(50)奇数和偶数(上下)9.24
温柔似野鬼°
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2021年01月28日 13:40
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. . .
（五十）奇数和偶数（上）
《奥赛天天练》第三十八、三十九讲《奇数和偶数》，学 习运用奇数、偶数的性质解
答一些稍复杂的判断计算结果奇偶性的问题（第
38
讲）， 及日常生活中的一些趣题，如
翻牌问题、参观路线问题、握手问题、开灯问题等（第
39
讲）。
有关奇数、偶数性质，及较简单的奇偶数问题，请查阅：
三年级奥数解析（四十三）奇与偶
四年级奥数解析（四十二）奇、偶分析
《奥赛天天练》第
38
讲，模仿训练，练习
1
【题目】：
1
＋
2
＋
3
＋…＋
1999
＋
2000
＋
2001
的和是奇数还是偶数？
【解析】：
判断一道只含加减运算算式结果是奇数还是偶数，主要看算式中奇数的个 数，算式中
有奇数个奇数结果为奇数，算式中有偶数个奇数，计算结果为偶数。
从< br>1
到
2000
这
2000
个连续自然数中，有（
20 00
÷
2
﹦）
1000
个奇数，再加上
2001
是 奇数，算式中共有
1001
个奇数，所以这道算式的计算结果为奇数。
《奥赛天天练》第
38
讲，模仿训练，练习
2
【题目】：
41
名同学参加智力竞赛，竞赛共
20
道题， 评分方法是：基础分
15
分，答对一题加
5
分，不答加
1
分 ，答错
1
题倒扣
1
分。请问所有参赛同学得分的总和是奇数还是偶数？
【解析】：
每名同学的得分可以用基础分依次加上每一道答对或不答题的得分， 再依次减去每一
道答错题的失分。因为每一道题无论是答对、不答得分数，或答错失分数都是奇数，共< br>20
道题，
20
个（即偶数个）奇数相加减计算结果是偶数，再加上基础分15
分是奇数，所
以每名同学最后得分都是奇数。
全班
41< br>名同学得分总和，就是
41
（即奇数个）个奇数相加，一定是奇数。
《奥赛天天练》第
38
讲，巩固训练，习题
1
【题目】：
. . . . .
. . .
有
100
个自然数，它们的和是偶数，在这
100
个自然数中，奇数 的个数比偶数的个数
多，问这些自然数中至多有多少个偶数？
【解析】：
100
个自然数连加，和是自然数，则这
100
个自然数中必然有偶数个奇数 。
又因为
100
个自然数中奇数的个数比偶数多，而任意一个自然数不是奇 数，就是偶数，
则奇数的个数一定超过（
100
÷
2
﹦）
5 0
个。
50
＋
2
﹦
52
（个）
综上所述，这
100
个自然数中至少有
52
个奇数。
所以这些自然数中至多有偶数：
100
－
52
﹦
48
（个）。
《奥赛天天练》第
38
讲，巩固训练，习题
2
【题
目】：
已知
a
，
b
，
c
中有一个是
2001
，一个是
2002< br>，另一个是
2003
，判断：（
a
－
1
）×
（
b
－
2
）×（
c
－
3
）的结果是奇数还 是偶数？
【解析】：
若干个整数相乘，其中若有一个乘数是偶数，积就是偶数。
根据题意，
a< br>可能是
2001
、
2002
或
2003
：
假设
a
是
2001
，
a
－
1
﹦< br>2001
－
1
﹦
2000
，
2000
是偶数 ，则所求的结果是偶数；
同理可得，
a
是
2003
时，所求结果也是偶数；
假设
a
是
2002
，
c
只能是
2001
或
2003
，一定是奇数，（
c
－
3
）的差就是偶数，则所
求结果一定是偶数。
综上所述，（
a
－
1
）×（
b
－
2
）×（
c
－
3
）的结果一定是偶数 。
《奥赛天天练》第
38
讲，拓展提高，习题
1
【题目】：
有一类小于
200
的自然数，每一个数的各位数字之和 都是奇数，并且每个数都是两个
两位数的乘积（如
144
﹦
12
×< br>12
），把这一类自然数从大到小排列，第三个数是多少？
【解析】：
所求自然数小于
200
，且能分解成两个两位数因数的 乘积。因为
200
﹤
15
2
，如果两个
因数都大于或等于< br>15
，这个数就大于
200
了，所以这两个两位数因数，至少有一个因数
小于
15
。
. . . . .
. . .
根据因数特征，按从大到小的顺序，尝试计算，寻找符合条件的此类自然数：
13
×
15
﹦
195
13
×
14
﹦
182
12
×
15
﹦
180
这一类自然数从大到小排列，第三个数是
180
。
《奥赛天天练》第
38
讲，拓展提高，习题
2
【题目】：
能否在下面的“□”填入加号或减号，使等式成立？为什么？
1
□
2
□
3
□
4
□
5
□
6
□
7
□
8
□
9
﹦
10
【解析】：
判断一道只含加减运算算式结果是奇数还是偶数，主要看算式中奇数的个数。
算式< br>1
□
2
□
3
□
4
□
5
□< br>6
□
7
□
8
□
9
中，共有
5
个奇数：
1
、
3
、
5
、
7
、
9
，所以这道算
式，无论在“□”填入的是加号还是减号，计算结果一定是奇数，不可能是偶数< br>10
。
所以无论在“□”填入的是加号还是减号，这个等式都不能成立。
（五十一）奇数和偶数（下）
《奥赛天天练》第
39
讲，模仿训练，练习
1
【题目】：
一副扑克牌
54
，除去大、小王后还有
52< br>，则取同一花色的
13
牌正面朝上放好，按牌
上的数的约数个数作为翻动次数（ 这里把
J
，
Q
，
K
看作
11
，
1 2
，
13
），问这些牌经过翻
动后，都有那些牌背面朝上？
【解析】：
一、每牌正面朝上放好，翻动偶数次后仍然正面朝上，翻动奇数次后变化为背面朝上。
二，任意一个整数的约数都是成对出现的。
如果一个整数是完全平方数，即可以写成 另一个整数的平方，则这个数有奇数个因数。
如果一个整数不是完全平方数，则这个数有偶数个因数。< br>
三、
1
到
13
中，完全平方数有
3个：
1
，
4
，
9
。
综上所述，1
，
4
，
9
这三牌经过翻动后背面朝上。
《奥赛天天练》第
39
讲，模仿训练，练习
2
【题目】：
. . . . .
. . .
某展览馆共有
36
个列室，相邻两室之间都有门通行，有人希望每个展览室都去一次，
并且只去一次，你能替他设计参观路线吗？
【解析】：
如上图，把
6
×
6
的方格黑、白相间 染色。从图中可以看出，从黑格走出后，只能进
入白格，从白格走出后只能进入黑格。
从入口黑格进入展览馆，参观路线只能是：
黑﹥
白
﹥
黑
﹥
白……
走到黑格 时共参观了奇数个列室，走到白格时共参观了偶数个列室。要参观
36
个列
室，最后到 达的是白格列室，而出口在黑格列室。
所以无法设计出符合题目要求的参观路线。
《奥赛天天练》第
39
讲，巩固训练，习题
1
【题目】：
由
14
个
1
×
1
的 正方形组成下图，用
7
个
1
×
2
的长方形能不能把这个图形 都盖住？
为什么？
【解析】：
把这些小正方形黑白相 间染色，与任意黑格相邻的必是白格，而与白格相邻的必是白
格，如下图，用
1
×2
的长方形去覆盖，每次盖住两个相邻小正方形一个是黑格，一个是
白格：
. . . . .
. . .
7
个长方形只能盖住
7
个黑格和
7
个白格，而上 图中有
6
个白格、
8
个黑格，所以，
7
个
1
×
2
的长方形不能把原图形都盖住。
《奥赛天天练》第
39
讲，巩固训练，习题
2
【题
目】：
一次宴会上，客人们相互握手，问握手次数是奇数的那些人总数是奇数还是偶数？
【解析】：
两人握手，给每人各计数一次，共
2
次，则无论多少人 相互握手，握手总次数为偶数。
把宴会上握手的人分为两类：第一类是握手次数为偶数的人， 第二类是握手次数为奇
数的人。
N
个偶数相加的和仍为偶数，第一类人握手 总次数为偶数，所有人握手总次数也是偶
数，偶数减偶数还是偶数，所以第二类人握手总次数也是偶数。
第二类人，每人握手次数为奇数，奇数个奇数相加和为奇数，偶数个奇数相加和才为
偶数。第二类人握手总次数为偶数，所以第二类人总数也是偶数。
即宴会上握手次数是奇数的那些人总数是偶数。
《奥赛天天练》第
39
讲，拓展提高，习题
1
【题目】：
能否用
3
个“田”字形纸片（如下面左图）和
13
个“丁”字形纸片（如下面右图）
完全盖住一个
8
×
8
的正方形棋盘？
【解析】：
如下图，把棋盘黑白相间染色，共 有
32
个黑格、
32
个白格。用“田”字形纸片覆盖，
每纸片能盖住
2
个黑格、
2
个白格，用“丁”字形纸片覆盖，能盖住
3
个 黑格、
1
个白格
或
3
个白格、
1
个黑格：
. . . . .
. . .
3
个“田”字形纸片覆盖了
6
个黑格和
6
个白格 ，剩下
26
个黑格、
26
个白格共
52
格，
黑格数 和白格数都是偶数。
每个“丁”字形纸片覆盖的黑格数和白格数都是奇数（
1
格或
3
格），共有
13
个
“丁”字形纸片，正好覆盖
52
格。但
13
个奇数的和还是奇数，因此覆盖的白格数和黑格
数都是奇数，不可 能都盖住
26
格。
因此，用所给的纸片不能盖住整个棋盘。
《奥赛天天练》第
39
讲，拓展提高，习题
2
【题目】：
有
n
盏有拉线开关的灯都亮着，规定每次拉动（
n
－
1
）个开关，能不能将所有灯都关
上？
【解析】：
n
盏灯开始都是亮着的。每盏灯拉动开关奇数次后会关上，拉动 开关偶数次后又会点
亮。分两种情况讨论：
一、当
n
是奇数时，（
n
－
1
）是偶数。
要使所有灯都关上，每盏灯都要拉动奇数次，奇数个奇数的和是奇数，
n
盏灯拉动开< br>关的总次数必须是奇数；
每次拉动（
n
－
1
）个开 关，（
n
－
1
）是偶数，无论拉动多少次，任意多个偶数的和是
偶数 ，拉动开关的总次数只能是偶数。
所以当
n
是奇数时，按规定，不能将所有灯都关上。
二、当
n
是偶数时。
如下图，白点表示亮灯，黑点表示关灯，每次 拉动（
n
－
1
）盏灯，黑白交界处有一盏
没有拉动的灯：
开始时：○
○
○
○
○
○
○
○
○
……
第一次：○
●
●
●
●
●
●
●
●
……
第二次：●
●
○
○
○
○
○
○
○
……
. . . . .
. . .
第三次：○
○
○
●
●
●
●
●
●
……
第四次：●
●
●
●
○
○
○
○
○
……
第五次：○
○
○
○
○
●
●
●
●
……
第六次：●
●
●
●
●
●
○
○
○
……
……
……
观察上面图示可以发现，当
n
是偶数时，每次拉动（
n
－
1
）盏灯，拉动
n
次，可以将
n
盏灯全部关上 。
三年级奥数解析（四十三）奇与偶
《奥赛天天练》第
49讲《奇与偶》。所有整数可以分为奇数和偶数两大类，现阶段，
所谓奇数指的就是孩子们熟悉的单数 ，偶数指的就是双数和
0
。在四年级，孩子们将学到
奇、偶数完整的定义：能被
2
整除的整数叫做偶数。如
0
，
2
，
4
，…等都 是偶数，包括正
偶数、负偶数和
0
。不能被
2
整除的整数叫做奇数。 如
1
，
3
，
5
，…等都是奇数，包括正
奇数和负奇 数。人们习惯上常用
2n
表示偶数，用
2n
＋
1
表示奇数（ 其中
n
是整数）。
通过实验，孩子们很容易证明奇、偶数有下面一些重要性质：
1
、任意一个整数都有奇偶性，即不是奇数就是偶数。
2
、奇数± 奇数
=
偶数，奇数±偶数
=
奇数，偶数±偶数
=
偶数。
3
、奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数；任意多个偶数的和（或差）总是偶数。
4
、两个奇数之积为奇数；一个偶数与一个整数之积为偶数。
5
、 若干个整数相乘，其中若有一个乘数是偶数，积就是偶数；如果所有的乘数都是
奇数，积就是奇数。
6
、偶数的平方必能被
4
整除，奇数的平方被
4
除余
1
。
注：第
3
条性质可以利用第
2
条性 质进行证明，第
5
条性质可以利用第
4
条性质进
行证明。
《奥赛天天练》第
49
讲，巩固训练，习题
1
【题目】：
有
5
盏亮着的灯，每盏都用拉线开关，如果规定每次必 须同时拉动
4
个拉线开关。试
问：能否把
5
盏灯都关闭？
【解析】：
每次同时拉动
4
个拉线开关，不能把
5
盏灯都关闭。
. . . . .