【高考数学】对数平均不等式
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 03:18
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群：
464397488
对数平均不等式
a
b
a
b
a
b
ab
其中
1.
定义：
设
a
,
b
0,
a
b
,
则
被称为
对数平均数
ln
a
ln
b
2
ln
a
ln
b
2.
几何解释：
反比例函数
f
x
1
x
0
的图象，如图所示，
AP
BC
TU
KV
x
，
1
1
1
MN
CD
x
轴，
A
a
,0
,
P
a
,
,
B
b
,0
,
Q
b
,
,
T
ab
,
,
作
f
x< br>
在点
a
b
ab
a
b
2
K
,
处的切线分别与
AP
,
BQ
交于
E
,
F
，根据左图可知，
2
a
b
因为
b
S
曲边梯形
ABQP
>
S
梯形
ABFE
=
S
矩形
ABNM
，所以
1
2
dx
=ln
b
-
ln
a
>
(
b
-
a
)
,
①
x
a
+
b
ò
a
又
S
曲边梯形
AUTP
=
ò
ab
a
1
dx=
ln
ab
-
ln
a
，
x
1
1
=
(
ln
b
-
ln
a
)=
S
曲边梯形
ABQP
，
2
2
S< br>梯形
AUTP
1
骣
1
=
ç
+
çç
2
桫
a
1
÷
÷
ab
÷
(< br>ab
-
a
=
)
1
b
-
a
?
2
ab
1
S
梯形
ABCD
，
2
根据右图可知，
S
曲边梯形
AUTP
<
S
梯形
AUTP
，所以
ln
b
-
ln
a
<
b
-< br>a
，
②
ab
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群：
464397488
< br>另外，
S
矩形
ABQX
<
S
曲边梯形
ABQ P
<
S
梯形
ABQP
<
S
矩形
ABYP< br>，可得：
1
1
骣
1
1
÷
1
+
b
-
a
<
(
b
-
a
)
<
ln
b
-
ln
a
<
ç
(
)< br>(
b
-
a
)
,
③
÷
ç
÷
ç
桫
b
2
a
b
a
综上，结合重 要不等式可知：
2
(
b
-
a
)
1
b
-
a
1
骣
1
1
÷
1
<
ln
b
-
ln
a
<
<
ç
+
b< br>-
a
<
(
b
-
a
)
<
(< br>)
(
b
-
a
)
，即
÷
ç
÷
ç
桫
b
a
+
b
2
a
b
a
ab
b
>
a
+
b
b
-
a
>
>
2
ln
b
-
ln
a
ln< br>a
ln
b
ab
>
2
1
1
+
a
b
>
a
(
b
>
a
>
0
)
.
④
等价变形：
2
(
a
b
)
.(
a
b
0
)
a
b
a
b
.(
a
b
0
)
b
a
ln
a
ln
b< br>
3.
典例剖析
对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径 ，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数
平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需 要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．
（一）
b
>
b
-
a
>
a
(
a
>
0
)
的应用
ln
b
-
ln
a
例
1
（
2014
年陕西）
设函数
（
1
）（< br>2
）（略）
（
3
）设
n
N
，比较
g
解析
（
3
）因为g
f
(
x
)
ln(
1
x
)
，
g
(
x
)
xf
(
x
)
其中
f
(
x
)
是
f
(
x
)
的导函数．
g
n
与
n
f
n
的大小，并 加以证明．
1
g
2
x
，
1
x
1
2
2
3
x
所以
g
1
g
2
g
n
n
1
1
n
n
1
2
3
1
，
n
1
而
n
需比较
f
n
n
ln
n
1
，因 此，比较
g
1
g
2
< br>
1
1
1
与
ln
n
1
的大小即可．
2
3
n
1
g
n
与
n
f
n
的大小，即只
根据
b
>
a
>
0
时，
b
>
1
b
-
a
，即
(
b
-
a
)
<
ln< br>b
-
ln
a
,
b
ln
b
-
ln
a
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群：
464397488
1
<
ln
(
n
+
1
)
-
ln
n
,
令
a
=
n
,
b
=
n
+
1,
则
n
+
1
11
ln
2
ln1
ln
2
所以
，
ln
3
ln
2
，
2
3
将以上各不等式左右两边相加得：
,
1
ln(
n
1)
ln
n
，
n
1
1
1
2
3
1
ln
n
1
，
n
< br>1
故
g
1
g
2< br>
g
n
n
< br>f
n
.
评注
本题是高考 试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，
用于下问，其第二 问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这
里应用对数平均数 不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．
当
b
>a
>
0
时，
b
-
a
1
>
a< br>，即
ln
b
-
ln
a
<
(
b
-
a
)
,
令
a
=
n
,
b
=
n
+
1,
ln
b
-
ln
a
a
则
ln
(
n
+
1
)
-
ln
n
<
1
1
1
1
,
可得：
ln
(
n
+
1
)
<
1
+
+
+
L
+
.
n
2
3
n
（二）
a
2
+
b
2
b
-
a
>
(
b
>
a
>
0
)
的应用
2
ln
b
-
ln
a
例
2
设数列
a
n
的通项
a
n
1
n
n
1
1
，其前< br>n
项的和为
S
n
，证明：
S
n
l n
n
1
．
解析
根据
b
>
a
>
0
时，
a
2
+
b
2
b
-
a
>
，即
ln< br>b
-
ln
a
>
2
ln
b
-
ln
a
2
(
b
-
a
)
a
+
b
2
2
2
，
令
b
=
n
+
1,
a
=
n
,
则
ln
(< br>n
+
1
)
-
ln
n
>
2
n
+
(
n
+
1
)
2
2
=
2
n
+
2
n
+
1
2
>
2
2
n
+
2
n
+
2
2
>
a
n
，易证
S
n
ln
n
1
．
（三）
a
+
b
b
-
a
>
(
b
>
a
>
0
)
的应用
2
ln
b
-
ln
a
1< br>1
a
1
a
例
3.
设数列
n
的通项
n
2
3
< br>1
，证明：
a
n
ln
2
n
1
．
n
2
(
b
-a
)
a
+
b
b
-
a
>
解析< br>
根据
b
>
a
>
0
时，
，即
ln
b
-
ln
a
>
，
a
+
b
2
ln
b
-
ln
a