(完整版)导数的概念及导数的几何意义
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 03:14
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§
57
导数的概念及导数的几何意义⑴
【
考点及要求< br>】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的
几何意义。
【
基础知识
】
1
．一般地，函数
f
(< br>x
)
在区间
[
x
1
,
x
2
]
上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间
上平均变化的趋势（变化快慢）
，或说在某个区间上曲线陡峭的程度；
2
．
不妨设
P
(
x
1
,
f
(
x
1
)),
Q
(
x
0
,
f
(
x
0
))
，则割 线
PQ
的斜率为，
设
x
1
－
x
0
=
△
x
，则
x
1
=
△
x
＋
x
0
，∴
k
PQ
，当点
P
沿着曲线向点
Q
无限靠近时，割线
PQ
的
斜率就会无限逼 近点
Q
处切线斜率，
即当△
x
无限趋近于
0
时，< br>k
PQ
限趋近点
Q
处切线。
3
．曲线上任一点
(x
0
，
f(x
0
))
切线斜率的 求法：
k
f
(
x
0
x)
f
(
x
0
)
无
xf
(
x
0
x
)
f(
x
0
)
，当
x
△
x< br>无限趋近于
0
时，
k
值即为
(x
0
，
f(x
0
))
处切线的，记为．
4
．
瞬时速度 与瞬时加速度：
位移的平均变化率：
s
(
t
0
t
)
s
(
t
0
)
，
称 为；
当无限趋近于
0
时，
t
s
(
t< br>0
t
)
s
(
t
0< br>)
无限趋近于一个常数，这个常数称为
t=t
0
时的；速度的平均变化 率：
t
v
(
t
0
t
)
v
(
t
0
)
v
(
t
0
t
)
v
(
t
0
)
，当无限趋近于
0
时，
无限趋近于一个常数，这个常数
t
t
称为
t=t
0
时的．
【
基础练习
】
1
．已知函数
f
(
x
)
ax
在区间
[1,2]
上的平均变化率为
,
则
f
(
x
)
在区间
[-2,-1]
上的 平均变化率
为
．
2
．
A
、
B
两船从同一码头同时出发
,A
船向北
,B
船向东
,
若
A
船的速度为
30km/h,B
船的速度为
40km/ h,
设时间为
t,
则在区间
[t
1
,t
2
]
上
,A,B
两船间距离变化的平均速度为
____ __ _
【
典型例题讲练
】
例
1
．已知函数
f(x)=2x+1,
⑴分别计算在区间
[-3
，
-1]
，
[0
，
5]
上函数
f( x)
的平均变化率；
⑵
.
探求一次函数
y=kx+b在区间
[m
，
n]
上的平均变化率的特点；
练习：< br>已知函数
f(x)=x
2
+2x
，分别计算
f(x)
在下列区间上的平均变化率
;
⑴
[1
，
2]
；
⑵
[3
，
4]
；
⑶
[
－
1
，
1]
；
⑷
[2
，
3]
【
课堂检测
】
1
．求函数
y
f
(
x
)
2< br>1
在区间
[1,1+
△
x]
内的平均变化率
x
2
．试比较正弦函数
y=sinx
在区间
0,
和
,
上的平均变化率，并比较大小。
6
3
2
§
58
导数的概念及导数的几何意义⑵
【
典型例题讲练
】
例
2
．
自由落体运动的物体的位移
s
（单位
:s
）与时间
t
（单位：
s
）之间的关系是：
s(t)=
是重 力加速度
)
，求该物体在时间段
[t
1
，
t
2]
内的平均速度；
练习：自由落体运动的位移
s(m)
与时间
t(s)
的关系为
s=
1
2
gt
(g
2< br>1
2
gt
2
(1)
求
t=t
0< br>s
时的瞬时速度；
(2)
求
t=3s
时的瞬时速度；
(3)
求
t=3s
时的瞬时加速度；
例
3
．已知
f(x)=x
2
，求曲线在
x=2
处的切线的斜率。
练习
:1
．
曲线
y=x
3
在点P
处切线斜率为
k,
当
k=3
时
,P
点的坐标 为
_________
．
2
．若曲线
y
x
的一条切线与直线
x
4
y
8
< br>0
垂直，则的方程为．
3
．曲线
y
2< br>
4
1
2
1
x
与
y
x< br>3
2
在交点处切线的夹角是
____ __
．
2
4
1
2
4
．
已知函数
f
(x
)
2
x
3
x
2
m
（为常数）
图象上处的切线与
x
y
3< br>
0
的夹角为，
则点的
横坐标为
.
5
．曲 线
y
=
x
3
在点
(1
，
1)
处的 切线与
x
轴、直线
x
=2
所围成的三角形的面积为
____ ______
．
6
．过曲线
y
x
< br>x
1
上一点
P
的切线与直线
y
4
x
7
平行，则
P
点的坐标为．
例< br>4
．求
f
(
x
)
3
1
过 点
(1,1)
的切线方程
2
x
练习：过点
P(
1
,
2
)
且与曲线
y
3
x
2
4
x
2
在点
M
(
1
,
1
)
处的切线平行的直线方程是
__
_ ___.
【
课堂小结
】
【
课堂检测
】
1
．求曲线
y
x
3
x
1
在点（
1
，－
1< br>）处的切线方程
3
2
，
f
(
1 ))
处的切
2
．已知函数
f
(
x
)
x
bx
ax
d
的图象过点
P< br>（
0
，
2
）
，且在点
M
(
1
线方程为
6
x
y
7
0
．求函数
y
f
(
x
)
的解析式；
3
．已知曲线
f
(
x
)
【
课堂作业
】
3
3
2
x
上的一点
P(0, 0)
的切线斜率是否存在
?
说明理由
3
1
．与直 线
y
4
x
1
平行的曲线
y
x
x
2
的切线方程是
__ _ ___.
2
．设曲线
y=
1
1
和曲线
y=
在它们交点处的两切线的夹角为，则
tan
的值为
_ _ __.
x
x
2
3
．若直线
y=
是曲线< br>y
x
3
3
x
2
ax
的切线，则α
=.
4
．求曲线
y
x
(
x
1
)(
x
2
)
在原点处的 切线方程
.
§
59
导数的运算（
1
）
【
考点及要求
】理 解导数的运算，能根据导数的定义，求函数
y
c
,
y
< br>x
,
y
x
,
y
导数；能利用导 数数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
【
基础知识
】
1
．基本初等函数的求导公式：
2
1
的
x
x
；
(
x
)
，
（α为常数）
；
(
a
)
，
(
a
0
,
a
1
)
(
C
)
，
( log
a
x
)
=
，
(
a
0
,
a
1
)
；
注：< br>当
a=e
时，
(e
)
，
(ln x
)
，
x
(sinx
)
，
(cosx
)
；
2
．
法则
1
两个函数的和
(
或差)
的导数，等于这两个函数的导数的，即
< br>[
u
(
x
)
v
(
x
)]
'
．
法则
2
常数与函数的积的导数，等于常数与函数的
．
法则
3
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即
(
u
(
x
)
v
(
x
)
)
．
法则
4
两个函数的商的导数，等于，即
u
(x
)
(
v
(
x)
0
)
．
v
(
x
)
【
】
基础练习
1
．求下列函 数导数．
（
1
）
y
x
5
（
2
）
y
4
（
3
）
y
x
x
x
x
（
4
）
y
log
3
x
（
5
）
y
1
(
x
0
，
a
0
，
a
，
x
1
)
1
log
x
(
)
a
（
6
）
y=sin(
+x)
(7) y=sin
（
8
）
y=cos(2
π－
x)
（
9
）
y=
f
(1)
2
3
【
典型例题讲练
】
例
1
求下列函数的导数
（
1
）
y
x
sin
x
；
（
2
）
y
(2
x
3)(3
x
2)
；
(
两种方法
)
3
2
x
2
（
3
）
y
5
x
sin
x
2x
cos
x
9
；
（
4
）
y
=
；
.
sin
x
10
练习：
(1)求
y
=
1
x
3
在点
x
=3
处的导数
.
(2)
求
y
=
·
cos
x
的导数
.
x
2
3
x