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2021年01月28日 03:12
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数学
均值不等式
被称为均值不等式。
·
即调和 平均数不超过几何平均数，几何
平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为
“
调几算方
”
。
其中：
，被称为调和平均数。
，被称为几何平均数。
，被称为算术平均数。
，被称为平方平均数。
一般形式
设函数
时），有
时，
。
（当
r
不等于< br>0
时）；
（当
r=0
可以注意到，
Hn≤Gn≤An≤Qn< br>仅是上述不等式的特殊情形，即
。
特例
⑴
对实 数
a,b
，有
当
a=-b
时取
“=”
号）
⑵
对非负实数
a,b
，有
⑶
对非负实数
a,b，有
⑷
对实数
a,b
，有
⑸
对非负实数
a,b
，有
⑹
对实数
a,b
，有
，即
（当且仅当
a=b
时取
“=”
号 ），
（当且仅
⑺
对实数
a,b,c
，有
⑻
对非负数
a,b
，有
⑼
对非负数
a,b,c
，有
在几个特例中，最著名的当属算术
—
几何均值不等式（
AM- GM
不等式）：
当
n=2
时，上式即：
当且仅当
时，等号成立。
根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即
。
排序不等式
基本形式：
排序不等式的证明
要证
只需证
根据基本不等式
只需证
∴
原结论正确
棣莫弗定理
设两个复数
（用三角形式表示）
复数乘方公式：
.
，
则：
圆排列
定义
从
n
个不 同元素中不重复地取出
m
（
1≤m≤n
）个元素在一个圆周上，叫做这
n
个不同
元素的圆排列。
如果一个
m-
圆排列旋转可以得到另一个
m-
圆排列，
则认为这两个圆排列相
同。
计算公式
n
个不同元素的
m-
圆排列个数
N为：
特别地，当
m=n
时，
n
个不同元素作成的圆排列总数N
为：
。
费马小定理
费马小定理
(Fermat Theory)
是数论中的一个重要定理，其内容为：
假如
p
是质数，且
(a,p)=1
，那么
a(p-
1)≡1
（
mod p
）。即：假如
a
是 整数，
p
是质数，且
a,p
互质
(
即两者只
有一个 公约数
1)
，那么
a
的
(p-1)
次方除以
p的余数恒等于
1
。
组合恒等式
组合数
C( k,n)
的定义：从
n
个不同元素中选取
k
个进行组合的个数。
基本的组合恒等式
nC(k,n)=kC(k-1,n-1)
C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)
∑C(i,n)=2^n
∑[(
-1)^i]*C(i,n)=0
C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)
（这个性质叫组合的【聚合性】）
< br>C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)
-C( k+1,n)
C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-< br>2,m)+……+C(p
-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=
C(p ,m+n)
韦达定理
逆定理
如果两数
α
和
β
满足如下关系：
α+β=
的根。
通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。
[5]
< br>，
α·β=
，那么这两个数
α
和
β
是方程
推 广定理
韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元
n
次方程
根与系数的关系。
定理：
设
（
i=1
、
2
、
3
、
……n
）是方程：
的
n
个根，记
k
为整数），则有：
。
[
实系数方程虚根成对定理：
实系数一元
n
次方程的虚根成对出现， 即若
z=a+bi(b≠0)
是方程的一个根，则
=a-bi
也
是一 个根。
无穷递降法
无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为：
假设方程有解，并设
X
为最小的解。
从
X
推出一个更小的解
Y
。
从而与
X
的最小性相矛盾。所以，方程无解。
孙子定理
又称中国剩余定理，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：
有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明：
假设整数
m1,m2, ... ,mn
两两互质，
则对任意的整数：
a1,a2, ... ,an
，
方程组
有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
设
是整数
m1,m2, ... ,mn
的乘积，并设
是除了
mi
以外的
n- 1
个整数的乘积。
设
为
模
的数论倒数
：方程组< br>的通解
形式
：
在模
的意义下，方程组
只有一个解：
同余
同余 公式也有许多我们常见的定律
,
比如相等律
,
结合律
,
交换 律
,
传递律
….
如下面的表
示
:
1)a≡a(mod d)
2)a≡b(mod d)→b≡a(mod d)
3)(a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)
如果
a≡x(mod d),b≡m(mod d),
则
4)a+b≡x+m
（
mod d
）
其中
a≡x (mod d)
，
b≡m(mod d)
5)a-
b≡x
-m (mod d)
其中
a≡x (mod d),b≡m (mod d)
6)a*b≡x*m (mod d )
其中
a≡x (mod d),b≡m (mod d)
7
）
a≡b
（
mod d
）则
a-b
整除
d
欧拉函数
φ函数的值
通式：φ
(x)=x(1-1/p1)(1-1/p 2)(1-1/p3)(1-1/p4)
…
..(1-1/pn),
其中
p1 ,
p2
……
pn
为
x
的所有质因数，
x
是不为
0
的整数。φ
(1)=1
（唯一和
1
互质的数
(
小于等于
1)
就是
1
本身）。
(
注 意：每种质因数只一个。比如
12=2*2*3
那么φ（
12
）
=1 2*
（
1-1/2
）
*(1-1/3)=4
若
n
是质数
p
的
k
次幂，
φ(n)=p^k
-p^(k-1)= (p-1)p^(k-1)
，因为除了
p
的倍数外，其他
数都跟
n< br>互质。
设
n
为正整数，以
φ(n)
表示不超过
n
且与
n
互
素的正整数的个数，称为
n
的欧拉函数值，这里函数
φ
：
N→N
，
n→φ(n)
称为欧拉函数。
欧拉函数是积性函数
——
若
m,n
互质，
φ(mn)=φ(m) φ(n)
。
特殊性质：当
n
为奇数时，
φ(2n)=φ(n),
证明与上述类似。
若
n
为质数则
φ(n)=n
-1
。
格点
定义
数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点
(lattice point)
或整点。
性质
1
、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
2
、格点关于格点的对称点为格点。
3
、格点多边形面积公式（坐 标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也
有格点多边形的概念。）设某格点多边形内部有 格点
a
个，格点多边形的边上有格点
b
个，
该格点多边形面积为S
，
则根据皮克公式有
S=a+b/2-1
。
4
，格点正多边形只能是正方形。
5
，格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。
三面角
定义
三面角：由三个面构成的多面角称为三面角，如图中 三面角可记作
∠
O-ABC
。
特别地，三个面角都是直角的三面角称为直三面角。
三面角的补三面角：
由 三条自已知三面角定点发出的垂直于已知三面角的三个平面的射
线组成的三面角叫做已知三面角的补三面 角。
性质
1
、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。
2
、三面角的三 个二面角的和大于
180°
，小于
540°
。
设三面角< br>∠
O-ABC
的三个面角
∠
AOB
、
∠
BO C
、
∠
AOC
所对的二面角依次为
∠
OC
，
∠
OA
，
∠
OB
。
三面角相关定理