导数公式的证明(最全版).
别妄想泡我
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2021年01月28日 19:16
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导数的定义：
f'(x)=lim
Δ
y/
Δ
x
Δ
x
→
0
（下面就不再标明Δ
x
→
0了）
用定义求导数公式
（
1
）
f(x)=x^n
证法一：（
n
为自然数）
f'(x)
=lim [(x+
Δ
x)^n-x^n]/
Δ
x
=lim (x+
Δ
x-x)[(x+
Δ
x)^(n-1)+x*(x+
Δ
x)^(n -2)+...+x^(n-2)*(x+
Δ
x)+x^(n-1)]/
Δ
x
=lim [(x+
Δ
x)^(n-1)+x*(x+
Δ
x)^(n -2)+...+x^(n-2)*(x+
Δ
x)+x^(n-1)]
=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)
=nx^(n-1)
证法二：（
n
为任意实数）
f(x)=x^n
lnf(x)=nlnx
(lnf(x))'=(nlnx)'
f'(x)/f(x)=n/x
f'(x)=n/x*f(x)
f'(x)=n/x*x^n
f'(x)=nx^(n-1)
（
2
）
f(x)=sinx
f'(x)
=lim (sin(x+
Δ
x)-sinx)/
Δ
x
=lim (sinx cos
Δ
x+cosxsin
Δ
x-sinx)/
Δ
x
=lim (sinx+cosxsin
Δ
x-sinx)/
Δ
x
=lim cosxsin
Δ
x/
Δ
x
=cosx
（
3
）
f(x)=cosx
f'(x)
=lim (cos(x+
Δ
x)-cosx)/
Δ
x
=lim (cosxcos
Δ
x-sinxsin
Δ
x-cosx )/
Δ
x
=lim (cosx- sinxsin
Δ
x-cos)/
Δ
x
=lim -sinxsin
Δ
x/
Δ
x
=-sinx
（
4
）
f(x)=a^x
证法一：
f'(x)
=lim (a^(x+
Δ
x)-a^x)/
Δ
x
=lim a^x*(a^
Δ
x-1)/
Δ
x
（设
a^
Δ
x-1=m
，则Δ
x=loga^(m+1)
）
=lim a^x*m/loga^(m+1)
=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]
=lim a^x*lna*m/ln(m+1)
=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]
=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]
=lim a^x*lna/lne
=a^x*lna
证法二：
f(x)=a^x
lnf(x)=xlna
[lnf(x)] '=[xlna] '
f' (x)/f(x)=lna
f' (x)=f(x)lna
f' (x)=a^xlna
若
a=e
，原函数
f(x)=e^x
则
f'(x)=e^x*lne=e^x
（
5
）
f(x)=loga^x
f'(x)
=lim (loga^(x+
Δ
x)-loga^x)/
Δ
x
=lim loga^[(x+
Δ
x)/x]/
Δ
x
=lim loga^(1+
Δ
x/x)/
Δ
x
=lim ln(1+
Δ
x/x)/(lna*
Δ
x)
=lim x*ln(1+
Δ
x/x)/(x*lna*
Δ
x)
=lim (x/
Δ
x)*ln(1+
Δ
x/x)/(x*lna)
=lim ln[(1+
Δ
x/x)^(x/
Δ
x)]/(x*lna)
=lim lne/(x*lna)
=1/(x*lna)
若
a=e
，原函数
f(x)=loge^x=lnx
则
f'(x)=1/(x*lne)=1/x
（
6
）
f(x)=tanx
f'(x)
=lim (tan(x+
Δ
x)-tanx)/
Δ
x
=lim (sin( x+
Δ
x)/cos(x+
Δ
x)-sinx/cosx)/
Δx
=lim (sin(x+
Δ
x)cosx-sinxcos(x+
Δ
x)/(
Δ
xcosxcos(x+
Δ
x))
=lim (sinxcos
Δ
xcosx+sin
Δ
xcosxcosx-sinxc osxcos
Δ
x+sinxsinxsin
Δ
x)/(
Δ
xcosxcos(x+
Δ
x))
=lim sin
Δ
x/(
Δ
xcosxcos(x+
Δ
x))
=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2
（
7
）
f(x)=cotx