开天辟地观后感-英国的饮食文化

2021年1月28日发(作者：秋霞伦理电院秋霞)
挖掘埋藏在课本中的宝藏

——谈课后习题的使用与拓展

汤敬鹏
(
兰州市
57
中学，
730070)




在教辅材料大行其道的今天，
我们发现有一些教师在平时教学 中并不太愿意
使用教材中的课后习题，他们觉得课后习题难度不大，对学生的训练价值不高，
相 比之下，
他们更喜欢使用有一定难度的课外教辅材料。对于这种做法，
笔者不
敢苟同，
笔者认为，
课后习题是一种重要的教学资源，
它是教材编写者经过认真
思考， 精心选择与编写而成的，
它们具有很强的针对性与较高的训练价值，课后
习题其实是埋藏在课本 中的宝藏。作为教师，不仅要使用课后习题，
更要精心处
理课后习题，
使课后习题的教 育价值得到充分的发挥。
笔者现就人教版普通高中
数学教材
(
以下简称“教材 ”
)
中课后习题的使用，谈谈自己的看法，本文所用例
题均为教材中的课后习题。
1.1
利用课后习题纠错示错，巩固数学双基

每节课后的习题，都针对本节所学内容而编制，
具有很强的针对性与基础性，
课后作业有助于学生加深对新学 概念的理解，有助于学生对所学知识进行应用，
一些习题中还针对学生可能产生的知识误区或知识盲点， 埋藏有知识“陷阱”
，
这样可以帮助学生从反面理解概念，
或提醒学生关注其盲点。< br>教师要善于利用这
些习题，帮助学生从正反两方面掌握概念、夯实基础。

例< br>1
：
在等比数列
{a
n
}
中，已知
a
3

1
,
S
3

4
,
求
a
1
与
q
a
1
(
1

qn
)
学生在解答这道习题时，首先会想到用等比数列求和的公式
S
n
1

q
1
2
1
2
及
等比数 列通项公式
a
n

a
1
q
n

1
来求解，但初次使用公式时，学生往往会忽略等比
数列求和公式有
q
≠
1
的限制，从而引起解答的错误，教师在讲评作业时，先要
提醒学生注意这个限制条件，做题 时首先要判断这个等比数列是否为非零常数
列，若是，则需使用
S
n
=na< br>1
来进行计算；之后，教师要提出问题，这种已知
S
n
，
求< br>a
1
和
q
的问题，是否可以不按
q=1
和
q
≠
1
进行分类讨论，进而指出，利用数
列求和定义：
S
n< br>=a
1
+a
2
+
„
+a
n
解决这类 问题，可以避开讨论。

解：∵
a
3

1
< br>S
3

∴
1
2
a
3
a
3< br>3
1
1
9


a

(
< br>
1
)

3
q
2
q
2
q< br>2
q
2

1
1
1


2

0

解得
q=1
或
q



2
2q
q
当
q=1
时，
a
1

a
3

；当
q


时，
a
1
3
2
1
2
a
3

6

q2
教师不仅要引导学生对自己的错误进行反思，
还要引导学生去发现课本习题
编制 的不完善或错误之处，
这不仅使学生的基础进一步得到巩固，
还能培养学生
形成质疑反 思的意识。

例
2
：
已知：
f
(
x
)

lg
1

x
a

b
)
，求证：
f
(
a
)

f
(
b
)

f
(
1

x
1

ab
1
7
学生在做这道习题时，往往不假思索地进行证明，在作业讲评时，教师可提< br>出如下问题：
f(-5)+f(3)=f(
)
成立吗？以引导学生去发现这道习 题存在的问
题。学生在计算定义域后，发现此题应给出
a
、
b
的范围 ，使得
a
、
b
、
a

b
在
1
ab
定义域
(-1, 1)
内。通过此题，学生进一步认识到解决函数问题先求函数定义域
的重要性。

1.2
借用课后习题铺垫，形成引燃新知的导火索

新知识既可以为了解决新 问题而产生，
也可以由与旧知识的联系而产生。
借
助以前章节的课后习题引入新课，< br>可以使学生在熟悉的背景中感知学习新知识的
必要性；
而利用新课后的课后习题引入新课 ，
之后再加以解决，
可使教学前后呼
应，从而激发学生的学习热情，提高教学的效率。

例
3
：
在学习椭圆的参数方程这一知识时，可以先让学生做前一章 的复习参
考题中的一道习题：
用描点法画出下列参数方程
(
θ
为参数
)
表示的图形：
{
x

5
cos

y

3
sin



学生作图后可以发现图形是 一个椭圆，
这时可以引导学生结合同角正、
余弦
的平方关系消参，
得到椭圆的 标准方程，学生从而知道，
这种参数方程表示的是
椭圆，之后给出课本中的例题
(用同心圆画椭圆
)
，通过对例题的分析，可以得到
动点
P
的坐标 满足参数方程
{
x

a
cos

y
b
sin

，由于前面习题的铺垫，学生立即发现
P
点的轨迹是 一个椭圆，这样，学生较为轻松地获得了有关椭圆参数方程的知识。

1.3
探寻习题间的联系，整合学生的知识体系

单独一道数学习题的教育功 能也许并不很大，
但如果能够将多道习题串珠成
线，形成题组，让学生探寻其中的联系，学生将 体会其中蕴涵的特殊与一般、抽
象与具体、相互转化等种种关系，那么数学习题的教育功能将成倍增长。

例
4
：
在“直线与圆的方程”一节的复习课中，教师可将本章各节 及复习题
中的下列课后习题串联成题组供学生使用

⑴求经过两条曲线
x2
+y
2
+3x-y=0
和

3x
2
+3y
2
+2x+y=0
交点的直线的方程；

⑵两条曲线的方程是
f
1
(x,y)=0
和
f
2
(x,y)=0
，它们的交点是
P(x
0
,y
0
)
，求证：方
程
f
1
(x,y)+
λ
f
2
(x,y)=0
的曲线也经过点
P(
λ
是任意实数
)
；

⑶经过两 条直线
2x-3y+10=0
和
3x+4y-2=0
的交点，
且垂直 于直线
3x-2y+4=0
的直线方程；

⑷经过两条直线
2x+y -8=0
和
x-2y+1=0
的交点，
且平行于直线
4x-3y-7 =0
的
直线方程；

⑸经过两条直线
y=2x+3
和
3x-y+2=0
的交点，
且垂直于第一条直线的直线方
程；

⑹ 直线
ax+2y+8=0
，
4x+3y=10
和
2x-y=10相交于一点，求
a
的值

⑺求证：不论
m
取任何实数， 方程
(3m+4)x+(5-2m)y+7m-6=0
所表示的曲线
必经过一个定点， 并求出这一点的坐标；

⑻求经过两圆
x
2
+y
2
+6x-4=0
和
x
2
+y
2
+6y-28=0
的 交点，
并且圆心在直线
x-y-4=0
上的圆的方程；

⑼求两圆< br>x
2
+y
2
-10x-10y=0
，
x
2< br>+y
2
+6x+2y-40=0
的公共弦的长；

⑽判定两圆
x
2
+y
2
-6x+4y+12=0
，
x
2
+y
2
-14x-2y+14=0
是否相切；

在练习时 ，
学生先用求交点及直线方程的两点式求得习题⑴的答案，
随后教
师要引导学生观察所 得直线方程与两圆方程相减后所形成的方程是相同的，
从而
引发学生思考为什么会出现这样的情 况，
是偶然的，
还是必然的？之后再给出习
题⑵，两道习题相结合，在教师的引导下， 学生自然而然地产生了过两条曲线的
交点的曲线系的知识，并能意识到习题⑴是
λ
=- 1
的情形，从而总结出相交两圆
的公共弦方程就是两圆方程相减消去二次项后所得的方程。之后，
给出习题⑶—
⑼，
对学生刚形成的新知识进行应用，其中习题⑼可先由两圆 的方程相减，
求出
公共弦方程，再利用点到直线的距离公式、
垂径定理及勾股定理加以 解决。习题
⑽可先由两圆的方程相减，
求出直线方程，再求出两圆圆心到直线的距离，由距离与半径的关系可以判断出两圆都与直线相切，又由于两圆的连心线与直线垂
直，因此两圆相切，由 习题⑽学生可以得出结论：当两圆相切时，两圆方程相减

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