对数平均数不等式链的几何证明及变式探究
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 03:12
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对数平均数不等式链的几何证明及变式探究
中学数学教育专家 安振平在剖析
2013
年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是：
设< br>b
>
a
>
0
，则
b
>
a
+
b
b
-
a
>
>
2
ln
b
-
ln
a
ab
>
2
1
1
+
ab
>
a
，其中
a
b
被称为“对数
l n
a
ln
b
平均数”
.
安振平老师通过构造函 数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大
.
基于此，笔者进
行了深入 的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解
.
1
对数平均数不等式链的几何证明
如图，先画反比例函数
f
x
1
x
0
的图象， 再画其他的辅助线，其中
AP
BC
TU
KV
，
x
1
1
1
.
设
函
数
f
x
在
点
MN
CD
x
轴
，
A
a
,0
,
P
a
,
,
B
b
,0
,
Q
< br>b
,
,
T
ab
,
a
b
ab
a
b
2
K
,
处的切线分 别与直线
AP
,
BQ
交于点
E
,
F
，则根 据左图可知：
2
a
b
因为
S
曲边梯形
ABQP
所以
>
S
梯形
A BFE
=
S
矩形
ABNM
，
ò
b
a
1
2
dx
=
ln
b
-
ln
a
>
(
b
-
a
)
.
①
x
a
+
b
因为
S
曲边梯形< br>AUTP
=
ò
ab
a
1
1
1
dx< br>=
ln
ab
-
ln
a
=
(
lnb
-
ln
a
)
=
S
曲边梯形
ABQP
，
2
2
x
1
骣
1
ç
S
梯形
AUTP
=
ç
+
2
ç
桫
a< br>
1
÷
1
b
-
a
ab
-
a
=
?
÷
÷
2
ab
ab
(
)
1
S
，
2
梯形
ABCD
1
而根据右 图可知：
S
曲边梯形
AUTP
<
S
梯形
AUTP< br>，所以
ln
b
-
ln
a
<
另外，根据
S
矩形
ABQX
b
-
a
.
②
ab
<
S
曲边梯形
ABQP
<
S
梯形
ABQP
<
S
矩形
ABYP
，可得：
1
1
骣
1
1
÷
1
+
b-
a
<
(
b
-
a
)
<
ln< br>b
-
ln
a
<
ç
(
)
(
b
-
a
)
.
③
÷
ç
÷
ç
桫
b
2
a
b
a
综上，结合重要不等式可知：
2
(
b
-
a
)
1
b
-
a
1
骣
1
1
÷
1
<
ln
b
-
ln
a
<< br><
ç
+
b
-
a
<
(
b
-< br>a
)
<
(
)
(
b
-
a
)< br>，
÷
ç
÷
ç
桫
b
a
+< br>b
2
a
b
a
ab
即
b
>
a
+
b
b
-
a
>
>
2
ln
b
-
ln
a
ab
>
2
1
1
+a
b
>
a
(
b
>
a
>
0)
.
④
2
对数平均数不等式链的变式探究
近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层 出不穷，如
2010
年湖北卷、
2012
年天津、
2013
年新课标Ⅰ、
2014
年陕西卷、
2014
福建预赛、
2014年绵阳一、三诊、
2015
合肥最后一卷等等，因此关注
对数平均数不等式链的变 式探究是十分必要的
.
为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式
a< br>+
b
b
-
a
>
，记为①式；将
2
l n
b
-
ln
a
b
-
a
>
lnb
-
ln
a
ab
，记为②式；将
b
>
b
-
a
2
>
，记为③式
.
ln
b
-
ln
a
1
1
+
a
b
x
1
x
2
x
2
x
1
.
于是， 可编制如下试题：已知
2
ln
x
2
ln
x
1
变式探究
1
：
取
a
x
1
,
b
x
2
，则由①知：
x
2
x
1
0
，求证：
ln
x
2
< br>ln
x
1
2(
x
2
x
1
)
.
x
1
x
2
x
2
x
1
x
1
x
2
.
于是，可 编制如下试题：已知
ln
x
2
ln
x
1
变式探究
2
：
取
a
x
1
,
b< br>
x
2
，则由②知：
x
2
x
1< br>
0
，求证：
ln
x
2
ln
x< br>1
x
2
x
1
.
x
1
x
2
x
2
x
1
2
.
于 是，可编制如下试题：已
ln
x
2
ln
x1
1
1
x
1
x
2
变式探究
3
：
取
a
x
1
,
b
x
2
，则由③知：
x
2
x
1
x
2
2
x
1
2
知
x
2
x
1
0
，求证：
1
.
l n
x
2
ln
x
1
x
2
2
x
1
x
2
2