中国近代史简介-英语万能作文模板

2021年1月28日发(作者：唐山地震几级地震)
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习题
101 1.
设在
xOy
面内有一分布着质量的曲线弧
L,
在点
(x, y)
处它的线
密度为

μ
(x, y),
用对弧长的曲线积分分别表达
:
(1)
这曲线弧对
x
轴、对
y
轴的转动惯量
Ix, Iy; (2)
这曲线弧的重心坐标
x ,
y .
解

在曲线弧
L
上任取一长度很短的小弧段
ds(
它的长度也记做
ds),
设
(x, y)
曲线
L
对于
x
轴和
y
轴的转动惯量元素分别为
dIx=y2
μ
(x, y)ds,
dIy=x2
μ
(x, y)ds .
曲线
L
对于
x
轴和
y
轴的转动惯量分别为

I x = ∫ y 2
μ
( x, y)ds , I y = ∫ x2
μ
( x, y)ds .
L L
ww
w. kh d
∫L ∫L

和
L2,
则

2.
利用对弧长的曲线积分的定义证明
:
如果曲线弧
L
分为两段光滑曲线
L1
∫L f (x, y)ds =∫L

n
课

x=
M y ∫L x
μ
( x, y)ds M ∫ y
μ
(x, y)ds = , y= x = L . M M
μ
( x, y)ds
μ
(x, y)ds
后

曲线
L
的重心坐标为

1
f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds .

L2
证明

划分
L,
使得
L1
和
L2
的连接点永远作为一个分点
,
则

∑ f (
ξ
i,
η
i )
Δ
si = ∑ f (
ξ
i,
η
i )
Δ
si +
i =1 i =1 n n1
n1
答

dMx=y
μ
(x, y)ds, dMy=x
μ
(x, y)ds .
令
λ
=max{
Δ
si}→0, 上式两边同时取极限

λ
→0
λ
→0

lim ∑ f (
ξ
i ,
η
i )
Δ
si = lim ∑ f (
ξ
i ,
η
i )
Δ
si + lim
i =1 i =1
即得

∫L f (x, y)ds =∫L

1
f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds .

L2
3.
计算下列对弧长的曲线积分
:
aw
i = n1 +1
曲线
L
对于
x
轴和
y
轴的静矩元素分别为

案

∑ f (
ξ
i,
η
i )
Δ
si . ∑ f (
ξ
i,
η
i )
Δ
si ,
n
n1
λ
→0

.c o
i = n1 +1
为小弧段
ds
上任一点
.
网

m
(1)
∫
(
x2
+
y
2
)n
ds
, 其中
L
为圆周

x=acos
t
,
y=asin
t
(0≤t≤2
π
);
L
解

∫L (x2 + y2)n ds = ∫0

2
π
0 2
π

2
π

(a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt
= ∫ (a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt

0
L
解
L
的方程为

y=1x (0≤x≤1);

1
ww
w. kh d
1 1
0
课

= ∫ x 1+[(x2 )′]2 dx +∫ x 1+ ( x′)2 dx

0
1
后

∫L xdx = ∫L xdx + ∫L

xdx
1
2
= ∫ x 1+ 4x 2 dx +∫ 2 xdx = 1 (5 5 + 6 2 1) . 0 0 12

x2 + y2 L
(4) ∫
e
ds ,
其中
L
为圆周
x2+y2=a2,
直线
y=x
及
x
轴在第一象限内所围成

的扇形的整个边界
;
解
L=L1+L2+L3,
其中

L1: x=x, y=0(0≤x≤a),

L2: x=a cos t, y=a sin t (0 ≤ t ≤
π
) , 4 L3: x=x, y=x (0 ≤ x ≤ 2
a) , 2
因而

∫L e

a 0
x2 + y2
ds = ∫ e

L1
x2 + y 2
ds + ∫ e

L2
= ∫ e 1 + 0 dx + ∫

x 2 2
π

4 ea 0
(a sin
t) + (a cos t) dt + ∫

2 2
aw
x2 + y2
答

解

L1: y=x2(0≤x≤1), L2: y=x(0≤x≤1) .

案

(3) ∫ xdx , 其中
L
为由直线
y=x
及抛物线
y=x2
所围成的区域的整个边界
;
L
网

∫L (x + y)ds = ∫0 (x +1 x)

1
1+[(1 x)′]2 dx = ∫ ( x +1 x) 2dx = 2 .

0
ds + ∫ e

L3
= ea (2 +
π
a) 2 . 4
.c o
1 x2 + y2
(2) ∫ (x +
y)ds ,
其中
L
为连接
(1, 0)
及
(0, 1)
两点的直线段
;
ds ,
0
2a 2 e 2x
12 +12 dx
m
= ∫ a 2n+1dt = 2
π
a 2n+1 .
(5) ∫

Γ

1 ds ,
其中
Γ
为曲线
x=etcos t , y=etsin t , z=et
上相应于
t
从
0
变到
2
2 x + y +z
2
2
的这段弧
; dy
解
ds = ( dx )2 + ( )2 + ( dz )2 dt dt dt dt = (et cos t
et sin t)2 + (et sin t + et cos t)2 + e2t dt = 3et dt ,
2 1 1 ds = ∫ 2t ∫
Γ
x2 + y2 + z 2 0 e cos2 t + e2t sin 2 t + e2t 3et
dt
解

Γ
=AB+BC+CD,
其中

AB: x=0, y=0, z=t (0≤t≤1), CD: x=1, y=t, z=2(0≤t≤3),

ww
w. kh d
故

= ∫ 0dt + ∫ 0dt + ∫ 2t 02 +12 + 02 dt = 9 .

0 0 0 1 3 3
∫
Γ
x2 yzds =
∫AB x2 yzds + ∫BC x2 yzds + ∫CD x2 yzds

(7)
∫
y
2ds
, 其中
L
为摆线的一拱

x=a(tsin
t),
y=a(1cos
t)(0≤t≤2
π
);
L
解

∫L y 2ds = ∫0

2
π

= 2a3 ∫ (1 cos t)2 1 cos t dt = 256 a3 . 0 15

L
(8)
∫
(
x2
+
y
2
)ds
, 其中
L
为曲线
x=a(cos
t+t
sin
t),
y=a(sin
tt
cos
t)(0≤t≤2
π
). dy
解
ds = ( dx )2 + ( )2 dt = (at cos t)2 + (at sin t)2
dt = atdt dt dt
课

BC: x=t, y=0, z=2(0≤t≤3),

2
π

a 2 (1 cos t)2 [a(t sin t)′]2 +[a(cos t)′]2 dt

∫L

( x2 + y 2 )ds = ∫ [a 2 (cos t + t sin t)2 + a 2 (sin t t cos t)2 ]atdt

0
后

2
π

答

(0, 0, 2)
、
(1, 0, 2)
、
(1, 3, 2);
aw
案

(6)
∫
x2
yzds
, 其中
Γ
为折线
ABCD,
这里
A
、
B
、
C
、
D
依次为点
(0,
0,
0)
、

Γ

网

=∫

2
0
3 et dt = [ 3 et ]2 = 3 (1 e 2 ) . 0 2 2 2
.c o
m
= ∫ a3(1+ t 2 )tdt = 2
π
2a3(1+ 2
π
2 ) .
0
2
π

4.
求半径为
a,
中心角为
2
的均匀圆弧
(
线密度
μ
=1)
的重心
.
解

建立坐标系
如图
104
所示
,
由对称性可知
y = 0 ,
又

L
答

(1) I z = ∫ (
x2 + y 2 )
ρ
(x, y, z)ds = ∫ ( x2 + y 2 )(x2 + y 2 + z
2 )ds
L
2
π

ww
w. kh d
L L
0
课

= ∫ a 2 (a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt = 2
π
a 2 a 2 + k 2 (3a 2 + 4
π
2k
2 ) . 0 3 (2) M = ∫
ρ
(x, y, z)ds =∫ (x2 + y 2 + z 2 )ds = ∫ (a 2 +
k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt
= 2
π
a 2 + k 2 (3a 2 + 4
π
2k 2 ) , 3
2
π

x= 1 M
∫L x(x2 + y 2 + z 2)ds = M ∫0

6
π
ak 2 , 3a 2 + 4
π
2k 2 1 2
π
y = 1 ∫ y( x 2 + y 2 + z 2 )ds = ∫ a
sin t(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt M 0 M L 2 = 6
π
ak2 2 , 3a 2 + 4
π
k 1
2
π
z = 1 ∫ z( x 2 + y 2 + z 2 )ds = ∫ kt(a 2 + k 2t 2
) a 2 + k 2 dt
M 0 M L 2 2 2 3
π
k (a + 2
π
k ) , = 3a 2 + 4
π
2k 2 3
π
k (a 2 + 2
π
2k
2 ) 6 2 6 2
故重心坐标为
( 2
π
ak 2 2 , 2
π
ak 2 2 , ). 3a + 4
π
k 3a +
4
π
k 3a 2 + 4
π
2k 2 =
aw
1
2
π

后

案

解

ds = x′2 (t) + y′2 (t) + z′2 (t)dt = a 2 + k 2 dt .

网

5.
设螺旋形弹簧一圈的方程为
x=acos t, y=asin t, z=kt,
其中

0≤1≤2
π
,
它的线密度
ρ
(x, y, z)=x2+y2+z2,
求
: (1)
它关于
z
轴的转动惯量
Iz; (2)
它
的重心
.
, 0)
a cost(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt
.c o
所以圆弧的重心为
(
a sin
m
x=
Mx a sin = 1 ∫ xds = 1 ∫ a cos
θ
ad
θ
= , M 2a L 2a
ww
课

后

答

案

网

w. kh d aw .c o m
习题
102 1.
设
L
为
xOy
面内直线
x=a
上的一段
,
证明
:
证明

设
L
是直线
x=a
上由
(a, b1)
到
(a, b2)
的一段
,
则
L: x=a, y=t, t
从
b1
变到
b2.
于是

∫L P(x, y)dx = 0 .

证明

∫ P( x, y)dx = ∫ P( x, 0)dx .

L a
b
证明
L: x=x, y=0, t
从
a
变到
b,
所以

b b
L
解
L: y=x2, x
从
0
变到
2,
所以

ww
w. kh d
56 ∫L (x2 y2)dx = ∫0 (x2 x4)dx = 15 .

2
(2) ∫
xydx ,
其中
L
为圆周
(xa)2+y 2=a2(a>0)
及
x
轴所围成的在第

L
一象限内的区域的整个边界
(
按逆时针方向绕行
);
解
L=L1+L2,
其中
L1:
x=a+acos t, y=asin t , t
从
0
变到
π
, L2: x=x, y=0, x
从
0
变到
2a,
因此

∫L xydx = ∫L xydx +∫L xydx

1 2
= ∫ a(1+ cos t)a sin t(a + a cos t)′dt + ∫ 0dx

0 0
π

课

后

的一段弧
;
答

(1) ∫ (x2 y 2
)dx ,
其中
L
是抛物线
y=x2
上从点
(0, 0)
到点
(2, 4)
= a3(∫ sin 2 tdt + ∫ sin 2 td sin t) =
π
a3 . 0 0 2
π

π

L
(3) ∫ ydx + xdy , 其中
L
为圆周
x=Rcost, y=Rsint
上对应
t
从
0
到

π

的一段弧
;
2
aw
2a
案

3.
计算下列对坐标的曲线积分
:
网

∫L P(x, y)dx = ∫a P(x, 0)(x)′dx = ∫a P(x, 0)dx .

.c o

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