高三数学一轮复习空间几何体的表面积和体积教案
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2021年01月27日 21:43
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空间几何体的表面积和体积
教
学
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式
目
标
近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也 有已知面积或体积求
某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以 几何体为依
托
.
因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.
同时也要学会运用等价转
命
化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求 积问题，会等体积转化求解问题，会把立体
题
问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求 解。
走
由于本讲公式多反映在考题上，预测
2017
年高考有以下特色：
向
（
1
）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；
（
2
）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中
某些 元素有关的计算问题；
教
学
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准
备
1
．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
侧面
展开图
侧面
积公式
圆
柱
圆
锥
圆
台
S
圆柱侧
＝
2
π
rl
S
圆锥侧
＝π
rl
S
圆台侧
＝π
(
r
＋
r
′)
l
2.
空间几何体的表面积与体积公式
名
称
几何体
柱
体
教
学
过
程
球
(
棱柱和圆柱
)
锥
体
(
棱锥和圆锥
)
台
体
(
棱台和圆台
)
表面积
体
积
S
表面积
＝
S
侧
＋
2
S
底
V
＝
S
底
h
1
3
S
表 面积
＝
S
侧
＋
S
底
V
＝
S
底
h
S
表面积
＝
S
侧
＋
S
上
＋
S
下
V
＝
(
S
上
＋
S
下
＋
S
上
S
下
)
h
1
3
S
＝
4
π
R
2
V
＝
π
R
3
4
3
1
．辨明两个易误点
(1)
求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．
(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．
2.
求空间几何体体积的常用方法
(1)
公式法：直接根据相关的体积公式计算．
(2)
等积法：根 据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，
或是求出一些体积比等．
(3)
割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为 可计算
体积的几何体．
3
．几个与球有关的切、接常用结论
(1)
正方体的棱长为
a
，球的半径为
R
，
①若球为正方体的外接球，则
2
R
＝
3
a；
②若球为正方体的内切球，则
2
R
＝
a
；
③若球与正方体的各棱相切，则
2
R
＝
2
a
. < br>(2)
长方体的共顶点的三条棱长分别为
a
，
b
，
c
，外接球的半径为
R
，则
2
R
＝
a
＋b
＋
c
.
(3)
正四面体的外接球与内切球的半径之比为
3∶1.
1
．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直
角 三角形的直角边长为
1
，那么这个几何体的体积为
(
)
2
2
2
A
．
1
1
C.
3
1
B
．
2
1
D
．
6
1
1
1
1
解析：选
D.
由三视图可知， 该几何体为三棱锥，
V
＝
Sh
＝
×
×
1
× 1×1＝
，故选
D.
3
3
2
6
2.
(2015·高考陕西卷
)
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(
)
A
．
3
π
C
．
2
π＋
4
解析：选
D.
B
．
4
π
D
．
3
π＋
4
由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．
1
2
表面积为
2×2＋2×
×π×
1
＋π×
1
×
2< br>＝
4
＋
3
π
.
2
3
．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
(
)
A
．
6
C
．
2
3
B
．
3
3
D
．
3
解析：选
B .
由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为
2
， 高为
3
的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故
h
＝
3
，所 以该几何体的体积
V
＝
S
·
h
＝
1×2×
3
×
3
＝
3
3.
2
4
．
(
必修
2P36
复习参考题
A
组
T10
改编
)
直角三角形三边长分别是3 cm
、
4 cm
、
5 cm
，绕两
直角边旋转一周 分别形成两个几何体，则其侧面积分别为
________
、
________.
答案：
20
π
cm
15
π
cm
5
．
(
必修
2P28
练习
T2改编
)
一个棱长为
2 cm
的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为
________cm
.
1
解析：
由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径，
所以其外接球的半径
r
＝
×
2
3
＝
3
2
(cm)
，
4
4
3
3
所以
V
球
＝
π×
r
＝
π×
3
3
＝
4
3
π
(cm
)
．
3
3
答案：
4
3
π
考点一
空间几何体的表面积
3
2
2
(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一 部分后与半球
(
半径为
r
)
组成一个几何体，
该几何体三视 图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为
16
＋
20
π，则< br>r
＝
(
)
A
．
1
B
．
2
C
．
4
D
．
8
(2)(2015·高考福建卷
)
某几何体的三视 图如图所示，则该几何体的表面积等于
(
)
A
．
8
＋
2
2
C
．
14
＋
2
2
(1)
B
．
11
＋
2
2
D
．
15
如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为
r
，圆柱的 底面半径为
r
，
1
2
2
2
2
高为
2
r
，则表面积
S
＝
×
4
π
r
＋ π
r
＋
4
r
＋π
r
·
2
r
＝
(5
π＋
4)
r
.
又
S
＝
1 6
＋
20
π，所以
(5
π＋
2
4)
r＝
16
＋
20
π，所以
r
＝
4
，r
＝
2.
(2)
由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．
2
2
直角梯形斜腰长为
1
＋
1
＝
2
，所以底面周长为
4
＋
2
，侧面积为
2×( 4＋
2)
＝
8
＋
2
2
，
1
两底面 的面积和为
2×
×
1
×
(1
＋
2)
＝3
，所以该几何体的表面积为
8
＋
2
2
＋
3< br>＝
11
＋
2
2.
2
(1)B
(2)B
2
2
空间几何体表面积的求法
(1)
以三视图为载体的几 何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的
位置关系及数量关系．
(2)
多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题注意衔接部分的处理．
(3)
旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用
.
1.( 1)(2016·长春调研
)
某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为
(
)
1
＋
5
A
．
2
＋
π
2
C
．
2
＋
(1
＋
5)
π
1
＋
2
5
B
．
2
＋
π
2
2
＋
5
D
．
2
＋
π
2
(2)(2016·河北省衡水中学模拟
)
如图是某四棱锥的三视图，则该 几何体的表面积等于
(
)
A
．
34
＋
6
5
B
．
6
＋
6
5
＋
4
3
C
．
6
＋
6
5
＋
4
13
D
．
17
＋
6
5
解析：
(1)
选
A.
由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，
底 面半径是
1
，高是
2
，所以母线长为
5
，所以其表面积为底 面半圆面积和圆锥的侧面积的一半
1
1
1
1
＋
5
以 及截面三角形的面积的和，即
π＋
π×
5
＋
×
2
×
2
＝
2
＋
π
.
2
2
2
2
(2)