2020年高考理科数学《排列组合》题型归纳与训练
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2021年01月28日 05:02
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2020
年高考理科数学《排列组合》题型归纳与训练
【题型归纳】
例
1
某校开设
A
类选修课
2
门，
B
类选修课
3
门，一位同学从中选
3
门． 若要求两类课程中
各至少选一门，则不同的选法共有
A
．
3
种
B
．
6
种
C
．
9
种
D
．
18
种
【答案】
C
.
【解析】
可分以下
2
种情况：①
A
类选修课选
1
门，
B
类选修课选
2< br>门，有
的选法；②
A
类选修课选
2
门，
B
类 选修课选
1
门，有
2
1
C
2
C
3
3
1
C
2
C
3
2
6
种不同
种不同的选法．所以根据分
类计数原理知不同的选法共有
6+3=9
种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共
有
9
种．故 选：
C
【易错点】
注意先分类再分步
【思维点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：
A
类选修课选
1
门，
B
类选修课选
2
门；
A
类选修课选
2
门，
B
类选修课选
1
门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果
.
题型二
特殊元素以及特殊位置
例
1
将
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
F
六个字母排成一排，且
A
,
B
均在
C
的同侧， 则不同的排法有（
）种
.
（用数字作答）
【答案】
480
【解析】
考虑到
A
,
B
,
C
要求有顺序地排列，
所以将这三个字母当作特殊元素对待。< br>先排
D
,
E
,
F
3
120
种排法；再考虑
A
,
B
,
C
的情况：
C
在最左端有
2
种排法，最右端也是
2
三个字母，有
A
6种排法，所以答案是
120
4
480
种
.
【易错点】
注意特殊元素的考虑
【思维点拨】
对于特殊 元素与特殊位置的考量，需要瞻前顾后，分析清楚情况，做到
“
不重复
不遗漏
”
；如果情况过于复杂，能够考虑列举法，虽然形式上更细碎一些，但是情况分的越多
越细微， 每种情况越简单，准确度就越高
.
题型三
捆绑型问题以及不相邻问题
例
1
由
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
组成没有 重复数字且
1
，
3
都不与
5
相邻的六位偶数的个数是
（
）
个
.
A
．
72
种
B
．
96
种
C
．
108
种
D
．
144
种
【答案】
C
【解析】
要求是偶数，所以先确 定末尾数字，有
2
，
4
，
6
一共
3
种情况 ；然后再确定
5
这个特
殊数字的位置，
本身有
5
种情况，< br>但是考虑到要与
1
，
3
不相邻，
所以根据
5
的左右两侧情况，
分为
5
这个特殊数字在十万位以及十位（只有
1
个 相邻的位置）
，以及其它的
3
个位置；然后
1
1
1
3
1
2
2
再考虑后面的情况
.
分析清楚情况后，答案就出来 了：
C
3
(
C
2
C
2
A
3
C
3
A
2
A
2
）
108
种
.
【易错点】
需要考虑到不同位置对于后面步骤的不同影响，实行分类讨论
.
【思维点拨】
对于相邻问题的捆绑法，
以及不相邻问题的隔离法，
需要考虑到 先分类再分步的
基本原则，以及瞻前顾后的原则，需要考虑到选择的不同带来的对于后续安排的不同影响
.
对
于本题，
5
这个数字本身有五种安排方法，
但是需要注 意到五个位置带来的，
相邻位置的不同：
如果
5
这个数字在首位，
以 及在十位时，
只有
1
个邻位；
但是如果在其它位置，
就有两个邻位，
所以需要分开讨论
.
【巩固训练】
题型一
计数原理的基本应用
1.
如图，小明从街道的
E
处出发，先到
F
处与小红会合，再一起到位于
G
处的老年公寓参加志
愿者活动，则小明到老年公寓能够选择的最短路径条数为
A
．
24
种
B
．
18
种
C
．
12
种
D
．
9
种
【答案】
B
【解析】
这是个分步计数的灵活应用。注意一下问题的 分析，从
E
到
F
的步骤，水平方向的情
况确定了，整体的路径也就确 定了。水平方向如果沿一条路，有
3
种可能；如果沿两条路，有
3
种可能（注意因为要求最短路径，
所以没有顺序）
：
所以从
E
到
F
有
3+3=6
种情况；
而从
F
到
G
有
3
种可能，所以可能的情况一共有
3*6=18
种情况。
2.
安排
3
名志愿者完成
4
项工作，每人至少完成
1
项，每项工作由
1
人完成，则不同的安排方
式共有（
）
A
．
12
种
B
．
18
种
C
．
24
种
D
．
36
种
【答案】
D
【解析】
首先确定事情如何安排：
要满足条件要求，
得有
1
个人选择
2
项工作
.
哪两项工作
C
4
2
,
1
2
1
2
C
3
A
2
36
种情况
.
哪个人来做
C
3
，剩下
2
个人
2
项工作
A
2
2
：所以总的安排形式共有
C
4
3.
将
2
名教师，
4
名学生分成
2
个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组
由
1
名教师和
2
名学生组成，不同的安排方案共有（
）
A
．
12
种
B
．
10
种
C
．
9
种
D
．
8
种
【答案】
A
【解析】
首先确定事情如何安排：
安排好甲地 的情况，
乙地也就唯一确定了
.
对于甲地的安排，
1
2
C< br>4
12
种情况
.
需要
1
名教师
2
名学生，所以共有
C
2
题型二
特殊元素以及特殊位置
1.
将数字
“124467”
重新排列后得到不同的偶数的个数为
A
．
72
种
B
．
120
种
C
．
192
种
D
．
240
种
【答案】
D
【解析】
注意到题中要求得到的是偶数，所以特殊位置为末位，要求末位是个偶数； 另外注
意到题中给出的数字，有两个
4
，所以需要考虑到特殊元素
4
以及特殊位置末位；如果末位数
5
120
种情况；如果末位数字不是
4
，则必然是
2
，
字为
4
，则前面元素能够任意排列，共 有
A
5
6
中选择
1
个，前面的数字中，两个
4是没有先后顺序的，或者只排列剩余的
3
个数字即可，
1
3
A< br>5
120
种情况；两者合在一起，所以最后的答案为
D.
所以有
C
2
2.
我们把各位数字之和为
7
的四位数 称为
“
北斗数
”
（如
2014
是
“
北斗数
”
）
，则
“
北斗数
”
中千位
为
2
的共有
（
）个
.
【答案】
21
【解析】给出的是个新定义，但是难度不大，需要认真读题仔细分析。千位为
2
，要求后三位
的和为
5
，
三个数都相同的不存有，
有两位相同的
005
，
113
，
221
，
考虑先安排特殊的元素
（如
0 05
为例，
5
的位置有
3
种情况，
5
排定后，就唯 一确定了，所以有
3
种情况）各有
3
种，所
3
6
种情况，
以有
3*3=9
种情况；
三个元素都不相同的有
0 14
，
023
两种，
实行全排列，
各有
A
3
共有
2*6=12
种情况。综合可知，符合要求的所谓
“
北斗数
”
共有
9+12=21
种情况
.
3.
某天下午要排 物理，化学，生物和两节自习课共
5
节课，如果第一节不排生物，最后一节不
排物理， 那么不同的排法共有（
）