八年级上册数学第一章勾股定理导学案
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 12:44
最佳经验
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本章课标要求：
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际
问题。
探索勾股定理（
1
）
学习目标：
< br>1
．
了解勾股定理的发现过程，
掌握勾股定理的内容，
会用面积法证明 勾股定理。
2
．
培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
了解我国古代在勾股定
理研究方面所取得的成就。
学习重点
：勾股定理的内容及证明。
学习难点
：勾股定理的证明。
自助探究
1
、< br>2002
年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会，
这就是当时采用的会徽
.
你知道这个图案的名字吗？你知道它
的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？
2
、相传
2500
年前，古希腊的数学家
毕达哥拉斯在朋友
家做客时，发现朋友家用地砖铺成的
地面中反映了直角三角形三边的某种
数量关系.
请同学们也观察一下，看
看能发现什么？
1
(1)
引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；
(2)
引导学生把面积的关系转化为边的关系
.
结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和
.
3
、等腰直角三角形有上述性质，其它直角
B
三角形也有这个性质吗？
A
C
C'
A'
B'
4
、猜想：
5
动手操作、验证猜想：
（二）动手在纸上作出几个直角三角形，分别测量 它们的三条边，填写好下
表．
观察三条边的平方有什么关系？
(
其中
a
、
b
是两直角边长，
c
是斜边长
)
a
2
b
2
c
2
J
结论．我们古代把直角三角形中较短的直角边称为
，较长的直角
边称为
，斜边称为
．从而得到著名的勾股定
理：
．如果用
a
、
b
和
c
分别表
示直角三角形 的两直角边和斜边，那么
．
课题检测
1.
求出下列直角三角形中未知边的长度。
2
2
、求斜边长
17
厘米、一条直角边长
15< br>厘米的直角三角形的面积
巩固练习
1
．
在△
ABC
中，
∠
C
＝
90
°，
（
l
）若
a
＝
5
，
b
＝
12
，
则
c
＝
（
2
）
若
c
＝
5
，
a
＝
3
，则
b
＝
2
．等腰△
ABC
的腰长
AB
＝
10cm
，底
BC
为
16cm
，则底边上的高为
，面积
为
。
3
．
△
ABC
中，
AB
＝
15
，
AC
＝
13
，
高
AD
＝
12
，
则△
ABC
的周长为
。
4
．一个抽斗的长为
24cm
，宽为
7cm
，在抽斗里放铁条，铁条最长能是多 少？
总结评价
：今天的学习，我学会了：
我在
方面的表现很好，在
方面表现不够，以后要注意的是：
总体表现（优、良、差）
，愉悦指数（高兴、一般、痛苦）
。
探索勾股定理（
2
）
一、学习目标：
1
、了解多种拼图方法，验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。
2
、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算和证明。，
3
、进一步体会数形结合的思想以及数学知识之间内在联系。
二、学习重点：
通过自主学习验证归纳勾股定理。并进行应用。
三、学习过程：
3
（一）、学前准备
：
1
、每位同学准备四个全等的直角三角形。
2
、自主阅读课本本节内容。
（二）、自学、合作探究：
活动一：各小组用
8
个同样大小的直角三角形。
活动二：各小组派代表上来展示自己的拼图，并说出它的
特点。
思考
1
：
你能由图
1
表示大正方形的面积吗？
能用两种方法吗？能由此得到勾股定理吗？
2
：你能由图
2
表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？
能由此得到勾股定理吗？
3
、请利用图
3
验证勾股定理
图
2
图
1
a
b
a
c
c
b
4
、利用四个全等的直角三角形拼图验证勾股定理你还有哪些方法？摆摆看。
4
（三）小结反思：理解这种数学方法，习惯上称为“算两次”
。
例题讲解
例题：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000
米处，过了
20
秒，飞机距离这个男孩子头顶
5000
米，飞机每小时飞行
多少千米？
基础训练
1
．若△
ABC
中，∠
C=90
°，
（
1
）若
a
=5
，
b
=12
，则
c
=
；
（
2
）若
a
=6
，
c
=10
，
则
b
=
；
（
3
）
若
a
∶
b
=3
∶4
，
c
=10
，
则
a
=
，
b
= .
2
．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏 ，它的高为
2m
，宽为
1.5m
，现需
要在相对的顶点间用一块木棒 加固，木板的长为
.
3
．
直角三角形两直角边长分别为
5cm
，
12cm
，
则斜边上的高为
.
4
．等腰三角形的腰长为
13cm
，底边 长为
10cm
，则面积为
。
５．一棵
9m
高的树被风折断，树顶落在离树根3m
之处，若要查看断痕，要从
树底开始爬多高？
知识拓展
7
．折叠长方形
ABCD
的一边
AD< br>，使点
D
落在
BC
边的
F
点处，若
AB=8 cm
，
BC=10cm
，求
EC
的长
.
5
A
D
E
B
F
C
总结评价
：今天的学习，我学会了：
我在
方面的表现很好，在
方面表现不够，以后要注意的是：
总体表现（优、良、差）
，愉悦指数（高兴、一般、痛苦）
。
能得到直角三角形吗
一、学习目标
1
、掌握直角三角形 的判别条件（即勾股定理的逆定理）
，并能进行简单应
用。这是本节的重点和难点。
2
、理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。
二、自学感知
阅读课本第
17---18
页，解决下列问题：
1
、分别 以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直
角三角形吗
?
(1)3,4,5, (2)6, 8, 10
2
、以上每组数的三边平方存在什么关系？结合上题你能得到什么结论？
3
、满足
a
2
+b
2
=c
2
的三个
，称为勾股数。
4
、下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由。
（
1
）
9,12,15; (2)15,36,39
；
（３）
12
，
35
，
36
；
（４）
12
，
18
，
22
三、典型例题
1
：如果将直角三角形的三条边扩大相同的倍数，得到的三角形还是直角三角
形吗？< br>
2
、填写下表，并验证你所填的数是否满足“勾股数”
2
倍
3
倍
4
倍
5
倍
3,4,5
6,8,10
5,12,13
15,36,39
8,15,17
32,60,68
7,24,25
70,240,250
四、课堂练习
1
、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（
）
Ａ、８，
15
，
17
；
Ｂ、４，５，６；
Ｃ、５，８，
10
；
Ｄ、
8
，
39
，
40
6
２、若△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足（ａ－ｂ）
（ａ
２
＋ｂ
2－ｃ
2
）＝０，则
△ＡＢＣ是
（
）
Ａ、
等腰三角形Ｂ、
直角三角形Ｃ、
等腰直角三角形
Ｄ、
等腰三角形或直角三角形
３、已知：在△
ABC
中， 三条边长分别为
a,b,c,a=n
2
-1,b=2n,c=n
2
+ 1(n
＞
1)
。
试判断△
ABC
的形状
.
４、如图所示，四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝９０
０
，ＡＢ＝４，ＢＣ< br>＝３，ＣＤ＝１２，ＡＤ＝１３，求四边形ＡＢＣ
Ｄ的面积。
六、达标检测
１、下列几组数中，为勾股数的是（
）
A
、
4
，
5
，
6 B
、
12
，
16
，
20 C
、
-10
，
24
，
26 D
、
2.4
，
4.5
，
5.1
2
、将直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（
）
A
、锐角三角形
B
、直角三角形
C
、钝角三角形
D
、都有可能
3
、如图所示 的一块草地，已知
AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,
且∠
CD A=90
0
,
求这块草地的面积。
4
、如 图所示，在△
ABC
中，
AB=13,BC=10,BC
边上的中线
AD=12,
∠
B
与∠
C
相等吗？为什
么？
7
总结评价：今天的学习，我学会了：
我在
方面的表现很好，在
方面表现不够，以后要注意的是：
总体表现（优、良、差）
，愉悦指数（高兴、一般、痛苦）
。
勾股定理的应用
【
学习目标
】
运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题。
【
学习重点
】
探索、发现问题中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决实际问题。
【
自学感知
】解决下列问题：
1
、自己做一个圆柱，在圆 柱的上下底面上分别标出两点，思考并找出这两点
之间的最短路线？画出图形说明。
2
、求圆柱下底面圆上一点到上底面圆上一点之间的距离时，需将
展
开，转化为求平面上两点之间的
。
3、如图所示，如果只给你一把带刻度的直尺，
你能否检验∠
MPN
是不是直角，简 述你的作法。
【
自学探究与合作交流
】
【自学
1
】
1
、有一个圆柱它的高等于
12厘米，底面半径等
于
3
厘米。
在圆柱下底面的
A
点有一 只蚂蚁，
他想吃到上底面上与
A
点相对的
B
点处的食物，沿圆柱侧面 爬行的最短路程是多少？（参看
P.22
页图
1
—
18
）< br>
⑴利用学具，
尝试从
A
点到
B
点沿圆柱侧面画出几 条线路，
你觉得那条线路最
短？
由问题⑵及图
1
—
19
想一想，此问题是通过怎样的转换得以化简的。
【合作
1
】
立体图形中的两点之间的最短距离
8
B
B
A
A