论文(积分中值定理的推广及应用)
余年寄山水
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2021年01月27日 22:10
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七夕祝福短语-小乌鸦爱妈妈故事
--
海
南
大
学
毕
业
论
文（设计
)
题
目
:
积分中值定理的推广及应用
学
号：
姓
名：
年
级
:
学
院：信息科学技术学院
系
别：数学系
专
业
:
信息与计算科学
指导教师
:
完成日期：
年
月
日
--
--
摘
要
本论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用
,
我们将它主要分为以下几 个方面
:
积分中值定理、
积分中值定理的推广、
积分中值定理中值点
的渐进性
,
积分中值定理的应
用。
我们讨论了定积分中 值定理、第一积分中值定理、第二积分中值定理，而且还给出了
这些定理的详细证明过程。在此基础上， 我们还讨论了在几何形体
上的黎曼积分第一中
值定理
,
它使得积分 中值定理更加一般化
,
此情形对于讨论一般实际问题有很显著作用。
在积分 中值定理的推广方面，我们由最初的在闭区间
[
a
,
b
]
讨 论函数
f
(
x
)
的积分中值
定理情形转换为在开区间
(
a
,
b
)
上讨论函数
f
(
x
)
上的积分中值定理
,
这个变化对于解决一
些实际的数学问题更为方便。不仅 如此，我们还将几何形体
上的黎曼积分第一中值定理
推广到第一、第二曲线型积分中 定理和第一、第二曲面型积分中值定理情形。
有关
点的渐进性，我们对第 一积分中值定理的
点的做了详细的讨论，给出详细清
楚的证明过程。而第二积分中值 定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其它证明过
程只做简要说明。
对于应用 ，我们给出了一些较简单的情形如估计积分值
,
求含有定积分的极限
,
确定积
分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定
理的证 明。
关键词：
积分中值定理
;
推广；
应用
;
渐进性
--
--
A
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目
录
1
引言………………………………………………………………………………
1
2
积分中值定理的证明……………………………………………………………２
2.1
定积分中值定理………………………………………………………………
2
2.2
积分第一中值定理……………………………………………………………
3
２
.3
积分第二中值定理……………………………………………………………
3
2.4
几何形体上黎曼积分第一中值定理…………………………………………
6
3
积分中值定理的推广……………………………………………………………
9
3
．１
定积分中值定理的推广………………………………………………………９
３
.
２
定积分第一中值定理的推广…………………………………………………
9
3.3
定积分第二中值定理的推广…………………………………………………
11
３
.4
第一曲线积分中值定理………………………………………………………
1
２
3.5
第二曲线积分中值定理………………………………………………………１
2
3
．
6
第一曲面积分中值定理………………………………………………………１
3
3.7
第二曲面积分中值定理………………………………………………………
14
4
第一积分中值定理中值点的渐进性……………………………………………
1
６
--
--
5
第二积分中值定理中值点的渐进性……………………………………………２
0
6
积分中值定理的应用……………………………………………………………
23
6.1
估计积分值……………………………………………………………………
2
３
6
．
2
求含定积分的极限……………………………………………………………
24
６
.3
确定积分号……………………………………………………………………２
4
6
．４
比较积分大小…………………………………………………………………
25
6.5
证明函数的单调性……………………………………………………………２
5
6
．
6
证明定理………………………………………………………………………２５
7
结论………………………………………………………………………………２
9
谢辞…………………………………………………………………………………３０
参考文献……………………………………………………………………………
31
--
--
1
引言
随着时代的发展
,
数学也跟着时代 步伐大迈步前进。其中
,
微积分的创立
,
也极大地推
动了数学的发展 。积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质出现在数学分析课程中
的，它在数学分析的学习过程占有 很重要的地位
,
并且对于后续课程的学习也起着较大作
用
,
在此我们 就把积分中值定理及其应用清晰论述一下。
通常情况下
,
积分中值定理包含 第一积分中值定理、第二积分中值定理。而在此我们
既讨论了在特殊情况下的积分中值定理
,< br>即在一个区间上的情形。还讨论了在几何形体上
二重、三重积分的情形的积分中值定理。并且这两 个定理在各个方面的应用都较为广泛
,
比如物理学和数学。我们将积分中值定理加以应用，把微 积分体系中比较基础的东西找出
更为简单的解决方式
:
数学中一些定理的证明，数学定 理、命题，几何应用，含定积分的
极限应用，确定积分符号
,
比较积分大小
,
证明函数单调性，估计积分值。虽然有时第一积
分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁 琐
,
但是我们任然可以把它当作一个基础
定理，解决一些现实问题。
此外，在
20
世纪，国内外定在有关积分中值定理的“中间点”渐进性质研究就已经
有很显著的成就。数学家们不但将较为简单的情况下（一个区间上）的情形论述第一、第
二积分中值定理 的渐进性质论述透彻
,
而且还加以推广，包括有定积分中值定理的逆问题
及其逆问题的 渐近性
,
第一曲线型积分渐近性
,
甚至还将积分线由有限改为无穷的情形,
他
们将已有的定积分中值定理渐进性推导出的结果更为一般化。
本课 题的研究过程为
:
讨论和分析积分中值定理，然后将其加以推广
,
讨论各个积 分中
值定理中的中间点的渐进性质
,
最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题。< br>
课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性
,
将各 方面的
应用如
:
估计积分值
,
求含有定积分的极限，确定积分号，比 较积分大小，证明函数的单调
性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值 定理并把其
以论文的形式整理出来。
--
--
２
积分中值定理的证明
2.1
定积分中值定理
定理
1
（定积分中值定理
)
:< br>如果函数
f
(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]
上连续
,
则在区间
[
a
,
b
]
上至少
存在一个点
，使下式
成立。
b
a
f
(
x
)
dx
f
(
)(
b
a
),
(
a
b
)
证明
:
因为
f(x)
在
[a,
ｂ］上连续
,
所以ｆ（
x)
在
[a,b]
上有最大值
M
和最 小值
m
，即
m
f
(
x
)
M
,
我们对不等式进行积可得
b
b
a
mdx
f
(
x
)
dx
Mdx
a
a
b
b
有积分性质可知
m
(
b
a
)
f
(
x
)
dx
M
(
b
a
)
a
由于
b
a
0
,
对不等式同时除以
b
a
可得
m
1
b
f
(
x
)
dx
M
。
a
b
a
1
b
此式表明
f(
x
)
dx
介于函数
f
(
x
)
的最大值
M
和最小值
m
之间。
a
b
a
由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间
[
a
,b
]
上至少存在一点
,
使得函数
f
(
x
)
在
点
处的值与这个数相等
,
即应该有
1
b
f
(
x
)
dx
f< br>(
)
，
b
a
a< br>成立
,
将上式两端乘以
b
a
即可得到
ﻩ< br>
命题得证。
b
a
f
(
x)
dx
f
(
)(
b
a
),
(
a
b
)
,
备注
1
：很显然
,
积分中值定理中公式
b
a
f
(
x
)
dx
f
(
)(
b
a
)
（
在
a
与
b
之间
)
不论a
b
或
a
b
都是成立的。
２
.2
积分第一中值定理
定理
2(
第一积分 中值定理
)
：
如果函数
f
(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]
上连续
,
g
(
x
)
在
(
a
,
b
)
上不变
号， 并且
g
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上是可积的
,
则在
[
a
,
b
]
上至少存在一点
,
使得
--
--
成立。
b
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
f
(
)
g
(
x
)
dx
,
(
a
< br>
b
)
a
b
证明
:
由 于
g
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上不变号，我们不妨假设
g
(
x
)
0
，并且记
f
(
x
)
在
[
a
,
b< br>]
上的最
大值和最小值为
M
和
m
，即
m
f
(
x
)
M
，将不等式两边同乘以
g
(
x
)
可知，此时对于任
意的
x
[
a
,
b
]
都有
mg
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
Mg
(
x
)
成立。对上式在
[
a< br>,
b
]
上进行积分，可得
m
g
(
x
)
dx
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
M
g
(x
)
dx
。
a
a
a
b
b< br>b
此时在
m
,
M
之间必存在数值
，使得< br>m
M
,
即有
成立。
b
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
g
(x
)
dx
a
b
由于
f
(
x
)
在区间
[
a
,
b
]
上是连续的，则在< br>[
a
,
b
]
上必定存在一点
,
使
f
(
)
成立。此
时即可得到
命题得证。
b
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
f
(
)
g
(
x
)
dx
，
a
b
2.3
积分第二中值定理
定理
3
（积分第二中值定理）：
如果函数
f
(
x
)
在闭 区间
[
a
,
b
]
上可积
,
而
g< br>(
x
)
在区间
(
a
,
b
)
上单调，则在
[
a
,
b
]
上至少存在一点
，使下式成立
b
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
g
(
a
)
f
(
x
)
dx
g
(
b< br>)
f
(
x
)
dx
（
2-
２
)
a
b
特别地， 如果
g
(
x
)
在区间
(
a
,
b< br>)
上单调上升且
g
(
a
)
0
,
那么存在
,
使下式成立
b
af
(
x
)
g
(
x
)
dx
< br>g
(
b
)
f
(
x
)
dx
(2-3
）
b
如果
g
(
x
)
在区间
(
a
,
b
)
上单调下降且g
(
b
)
0
,
那么存在
,
使下式成立
b
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
g
(
a
)
f
(
x
)
dx
(2-4)
a< br>
证明
:
由题设条件知
f
(
x
),
g
(
x
)
在区间
[
a
,
b
]上都是可积的
,
由积分性质可知
f
(
x
)
< br>g
(
x
)
也是可积的。我们先证明（
2-3)
式,
即在
g
(
x
)
非负、且在区间
(
a
,
b
)
上单调上升的情形下加
以证明。
对于（
2-4
）
式证明是类似的，
最后我们再将其推导到一般情形，
即可证明
（
2-2
）
--
--
式。
在区间
[
a
,
b
]
上取一系列分点使
a
x
0
x
1
[
x
i
x
i
1
]
x
i
1
x
i
[
x
i
x
i
1
]
x
n
b
,
记
x
i
x
i
x
i
1
,
其中
i
为
g
(
x
)
在
x
i
上的幅度，即
i
sup
{
g
(
x
)}
inf
{
g
(
x
)}
,
再将所讨论的积分作如下
改变
:将积分限等分为如下
n
等份，并且记
i
1
n
x
i
x
i
1
f
(
x
)[
g
(
x
)
g
(
x
i
)]
dx
,
g
(< br>x
i
)
i
1
n
x
i< br>x
i
1
f
(
x
)
dx
。
则
b
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
i
1
n
n
x
i
x
i
1
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
x
i
g
(
x
i
)
i
1
x
i
1
f
(
x
)
dx
i
1n
x
i
x
i
1
f
(
x)[
g
(
x
)
g
(
x
i< br>)]
dx
，
因为
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上可积
,
且区间
[
a
,
b
]
是有限的，
所以
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上有界
,
此时我们不
妨假设
f
(
x< br>)
L
。
估计
如下：
i
1
n
i
1
n
x
i
x
i
1
f
(
x
)[
g
(
x
)
g
(
xi
)]
dx
f
(
x
)
g
(
x
)
g
(
x
i
)
dx
n
x
i
x
i
1
f
(
x
i
)
i
1
n
x
i
x
i
x
i
1
g
(
x
)
g
(
x
i
)
dx
n
L
i
dx
L
i
x
i
i
1
x
i
1i
1
由于
g
(
x
)
可积
,
所以当
max
x
i
0< br>时
,
有
i
x
i
< br>0
,
从而有
lim
0
，
从而可 知
i
1
n
0
b
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
lim(
)
lim
lim
0
< br>0
0
lim
lim
g
(
x
i
)
0
0
i
1
b
n
x
ix
i
1
f
(
x
)
dx
< br>我们记
F
(
x
)
f
(
x
)
dx
，由于函数
f
(
x
)
在闭区间< br>[
a
,
b
]
上可积
,
那么函数
F< br>(
x
)
是
[
a
,
b
]
x< br>上的连续函数，并且有最大值和最小值
M
和
m
,
记为
m
F
(
x
i
)
M
，很显然< br>
--
--
从而
x
i
x< br>i
1
f
(
x
)
dx
F
(
x
i
1
)
F
(
x
i
)
，
F
(
x
0
)
F
(
b
)
0
,
g
(
x
i
)
i
1
n
n
x
i
x
i
1
f
(
x
)
dx
g
(
x
i
)
F
(
x
i
1
)
F
(
x
i
)
i
1
g
(
x
i
)
F
(
x
i
1
)
g
(
x
i
)
F
(
x
i
)
i
1
i
1
n
n
g
(
x
1
)
F
(
x
0
)
g
(
x
i
)
F
(
x
i
1
)
g
(
x
i
)
F
(
x
i
)
i
2
i
1
n
n
1
g
(
x
1
)
F
(
x
0
)
[
g
(
x
i
1
)
g
(
x
i
)]
F
(
x
i
)
i
1
n
1
因为
g
(x
)
是非负的，并且在区间
(
a
,
b
)
上单调上升
,
即有
g
(
x
1
)
g
(
x
0
)
g
(
a
)
0
、
g
(
x
i
1
)
g
(
x
i
)
0
成立，所以有下式成 立
m
{
g
(
x
1
)
g
(
x
i
1
)
g
(
x
i
)
}
M
{
g
(
x
1
)
g
(
x
i
1
)
g
(
x
i
)
}
。
i
1
i
1
n
1
n
1
即有
mg
(
b
)
Mg
(< br>b
)
成立。
从而可以得到
lim
g
(
b
)
,
其中
满足
m
M
。
由于函数
F
(
x)
连续，
则在
[
a
,
b
]
之间存在一 点
，使
F
(
)
f
(
x
)
dx
成立
,
从而有公式(2
－
3
）成立
,
即
b
成立
,(2
－３
)
式得证。
b
af
(
x
)
g
(
x
)
dx
< br>g
(
b
)
f
(
x
)
dx
b
对于
g
(
x
)
单调下降且
g
(
b
)
0
的情形即公式
(2-
４）的证明过程是类似的
,
证明略。
对于
g
(
x
)
是一般单调上升情形，我们作辅助函数
(
x
)
g
(
x
)
g
(
a
)
,
其中
为单调上
升且
(
a
)
0
,
此时公式（
2-3
）对于
(
x
)
是成立的，即存在
使
b
a
f
(
x
)
g
(
x
)
g
(
a
)
dx
g(
b
)
g
(
a
)
f
(
x
)
dx
b
成立，这就证明了公式（
2-2)
b
a
f< br>(
x
)
g
(
x
)
dx
g
(
a
)
f
(
x
)
dx
g
(
b
)
f
(
x
)
dx
。
a
b
--
--
对于
g
(
x
)
是一般单调下降的情形
,
此时应用公 式
(2-4)
，同样可得到（
2-2
）式，此命
题得证。
２．
4
几何形体上黎曼积分第一中值定理
定理４
(第一中值定理
):
若
f
(
M
)
在
< br>上黎曼可积
,
则存在常数
c
使得
证明
:
假设
f
(
M
)
d
c
(
的度量
)< br>
成立，这里的
c
介于
f
(
M
)
在
上的上确界和下确界之间。
sup
f
(M
)
M
,
inf
f
(
M
)
m
，
M
M
由命题可知
m
f
(
M
)
M
,
由积分性质，对不等式在
上进行黎曼积分可得
即有
md
f
(
M
)
d
Md
，
m
d
f(
M
)
d
M
d
，
其
中
d
为
几
何
形
体
的
度
量
。此
时
即
可
得
到
f(
M
)
d
是
介
于
m
(
的度量
)
和
M
(
的 度量
)
之间
,
从而有
f
(
M
)
d
c
(
的 度量
)
成立，其中
c
为位于
m
,
M之间的一个数
,
命题得证。
定理
5(
二重积分的中值 定理
)
：
假设函数
f
(
x
,
y
)
在闭区域
D
上连续，其中
是
D
的面
积， 则在
D
上至少存在一点
(
,
)
使得< br>
f
(
x
,
y
)
ds
f
(
,
)
D
成立。
证明：由于函数
f
(
x
,y
)
在闭区域
D
上连续，假设
f
(
x
,
y
)
在闭区域
D
上的最大值和最
小值分别为
M< br>,
m
,
即
m
f
(
x
,< br>y
)
M
。对不等式在区域
D
上进行二重积分可得< br>
mds
f
(
x
,y
)
ds
Mds
,
D
D
D
即
m
ds
f
(
x
,
y
)
ds
M< br>
ds
。
D
D
D
--
--
其中
ds
为闭区域
D
的面积
,
我们不 妨记
ds
。由上式还可得到
D
D
m
f
(
x
,
y
)
ds
M
。
D由于
0
,
将不等式除以
可得
m
f
(
x
,
y
)
ds
M
。
D
1
由于函数
f
(
x
,
y
)
在闭区域
D
上连续，则在D
上至少存在一点
(
,
)
使得
1
成立。将上式两边同乘以
即可得到
< br>f
(
x
,
y
)
ds
f
(
,
)
D
f
(
x
,
y
)
ds
f
(
,
)
,
D
从而命题得证。
定理
6
（
三重积分的中值定理
)
：
设函数
f
(
x
,
y
,
z
)
在空间闭区域
D
上 连续
,
其中
A
是
D
的
体积，则在
D
上至少存在一点
(
,
,
)
使得< br>
f
(
x
,
y
,
z
)
ds
f
(
,
,
)
A
D
成立。
证明
:
由 于函数
f
(
x
,
y
,
z
)
在闭区 域
D
上连续，假设
f
(
x
,
y
,
z
)
在闭区域
D
上的最大值和
最小值分别为
M
,< br>m
，即
m
f
(
x
,
y
,
z
)
M
。对不等式在区域
D
上进行三重积分可得
mds
f
(
x
,
y
,
z
)
ds
Mds
，
D
D
D
即
m
ds< br>
f
(
x
,
y
,
z
)
ds
M
ds
,
D
D
D
其中
ds
为闭区域
D
的体积，我们不妨记
ds
A
。由上式还可得到
D
D
m
A
f
(
x
,
y,
z
)
ds
M
A
。
< br>D
由于
A
0
，将不等式同除以
A
即可得到
m
1
f
(
x
,
y
,
z
)
ds
M
。
A
D
--
--
由函数
f
(x
,
y
,
z
)
在闭区域
D
上连续，则 此时在
D
上至少存在一点
(
,
,
< br>)
使得
1
f
(
x
,
y
,
z
)
ds
f
(
,
,
)
A
D
成立。将上式两边同乘以
A
即可得到
f
(
x
,
y
,
z
)
ds
f
(
,
,
)
A
,
D
命题得证。
３．
积分中值定理的推广
3.1
定积分中值定理的推广
定理
7(
推广的定积分中值定理）
：
如果函数
f
(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]连续，
则在开区间
(
a
,
b
)
至少存在一个点
,
使得下式
b
a
f
(x
)
dx
f
(
)(
b
a
),
(
a
b
)
--
--
成立。
证明：作辅助函数
F
(
x
)
如下：
F< br>(
x
)
f
(
t
)
dt
,
x
[
a
,
b
]
。
a
x
由于
f
(
x
)
在闭区间
[< br>a
,
b
]
连续，则
F
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上可微
,
且有
F
(
x
)
f
(
x
)
成 立。由微分
中
值
定
理
可
知
:
至
少
存
在
一
点
(
a
,
b
)
,
使
得
F
(
b
)
F
(
a
)
F
(
)(
b
a
)
成
立
。
并
且
有
F
(
b
)
f
(
t
)
dt
,
F
(
a
)
0
，此时即可得到下式
a
b
命题得证。
b
a
f< br>(
t
)
dt
f
(
)(
b
a
),
(
a
,
b
)
,
３
.2
定积分第一中值定理的推广
定理８
（推广的定积分第一中值定理
):
若函数
f
(x
)
是闭区间
[
a
,
b
]
上可积函数 ，
g
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上可积且不变号
,
则在开区间
(
a
,
b
)
上至少存在一点
,
使得
成立。
b
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
f
(
)
g
(
x
)
dx
,
(
a
,
b
)
a
b
证法
1
：由于函数
f
(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]
上是可积的< br>,
g
(
x
)
在
[
a
,
b< br>]
上可积且不变号，令
F
(
x
)
f
(
t
)
g
(
t
)
dt
，G
(
x
)
g
(
t
)dt
，
很
显
然
F
(
x
),
G
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上
连
续
。
并
且
a
a
x
x
F
(
a
)
0,
F
(
b
)
f
(
t
)
g
(
t
)
dt
，
G
(
a
)
0,
G
(b
)
g
(
t
)
dt
，< br>F
(
)
f
(
)< br>g
(
)
，
G
(
)< br>
g
(
)
。
a
a
b
b
由柯西中值定理即可得到
F
(
b
)
F
(
a
)
F
(
)
,
(
a
,
b
)
，
G
(
b
)
G
(
a
)
G
(
)
即
命题得证。
b
b
a
f
(< br>t
)
g
(
t
)
dt
a
b
a
g
(
t
)
dt
b
f
(
)
g
(
)
,
g
(
)
f
(
t
)
g
(
t
)
dt
f
(
)
g
(
t)
dt
,
(
a
,
b
)< br>，
a
证法
2:
由于函数
g
(
x< br>)
在
[
a
,
b
]
上可积且不变号
,
我们不妨假设
g
(
x
)
0
。而函数f
(
x
)
在
闭区间
[
a
,
b
]
上可积
,
我们令
m
inf
f
(
x
)
|
x
[
a
,
b
]
，
M
sup
f
(x
)
|
x
[
a
,
b
]
。
假设
F
(
x
)
是
--
--
f
(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]
上的一个原函数
,
即
F
(
x
)
f
(
x
),
x
[
a
,
b
]
。此时我们有下式成立
m
g
(
x
)
dx
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
M
g(
x
)
dx
(3-1)
a
a
a
b< br>b
b
由于
g
(
x
)
0
,
则有
g
(
x
)
dx
0
，以下我们分两种情形来进行讨论
:
a
b
[1]
如果
g
(
x
)
dx
0
，由（
3-1 )
式可知
f
(
x
)
g
(
x)
dx
0
，则此时对于
(< br>a
,
b
)
a
a
b
b
有
成立。
b
b
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
0
f
(
)
g
(
x
)
dx
a
b
[2
］ 如果
g
(
x
)
dx
0
，将（
3-1
）式除以
g
(
x
)
dx
可得
a
a
b
m
我们记
b
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
b
a
g
(
x
)
dx
M
，（
3-2)
b
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
b
,(3
－
3)
a
g
(
x
)
dx
此时我们又分两种情形继续进行讨论：
i
如
果< br>（
3-2)
式中
的
等
号
不
成
立,
即
有
m
b
a
f
(
x)
g
(
x
)
dx
b
a
g< br>(
x
)
dx
M
成
立
,
则
此
时
存在
m
M
，使得
m
f
(
x
1
)
,
f
(
x
2
)
M,
我们不妨假设
x
1
x
2
,
其中
x
1
,
x
2
[
a
,
b
]
。因为
F
(
x
)
f
(
x
)
，
x
[
a
,
b
]
，则有
F
(
x
1
)
< br>f
(
x
1
)
f
(< br>x
2
)
F
(
x
2
)< br>。
此时至少存在一点
(
x
1
,
x
2
)
，使得
F
(
)
f
(
)
,
即有
< br>
b
a
f
(
x
)
g
(
x< br>)
dx
f
(
)
g
(
x
)
dx
,
(
x
1
,
x
2
)
[
a
,
b
]
a
b
成立
,
从而结论成立。
ii< br>如果（３
-2
）式中仅有一个等号成立，不妨假设
M,
因为
g
(
x
)
dx
0
，此时必
a
b
存在
[
a
1
,
b< br>1
]
(
a
,
b
)
(
其中
a
1
b
1
）
,
使得
x
[
a
1
,
b
1
]
,
恒有
g
(
x
)
0
成立，
我们则可将(3-3
）
式
--
--
可改写为
g
(
x
)
dx
f< br>(
x
)
g
(
x
)
dx
，
a
a
b
b
因为
M
，则有
b
1
b
a
[
M
f(
x
)]
g
(
x
)
dx
0
（
3
－４）
又注意到
[
M
f
(
x
)]
g
(
x
)
0
，必有
0
[
M
f
(x
)]
g
(
x
)
dx
[
M
f
(
x
)]
dx
0
。
a
1
a
b
于是
b1
a
1
[
M
f
(
x
)]< br>g
(
x
)
dx
0
（
3-5
）
下证必存在
[
a
1
,
b
1
]
(
a
,
b
)
,
使
f
(
)
M
。
若不然
,
则在
[
a
1
,
b
1]
上恒有
M
f
(
x
)
0
及
g
(
x
)
0
成立
,
从而
[
M
f
(
x
)]
g
(x
)
0
。如果
b
1
a
1
[
M
f
(
x
)]
g
(
x
)
dx
0
，
由
达
布
定
理
在
[
a
1
,
b
1
]
上
有
[
M
f
(
x
)]
g
(x
)
0
，
这
与
[
M
f(
x
)]
g
(
x
)
0
矛盾 。
如
果
b
1
a
1
[
M
f
(
x
)]
g
(
x
)
dx
0
,
这
与
（
3
－５
）
式
矛
盾
。
所
以
存
在
[
a
,
b
]
,
使
b
b
a
f
(
x
)
g
(
x)
dx
f
(
)
g
(< br>x
)
dx
,
(
a
,
b
)
,
定理证毕。
a
３
.
３
推广定积分第二中值定理
定理９
(
推广定积分第二中值定理
):
如果函数
f
(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]
可 积，
g
(
x
)
在区间
[
a
,
b< br>]
上可积且不变号，则在
(
a
,
b
)
上必存 在一点
，使得
成立。
b
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
g
(
a
)
f
(
x
)
dx< br>
g
(
b
)
f
(
x
)< br>dx
,
(
a
,
b
)
a
c
c
b
证明过程详见参考文献
[
９
]< br>。
3
．
4
第一曲线积分中值定理
定理
10
（第一型曲线积分中值定理
)
：
如果函 数
f
(
x
,
y
)
在光滑有界闭曲线
C上连续，
则在曲线
C
上至少存在一点
(
,
)
,
使
成立
,
其中
S
为曲线
C
的弧长。
C
f
(
x
,
y
)
ds
f
(
,
)S
--
--
证
明
:
因为函数
f
(
x
,
y
)
在光滑有界闭曲线
C
上连续， 所以存在
m
,
M
R
，其中
m
f
(
x
,
y
)
M
,
对不等式在 闭曲线
C
上进行第一类曲线积分可得
m
ds
f
(
x
,
y
)
ds
M
ds
，
C
C
C
其中
ds
为曲线
C
的弧长，并且
ds
S
,
由于
S
0
,
将上式同除以常数
S
,
即可得到
C
C
m
1f
(
x
,
y
)
ds
M
,
S
C
由于函数
f
(
x
,
y)
在曲线
C
上连续，故由闭区间上连续函数的介值定理，在曲线
C
上至
少存在一点
(
,
)
，使
f
(
,
)
1
f
(x
,
y
)
ds
C
S
成立
,
左右两边同除以常数
S
，即可得到结论，从而命题得证。
3
．
5
第二曲线积分中值定理
定理
11(第二型曲线积分中值定理
):
如果函数
f
(
x
,
y
)
在光滑有向曲线
C
上连续
,
则在
曲线
C
上至少存在一点
(
,
)
，使得
定的。
C
f
(
x
,
y
)
dx
f
(
,
)
I
成立。其中
I
为光滑有向曲线
C
在x
轴正向上的投影
,
其中符号“
”是由曲线
C
的方向确
证
明
：
因
为
函
数
f
(
x
,
y
)
在
有
界
闭
曲
线
C
上
连
续
,
所
以
存
在
m
,
M
R
，
其
中
m
f
(
x
,
y
)
M
,
对上式进行第 二型曲线积分可得
m
dx
f
(< br>x
,
y
)
dx
M
dx
（
3-6
）
c
C
c
其中
dx
为有向光滑曲线
C
在
x
轴上的投影，此时我们不妨记
dx
I
，并且分以下两种
c
c
情况进行讨 论：
[1]
假设
dx
I
,
将
(3-
６
)
式除以
I
可得
c
m
1
f
(
x
,
y
)
dx
M
。
I
C
因为
f
(x
,
y
)
在
C
上连续
,
故由介值定理
,
则在曲线
C
上至少存在一点
(
,
< br>)
，使
1
f
(
x
,
y
)
dx
f
(
,
)
I
C
--
--
成立
,
即有
成立。
C
f
(
x
,
y
)
dx
f
(
,
)
I
[
２
]
同理当
dx
I
，式左右两边同时除以
I
可得
c
M
1
f
(
x
,
y
)
dx
m
,
I
C
因为< br>f
(
x
,
y
)
在
C
上连续，故由介 值定理，则在曲线
C
上至少存在一点
(
,
)< br>,
使
1
f
(
x
,
y< br>)
dx
f
(
,
)
I
C
成立
,
即有
成立，由上面证明过程可得
C
f
(
x
,
y
)
dx
f
(
,
)
I
命题得证。
C
f
(
x
,
y
)
dx
f
(
,
)
I
，
3.6
第一曲面积分中值定理
定理
12
（第一型曲面积分中值定理）：
设
D
为
xoy
平面上的有界闭区域
,
其中< br>z
z
(
x
,
y
)
为光滑曲面S
，并且函数
f
(
x
,
y
,
z
)
在
S
上连续，则在曲面
S
上至少存在一点
(
,
,
)
，使
f
(
x
,
y
,
z
)
d
f
(
,
,
)
A
S
成立，其中
A
是曲面
S
的面积。
证明：因为
f
(
x
,
y
,
z
)
在 曲面
S
上连续，所以存在
m
,
M
R
且使 得
m
f
(
x
,
y
,
z
)
M
成
立，我们对上式在
S
上进行第一类曲面积分可得< br>
m
d
f
(
x
,
y
,
z
)
d
M
d
,
S
S
S
其中
d
为曲面的面积，且
d
A,
因为
A
0
,
两边同除以
A
有
S
S
m
1
f
(
x
,y
,
z
)
d
M
,
A< br>
S
由于
f
(
x
,
y
,
z
)
在曲面
S
上连续，故由介值定理
,
在曲面
S< br>上至少存在一点
(
,
,
)
,
使
--