>知，只要甲始终
留给乙（
1+7=
）
8
的倍数加
1< br>格，就可获胜。
（
111-1
）÷（
1
＋
7
）＝138……6，
所以甲第一步必须移
5
格，还剩下
1105
格，
1105
是
8
的倍数加
1
。以后无论 乙移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是
8
，甲
就必胜。因为甲移完后，给乙留 下的空格数永远是
8
的倍数加
1
。
例
6
今有两堆火柴，一堆
35
根，另一堆
24
根。两人轮流在其中
任一堆 中拿取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为
赢。问：先取者有何策略能获胜？
分析与解：
本题虽然也是取火柴问题，
但由于火柴的堆数多于一
堆，故本题的 获胜策略与前面的例题完全不同。
先取者在
35
根一堆火柴中取
1 1
根火柴，
使得取后剩下两堆的火
柴数相同。
以后无论对手在某一堆取几根火 柴，
你只须在另一堆也取