第四讲4、6、9倍数的特征
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2021年01月28日 07:27
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第四讲
我们在三年级已经学习了能被
2
，
3
，< br>5
整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解
能被
4
，< br>8
，
9
整除的数的特征。
数的整除具有如下性质：
性质
1
如果甲数能被乙数整除，乙数能 被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除
。例如，
48
能被
16
整除 ，
16
能被
8
整除，那么
48
一定能被
8
整除。
性质
2
如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差 也一定能被这个自然数整除
。
例如，
21
与
15
都能被3
整除，那么
21
＋
15
及
21-15
都能被
3
整除。
性质
3
如果一个数能分别被两个互质的自然数 整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的
乘积整除
。例如，
126
能 被
9
整除，又能被
7
整除，且
9
与
7
互质 ，那么
126
能被
9
×
7
＝
63
整除。< br>
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进 一步学习数的整除
性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：
（
1
）一个数的个位数字如果是
0
，
2
，
4
，
6
，
8
中的一个，那么这个数就能被
2整除。
（
2
）一个数的个位数字如果是
0
或
5
，那么这个数就能被
5
整除。
（
3
）一个数各个数位上的数字之和如果能被
3
整除，那么这个数就 能被
3
整除。
（
4
）一个数的末两 位数如果能被
4
（或
25
）整除，那么这个数就能被
4
（或
25
）整除。
（
5
）一个数的末三 位数如果能被
8
（或
125
）整除，那么这个数就能被
8
（ 或
125
）整除。
（
6
）一个数各 个数位上的数字之和如果能被
9
整除，那么这个数就能被
9
整除。
其中（
1
）（
2
）（
3
）是 三年级学过的内容，（
4
）（
5
）（
6
）是本讲要学习的内 容。
因为
100
能被
4
（或
25
）整除，所以由整除的性质
1
知，整百的数都能被
4
（或25
）整除。
因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除 的性质
2
知，只要
这个数的后两位数能被
4
（或
25
）整除，这个数就能被
4
（或
25
）整除。这就证明了（
4
）。
类似地可以证明（
5
）。
（
6
）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
837
＝
800
＋
30
＋
7
＝
8
×
100
＋
3
×
10
＋7
＝
8
×（
99
＋
1
）＋
3
×（
9
＋
1
）＋
7
＝
8
×
9 9
＋
8
＋
3
×
9
＋
3
＋
7
＝（
8
×
99
＋
3
×
9
）＋ （
8
＋
3
＋
7
）。
因为
99
和
9
都能被
9
整除，所以根据整除的性质
1
和性质
2
知，（
8x99
＋
3x9
）能被9
整除。
再根据整除的性质
2
，由（
8
＋
3< br>＋
7
）能被
9
整除，就能判断
837
能被
9
整除。
利用（
4
）（
5
）（
6
）还可以求出一个数除以
4
，
8
，
9
的余数：< br>
（
4
‘）一个数除以
4
的余数，与它的末两位除以
4
的余数相同。
（
5
＇）一个数除以
8
的余数， 与它的末三位除以
8
的余数相同。
（
6
＇）一个数除以< br>9
的余数，与它的各位数字之和除以
9
的余数相同。
例
1
在下面的数中，哪些能被
4
整除？哪些能被
8
整除？哪些能被
9
整除？
234
，
789，
7756
，
8865
，
3728.8064
。
解
：能被
4
整除的数有
7756
，
3728< br>，
8064
；
能被
8
整除的数有
3728
，
8064
；
能被
9
整除的数有
234
，
8865
，
8 064
。
例
2
在四位数
56
□
2
中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被
9
，
8
，
4
整除？
解：如果
56
□
2
能被
9
整除，那么
5
＋
6
＋□＋
2
＝
13
＋□
< br>应能被
9
整除，所以当十位数是
5
，即四位数是
5652时能被
9
整除；
如果
56
□< br>2
能被
8
整除，那么
6
□
2
应能被
8
整除，所以当十位数是
3
或
7
，即四位数是
5632或
5672
时能被
8
整除；
如 果
56
□
2
能被
4
整除，那么□
2
应能被
4
整除，所以当十位数是
1
，
3
，
5
，< br>7
，
9
，即四位数
是
5612
，
5632< br>，
5652
，
5672
，
5692
时能被
4
整除。
到现在为止，我们已经学过能被
2
，
3
，
5
，
4
，
8
，
9
整 除的数的特征。根据整除的性质
3
，我
们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判 断一个数能否被
6
整除，因为
6
＝
2
×
3
，
2
与
3
互
质，所以如果这个数既能被
2
整除又能 被
3
整除，那么根据整除的性质
3
，可判定这个数能被
6
整
除。同理，判断一个数能否被
12
整除，只需判断这个数能否同时被
3
和
4
整除；判断一个数能否
被
72
整除，只需判断这个数能否同时 被
8
和
9
整除；如此等等。
例
3
从
0
，
2
，
5
，
7
四个数字中任选三 个，组成能同时被
2
，
5
，
3
整除的数，并将这些数从小到 大
进行排列。
解
：因为组成的三位数能同时被
2
，
5
整除，所以个位数字为
0
。根据三位数能被
3
整除的特征，数字和
2
＋
7
＋
0
与
5
＋
7
＋
0
都能被
3
整除，因此所求的这些数为
270
，
570
，
720
，
750
。
例
4
五位数
能被
72
整除，问：
A与
B
各代表什么数字？
分析与解
：已知
能被
72
整除。因为
72
＝
8
×
9
，
8
和
9
是互质数，所以
既能被
8
整除，又能被
9
整 除。根据能被
8
整除的数的特征，要求
能被
8
整除，由此可确定B
＝
6
。
再根据能被
9
整除的数的特征，
的各 位数字之和为
A
＋
3
＋
2
＋
9
＋
B
＝
A
＋
3
－
f
－
2
＋
9
＋
6
＝
A
＋
20
，
因为
l
≤
A
≤
9，所以
21
≤
A
＋
20
≤
29
。在这 个范围内只有
27
能被
9
整除，所以
A
＝
7
。